Teoria matematica dei nodi

Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di
stringa
(connessioni con i numeri di Fibonacci, di Lie e i numeri
di partizione)
Parte Prima
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Gruppo “B. Riemann”
Abstract
In this paper we show some possible connections between
knot theory and string theory, based on Fibonacci’s numbers,
Lie numbers and partition of numbers.
Riassunto
Qui mostriamo qualche possibile relazione tra la teoria di
stringa e teoria matematica dei nodi, tramite la comune
connessione con i numeri di Fibonacci , di Lie e i numeri di
partizione
°°°°°°°°°°
Sul sito del quotidiano “Il sole -24 ORE”
www.ilsole24ore.com/art/...10.../nodi-stringhe-fisica-085759_PRN.shtml
si parla
1
della teoria dei nodi in fisica, e anche sull’edizione cartacea
del 20.10.2013 c’è un articolo di Umberto Bottazzini, “ Nodi
e stringhe della fisica”, con una lezione a Milano del fisico
Edward Witten, noto studioso delle stringhe, e reperibile sul
web alla omonima voce su Google. Incuriositi dalla notizia
per il nostro interesse circa le teorie di stringa con la quale
la teoria dei nodi sembra interconnessa, e con il sospetto
che c’entrassero in qualche modo i numeri di Fibonacci (e
poi anche i numeri di Lie e le partizioni di un numero),
abbiamo trovato un documento adatto al nostro scopo, e
che riportiamo integralmente:
Nodo nell'Enciclopedia Treccani
www.treccani.it › Enciclopedia
avendovi trovato un sia pur timida connessione con i numeri di
Fibonacci (e le partizioni di un numero n), già trovati anche nelle
teorie di stringa. Evidenziamo in rosso tale possibile connessione
(e in blu un riferimento alla classificazione completa), che poi
vedremo meglio in apposita tabella.
“…
2. Teoria dei nodi
In topologia, studia le proprietà geometriche, in particolare i gruppi di omotopia dell’insieme
complementare in R3, di un o circuito annodato , ossia di una curva semplice chiusa non riducibile
con deformazione continua a una circonferenza (n. banale ). Tutti i n. sono omeomorfi tra loro,
tuttavia a causa della diversa maniera con cui si immergono in R3 essi vengono classificati in tipi di
n. equivalenti o dello stesso tipo, che si possono cioè corrispondere mediante un omeomorfismo. La
proiezione ortogonale su un piano permette di classificare i diversi tipi di n.: ne esistono un solo
tipo per i n. con 3 o 4 autointersezioni (sul piano), 2 e 3 tipi per quelli con 5 o 6
autointersezioni, 7 e 21 per quelli con 7 o 8 autointersezioni rispettivamente (in fig. 2 sono dati
alcuni esempi). Tuttavia, anche se è stato possibile distinguere i vari tipi con al massimo 10
autointersezioni, una classificazione completa di tutti i possibili casi è tuttora sconosciuta. A
partire dagli anni 1980, la teoria dei n. ha mostrato, oltre al notevole interesse intrinseco, un numero
sempre crescente di punti di contatto con svariate problematiche della fisica. Ciò non sorprende, se
si considera che la teoria dei n. ha avuto origine proprio da un problema di fisica. Nel 19° sec. lord
Kelvin ideò una teoria, la cosiddetta teoria degli atomi vortice, in cui gli atomi erano considerati
come mulinelli (vortici) nell’etere (onnipervasivo substrato fluido dello spazio a tre dimensioni).
Kelvin immaginava questi mulinelli come anelli di fumo che fossero annodati individualmente ed
eventualmente l’uno con l’altro a formare le molecole. Questa teoria coinvolse alcuni matematici in
un progetto per la compilazione di tavole di tutti i n. topologicamente distinti. La teoria degli atomi
2
vortice scomparve quando la teoria di Einstein della relatività speciale e i risultati dell’esperimento
di Michelson-Morley mostrarono che lo ‘spazio vuoto’, qualunque ne fosse la natura, non poteva
essere considerato analogo a un fluido onnipervasivo.
