L’ENIGMA DEI NUMERI PRIMI Luce Clara I.S.I.S. “A. TILGHER” ERCOLANO (NA) Visione del filmato L’ENIGMA DEI NUMERI PRIMI Il breve filmato è tratto (circa 7 minuti ) dal –ENIGMA DEI NUMERI PRIMI- Marcus du Sautoy Distribuito da: Cinehollywood - Digital Adventure Data pubblicazione: Marzo 2010 Durata: 78 m il link per visualizzare il filmato: http://youtu.be/ AQr7puF82A http://youtu.be/_AQr7puF82A Luce Clara 2 DESTINATARI: Il lavoro vuole essere uno spunto di riflessione per le classi 2/3 della SS1G e per il biennio della SS2G Gli alunni dovrebbero saper calcolare il più numeri M.C.D. e il m.c.m. fra due o p mediante la scomposizione in fattori primi e conoscere il concetto di numero primo Il filmato illustra molto bene il concetto di numero primo e scomposizione, per cui si può procedere anche ad una visione del filmato e poi ad una sistematizzazione dei concetti suindicati Luce Clara 3 INDICE Le cicale conoscono la matematica Le cicale conoscono la matematica Un numero ripetuto: sempre multiplo di 7,11,13 p p p , , Il mistero dei numeri primi Il i ll di E t t Il crivello di Eratostene Un rompicapo Un rompicapo Un numero è primo? WILSON e FERMAT M.C.D e m.c.m:problemi Diap Diapp Diap Di Diap Diap Diap Diap 5 8 10 15 20 24 27 Luce Clara 4 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23….. Le cicale conoscono la matematica, cioè conoscono i numerii primi i i Luce Clara 5 Le cicale americane Magicicada g tredecim e Magicicada septendecim vivono in gruppi geograficamente ben distinti, condividendo lo stesso periodo di latenza, rispettivamente di 13 e 17 anni, per poi uscire dal sottosuolo per accoppiarsi, deporre le uova ed infine morire. Non sembra un caso che tali cicli vitali siano rappresentati da sue numeri primi. Perché? Scopo delle cicale è: diminuire notevolmente la possibilità di ibridazione con il conseguente indebolimento della specie evitare it di d dover competere t per lle stesse t risorse i ambientali bi t li Se consideriamo due cicli di n e m anni, che iniziano nello stesso momento, essi si ritroveranno a coincidere ogni numero di anni uguale al _______________________ di n e m. Per esempio, se n=4 e m=6, ogni ___________ anni l’inzio dei due cicli vitali combacerà. Nel caso in cui n e m siano numeri primi fra loro (e nel caso delle cicale i l è ciò iò che h avviene i essendo d id due cicli i li vitali it li numerii primi i i saranno in particolare primi fra loro), tali coincidenze si verificano solo una volta ogni ______ anni. Per i due tipi di cicale americane questo accade ogni _____=___ anni. Osserviamo che con cicli entrambi più lunghi, ma non primi fra loro, la frequenza delle coincidenze potrebbe aumentare: per esempio con cicli di 15 e 18 anni l’incontro avverrebbe ogni _______. Il fatto che, oltre ad essere primi tra loro, 13 e 17 siano anche singolarmente due numeri primi, riduce al minimo anche la frequenza degli incontri con eventuali predatori che abbiano cicli vitali più brevi I due tipi di cicale americane con cicli di 13 e 17 anni si incontrano ogni g _________=______ Luce Clara 7 Scrivete un numero di tre cifre e poi scrivete ancora queste cifre nello stesso ordine. “E’ divisibile per 7 ? “E’divisibile E divisibile per 11? E’divisibile per 13? Sai spiegare p g p perché? Luce Clara 8 Ciò che h sii verifica ifi ffacilmente il è che un numero così costruito è sempre multiplo di 7, 11, 13 in quanto t non faremo f altro lt che h moltiplicare p il numero di p partenza per 1000 + 1 = 1001 multiplo di 7, 11 13 11, 13. Infatti: 235235 = 235·1000 + 235 = 235· (1000 + 1) = 235·1001 = 235 7 11 13 235·7·11·13 Luce Clara 9 Il matematico t ti Marcus M du d S Sautoy t parla l delle cicale e altre curiosità legate ai numerii primi i i nell lib libro The Th M Music i off the th Primes (in italiano edito col titolo L’ i L’enigma dei d i numerii primi)… i i) Determinare i numeri primi primi… tutti tutti… è possibile? Quanti sono?Secondo voi esiste un modo per determinare tutti i numeri primi? Riuscite a trovare una formula che g generi i numeri di questo elenco che vi dica qual è il centesimo numero primo? Luce Clara 10 Al primo problema già Euclide nel III secolo