+ ≅ ACˆPCAˆPXPˆC + ≅ π

LICEO SCIENTIFICO ‘FILIPPO LUSSANA’
CORSO DI RECUPERO DI MATEMATICA
-
CLASSI 2^
-
Scheda n°1 Data
Classe
Nome
ALCUNE SOLUZIONI
di geometria
Tempo
Contenuti: ripasso unità 5,6,7 (isometrie e criteri di congruenza)
Dimostra i seguenti teoremi:
1.
2. I
2.2
Completa le seguenti proposizioni:
a) gli angoli HÂR e RĤA sono CONGRUENTI perché congruenti a DÂH  AHR è ISOSCELE
(su AH)
b) gli angoli CĤR e HĈR sono CONGRUENTI perché complementari di angoli congruenti 
CHR è ISOSCELE
 R è CIRCOCENTRO nel triangolo ACH perché EQUIDISTANTE DAI VERTICI DEL
TRIANGOLO
Essendo R e S punti medi di AC e BC, RS è la metà di AB e interseca l’altezza CM relativa ad
AB nel suo punto medio
c) gli angoli DĈA e BĈE sono CONGRUENTI perché corrispondenti di triangoli congruenti
d) gli angoli CĤR e CK̂S sono CONGRUENTI perché corrispondenti di triangoli congruenti
e) gli angoli CR̂H e AR̂S sono CONGRUENTI perché opposti al vertice
f) la bisettrice dell’angolo CÂB è PERPENDICOLARE ad AH perché sono bisettrici di angoli
adiacenti
g) i triangoli ABC e CRS hanno gli angoli ordinatamente congruenti perché
CR̂S  CÂB e CŜR  CB̂A (CORRISPONDENTI DI RETTE PARALLELE TAGLIATE DA
TRASVERSALE)
h) altre coppie di triangoli con gli angoli ordinatamente congruenti sono CHK e CDE; CHR e CDA;
CSH e CBA …
i) gli angoli AB̂C e BŜR sono SUPPLEMENTARI perché CONIUGATI INTERNI delle rette RS e
AB con trasversale BS
j) il quadrilatero CHFK è sia inscrittibile in una circonferenza che circoscrittibile ad una
circonferenza perché ha gli angoli opposti supplementari ( CĤA  CK̂B   2 ); HA LE
SOMME DEI LATI OPPOSTI CONGRUENTI (CHCK e HFKF  CH+KFCK+HF)
k) la circonferenza che ha AC come diametro passa per il punto medio X di AB perché AXC HA
UN ANGOLO RETTO IN X (quindi AXC è inscrittibile in una semicirconferenza di diametro AC)
l) indicato con  l’angolo DÂH , esprimi in funzione di  gli angoli AD̂H   2   ,
AF̂B  2 2       2 , CÂB   - 2 , AĈB   - 2 - 2   4   , AR̂S  2 ,
DĈE  2 2     4    2 , CÂF   -  , AF̂C   2   e AĈF  2 -  2 .
3. Nel triangolo acutangolo ABC conduci le bisettrici degli angoli AB̂C e AĈB che si incontrano nel punto P
e che incontrano la parallela a BC condotta da A in D ed E rispettivamente. Dimostra che:
e) BP̂C  BÂC; precisamente BP̂C supera di un angolo retto la metà dell’angolo BÂC .
Per il teorema dell’angolo esterno sul triangolo APB BP̂X  PÂB  AB̂P e analogamente su APC
CP̂X  PÂC  PĈA e sommando si ha
BP̂C  PÂB  PB̂A  PĈA  PÂC  1 2   1 2 BÂC

4.
5.
6.
7.

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CORSO DI RECUPERO DI MATEMATICA
Scheda n°2 Data
di geometria
Classe
Nome
-
CLASSI 2^
-
SOLUZIONI
ESERCIZIO1
1.1] M, N e P sono i punti medi dei lati del triangolo ABC
a) scrivi le relazioni tra i segmenti della figura MN//BC e MN1/2 BC (idem per NP e MP)
b) Indica le coppie di angoli congruenti AM̂N  AB̂C; AN̂M  AĈB
c) Indica le coppie di angoli supplementari BM̂N e AB̂C; CN̂M e AĈB
d) I triangoli AMN e ABC sono triangoli OMOTETICI (E SIMILI)
e) Indica le coppie di triangoli congruenti e in quali isometrie si corrispondono
AMN e MBP si corrispondono in una traslazione di vettore AM
AMN e NPC si corrispondono in una traslazione di vettore AN
AMN e MNP si corrispondono in una simmetria centrale di centro APMN
Per la proprietà transitiva i 4 triangoli sono congruenti a due a due …
f) 2p(MNP)= 1/22p(ABC) e area(MNP)=1/4area(ABC)
1.2] ABCD è un rettangolo, DH e CK sono perpendicolari ad AC
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
scrivi tutte le proprietà del rettangolo che conosci…………………..
