Reti biporta - Università degli studi di Pavia

Facoltà di Ingegneria
Università degli studi di Pavia
Corso di Laurea Triennale in
Ingegneria Elettronica e Informatica
Campi Elettromagnetici e Circuiti I
Reti biporta
Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2014/15
Prof. Luca Perregrini
Reti biporta, pag. 1
Sommario
•
•
•
•
•
•
•
Definizione
Parametri di impedenza
Parametri di ammettenza
Parametri ibridi
Parametri di trasmissione
Relazioni fra i diversi parametri
Interconnessione di quadrupoli: in serie, in
parallelo, in cascata
Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2014/15
Prof. Luca Perregrini
Reti biporta, pag. 2
Definizione
Rete monoporta o bipolo:
I
+
V
–
rete
lineare
I
Una porta è costituita da una coppia di terminali dai
quali entra ed esce la stessa corrente
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Reti biporta, pag. 3
Definizione
Rete multiporta:
I1
I4
+
V1
–
I4
I2
+
V2
–
rete
lineare
I1
I3
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– V4 +
I2
+ V3 –
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I3
Reti biporta, pag. 4
Definizione
Una rete multiporta può essere trattata come una
scatola nera, purché si conoscano le relazioni fra
le grandezze (tensioni e correnti) ai suoi terminali
In altri termini, non è necessario conoscere la struttura
interna del circuito che costituisce la rete, purché siano
noti i legami fra le varie grandezze accessibili alle porte
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Reti biporta, pag. 5
Definizione
Il legame fra tensioni e correnti viene solitamente
rappresentato attraverso matrici che coinvolgono
diversi tipi di parametri:
•
•
•
•
parametri di impedenza
parametri di ammettenza
parametri ibridi
parametri di trasmissione
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Reti biporta, pag. 6
Definizione
Tratteremo il caso specifico di una rete biporta,
comunemente detta doppio bipolo o quadrupolo:
I1
+
V1
–
I2
I1
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+
V2
–
rete
lineare
I2
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Reti biporta, pag. 7
Parametri di impedenza
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
V1  z11I1  z12I 2
+
V2
–
V2  z 21I1  z 22I 2
In forma matriciale:
 V1   z11 z12   I1 
 I1 
 [ z ] 
V   z



 2   21 z 22  I 2 
I 2 
I coefficienti della matrice [z] sono detti parametri
d’impedenza o parametri z e sono espressi in W.
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Reti biporta, pag. 8
Parametri di impedenza
I valori dei parametri d’impedenza si ricavano considerando I1=0 oppure I2=0 :
I1
+
+ V
1
–
–
I2=0
rete
lineare
I1=0
+
V1
–
V1
z11 
I1
+
V2
–
I 2 0
V2
z 21 
I1
I 2 0
I1  0
V2
z 22 
I2
I1  0
I2
rete
lineare
+
V2
–
+
–
V1
z12 
I2
Con questa procedura si possono calcolare o misurare i
parametri d’impedenza.
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Reti biporta, pag. 9
Parametri di impedenza
Se z11=z22 il quadrupolo si dice simmetrico e può essere
rappresentato da un circuito simmetrico.
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Reti biporta, pag. 10
Parametri di impedenza
Se il quadrupolo è lineare e non contiene generatori
dipendenti si ha z12=z21 e la rete si dice reciproca.
In questo caso, se eccitando la porta 1 con una tensione V si ottiene
la corrente I sulla porta 2, allora eccitando la porta 2 con la stessa
tensione V si ottiene lo stesso valore di corrente I sulla porta 1:
I
+
–
+
V
–
rete
lineare
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I
Z
Z
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rete
lineare
+
V
–
+
–
Reti biporta, pag. 11
Parametri di impedenza
Un quadrupolo contenente solo resistori, induttori e
condensatori è reciproco e può essere rappresentato con
il seguente circuito a T:
I1 z11z12
+
V1
–
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z22z12 I2
z12
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+
V2
–
Reti biporta, pag. 12
Parametri di impedenza
Più in generale, anche se il quadrupolo è non reciproco, il
circuito equivalente è il seguente:
I1
+
V1
–
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z11
z22
z12 I2 +
–
+
–
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z21 I1
I2
+
V2
–
Reti biporta, pag. 13
Parametri di impedenza
Si noti che non tutti i circuiti possono essere rappresentati
attraverso i parametri d’impedenza.
Infatti, se si considera, ad esempio,
il trasformatore ideale, si ha
1
V1  V2
n
I1  nI 2
ed è quindi impossibile esprimere le tensioni in funzione
delle correnti.
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Reti biporta, pag. 14
Parametri di ammettenza
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
I1  y11V1  y12 V2
+
V2
–
I 2  y 21V1  y 22 V2
In forma matriciale:
 I1   y11 y12   V1 
 V1 
 [y ] 
I    y