La correlazione tra la teoria dei n. e la fisica moderna fu stabilita all’inizio degli anni 1980, quando
L.H. Kauffman riuscì a trovare il modo di descrivere il polinomio di Alexander (e più tardi il
polinomio di Jones) nella forma di una funzione di partizione della meccanica statistica, e V. Jones
scoprì invarianti del tutto nuovi di n. e link (un link è l’unione di un numero finito di n. che non
abbiano tratti di corda in comune), direttamente correlati a problemi di meccanica statistica. Pochi
anni più tardi, E. Witten mostrò come tutte queste costruzioni potessero essere comprese in termini
di teoria quantistica dei campi, dando con ciò origine al nuovo settore di studio riguardante la
topologia quantistica e la teoria topologica dei campi quantizzati.”
Come possiamo notare facilmente , tutte le coppie di numeri
segnati in rosso riguardano uno dei numeri di Fibonacci
2,3,5,8,21 (non figura però il numero 13)
Ma con la voce d Wikipedia “Nodo primo”, troviamo la seguente
tabella:
“I nodi primi più semplici
I nodi primi sono generalmente descritti tramite diagrammi, con ordine crescente di incroci. Il nodo
primo più semplice in questa descrizione è il nodo a trifoglio con 3 incroci, seguito dal nodo a otto
con quattro incroci. La tabella seguente mostra il numero di nodi primi con incroci.
1 2 3 4 5 6 7
Numero di nodi primi con
8
9
10
incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165
Dove si nota la connessione con la nostra tabella riepilogativa,
infatti 8 è il numero di incroci (autointersezioni) è connesso a 21,
numero di nodi primi, con 8 e 21 numeri di Fibonacci; per 9
incroci si hanno 49 nodi, e con 10 incroci si hanno 165 nodi. La
connessione con Fibonacci da noi ipotizzata si allenta sempre più
(49 non è numero di Fibonacci e nemmeno 165)
3
TABELLA 2
Tipi
1
2e3
7 e 21
49
Autointersezioni Numeri di
(incroci)
Fibonacci in
numero di nodi
o
immediatamente
precedenti
3 o 4
1
5 o 6
2e3
7 o 8
7 ≈8 e 21
9
34
165
10
Numero di
nodi
144
Numeri di
Fibonacci in
numero di
nodi o
differenze
3
5
8
49-34 = 15≈
13
165-144= 21
Ora possiamo creare una nuova tabella, TABELLA 3, con i
rapporti successivi tra numero di nodi e numero di incroci, per
vedere l’andamento medio della loro crescita:
4
TABELLA 3
Numero di nodi
N(n)
Numero di incroci n Rapporti successivi
0
0
1
1
2
3
7
21
49
165
≈ 435 ?
≈ 1188 ?
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
…
r = N(n) /n
0,33
0,25
0,4
0,5
1
2,62
5,44
16,5
39,6 ? Vedi sotto
99 ?
…
Notiamo che a partire da Nn = n = 7, il rapporto raggiunge e poi
supera l’unità, e poi cresce mediamente e proporzionalmente a
circa 2,4*r
val. stimati
Infatti 1*2,4
= 2,4
valori reali
≈ 2,65 = r
2,65 * 2,4
= 6,36 ≈ 5,44 = r
5,44*2,4
= 13,05 ≈ 16,5 = r
16,5*2,4
= 39,6 ≈ ? valore reale di r
41,25 *2,4 =
99
≈ ? valore reale di r
5
Dai quali si risale ad N(n) per n = 11 ed n = 12, moltiplicandolo
per 11 e 12, ottenendo i valori stimati N(n) ≈ 435 e ≈ 1188
rispettivamente per n =11 ed n =12.
Ma lasciamo per un momento la serie Fibonacci, e passiamo alle
partizioni, poiché la serie dei numeri Nn, numero dei nodi,
somiglia stranamente alla serie numerica dei numeri di partizione
p(N), e cioè N(n) ≈ p(n). Confrontiamo le due colonne fino ad n =
10
Numero di nodi primi con
incroci
1 2 3 4 5 6
7
8
9
0 0 1 1 2 3
7
21 49 165
Numero di partizioni fino ad n = 10 1 1 2 3 5 7 11 15 22
10
30
Tale somiglianza si limita fino ad n = 8, poi le due serie si
allontanano per n = 9 per n =10
Per i valori successivi, 11 e 12, abbiamo i valori stimati 435 e
1188 che come valori di partizioni, abbiamo 435 come circa media
aritmetica tra i numeri di partizione 385 e 490, infatti:
(385+490)/2 = 875/2 = 437,5 ≈ 435 valore stimato per n = 11.