a.C. aveva trovato risposta e, come si legge nei suoi Elementi aveva dimostrato che i numeri primi sono infiniti. Il secondo p problema,, relativo alla determinazione di tutti i numeri primi mediante una particolare formula, affligge invece la mente dei matematici da secoli, la successione dei numeri primi rappresenta, infatti, fin dall'antica Grecia uno dei misteri più affascinanti della scienza: c'è un ordine prevedibile nella serie dei numeri primi? Nonostante più di duemila anni di sforzi, i numeri primi sembrano vanificare ogni tentativo di inserirli in un semplice schema regolare. Luce Clara 11 • Nel 1859 il matematico tedesco Bernard Riemann, presentò, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi minori di una certa grandezza" grandezza", una sua ipotesi per arrivare a comprendere l'armonia che si nasconde nel pp della successione dei numeri p primi,, caos apparente numeri. • L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una formula per generare l'elenco l' l d deii numerii primi”. i i” È improbabile i b bil che h Riemann abbia risolto la congettura che porta il suo nome,, non avendo lui pubblicato p mai una dimostrazione. purtroppo parte delle sue carte furono distrutte dopo la sua morte da una troppo zelante domestica; non possiamo quindi sapere per certo se egli avesse solo impostato o risolto il problema. Luce Clara 12 • Da un secolo e mezzo dunque, l'ipotesi di Riemann ossessiona i matematici, e oggi chi riuscisse a dimostrarla vincerebbe un premio da un milione di dollari! • Cogliere un ordine nella loro sequenza, trovare una regola che permetta di stabilire quale sia, ad esempio, il miliardesimo numero primo primo, avrebbe implicazioni ricadute sulle applicazioni informatiche odierne e future future. Luce Clara 13 In particolare il mondo della finanza sarebbe in pericolo P questo Per t approfondimento f di t sii rimanda i d alla ll parte t seconda di questa lezione ma… Per capire il perché: quando facciamo un acquisto e paghiamo con la carta di credito, la nostra transazione è messa in sicurezza proprio grazie all’utilizzo di numeri primi. primi In particolare, particolare ll’azienda azienda ci invia due numeri molto grandi, uno dei quali è dato dalla moltiplicazione di due numeri primi essi stessi di molte cifre (circa 60), con cui “occultare” il nostro numero di carta di credito. credito Grazie poi ad un altro numero conosciuto solo dall’azienda, l’azienda stessa può risalire al numero originale della carta. La sicurezza di questo metodo sta tutta nel fatto che moltiplicare due numeri primi è facile, ma è molto difficile scomporre in fattori un numero grandissimo, per numeri così grandi, quindi è altamente improbabile che un hacker possa risalire ai due numeri primi utilizzati dall’azienda p Luce Clara 14 Già nel III sec. a.C. Eratostene da Cirene determinò un procedimento, detto crivello di Eratostene per determinare tutti i numeri primi minori di un prefissano numero. numero Crivello significa setaccio, Il metodo infatti consiste nell’eliminare progressivamente, come facendoli passare attraverso un setaccio, tutti i numeri composti, composti ovvero i numeri che oltre ad essere divisibili per 1 e per se stessi, Luce Clara 15 Si scrivono i numeri fino a N in ordine crescente,si elimina l'uno e, dopo il 2, tutti i numeri pari perché multipli di 2. A partire dal 3 si eliminano successivamente tutti i multipli di 3 (cioè un numero ognii ttre). ) D Dopo il 3 si incontra il 5 e si eliminano quindi tutti i multipli di 5(cioè un numero ogni 5) e così via finchè non sono stati eliminati tutti i numeri composti Luce Clara 16 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ b9/Si b9/Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif f E t th i ti if Applicazione del crivello di Eratostene per trovare i numeri primi minori o uguali a 120. Luce Clara 17 Luce Clara 18 Luce Clara 19 UN ROMPICAPO Luce Clara 20 Due amici matematici, il Signor ALDO e il Signora ANDREA, si incontrano dopo molto tempo. tempo Quanti figli hai? "Ho tre figli e non ti dico quanti anni hanno ma sappi pp che moltiplicando p le loro età si ottiene 36 e sommandole si ottiene il numero civico del portone di fronte al quale siamo ora fermi." Non mi hai dato sufficienti i f informazioni.! i i! E' vero! Ti dico allora che la maggiore ha dei bellissimi occhi verdi. Luce Clara QUAL’E’ L’ETA’ DEI TRE FIGLI? 