Completezza e incompletezza - Il metodo assiomatico da Euclide a

Il metodo assiomatico
Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Completezza e incompletezza
Il metodo assiomatico da Euclide a Gödel
Ugo de’Liguoro
Maggio 2014, Catania
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Completezza e incompletezza
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Il metodo assiomatico
Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Il metodo assiomatico da Euclide a Hilbert
Euclide (IV sec. a.C.): basandosi sull’opera di Talete e soprattutto di
Eudosso, scrive gli Elementi, presentando la geometria in modo
rigoroso i cui enunciati (teoremi) sono dimostrati a partire da assiomi
logici (nozioni comuni) e non logici (postulati)
Geometrie non euclidee: la scoperta di Bolyai e Lobatchevsky
(1825-6) si basa sull’esistenza di modelli diversi della geometria
euclidea meno il postulato delle parallele
La crisi dei fondamenti: la rigorizzazione dell’analisi (prima metà
del XIX sec.), ma anche la scoperta dei paradossi nella teoria degli
insiemi di Cantor, come quello di Russell (1901-2), pone il problema
della formalizzazione rigorosa della matematica, della dimostrazione
della coerenza delle teorie matematiche e dell’affidabilità dei metodi
di dimostrazione
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Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Il programma di Hilbert
Rigore formale: tutta la matematica deve essere presentata, almeno in
linea di principio, in termini di un rigoroso linguaggio formale le cui
espressioni si devono manipolare secondo regole ben definite
Completezza: in un sistema formale deve essere possibile dimostrare tutti
gli enunciati veri della teoria, ovvero la negazione di tutti gli enunciati falsi
Coerenza: in una teoria non deve essere possibile dimostrare contraddizioni;
questa proprietà della teoria deve essere dimostrata con gli stessi mezzi
“finitisti”, ragionando a proposito di oggetti matematici finiti
Conservatività: tutte le proprietà di oggetti “reali” che vengono stabilite
utilizzando principi “ideali” devono essere dimostrabili anche senza l’uso di
queste nozioni
Decidibilità: deve esistere un algoritmo che decida della verità o della
falsità di ogni enunciato matematico
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Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Termini
Un linguaggio per il primo ordine è una collezione finita o numerabile di
simboli:
L = {c1 , . . . , f1 , . . . , R1 , . . .}
Termini di L
t, s ::= x | c | f (t1 , . . . , tn )
f simbolo funzionale n-ario
dove c ∈ L è un simbolo costante, f ∈ L un simbolo funzionale n-ario
x ∈ {x0 , x1 , x2 , . . . , xi , . . .}
Esempi:
2, !(x − y ), MCD(2 + x, 12),
sin(2πx),
dove x − y ≡ −(x, y ), 2 + x ≡ +(2, x) e 2πx ≡ ·(·(2, π), x)
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Formule con identità
Formule
ϕ, ψ ::= (t = s) | R(t1 , . . . , tn ) | ⊥ | ϕ ∧ ψ | ϕ → ψ | ∀xϕ
R ∈ L simbolo relazionale n-ario.
Esempio: < è un simbolo relazionale binario, e 0 < x ≡ < (0, x).
Abbreviazioni
¬ϕ
≡ ϕ→⊥
ϕ∨ψ
≡ ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ)
ϕ ↔ ψ ≡ (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)
∃x ϕ
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≡ ¬(∀x ¬ϕ)
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Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Deduzione naturale: calcolo proposizionale
∆ = {ϕ1 , . . . , ϕk } e ∆, ϕ = ∆ ∪ {ϕ}
∆, ϕ ⊢ ϕ
∆, ψ ⊢ ϕ
∆⊢ϕ ∆⊢ψ
∆⊢ϕ∧ψ
∆, ϕ ⊢ ψ
∆⊢ϕ→ψ
∆⊢⊥
∆⊢ϕ
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∆⊢ϕ
(Ax)
(∧I )
(→ I )
(⊥)
(W )
∆⊢ ϕ∧ψ
∆⊢ϕ∧ψ
∆⊢ϕ
∆⊢ψ
∆⊢ϕ ∆⊢ϕ→ψ
∆⊢ψ
∆, ¬ϕ ⊢ ⊥
∆⊢ϕ
Completezza e incompletezza
(∧E )
(→ E )
(RAA)
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Dimostrazioni
Una dimostrazione D con conclusione ∆ ⊢ ϕ ha la forma:
D1
Dk
···
∆1 ⊢ ϕ1
∆k ⊢ ϕk
∆⊢ϕ
dove
∆1 ⊢ ϕ1
···
∆k ⊢ ϕk
∆⊢ϕ
è un’istanza di una regola di inferenza e ogni
Di
è una
∆i ⊢ ϕi
dimostrazione.