Idem per 1188, come media tra 1002 e 1255, infatti (1002 +
1255)/2 = 2257/2 = 1128 ≈ 1188 valore stimato per n = 12.
Ma anche i valori precedenti di N(n) possono approssimarsi a
medie aritmetiche di numeri di partizioni:
49 = (42 + 56)/2 = 98/2 = 49
165 = (135 + 176)/2 = 311/2 = 155,5 ≈ 165
6
Ma anche i numeri N(n) precedenti più piccoli possono essere
media di numeri di partizione
Numero di nodi primi con
incroci
1 2 3 4 5 6
7
8
9
0 0 1 1 2 3
7
21 49 165
Numero di partizioni fino ad n = 10 1 1 2 3 5 7 11 15 22
10
30
Vedi lista seguente con le coppie dei numeri di partizioni in blu
interessati alle medie aritmetiche, sebbene 1, 2, e 3 e 7 sono essi
stessi numeri di partizione
1 = (1+1)/2 = 1
2 = (2+3)/2 = 5/2 = 2,5 ≈ 2 ≈
3 =(2+3)/2 = 5/2 = 2,5 ≈ 3
7=(5+7)/2 = 12/2= 6 ≈ 7
21 = (15+30)/2 = 45/2 = 22,5 ≈ 21
Per 49 e 165 vedi sopra
Praticamente, una coppia si e una coppia no da origine ad una
media che è molto vicina ad un numero N(n)
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490,
627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349,
10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338, 44583, 53174, 63261,
75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525
7
La prossima coppia, per n = 13 incroci, dovrebbe essere 2436 e
3010 con media (2436 + 3010)/2 = 5446 = 2723, invece
99*2,4*13 = 3088, che molto vicino a 3010 numero di partizione:
per n = 14, avremo 99*2,4*2,4 *14 = 7983,36 ≈ (6842 +8349)/2
= 15191/2 = 7595,5, si ritorna ad una media aritmetica, ma con
una coppia non più alternata.
Ne possiamo dedurre che i numeri N(n) hanno una curva
logaritmica simile a quella delle partizioni, solo che i suoi
valori, tranne quelli iniziali 1, 2, 3, 7, sono molto spesso circa
una media di due numeri di partizioni consecutivi, ma i valori di n
incroci di N(n) ed n di p(n) partizioni non coincidono
perfettamente, e si presenta il problema di connetterli;
chiamiamoli rispettivamente n ed n’, e cerchiamo la possibile
connessione, anche per trovare il modo di andare a ritroso:
ponendo n il numero degli incroci, risalire al numero di nodi che
abbiano n incroci ciascuno, allo scopo di trovare una via, sia pure
approssimativa, alla classificazione completa dei nodi.
Per esempio, vogliamo sapere quanti sono , approssimativamente,
i nodi con 13 incroci. Lo abbiamo stimato in 3088, molto vicino al
numero di partizione 3010, con n’ = 27, poiché 3010 è il
27°numero di partizione
0 0 1 1 2 3 7 21 49 165
8
. A000041 as a simple table
n
a(n)
0
1
1
1
2
2
3
3
4
5
5
7
6
11
7
15
8
22
9
30
10
42
11
56
12
77
13
101
14
135
15
176
16
231
17
297
18
385
19
490
20
627
21
792
22
1002
23
1255
24
1575
25
1958
26
2436
27
3010
28
3718
29
4565
30
5604
31
6842
32
8349
33
10143
34
12310
35
14883
36
17977
37
21637
38
26015
39
31185
9
40
37338
41
44583
42
53174
43
63261
44
75175
45
89134
46
105558
47
124754
48
147273
49
173525
E ora si ritorna ai numeri di Fibonacci o loro medie, poiché n’ di
p(n’) , prima colonna della lista OEIS, costeggia la serie di
Fibonacci 1,2,3,5 8, 10 ≈13, 22≈21, 27 media 27,5 tra 21 e 34,
31≈34, e così via. Per n = 13 incroci, se la nostra stima risultasse
esatta, n’ di n’(p) dovrebbe essere circa 27 come media tra 21 e
34.