indica 3 coppie di triangoli congruenti ABC e ACD; ADH e CBK; DOC e AOB; …
indica 2 coppie di triangoli simili ABC e BCK; ABC e ABK
Indica i triangoli rettangoli ABC, ADC, ABK, BCK, ADH, DHC
DHBK è un parallelogramma
Proiettando ortogonalmente D sulla retta AC si ottiene H
Proiettando ortogonalmente AD sulla retta AC si ottiene AH
Proiettando ortogonalmente AB sulla retta AC si ottiene AK
Proiettando ortogonalmente DO sulla retta AC si ottiene HO
Proiettando ortogonalmente DO sulla retta DH si ottiene DH
Nel triangolo ABC, AC è ipotenusa , AB è cateto , BK è altezza relativa all’ipotenusa , BO è
mediana relativa all’ipotenusa
l) Nel triangolo ADC, per il 1° teorema di Euclide, AD:AH=AC:AD
m) Nel triangolo ADC, per il 2° teorema di Euclide, AH:DH=DH:HC
n) Segna nella figura il baricentro P di ABC, il circocentro Q di OBK, il circocentro Z di KBC …
o) I triangoli DHO e DOK non sono congruenti ma hanno uguale area: sai spiegare perché? L’area
può essere calcolata considerando la base OH e l’altezza DH per DHO e la base OK con
altezza DH per DOK; OHOK e l’altezza è la stessa.
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Scheda n°4 Data
di geometria
Classe
Nome
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CLASSI 2^
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SOLUZIONI
ESERCIZIO1
1.1] AC è il diametro di una circonferenza di centro O e raggio r; ABBC; AĈD  CÂE  60 
a) ABC è un triangolo RETTANGOLO e ISOSCELE perché INSCRITTO IN UNA
SEMICIRCONFERENZA E PER IPOTESI
b) Gli angoli BÂC e BĈA misurano 45°
c) BO, nel triangolo ABC, è la MEDIANA quindi è anche ALTEZZA, BISETTRICE DELL’ANGOLO IN
B, ASSE DI AC
d) ODC e OAE sono triangoli EQUILATERI perché ISOSCELI (AO=OE PERCHE’ RAGGI) E UN
ANGOLO ALLA BASE è 60°
quindi l’angolo EÔD misura 60° e, di conseguenza, EDO è un triangolo EQUILATERO
e) gli angoli AÊD e CD̂E misurano 120° le rette DE e AC sono PARALLELE
ACDE è un TRAPEZIO ISOSCELE
f) l’angolo CB̂D misura 30° perché META’ DEL CORRISPONDENTE ANGOLO AL CENTRO CO^D
g) l’angolo AÊB misura 45° perché META’ DEL CORRISPONDENTE ANGOLO AL CENTRO AO^B
h) l’angolo EB̂D misura 30° perché META’ DEL CORRISPONDENTE ANGOLO AL CENTRO EO^D
i) l’angolo AD̂C misura 90° perché IL TRIANGOLO ADC è INSCRITTO IN UNA
SEMICIRCONFERENZA
j) DE è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: UN ESAGONO REGOLARE
k) AD è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: UN TRIANGOLO EQUILATERO
l) AB è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: UN QUADRATO
m) Misure: DE  r
AD  r 3
AB  r 2
DH  r 3 2
1.2] ABCD è un trapezio isoscele circoscritto alla circonferenza di centro O
a) indica 4 coppie di segmenti perpendicolari OP e DA; OM e AB; ON e DC; OQ e CB
b) indica 4 coppie di angoli congruenti MA^O e OA^P; AD^O e OD^N; BA^D e AB^C; AD^C e BC^D
c) indica 4 coppie di angoli supplementari BA^D e AD^C; AB^C e BC^D; ED^C e CD^A; AB^C e
AD^C
d) indica 4 coppie di angoli complementari MA^O e MO^A; PA^O e AO^P; OA^D e AD^O; NND^O e
NO^D
e) indica le coppie di triangoli congruenti PAO, OAM, OMB, OQB
PDN, DNO, NOC, COQ
…
f) indica le coppie di triangoli simili EDC e EAB; DAO e PAO; DAO e DPO; … e le proporzioni tra i
lati corrispondenti ED/EA; DA/AO; DA/DO; …
g) AOB, DOC, DEC sono triangoli isosceli
