Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facoltà - Cesena Sessione estiva 2008 - Primo appello - Prova scritta del corso di Fisica Generale L-A (27 giugno 2008) Prof. Maurizio Piccinini Soluzioni 1. Un disco sottile NON omogeneo rotola senza strisciare lungo un piano inclinato. Commentare la seguente affermazione: La velocità del centro di massa è maggiore della velocità del centro geometrico del disco. 2. Un punto materiale è posato su un piano inclinato di 45◦ . Il piano si muove orizzontalmente con accelerazione ap = g come illustrato in figura. Quanto vale la reazione vincolare esercitata dal piano inclinato sul punto materiale? 3. Un proiettile di massa M esplode in aria in due frammenti uguali. Un attimo prima dell’esplosione la sua velocità vale v ed è parallela al suolo. Un frammento procede nella stessa direzione con velocità 2v. Dire quale delle seguenti affermazioni è quella giusta: a) la situazione è impossibile perché viola la conservazione della quantità di moto; b) il secondo frammento viaggia in direzione opposta al primo con velocità −v; c) il secondo frammento cade verticalmente dal punto dell’esplosione. Motivare la risposta. 4. Un satellite di massa m = 200 kg è in orbita attorno alla Terra su una traiettoria circolare ad una quota h = 650 km rispetto alla superficie terrestre. a) Calcolare la velocità e il periodo del satellite. ri = R + h F = ma ⇒ γ vi = s γM = ri s vi2 Mm = m ri ri2 6.67 · 10−11 N m2 /kg2 · 5.97 · 1024 kg = (6.37 · 106 + 6.5 · 105 ) m Ti = s 3.98 · 1014 m2 /s2 q = 5.67 · 107 m2 /s2 = 7.53 km 7.02 · 106 4.41 · 107 2π(6.37 · 106 + 6.5 · 105 ) m 2πri = = s = 5.86 · 103 s vi 7.53 × 103 m/s 7.53 × 103 Per vari motivi il satellite perde ad ogni giro un’energia pari a ∆E = 1.4×105 J. Nell’ipotesi che il satellite continui a girare sempre su orbite approssimativamente circolari, calcolare, dopo 1500 giri: b) l’energia meccanica finale del satellite; V (r) = −γ Mm ; r 1 1 Mm 1 Mm Mm 1 Mm mvi2 = γ ⇒ Ei = γ −γ =− γ 2 2 ri 2 ri ri 2 ri 1 5.97 · 1024 kg · 200 kg Ef = Ei − ∆E · 1500 = − 6.67 · 10−11 N m2 /kg2 − 1.4 × 105 J · 1500 2 7.02 · 106 m = (−5.67 · 109 − 2.1 · 108 ) J = −5.88 · 109 J c) la nuova distanza dalla terra. 5.97 · 1024 kg · 200 kg 1 Mm 1 1 Mm ⇒ rf = − γ = − 6.67·10−11 N m2 /kg2 = m = 6.77·106 m Ef = − γ 2 rf 2 Ef 2 −5.88 · 109 J hf = rf − R = (6.77 − 6.37) · 106 m = 0.40 m 5. Un blocco di massa m è posto su un piano scabro, inclinato di un angolo θ, ed è attaccato ad una molla di costante elastica k (vedi figura). Il coefficiente di attrito statico è maggiore di quello dinamico (µs > µc ). Se il blocco viene allontanato dal punto di equilibrio, in cui la forza elastica si annulla, determinare: a) la distanza massima xmax dalla posizione di equilibrio alla quale il blocco, se rilasciato, non si muove. µs mg cos θ + mg sin θ = kxmax ⇒ xmax = mg (µs cos θ + sin θ) k In questa condizione al blocco viene data una spinta minima che lo mette in movimento. Determinare: b) la lunghezza x0 alla quale la massa raggiunge la massima velocità; kx − µc mg cos θ − mg sin θ = mẍ ẍ = 0 ⇒ x0 = mg (µc cos θ + sin θ) k c) il lavoro svolto dalla forza peso, dalla forza elastica e dalla forza di attrito quando la molla si è accorciata fino a una lunghezza x. Lpeso = −mg sin θ(xmax − x) 1 Lel = k(x2max − x2 ) 2 Lattr = −µc mg cos θ(xmax − x) 6. Una ruota di massa M e raggio R ruota senza attrito attorno al proprio asse su un piano verticale con velocità angolare ωi . Calcolare: a) l’energia cinetica e il momento angolare iniziali della ruota. 1 1 Ti = Iωi2 = M R2 ωi2 2 4 1 Ki = Iωi = M R2 ωi 2 Ad un certo istante un frammento di massa m, di dimensioni trascurabili, si stacca dal bordo della ruota con velocità diretta verticalmente verso l’alto. Calcolare: b) la quota massima raggiunta dal frammento (calcolata rispetto al punto in cui si stacca); v = ωi R 1 v2 1 (ωi R)2 1 mv 2 = mgh ⇒ h = = 2 2 g 2 g c) la velocità angolare, l’energia cinetica e il momento angolare finali della ruota. If = 1 M − m R2 2 Kf = If ωf + mvR ∆K = 0 ⇒ If ωf + mvR = Iωi ⇒ wf = 1 2M 1 2M 1 1 Tf = If ωf2 = 2 2 Kf = If ωf = 1 1 M − m R2 ωf + mωi R2 = M R2 ωi 2 2 −m ωi = ωi −m 1 M − m R2 ωf2 2 1 M − m R 2 ωf 2 Costante di gravitazione universale: γ = 6.67 · 10−11 N m2 /kg2 Massa della Terra: M = 5.97 · 1024 kg Raggio della Terra: R = 6.37 · 106 m