Vediamo ora un confronto tra n incroci e ed n’ di partizioni
10
TABELLA 4
n di N(n)
(numero di incroci)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
…
n’ di p(n)≈ Fibon.
corrispondente
0
0
0
1
1
2
3
5
8
10 ≈ media 8 e 13
14≈13
18 ≈ media 13 e 21
22≈ 21
27 ≈ media 21 e 34
31≈ 34
…
N(n)
reale e stimato
0
0
0
1
1
2
3
7
21
49
165
435?
1188?
3088?
7983?
…
Il rapporto n’/n cresce lentamente da 1 per i primi numeri, a 2,21
tra 31 e 14, per cui è poco utile per essere utilizzato al fine di
trovare n di N(n) a partire da un numero di Fibonacci o una loro
media (con una curva grafica si potrebbe fare di meglio). Ma
potrebbe essere utile il rapporto n’/n
11
TABELLA 5
n’ connesso alle
partizioni
0
0
1
1
2
3
5
8
10
14
18
22
27
31
n incroci
n’/n reale o stimato
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
36
41
…
15
16
…
0,33
0,25
0,40
0,50
0,71
1
1,11
1,4
1,63
1,83
2,07
2,21
Osservazione: la
parte decimale
cresce mediamente
di 0,2
2,4 ?
2,6?
…
Potrebbe essere utile anche l’inverso: ad un numero di Fibonacci
f o una loro media f’ , è il f-esimo numero di partizione, al quale
corrisponde un numero approssimativo N(n) di numero di nodi
con n incroci, e trovando n nel possibile grafico dei rapporti n’/n .
Abbiamo n ≈ f /r, n ≈ f’/r . Se per esempio prendiamo 31
numero prossimo al numero 34 di Fibonacci, troviamo nella lista
OEIS sopra riportata che il 31° numero di partizioni è 6842
12
( N(n) stimato ) vicino ad un N(n) più preciso, 7983 ,
corrispondente a n = incroci, 14 , corrispondente al rapporto
31/2,21 , infatti n = f/r = 31/2.21 = 14,02 ≈ 14 dei rapporti n’/n.
Per l’osservazione in tabella, il prossimo rapporto sarebbe 2,4, che
per 15 fa 36, il 36° numero di partizione è 17977numero prossimo
o come media con il successivo 21637, e quindi (17977+ 21637)/2
= 39614/2 = 19807 circa il numero di nodi con 15 incroci.
Facciamo un esempio con numeri reali. Prendiamo il numero di
Fibonacci n’= 13. Il 13° numero di partizione è 101. Poiché nella
curva dei rapporti 13 si trova a circa 1,3, dividendo 13/1.3
abbiamo 10 , corrispondente a N(n) = 165 valore reale. Altro
esempio di problema pratico: vogliamo sapere quanti sono i nodi
N(n) con n = 16 incroci. Moltiplichiamo 16 *2.6 = 41.6 (con 2.6
dalla tabella per r), e otteniamo 41,6 = compreso tra 41 e 42. Il
41° numero di partizione è 44583, il 42° è 53174 (da tabella
OEIS). Probabilmente, N(16) sarà compreso tra tali due numeri ,
o vicino alla loro media (44583 + 53174) /2 = 97757/2 = 48878, 5.
Non è molto per una classificazione completa dei nodi (numeri di
nodi con n incroci), ma potrebbe essere un primo tentativo,
seppure non ancora deterministico ma solo probabilistico, in tal
senso. La connessione con le partizioni p(n) è dovuta al fatto che
esse sono tutti i possibili modi in cui un numero intero n può
essere scritto come somma di numeri più piccoli; mentre il numero
di nodi N(n) sono tutti i possibili nodi con un numero n di incroci
. Come abbiamo visto, tali numeri N(n) sono essi stessi numeri di
partizioni, come 1, 2, 3, 7, o prossimi alla media tra due numeri di
partizioni. Solo che il problema dei nodi è un po’ più difficile,
poiché mentre per le partizioni ci sono già formule
deterministiche, per il numero di nodi N(n) con n incroci ancora
non ce ne sono. Questo lavoro potrebbe aiutare i matematici in tal
senso, e in caso di successo, ne seguiranno possibili miglioramenti
nelle teorie di stringhe.
