testo e soluzione

Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facoltà - Cesena
Sessione estiva 2008 - Primo appello - Prova scritta del corso di Fisica Generale L-A
(27 giugno 2008)
Prof. Maurizio Piccinini
Soluzioni
1. Un disco sottile NON omogeneo rotola senza strisciare lungo un piano inclinato. Commentare la seguente
affermazione: La velocità del centro di massa è maggiore della velocità del centro geometrico del disco.
2. Un punto materiale è posato su un piano inclinato di 45◦ . Il piano si muove orizzontalmente con accelerazione ap = g come illustrato in figura.
Quanto vale la reazione vincolare esercitata dal piano inclinato sul punto materiale?
3. Un proiettile di massa M esplode in aria in due frammenti uguali. Un attimo prima dell’esplosione la sua
velocità vale v ed è parallela al suolo. Un frammento procede nella stessa direzione con velocità 2v.
Dire quale delle seguenti affermazioni è quella giusta:
a) la situazione è impossibile perché viola la conservazione della quantità di moto;
b) il secondo frammento viaggia in direzione opposta al primo con velocità −v;
c) il secondo frammento cade verticalmente dal punto dell’esplosione.
Motivare la risposta.
4. Un satellite di massa m = 200 kg è in orbita attorno alla Terra su una traiettoria circolare ad una quota
h = 650 km rispetto alla superficie terrestre.
a) Calcolare la velocità e il periodo del satellite.
ri = R + h
F = ma ⇒ γ
vi =
s
γM
=
ri
s
vi2
Mm
=
m
ri
ri2
6.67 · 10−11 N m2 /kg2 · 5.97 · 1024 kg
=
(6.37 · 106 + 6.5 · 105 ) m
Ti =
s
3.98 · 1014 m2 /s2 q
= 5.67 · 107 m2 /s2 = 7.53 km
7.02 · 106
4.41 · 107
2π(6.37 · 106 + 6.5 · 105 ) m
2πri
=
=
s = 5.86 · 103 s
vi
7.53 × 103 m/s
7.53 × 103
Per vari motivi il satellite perde ad ogni giro un’energia pari a ∆E = 1.4×105 J. Nell’ipotesi che il satellite
continui a girare sempre su orbite approssimativamente circolari, calcolare, dopo 1500 giri:
b) l’energia meccanica finale del satellite;
V (r) = −γ
Mm
;
r
1
1 Mm
1 Mm
Mm
1 Mm
mvi2 = γ
⇒ Ei = γ
−γ
=− γ
2
2 ri
2 ri
ri
2 ri
1
5.97 · 1024 kg · 200 kg
Ef = Ei − ∆E · 1500 = − 6.67 · 10−11 N m2 /kg2
− 1.4 × 105 J · 1500
2
7.02 · 106 m
= (−5.67 · 109 − 2.1 · 108 ) J = −5.88 · 109 J
c) la nuova distanza dalla terra.
5.97 · 1024 kg · 200 kg
1 Mm
1
1 Mm
⇒ rf = − γ
= − 6.67·10−11 N m2 /kg2
= m = 6.77·106 m
Ef = − γ
2 rf
2 Ef
2
−5.88 · 109 J
hf = rf − R = (6.77 − 6.37) · 106 m = 0.40 m
5. Un blocco di massa m è posto su un piano scabro, inclinato di un angolo θ, ed è attaccato ad una molla di
costante elastica k (vedi figura). Il coefficiente di attrito statico è maggiore di quello dinamico (µs > µc ).
Se il blocco viene allontanato dal punto di equilibrio, in cui la forza elastica si annulla, determinare:
a) la distanza massima xmax dalla posizione di equilibrio alla quale il blocco, se rilasciato, non si muove.
µs mg cos θ + mg sin θ = kxmax ⇒ xmax =
mg
(µs cos θ + sin θ)
k
In questa condizione al blocco viene data una spinta minima che lo mette in movimento.
Determinare:
b) la lunghezza x0 alla quale la massa raggiunge la massima velocità;
kx − µc mg cos θ − mg sin θ = mẍ
ẍ = 0 ⇒ x0 =
mg
(µc cos θ + sin θ)
k
c) il lavoro svolto dalla forza peso, dalla forza elastica e dalla forza di attrito quando la molla si è
accorciata fino a una lunghezza x.
Lpeso = −mg sin θ(xmax − x)
1
Lel = k(x2max − x2 )
2
Lattr = −µc mg cos θ(xmax − x)
6. Una ruota di massa M e raggio R ruota senza attrito attorno al proprio asse su un piano verticale con
velocità angolare ωi .
Calcolare:
a) l’energia cinetica e il momento angolare iniziali della ruota.
1
1
Ti = Iωi2 = M R2 ωi2
2
4
1
Ki = Iωi = M R2 ωi
2
Ad un certo istante un frammento di massa m, di dimensioni trascurabili, si stacca dal bordo della ruota
con velocità diretta verticalmente verso l’alto.
Calcolare:
b) la quota massima raggiunta dal frammento (calcolata rispetto al punto in cui si stacca);
v = ωi R
1 v2
1 (ωi R)2
1
mv 2 = mgh ⇒ h =
=
2
2 g
2 g
c) la velocità angolare, l’energia cinetica e il momento angolare finali della ruota.
If =
1
M − m R2
2
Kf = If ωf + mvR
∆K = 0 ⇒ If ωf + mvR = Iωi ⇒
wf =
1
2M
1
2M
1
1
Tf = If ωf2 =
2
2
Kf = If ωf =
1
1
M − m R2 ωf + mωi R2 = M R2 ωi
2
2
−m
ωi = ωi
−m
1
M − m R2 ωf2
2
1
M − m R 2 ωf
2
Costante di gravitazione universale: γ = 6.67 · 10−11 N m2 /kg2
Massa della Terra: M = 5.97 · 1024 kg
Raggio della Terra: R = 6.37 · 106 m