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Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Esempio: ϕ ∧ ψ ⊢ ψ ∧ ϕ
ϕ∧ψ ⊢ϕ∧ψ
ϕ∧ψ ⊢ψ
(Ax)
(∧E )
ϕ∧ψ ⊢ ϕ∧ψ
ϕ∧ψ ⊢ϕ
ϕ∧ψ ⊢ψ∧ϕ
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(Ax)
(∧E )
(∧I )
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Coerenza
Epilogo
La disgiunzione
Ricordando che ϕ ∨ ψ ≡ ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ), sono derivabili le regole di
introduzione:
∆⊢ϕ
∆⊢ψ
∆⊢ ϕ∨ψ
∆⊢ ϕ∨ψ
(∨I )
e la regola di eliminazione:
∆⊢ϕ∨ψ
∆, ϕ ⊢ χ
∆, ψ ⊢ χ
∆⊢χ
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(∨E )
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Modelli
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Coerenza
Epilogo
Derivabilità di (∨I )
∆⊢ϕ
∆, ¬ϕ ∧ ¬ψ ⊢ ϕ
(W )
∆, ¬ϕ ∧ ¬ψ ⊢ ¬ϕ ∧ ¬ψ
∆, ¬ϕ ∧ ¬ψ ⊢ ¬ϕ
∆, ¬ϕ ∧ ¬ψ ⊢ ⊥
∆ ⊢ ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ)
(∧E )
(→ E )
(→ I )
Ma ϕ ∨ ψ ≡ ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ), dunque la regola seguente è derivabile:
∆⊢ϕ
∆ ⊢ ϕ∨ψ
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(∨I )
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Coerenza
Epilogo
Esempio: ⊢ ϕ ∨ ¬ϕ (1)
¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ⊢ ϕ
¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ⊢ ϕ ∨ ¬ϕ
(∨I )
¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ⊢ ¬(ϕ ∨ ¬ϕ)
¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ⊢ ⊥
¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ⊢ ¬ϕ
(→ E )
(→ I )
perché ¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ≡ (ϕ ∨ ¬ϕ) → ⊥ e ¬ϕ ≡ ϕ → ⊥.
Quindi esiste la dimostrazione
D1
¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ⊢ ¬ϕ
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Coerenza
Epilogo
Esempio: ⊢ ϕ ∨ ¬ϕ (2)
Analogamente
¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ¬ϕ ⊢ ¬ϕ
¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ¬ϕ ⊢ ϕ ∨ ¬ϕ
(∨I )
¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ¬ϕ ⊢ ¬(ϕ ∨ ¬ϕ)
¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ¬ϕ ⊢ ⊥
¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ⊢ ¬¬ϕ
(→ E )
(→ I )
quindi esiste la dimostrazione
D2
¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ⊢ ¬¬ϕ
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Coerenza
Epilogo
Esempio: ⊢ ϕ ∨ ¬ϕ (3)
Combinando D1 e D2 :
D1
¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ⊢ ¬ϕ
D2
¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ⊢ ¬¬ϕ
¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ⊢ ⊥
⊢ ϕ ∨ ¬ϕ
(→ E )
(RAA)
ricordando che ¬¬ϕ ≡ ¬ϕ → ⊥.
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Coerenza
Epilogo
Quantificatori
∆ ⊢ ϕ(x)
∆ ⊢ ∀x ϕ(x)
(∀I )
∆ ⊢ ∀x ϕ(x)
∆ ⊢ ϕ(t)
(∀E )
dove
in (∀I ) la variabile x non deve essere libera in alcuna formula in ∆
in (∀E ) nessuna variabile in t deve essere vincolata in ϕ
Risultano derivabili le regole:
∆ ⊢ ϕ(t)
∆ ⊢ ∃x ϕ(x)
(∃I )
∆ ⊢ ∃x ϕ(x)
∆, ϕ(x) ⊢ ψ
∆⊢ψ
(∀E )
con x nuova in (∃I ) e x non deve occorrere libera in ∆ né in ψ in (∀E ).