13
Qui il confronto, interessante, a conferma di quanto sopra, con i
numeri di Fibonacci, di Lie e soprattutto, dei numeri di partizioni:
Numero di nodi N(n) con l’equazione preferita dalla natura
n2 + n + 1
che dà i numeri di Lie, molto vicini ai numeri di Fibonacci e ai
numeri di partizione. Numero di nodi in rosso
1 2 3 4 5 6 7
Numero di nodi primi con
8
9
10
incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165
TABELLA 6
Fibonacci
1
1
2
3
5
8≈7
13
21
34
55
Numeri di Lie
1
89
144
91
133
233
…
240
…
3
7
13
21
31
57
14
Numero di partizioni
1
1
2
3
5
7
11, 15
22 ≈ 21
30
42, 56 media
(42+56)/2= 49
77, 101
135, 176 media
(135+176)/2 =
155,5 ≈ 165
231
…
Come vediamo, tutti i primi numeri noti di N(n), numero di nodi
per n incroci, coincidono, o sono vicinissimi, o sono medie di
numeri di partizioni (e, in misura minore, anche ai numeri di
Fibonacci e ai numeri di Lie). Ampliando ancora la tabella, sarà
così anche per i successivi numeri di nodi con n incroci che
saranno scoperti e contati in futuro.
Questa è la nostra ipotesi di base, che connette la teoria dei nodi
alle partizioni e , più in generale, alle teorie di stringa, come si
accenna nell’intervita ad Eward Witten citata all’inizio. Il modo
in cui cresce il numero di nodi N(n) al crescere degli incroci n,
potrebbe essere utile ad approfondire la relazione tra la teoria
matematica dei nodi e le teorie di stringa.
Conclusioni prima parte
Constatata la suddetta evidente relazione tra tipi di nodi e serie di
Fibonacci F(n), dei numeri di Lie e delle partizioni di numeri
p(n), tramite formule e varie tabelle, soprattutto la Tabella 6
finale, lasciamo agli esperti di fisica e matematica delle stringhe
e della teoria dei nodi la classificazione completa di tutti i
possibili casi, che potrebbe essere facilitata in qualche modo dalle
nostre Tabelle.
Per inciso, vogliamo qui ricordare che abbiamo scoperto come
cresce il numero di partizioni p(n) al crescere di n: il rapporto tra
un numero di partizioni p(n) e il numero di partizioni precedente
p(n-1) è sempre più piccolo, e tende a 1 al crescere di n; il che
significa che p(n) cresce sempre più lentamente al crescere di n:
p(n) / (pn-1) → 1 per n → ∞
Invece per i numeri N(n) il rapporto successivo tra due numeri
consecutivi è di circa, mediamente, 2,36
15
N(n)
N(n-1)
1
2
3
7
21
49
165
435
1188
3088
7983
1
1
2
3
7
21
49
165
435
1188
3088
r =N(n) / N(n-1) da
1 in poi
1
2
1,5
2,3
3
2,33
3,36
2,63
2,73
2,59
2,58
Media degli ultimi valori (stimati) 2,63; media totale 2,36;
rapporto 2,718/2,36= 1,1516 ≈ 2,718 = 1,13
8
Quindi sembra essere coinvolto in qualche modo il numero e =
2,718, frequente in molte formule di fisica.
Approfondiremo la cosa in eventuali nuovi lavori sull’argomento
16
Riferimenti
Tutti gli articoli recenti sul nostro sito che riguardano la teoria
di stringa e la successione di Fibonacci come “L’equazione
preferita dalla natura”, ecc.
1) Wikipedia “Teoria dei nodi”
La teoria dei nodi è una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si occupa
di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. La teoria ha applicazioni in fisica
subatomica, chimica supramolecolare e biologia.