21 Se il prodotto delle tre età è 36, si possono presentare i seguenti casi: (36= 22·32) a. 36=1·1·36 e la somma delle età vale 38 b. 36 =1·2·18 e la somma delle età vale 21 c. 36 = 1·3·12 e la somma delle età vale 16 d. 36 =1·4·9 e la somma delle età vale 14 e. 36 =1·6·6 e la somma delle età vale 13 f. 36 =2·2·9 e la somma delle età vale 13 g. 36 =2·3·6 e la somma delle età vale 11 h. 36 =3·3·4 e la somma delle età vale 10 Luce Clara 22 SOLUZIONE Poiché P i hé ALDO di dice che h sino i a questo t punto t lle informazioni i f i i non sono sufficienti, significa che, poiché lui conosce il valore della somma somma, è in un caso di incertezza incertezza. Tale caso può essere dato solo dalle ipotesi e) ed f). (La somma delle età è in entrambi i casi uguale a 13) e. f f. 36 =1·6·6 e la somma delle età vale 13 36 6 =2·2·9 e la l somma delle d ll età tà vale l 13 L'esistenza L esistenza di un figlio maggiore porta a concludere che le età dei figli del Signor ANDREA sono 2,2,9. Luce Clara 23 UN APPROFONDIMENTO: WILSON E FERMAT, PER CAPIRE SE UN NUMERO È PRIMO… PRIMO Per capire se un numero è primo, oltre al f famoso crivello i ll di E Eratostene t t sii può ò applicare anche il famoso Teorema di Wilson E Il Piccolo Teorema di Fermat Luce Clara 24 Teorema di Wilson1 • "n è primo se e solo se n divide (n-1)! + 1". Per esempio 7 è primo perché divide 6! + 1 = 721. 721 Wilson, Sir John. - Giudice e avvocato (Applethwaite, Westmorland, 1741 Kendal 1793); studiò al Peterhouse College di Cambridge. Sotto l'influenza del matematico E. Waring compì studî sulla teoria dei numeri Luce Clara 25 Il Piccolo Teorema di Fermat Sia m un intero positivo qualsiasi. Se p è primo che non divide m,, allora un numero p p divide mp-1 - 1. Per esempio 17 divide 65535 = 216 – 1. Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 agosto 1601[1] – Castres, 12 gennaio 1665) è stato t t un matematico t ti e magistrato i t t francese. f Fu tra i principali matematici della prima metà del XVII secolo e dette importanti contributi allo sviluppo della matematica moderna Luce Clara 26 MCD M.C.D m m.c.m cm PROBLEMI Luce Clara 27 UN PROBLEMA per IL MAÎTRE DI SALA AL RISTORANTE Un ristorante deve ospitare un gruppo di fan della saga “Il signore degli anelli” il gruppo è composto 40 persone Hanno più di 41 anni 30 persone Hanno un’età compresa tra i 31 e 40 anni 20 persone Hanno un’età compresa tra i 20 e i 30 anni Bisogna organizzare i tavoli in modo che ad ogni tavolo ci sia un numero uguale di appartenenti alle tre fasce di età. Ogni tavolo può essere apparecchiato al massimo per 10 persone Quanti tavoli uguali tra loro? Q l sarà Quale à la l loro l composizione(come i i ( saranno distribuiti di ib i i i commensali)? Luce Clara 28 Per risolverlo? MCD Bisogna trovare un divisore comune a tutti i numeri dati, il più grande possibile. g p 20=22·5 30=2 ·3 ·5 40 23 ·5 40=2 5 MCD=5 SI FORMERANNO 5 TAVOLI. AD OGNI TAVOLO SI ACCOMODERANNO: 20:5=4 persone di età compresa tra i 20 e i 30 anni 30:5=6 persone di età compresa tra i 31 e i 40 anni 40:5=8 persone che hanno più di 41 anni Altro problema : i tavoli possono ospitare al massimo 10 persone! 2 persone di età compresa tra i 20 e i 30 anni 3 persone di età compresa tra i 31 e i 40 anni 4 persone che hanno più di 41 anni Luce Clara 29 UN PROBLEMA PER IL PROPRIETARIO DI UNA SCUOLA DI BALLO In una scuola di ballo ci sono molte sale, ma solo due sale sono abbastanza grandi per fare le prove per le gare. PROVANO PER LE GARE TRE GRUPPI: Ogni g 15 g giorni il g gruppo pp del tango g Ogni 18 giorni il gruppo del ballo latino americano Ogni 10 giorni il gruppo del ballo hip hop Si incontreranno i tre gruppi? Quando? Luce Clara 30 Per risolverlo? m.c.m Bisogna trovare un multiplo comune a tutti i numeri dati, il più piccolo possibile 15 3 5 15=3·5 18=2·32 10=2·5 mcm=2·3 mcm 2 32·5 5=90 90 I TRE GRUPPI SI CO O OGNI OG 90 INCONTRERANNO GIORNI Luce Clara 31