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Coerenza
Epilogo
Eguaglianza
Regole per l’equivalenza:
∆⊢s =t
∆⊢t=t
∆⊢s=u
∆⊢t =s
∆⊢u=t
∆⊢s=t
regole per la congruenza:
∆ ⊢ s1 = t1
···
∆ ⊢ sn = tn
∆ ⊢ f (s1 , . . . , sn ) = f (t1 , . . . , tn )
∆ ⊢ s1 = t1
···
∆ ⊢ sn = tn
∆ ⊢ R(s1 , . . . , sn )
∆ ⊢ R(t1 , . . . , tn )
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Coerenza
Epilogo
Enunciati
Nelle formule ∀x ϕ e ∃x ϕ ogni occorrenza di x in ϕ si dice vincolata; una
variabile occorre libera in una formula ψ se non è vincolata:
∃x((7 + y < x) ∧ ∀y (y − 2 > 5))
Un enunciato è una formula in cui non occorrono variabili libere:
∀x ∀y (y 6= 0 → ∃v ∃z ((x = y · v + z) ∧ (0 ≤ z) ∧ (z < y)))
dove y 6= 0 ≡ ¬(y = 0).
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Coerenza
Epilogo
Teorie
Sia Γ un insieme qualunque di formule:
def
Γ ⊢ ϕ ⇐⇒ ∃ ∆ ⊆ Γ. ∆ finito & ∆ ⊢ ϕ dimostrabile
1
Una teoria T è un insieme di enunciati t.c.
T ⊢ϕ⇒ϕ∈T
2
Γ è un insieme di assiomi per T se
Γ⊢ϕ⇔ϕ∈T
3
T è assiomatizzabile se e solo se esiste un insieme decidibile di
assiomi per T
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Coerenza
Epilogo
Teorie: esempi
Ordini. Il linguaggio LOrd ha un solo simbolo relazionale binario <;
assiomi:
1
∀x ¬(x < x)
2
∀x ∀y ∀z (x < y ∧ y < z → x < z)
Gruppi Il linguaggio LGrp ha la costante 0 ed il simbolo funzionale binario
+; assiomi:
1
∀x ∀y ∀z (x + (y + z) = (x + y ) + z)
2
∀x (0 + x = x ∧ x + 0 = x)
3
∀x ∃y (x + y = 0)
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Coerenza
Epilogo
Teorie: esempi
Grafi k-colorabili. Il linguaggio LGk ha un simbolo relazionale binario A
(per arco) e k simboli relazionali unari C1 , . . . , Ck (per i colori); assiomi:
1
∀x ¬A(x, x)
2
∀x ∀y (A(x, y ) → A(y , x))
3
∀x (C1 (x) ∨ · · · ∨ Ck (x))
4
∀x ¬(Ci (x) ∧ Cj (x))
(per ogni i 6= j)
5
∀x ∀y (Ci (x) ∧ Ci (y ) → ¬A(x, y ))
(per ogni 1 ≤ i ≤ k)
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Il problema della caratterizzazione
Obiettivo di un sistema formale F è di dimostrare teoremi
Trovare condizioni necessarie e sufficienti perché una formula sia un
teorema di F è il problema della caratterizzazione di F
L’esistenza di una dimostrazione D di ϕ non è una buona
caratterizzazione perché dipende da tutte le formule che possono
occorrere in D, in generale molto diverse da ϕ
Una buona caratterizzazione dovrebbe dipendere solo da sottoformule
di ϕ
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Coerenza
Epilogo
Strutture
Una struttura per L è una coppia A = (A, [[·]]A ) tale che:
[[c]]A ∈ A
[[f ]]A ∈ A
[[R]]A
⊆
per ogni costante c ∈ L
An
An
per ogni simbolo di funzione n-ario f ∈ L
per ogni simbolo di relazione n-ario R ∈ L
Un’interpretazione delle variabili in A è una mappa ρ : Var → A.
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Coerenza
Epilogo
Interpretazioni: termini
Sia A = (A, [[·]]A ) una struttura per L e ρ un’interpretazione:
= ρ(x)
[[x]]A
ρ
[[c]]A
= [[c]]A
ρ
A
= [[f ]]A ([[t1 ]]A
[[f (t1 , . . . , tn )]]A
ρ , . . . , [[tn ]]ρ )
ρ
Per ogni termine t di L abbiamo [[t]]A
ρ ∈ A.