Fregio del cancello del dipartimento di matematica di Cambridge.
Per i suoi stretti legami con lo studio delle varietà di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei nodi
è spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.
2) Wikipedia “Nodo primo”
17
I nodi primi più semplici
I nodi primi sono generalmente descritti tramite diagrammi, con ordine crescente di incroci. Il nodo
primo più semplice in questa descrizione è il nodo a trifoglio con 3 incroci, seguito dal nodo a otto
con quattro incroci. La tabella seguente mostra il numero di nodi primi con incroci.
1 2 3 4 5 6 7
Numero di nodi primi con
8
9
10
incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165
3) Nodi e stringhe della fisica sul sito de Il Sole 24 Ore, dal
quale riportiamo brevemente
Ancora nelle più avanzate regioni di confine tra matematica e fisica, nella interazione tra teoria dei
quanti, teoria delle stringhe e teoria matematica dei nodi si collocano le sue ricerche più
recenti. Un nodo è un oggetto familiare e a prima vista non sembra offrire argomento di interesse
matematico. Umberto Bottazzini - Il Sole 24 Ore - leggi su http://24o.it/hfOqI
Teoria dei nodi.
Parte seconda.
Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero, Francesco Di Noto
Abstract
In this second part we show other observations about Knot’s Theory
18
Riassunto
In questa seconda parte approfondiremo il nostro precedente
lavoro (Rif. 1)
°°°°°°°°°°°°
Unificando le liste dei vari numeri potenzialmente connessi
con N(n), numeri di nodi con n incroci, abbiamo la seguente
tabella generale, seguita da nostre nuove osservazioni rispetto
al nostro precedente lavoro (“Teoria matematica dei
nodi”, Rif. 1)
TABELLA 1
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
Numero N(n) di nodi primi con
incroci 0 0 1
1
2
3
7
21 49 165
Numeri di Fibonacci
0 1 1
2
3
5
8
13 21
34
Numeri di partizioni
1 1 2
3
5
7
11 15 22
30
1 3 7 13 21 31 43 57 73
91
Numeri di Lie
Come vediamo, inizialmente le tre serie sono molto vicini, e connessi
alla formula della geometria proiettiva n^2 + n +1 che da i numeri di
Lie 1 3 7 13 21 31 43 57, in cui 3, 7, 21 sono anche numeri N(n)
Vedi lavori precedente (Rif. 1)
Vediamo ora con la piramide dei numeri (alla base dell’equazione
19
preferita dalla natura) , con i numeri N(n) in rosso)
1
2
4
7
3
5
8
6
9
10
11 12 13 14
16
15
17 18 19 20 21
1,3,7,21 sono numeri di Lie, ma non lo sono poi 49 e 165
I numeri di Fibonacci sono in verde
1
2
4
7
3
5
8
6
9
10
11 12 13 14
16
15
17 18 19 20 21
20
I numeri di partizione sono in blu
1
2
4
7
3
5
8
6
9
10
11 12 13 14
16
22
15
17 18 19 20 21
23
29 30
24 25 26 27
31
28
32 33 34 35
36
Per i numeri di Lie, in lilla , abbiamo questa piramide
1
2
4
7
3
5
8
6
9
10
11 12 13 14
16
15
17 18 19 20 21
21
22
23
29 30
37 38
24 25 26 27
31
39
28
32 33 34 35
40
41 42 43
36
44
45
Come vediamo, nelle quattro piramidi di numeri consecutivi sono
ovviamente compresi i vari numeri interessati, ma in una posizione
preferenziale verso il lati esterni, più raramente verso l’interno.
Più significativa e utile invece la piramide dei numeri dispari, con la
verticale centrale contenente i quadrati dispari 1, 9, 25, mentre i
quadrati Pari sono medie dei due numeri centrali, per es.