 2   21 y 22  V2 
V2 
I coefficienti della matrice [y] sono detti parametri di
ammettenza o parametri y e sono espressi in Siemens.
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Reti biporta, pag. 15
Parametri di ammettenza
I valori dei parametri di ammettenza si ricavano considerando V1=0 oppure V2=0:
I1
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
I1
+
V1=0
–
I1
y11 
V1
+
V2=0
–
V2  0
I2
y 21 
V1
V2  0
V1  0
I2
y 22 
V2
V1  0
I2
rete
lineare
+
V2
–
I2
I1
y12 
V2
Con questa procedura si possono calcolare o misurare i
parametri di ammettenza.
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Reti biporta, pag. 16
Parametri di ammettenza
Se y11=y22 il quadrupolo si dice simmetrico e può essere
rappresentato da un circuito simmetrico.
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Reti biporta, pag. 17
Parametri di ammettenza
Se il quadrupolo è lineare e non contiene generatori
dipendenti si ha y12=y21 e la rete si dice reciproca.
In questo caso, se eccitando la porta 1 con una corrente I si ottiene
la tensione V sulla porta 2, allora eccitando la porta 2 con la stessa
corrente I si ottiene lo stesso valore di tensione V sulla porta 1:
I
rete
lineare
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+
V
–
Z
Z
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+
V
–
rete
lineare
I
Reti biporta, pag. 18
Parametri di ammettenza
Un quadrupolo contenente solo resistori, induttori e
condensatori è reciproco e può essere rappresentato con
il seguente circuito a P:
I1
+
V1
–
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y12
y11+y12
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I2
+
y22+y12 V2
–
Reti biporta, pag. 19
Parametri di ammettenza
Più in generale, se il quadrupolo è non reciproco, il circuito
equivalente è il seguente:
I1
+
V1 y11
–
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I2
y12V2
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y21V1
y22
+
V2
–
Reti biporta, pag. 20
Parametri di ammettenza
Si noti che non tutti i circuiti possono essere rappresentati
attraverso i parametri di ammettenza.
Infatti, se si considera, anche in questo
caso il trasformatore ideale, si ha
1
V1  V2
n
I1  nI 2
ed è quindi impossibile esprimere le correnti in funzione
delle tensioni.
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Reti biporta, pag. 21
Parametri di immittenza
I parametri di impedenza e ammettenza vengono anche
indicati come parametri di immittenza.
Poiché
 V1 
 I1 
V   [ z ]I 
 2
 2
 I1 
 V1 
 I   [ y ] V 
 2
 2
si ha
 V1 
 I1 
 V1 
V   [z ]I   [z ][y ]V 
 2
 2
 2
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
1
[y ]  [ z ]
Reti biporta, pag. 22
Parametri ibridi
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
V1  h11I1  h12 V2
+
V2
–
I 2  h 21I1  h 22 V2
In forma matriciale:
V1  h11 h12   I1 
 I1 
 [h] 
 I   h



 2   21 h 22  V2 
V2 
I coefficienti della matrice [h] sono detti parametri ibridi o
parametri h.
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Reti biporta, pag. 23
Parametri ibridi
I valori dei parametri ibridi si ricavano considerando I1=0
oppure V2=0 :
I1
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
I1=0
+
V1
–
V1
h11 
I1
+
V2=0
–
V2  0
I2
h 21 
I1
V2  0
I1  0
I2
h 22 
V2
I1  0
I2
rete
lineare
+
V2
–
+
–
V1
h12 
V2
Con questa procedura si possono calcolare o misurare i
parametri ibridi.
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Reti biporta, pag. 24
Parametri ibridi
In generale, anche se il quadrupolo è non reciproco, il
circuito equivalente è il seguente:
I1
+
V1
–
h11
I2
h12 V2 +
–
h21I1
h22
+
V2
–
Se il quadrupolo è reciproco si ha h12=h21.
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Reti biporta, pag. 25
Parametri ibridi
Esempio:
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Reti biporta, pag. 26
Parametri ibridi inversi
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
I1  g11V1  g12I 2
+
V2
–
V2  g 21V1  g 22I 2
In forma matriciale:
 I1   g11 g12  V1 
V1 
 [g ] 
 V   g