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Epilogo
Interpretazione delle formule
Sia A = (A, [[·]]A ) una struttura per L e ρ un’interpretazione; allora
[[ϕ]]A
ρ ∈ {vero, falso} è definita:
[[t = s]]A
ρ = vero
⇐⇒
A
[[t]]A
ρ = [[s]]ρ
[[R(t1 , . . . , tn )]]A
ρ = vero
A
[[⊥]]ρ = falso
⇐⇒
A
A
([[t1 ]]A
ρ , . . . , [[tn ]]ρ ) ∈ [[R]]
[[ϕ ∧ ψ]]A
ρ = vero
⇐⇒
A
[[ϕ]]A
ρ = [[ψ]]ρ = vero
[[ϕ → ψ]]A
ρ = vero
A
[[∀x ϕ]]ρ = vero
⇐⇒
⇐⇒
A
[[ϕ]]A
ρ = falso oppure [[ψ]]ρ = vero
[[ϕ]]A
ρ[x7→a] = vero per ogni a ∈ A
dove ρ[x 7→ a](x) = a, ρ[x 7→ a](y ) = ρ(y ) se y 6≡ x.
A
A
[[¬ϕ]]A
ρ = [[ϕ → ⊥]]ρ = vero ⇐⇒ [[ϕ]]ρ = falso
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Coerenza
Epilogo
Verità, validità, conseguenza logica
Sia ϕ una formula di L ed A una struttura per L:
1
ϕ è vera in A: A |= ϕ ⇐⇒ ∀ρ. [[ϕ]]A
ρ = vero
2
ϕ è valida: |= ϕ ⇐⇒ ∀A. A |= ϕ
Sia Γ = {ψ1 , ψ2 , . . .} un insieme di formule di L:
1
A soddisfa Γ: A |= Γ ⇐⇒ ∀ψi ∈ Γ. A |= ψi
2
ϕ è conseguenza logica di Γ: Γ |= ϕ ⇐⇒ ∀A. A |= Γ ⇒ A |= ϕ
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Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Interpretazione degli enunciati
Lemma
Sia ϕ una formula le cui libere sono incluse in x1 , . . . , xk , e A una
struttura per il linguaggio di ϕ; allora
A
∀1 ≤ i ≤ k ρ(xi ) = ρ′ (xi ) =⇒ [[ϕ]]A
ρ = [[ϕ]]ρ′
In particolare se ϕ è un enunciato allora
A
∀ρ, ρ′ . [[ϕ]]A
ρ = [[ϕ]]ρ′
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Modelli e correttezza
Teorema di correttezza
Γ ⊢ ϕ =⇒ Γ |= ϕ
Dim. Basta provare che ∆ ⊢ ϕ =⇒ ∆ |= ϕ dove ∆ è finito e con ∆ ⊢ ϕ si
intende che ∆ ⊢ ϕ sia la conclusione di una dimostrazione.
La prova è per induzione sulle dimostrazioni.
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Modelli e correttezza
Una struttura A è un modello di un insieme di enunciati Γ (in particolare
di una teoria T ) se A |= Γ.
Corollario
Se Γ è un’assiomatizzazione della teoria T allora per ogni struttura A per
il linguaggio di T :
A |= Γ ⇐⇒ A |= T
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Modelli e coerenza
Un insieme di enunciati Γ è coerente se per ogni formula ϕ
Γ 6⊢ ϕ oppure Γ 6⊢ ¬ϕ
equivalentemente se Γ 6⊢ ⊥.
Proposizione
Se Γ ha un modello allora Γ è coerente.
Sia A un modello di Γ; allora per il teorema di correttezza:
Γ ⊢ ⊥ =⇒
Γ |= ⊥
=⇒ A |= ⊥
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Modelli e coerenza
Lemma di esistenza del modello (Gödel, Henkin)
Se Γ è coerente allora Γ ha un modello.
Una dimostrazione (di Henkin) si basa sulla costruzione di un modello di
termini.