h) APO, OPD, EDN, AOD, … sono triangoli rettangoli
i) PM e MQ; PN e NQ sono corde congruenti della circonferenza
j) PQ^M e PN^M sono angoli alla circonferenza che insistono sull’arco PM minore di una
semicirconferenza con i lati entrambi secanti
k) AP^M e AM^P sono angoli alla circonferenza che insistono sull’arco PM minore di una
semicirconferenza con un lato secante e uno tangente
l) EP^M e BM^P sono angoli alla circonferenza che insistono sull’arco PM maggiore di una
semicirconferenza
m) NQM è un angolo RETTO perché NQM è INSCRITTO IN UN A SEMICIRCONFERENZA
n) COB è un angolo RETTO perchè OC^B e OB^C SONO COMPLEMENTARI PERCHE’ META’ DI
ANGOLI SUPPLEMENTARI, QUINDI CO^B è RETTO PERCHE’ COMPLEMENTARE DI
OC^B+OB^C
o) PÔQ  2  PM̂Q perché OGNI ANGOLO AL CENTRO è IL DOPPIO DI UN ANGOLO ALLA
CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO
p)
DÔC 
1
PÔQ perché DO^CDO^N+NO^C, DO^N1/2 PO^N e NO^C1/2 NO^Q per il teorema
2
del punto esterno (la retta congiungente il punto esterno e il centro della circonferenza è bisettrice
dell’angolo in C e in O). Quindi DO^C1/2 PO^N + 1/2 NO^Q, da cui DO^C1/2 PO^Q 
DO^CPM^Q perché entrambi metà dell’angolo PO^Q  i triangoli DOC e PMQ sono simili (sono
isosceli è hanno gli angoli al vertice congruenti).
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Scheda n°5 Data
Classe
Nome
di geometria
Tempo 120’ Contenuti: teorema di Talete, omotetia e similitudine, problemi e teoremi
ESERCIZIO1 Con riferimento alle figure a lato, completa in modo da ottenere proposizioni corrette:
1.1
Supponendo che PQ//AD//BE//CF risulta
AB : AC = DE : DF
BC : EF = AC : DF
AB : BC = DE : EF
AP : AO = DQ : OD.
DO: EF = AO : BC
OP : OQ = AB : DE
1.2
Ipotesi
DE//BC  BÂQ  QÂC
Per il teorema di Talete applicato alle rette parallele rBC
e rDE con trasversali rAB e rAC
AE : AD = AB : AC
Per il teorema della bisettrice nel triangolo ABC
AB : AC = BQ : QC
Per il teorema della bisettrice nel triangolo AED
AE : AD = EP : PD
Dal confronto delle tre proporzioni si può dedurre che
EP : PD = BQ : QC
1.3
Ipotesi
AA’BC  BB’AC  CC’AB  A’PAB  A’QAC
Il punto O è ortocentro del triangolo ABC.
A’P // CC’ e A’Q // BB’ perché rette perpendicolari alla
stessa retta
Il quadrilatero AC’OB’ è inscrittibile in una circonferenza
di
diametro OA
Il quadrilatero APA’Q è inscrittibile in una circonferenza
di
diametro A’A
Il quadrilatero OUA’V è un parallelogramma perché ha i
lati
Opposti paralleli
AC’ : AP = AO : AA’ per il teorema di Talete applicato al triangolo APA’
AB’ : AQ = AO : AA’ per il teorema di Talete applicato al triangolo AA’Q
Dal confronto delle due proporzioni si deduce che AC’ : AP = AB’ : AQ
 C’B’ // PQ per il teorema inverso del teorema di Talete
BP : BA’ = PC’ : A’C per il teorema di Talete applicato al triangolo C’BC
B’Q : BA’ = QC : A’C per il teorema di Talete applicato al triangolo B’CB
Dal confronto delle due proporzioni si deduce che
BP : PC’ = B’Q : QC
B' B̂A '  QÂ ' C perché corrispondenti delle rette parallele BB’ e QA’ tagliate dalla trasversale BC
BÂ ' U  A ' ĈV perché corrispondenti delle rette parallele PA’ e CC’ tagliate dalla trasversale BC
 gli angoli BU^A’ e A’VC sono congruenti perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo
piatto e questi angoli sono supplementari di angoli congruenti