 2   21 g 22   I 2 
I2 
I coefficienti della matrice [g] sono detti parametri ibridi
inversi o parametri g.
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Reti biporta, pag. 27
Parametri ibridi inversi
I valori dei parametri ibridi inversi si ricavano considerando V1=0 oppure I2=0 :
I1
+
+ V
1
–
–
I2=0
rete
lineare
I1
+
V1=0
–
I1
g11 
V1
+
V2
–
I 2 0
V2
g 21 
V1
I 2 0
V1  0
V2
g 22 
I2
V1  0
I2
rete
lineare
+
V2
–
I2
I1
g12 
I2
Con questa procedura si possono calcolare o misurare i
parametri ibridi inversi
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Reti biporta, pag. 28
Parametri ibridi inversi
In generale, anche se il quadrupolo è non reciproco, il
circuito equivalente è il seguente:
g22
I1
+
V1 g11
–
g12I2
+
–
I2
g21V1
+
V2
–
Se il quadrupolo è reciproco si ha g12=g21.
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Reti biporta, pag. 29
Parametri ibridi/ibridi inversi
Poiché
V1 
 I1 
 I   [h]V 
 2
 2
 I1 
V1 
 V   [ g ] I 
 2
 2
si ha
V1 
 I1 
V1 
 I   [h]V   [h][g ] I 
 2
 2
 2
e quindi
[g ]  [h]1
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Reti biporta, pag. 30
Parametri di trasmissione
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
V1  AV2  BI 2
+
V2
–
I1  CV2  DI 2
In forma matriciale:
V1   A B   V2 
 V2 
 I    C D  I   [T] I 
 2 
 1 
 2
I coefficienti della matrice [T] sono detti parametri di
trasmissione o parametri ABCD.
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Reti biporta, pag. 31
Parametri di trasmissione
I valori dei parametri di trasmissione si ricavano considerando V2=0 oppure I2=0 :
I1
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
I1
+
+ V
1
–
–
+
V2=0
–
V1
B
 I2
V2  0
I1
D
 I2
I 2 0
I1
C
V2
V2  0
I2=0
rete
lineare
+
V2
–
V1
A
V2
I 2 0
Con questa procedura si possono calcolare o misurare i
parametri di trasmissione
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Reti biporta, pag. 32
Parametri di trasmissione
Se il quadrupolo è reciproco si ha:
det([T])  AD  BC  1
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Reti biporta, pag. 33
Parametri di trasmissione inversi
I1
+
V1
–
I2
rete
lineare
V2  aV1  bI1
+
V2
–
I 2  cV1  dI1
In forma matriciale:
V2  a b   V1 
 V1 
 I   c d   I   [t ] I 
 1
 2 
 1
I coefficienti della matrice [t] sono detti parametri di
trasmissione inversi.
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Reti biporta, pag. 34
Parametri di trasmissione inversi
Se il quadrupolo è reciproco si ha:
det([t ])  ad  bc  1
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Reti biporta, pag. 35
Relazioni fra i diversi parametri
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Reti biporta, pag. 36
Interconnessione di quadrupoli in serie
I1
+
I1a
+
V1a
–
V1
– I1
I2a
+
V1b
–
+
V2a
–
[z a ]
I1b
I2
+
V2
I2b
[z b ]
+
V2b
–
I2
–
[z ]  [ z a ]  [z b ]
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Reti biporta, pag. 37
Interconnessione di quadrupoli in parallelo
I1
+
V1
–
I1
I1a
I2a
+
V1a
–
+
V2a
–
[y a ]
I1b
I2b
+
V1b
–
+
V2b
–
[y b ]
I2
+
V2
–
I2
[y ]  [y a ]  [y b ]
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Reti biporta, pag. 38
Interconnessione di quadrupoli in cascata
I1a
I1
+
V1a
–
+
V1
–
I2a
[Ta ]
I1b
+
V2a
–
+
V1b
–
I1
I2b
[Tb ]
I2
+
V2
–
+
V2b
–
I2
[T]  [Ta ][Tb ]
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Reti biporta, pag. 39