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Completezza
Teorema di completezza (Gödel 1930)
Γ ⊢ ϕ ⇐⇒ Γ |= ϕ
Γ |= ϕ =⇒ Γ ∪ {¬ϕ} non ha un modello
=⇒ Γ ∪ {¬ϕ} ⊢ ⊥
per il lemma
=⇒ Γ ⊢ ϕ
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per (RAA)
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
L’aritmetica di Peano PA (1899)
Il linguaggio LPA è definito:
una sola costante 0̄
simboli funzionali: ( )′ (il successore) e +, ×
Assiomi di PA:
1
∀x (0̄ 6= x ′ )
2
∀x ∀y (x ′ = y ′ → x = y )
3
∀x (x + 0̄ = x)
4
∀x ∀y (x + y ′ = (x + y )′ )
5
∀x (x × 0̄ = 0̄)
6
∀x ∀y (x × y ′ = (x × y ) + x)
7
[ϕ(0̄) ∧ ∀y (ϕ(y ) → ϕ(y ′ ))] → ∀x ϕ(x)
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(dove 0̄ 6= x ′ abbrevia ¬(0̄ = x ′ ))
Completezza e incompletezza
(per ogni ϕ(x))
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Incompletezza di PA
Una teoria T è completa se per ogni enunciato ϕ ∈ LT
T ⊢ϕ
oppure
T ⊢ ¬ϕ
Gödel ha dimostrato che PA è incompleta esibendo un enunciato in LPA :
def
G ⇐⇒ “G non è dimostrabile in PA”
e dunque
G è vera ⇐⇒ PA 6⊢ G
Gödel provò che
PA ⊢ G ⇐⇒ PA ⊢ ¬G
Dunque se PA è coerente G è vera, ma né G né ¬G sono teoremi di PA.
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Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Aritmetizzazione
Simbolo
⊥
∧
→
∀
=
(
)
,
0̄
′
+
×
xi
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codice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 + i
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Aritmetizzazione
ϕ ≡ ∀ x0 ( 0̄ = x0 ′ → ⊥ )
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
4 13 6 9 5 13 10 3 1 7
pϕq = p04 · p113 · p26 · p39 · p45 · p513 · p610 · p73 · p81 · p97
dove p0 = 2, p1 = 3, p2 = 5, . . . è l’enumerazione dei numeri primi.
pϕq si dice numero di Gödel di ϕ.
Se D è una dimostrazione di PA allora pDq è il suo numero di Gödel.
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Funzioni primitive ricorsive
L’insieme Pr delle funzioni primitive ricorsive su N si definisce:
1
S(n) = n + 1, Z (n1 , . . . , nk ) = 0 e Uik (n1 , . . . , nk ) = ni sono in Pr
2
se h, g1 , . . . , gm ∈ Pr allora f ∈ Pr dove
f (n1 , . . . , nk ) = h(g1 (n1 , . . . , nk ), . . . , gm (n1 , . . . , nk ))
3
se h, g ∈ Pr allora f ∈ Pr dove
g (n1 , . . . , nk )
(m = 0)
f (n1 , . . . , nk , m) =
h(n1 , . . . , nk , q, f (n1 , . . . , nk , q)) (m = q + 1)
P : Nk → {0, 1} è un predicato primitivo ricorsivo se P ∈ Pr.
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Funzioni primitive ricorsive
La somma è primitiva ricorsiva
+(n, 0) = U11 (n)
+(n, (m + 1)) = h(n, m, +(n, m))
dove h(n, m, p) = S(U33 (n, m, p)) onde h(n, m, +(n, m)) = S(+(n, m)),
ovvero
n+0=n
n + (m + 1) = (n + m) + 1
La moltiplicazione è primitiva ricorsiva
n×0=0
n × (m + 1) = (n × m) + n
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Funzioni primitive ricorsive
n
z}|{
′
Sia S un’estensione di PA. Abbreviamo n̄ ≡ 0̄ · · · .
′
Proposizione
Esistono la funzione prim. ric. Subst ed i predicati prim. ric. FormS , NegS
e DimS t.c.:
1
Subst(pϕ(x)q, pxq, n) = pϕ(n̄)q
2
FormS (n) = 1 ⇐⇒ n = pϕq per qualche formula ϕ ∈ LS
3
NegS (n, m) = 1 ⇐⇒ n = pϕq & m = p¬ϕq per qualche ϕ ∈ S
4
DimS (pϕq, pDq) = 1 se e solo se D è una dimostrazione di ϕ in S
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Il metodo assiomatico
Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Rappresentabilità
Il predicato P : Nk → {0, 1} è rappresentabile in PA se esiste una
formula ψ(x1 , . . . , xk ) ∈ LPA le cui libere sono x1 , . . . , xk t.c. per ogni
n1 , . . . , nk ∈ N
P(n1 , . . . , nk ) = 1 =⇒ PA ⊢ ψ(n̄1 , . . . , n̄k )
P(n1 , . . . , nk ) = 0 =⇒ PA ⊢ ¬ψ(n̄1 , . . . , n̄k )
Proposizione
Ogni predicato P ∈ Pr è rappresentabile in PA (e dunque in tutte le sue
estensioni).
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Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Primo teorema di incompletezza
Il predicato WS (m, n) definito da:
def
WS (m, n) = FormS (m) & DimS (Subst(m, pxq, m), n)
è primitivo ricorsivo e tale che
WS (pϕ(x)q, pDq) = 1 ⇐⇒
D
è una dim. in S
ϕ(pϕ(x)q)
Dunque esiste una formula W(x, y ) ∈ LS tale che per ogni m, n ∈ N:
WS (m, n) = 1 =⇒ S ⊢ W(m̄, n̄)
WS (m, n) = 0 =⇒ S ⊢ ¬W(m̄, n̄)
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Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Primo teorema di incompletezza
Siano m = p∀y ¬W(x, y )q e GS ≡ ∀y ¬W(m̄, y ).
GS è vera ⇐⇒ S 6⊢ GS
S ⊢ GS
=⇒ ∃k ∈ N. k = pDq & D :: S ⊢ ∀y ¬W(m̄, y )
=⇒ ∃k ∈ N. WS (m, k) = 1
=⇒ ∃k ∈ N. S ⊢ W(m̄, k̄)
Ma
S ⊢ ∀y ¬W(m̄, y ) =⇒ S ⊢ ¬W(m̄, k̄)
contraddicendo la coerenza di S. Dunque:
S coerente =⇒ S 6⊢ GS
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Primo teorema di incompletezza
S è ω-coerente se
∀n ∈ N. S ⊢ ϕ(n̄) =⇒ S 6⊢ ∃x ¬ϕ(x)
Osserviamo che
S ω-corente =⇒ S coerente
perché altrimenti se S è incoerente
S ⊢ϕ
per ogni ϕ ∈ LS
e quindi in particolare avremmo
S ⊢ ∃x ¬ϕ(x)
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Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Primo teorema di incompletezza
Sia S ω-coerente
S ⊢ ¬GS =⇒ S ⊢ ¬∀y ¬W(m̄, y ) =⇒ S ⊢ ∃y W(m̄, y )
Ma
S ⊢ ¬GS
=⇒ S 6⊢ ∀y ¬W(m̄, y )
S coerente
=⇒ ∀n ∈ N. WS (m, n) = 0
=⇒ ∀n ∈ N. S ⊢ ¬W(m̄, n̄)
=⇒ S 6⊢ ∃y ¬¬W(m̄, y )
=⇒ S ⊢
6 ∃y W(m̄, y )
S ω-coerente
Contraddizione! Dunque S 6⊢ ¬GS
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Teorie formali
Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Primo teorema di incompletezza
Teorema (Gödel 1931)
Sia S un’estensione di PA, allora esiste un enunciato GS ∈ LS tale che:
1
se S è coerente allora S 6⊢ GS
2
se S è ω-coerente allora S 6⊢ ¬GS
Rosser (1936) ha dimostrato che per ogni estensione coerente S di PA
esite un enunciato RS tale che S 6⊢ RS e S 6⊢ ¬RS .
Sia S ′ = {χ ∈ LS | S ∪ {GS } ⊢ χ}; allora S ′ ⊢ GS ed è un’estensione
coerente di PA; ma allora esistono un predicato primitivo ricorsivo WS ′
definibile in S ′ ed un enunciato GS ′ tale che S ′ 6⊢ GS ′ e S ′ 6⊢ ¬GS ′
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Incompletezza versus completezza
Sia m = p∀y ¬W(x, y )q e N il modello standard di PA, allora
N |= ∀y ¬W(m̄, y ) ⇐⇒ S 6⊢ ∀y ¬W(m̄, y )
Per il teorema di completezza
S 6⊢ ∀y ¬W(m̄, y ) =⇒ S 6|= ∀y ¬W(m̄, y )
quindi esiste un modello M di S tale che
M 6|= ∀y ¬W(m̄, y ) ovvero
M |= ∃y W(m̄, y )
Dunque M è un modello non standard (e PA non è ω-categorica).
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Secondo teorema di incompletezza
δ(x, y ) rappresenti DimS e ν(x, y ) rappresenti NegS
ConS ≡ ∀x ∀y ∀v ∀z ¬(δ(x, y ) ∧ δ(v , z) ∧ ν(x, v ))
Allora ConS è vera se e solo se S è coerente.
Nella prova del primo teorema di incompletezza abbiamo stabilito che
S coerente =⇒ S 6⊢ GS
ma anche
S 6⊢ GS ⇐⇒ GS
Dato che la prova usa gli assiomi di PA (e dunque di S) e la logica, esiste
una prova formale di
S ⊢ ConS → GS
Ma allora
S ⊢ ConS =⇒ S ⊢ GS
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Modelli
Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
Secondo teorema di incompletezza
Secondo teorema di incompletezza (Gödel 1931)
Se S è un’estensione coerente di PA allora non è possibile dimostrare in S
la coerenza di S.
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Coerenza
Epilogo
Dimostrazioni di coerenza di PA
Gentzen (1936, 1938)
Shütte (1951)
Lorenzen (1951)
Hlodovskii (1959)
...
Per il Secondo teorema di incompletezza tutte fanno uso di principi non
aritmetici.
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Incompletezza di PA
Coerenza
Epilogo
La verità non è aritmetica
Una relazione R ⊆ Nk è aritmetica se esiste ϕ(x1 , . . . , xk ) ∈ LPA tale che:
(n1 , . . . , nk ) ∈ R ⇐⇒ PA ⊢ ϕ(n̄1 , . . . , n̄k )
Teorema di Tarski (1933)
Sia S un’estensione coerente di PA e sia
Sb = {pϕq | ϕ enunciato in LS & N |= ϕ}
allora il predicato n ∈ Sb non è aritmetico.
Supposto che lo sia si definisce una formula TS tale che
TS ⇐⇒ pTS q 6∈ Sb
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Coerenza
Epilogo
Funzioni ricorsive
Le funzioni ricorsive parziali si ottengono aggiungendo agli schemi per le
prim. ric. lo schema di minimalizzazione:
(
min{m | g (n1 , . . . , nk , m) = 0} (*)
f (n1 , . . . , nk ) =
indef.
altrimenti
(*) se m esiste e se g (n1 , . . . , nk , m′ ) è def. per ogni m′ < m
Una funzione/predicato è ricorsiva/o se ricorsiva parziale e definita
ovunque (dunque totale).
Teorema di rappresentazione
Tutti i predicati ricorsivi sono rappresentabili in PA.
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Coerenza
Epilogo
Indecidibilità di PA
Teorema di Church (1936)
Sia S un’estensione coerente di PA e sia
S̃ = {pϕq | ϕ enunciato in LS & S ⊢ ϕ}
allora il predicato n ∈ S̃ non è ricorsivo.
Se il pred. n ∈ S̃ è ricorsivo, allora è rappresentabile con una formula θ(x)
CS ⇐⇒ ¬θ(pCS q)
onde
S ⊢ CS ⇐⇒ S ⊢ ¬θ(pCS q) ⇐⇒ S 6⊢ CS
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Coerenza
Epilogo
stat rosa pristina nomine, nomina nuda tenemus
Umberto Eco da Bernardo Morliacense, XII sec.
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Riferimenti bibliografici
D. van Dalen, Logic and Structure, Springer 1994.
E. Mendelson, Introduzione alla logica matematica, Boringhieri 1981.
J.R. Shoenfield, Logica matematica, Boringhieri 1980.
H.D. Ebbinghaus, J. Flum e W. Thomas, Mathematical Logic, Springer
1989.
E. Nagel e J.R. Newman, La prova di Gödel, Boringhieri 1974.
P. Odifreddi, Divertimento geometrico. Le origini geometriche della logica
da Euclide a Hilbert, Boringhieri 2003.
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