16 = (15+17)/2
1
3
7
13
21
31
43
5
9
15
23
11
17
25
33 35
45
47
19
27
37
49
29
39
51
41
53
55
In questa piramide, i numeri N(n) dispari, in rosso sono inizialmente
tutti sulla diagonale sinistra, tranne il 49 quadrato perfetto, si trova
sulla verticale centrale. Per i primi, tranne 49, i numeri N(n) sono
22
quindi della forma n’^2 +n +1 per n’ = 0, 1, 2, 4. Per 49, abbiamo
solo 7^2 quadrato perfetto, Per 165, invece abbiamo n’ =12, poichè
12^2+12 +1 = 144 +12 +1 =157, prossimo a 165, con differenza
165 - 157 = 8. Ma n’ =12, mentre n di N(n) = 10
I vari n’ sono quindi 0, 1 ,2, 3, 4, 7, 12
La successione 0, 1, 2, 3, 4, 7 , 12 costeggia da vicino la serie di
Fibonacci, con 4, 7 e 12 differenti di una sola unità con numeri di
Fibonacci, infatti 4 = 5 - 1, 7 = 8 - 1, 12 = 13 - 1
Potrebbe essere questa una relazione dei numeri di nodi N(n) con i
numeri di Fibonacci , da approfondire quando si conosceranno
esattamente i futuri numeri N(n). Per la relazione con le partizioni di
numeri vedi Rif. 1, il nostro lavoro precedente, dove abbiamo visto che
essi sono connessi al n’ – esimo numero di partizioni ,
N(n) ≈ n’- esimo numero di partizione, o ad una media tra questo e il
successivo, per esempio 49 in modo esatto e 165 in modo
approssimativo.
49 è anche quasi la media tra i due numeri di Lie 43 e 57. infatti
(43+57)/2 = 50 = 49 +1, con 43 e 57 rispettivamente 7° e 8° numero di
Lie. 49 è il 9° numero di nodi, mentre è la media perfetta del 10° e
dell’11° numero di partizione, e cioè di 42 e 56, molto vicini ai numeri
di Lie 43 e 57.
10 42
23
11 56
(estratto dalla lista OEIS dei numeri di partizioni).
Facendo la media tra 7, 8, 10 e 11, abbiamo n = 9 per cui 49 è il
numero di nodi per n = 9 incroci.
Ma per numeri maggiori di nodi tale tentativo non funziona però
molto bene. Circa la vicinanza dei numeri N(n) a numeri di Fibonacci,
di Lie e soprattutto partizioni di numeri, osserviamo le parti decimali
de i numeri N(n) , in quanto quella dei numeri di Fibonacci tende, sia
pure irregolarmente, a 0,40, quella di Lie a 0,50 e quella dei numeri di
partizioni a 0,60, il che significa che tutti e tre i tipi di numeri si
trovano quasi tutti nella fascia centrale (dal 40% al 60%) degli
intervalli tra due quadrati successivi, fascia evidentemente preferita
dalla Natura per scegliere i numeri con i quali regola i suoi fenomeni
vedi “L’equazione preferita dalla Natura” sul nostro sito).
TABELLA 2
N(n) fino ad n =10:
0 0 1 1 2 3 7 21 49 165
N(n)
0
0
1
1
2
√N(n)
0
0
1
1
1,41
Osservazioni
24
3
5
7
21
49
165
…
1,73
2,23
2,64
4,58
7,00 (= 1, per 6^2=36)
12,84
…
> 0,50
> 0,50
> 0,50
> 0,50
…
La media a partire da 1,41, è la seguente:
(0,41+0,73+0,23+0,64+0,58 + 1 + 0,84 = 4,43 /7 = 0,63, maggiore di
0,60 e quindi leggermente maggiore della media 0,60 per i numeri di
partizioni, e quindi una nuova possibile connessione con questi
numeri: i numeri N(n) dei nodi con n incroci sono leggermente più
grandi dei numeri di partizioni p(n).
Ulteriori tabelle con nuovi numeri N(n) reali per n > 10
confermeranno tale tendenza , sottolineando ancora la connessione dei
numeri di nodi con n incroci e le partizioni di numeri, anche questi
presenti in natura come i numeri di Fibonacci e i numeri di Lie (questi
presenti nel numero di dimensioni dei gruppi di simmetria importanti
in fisica e nel Modello Standard).
Riportiamo la tabella finale del
Rif. 1, leggermente modificata, per
ricordare tale possibile relazione, emersa già con i soli primi dieci
valori già noti di N(n):
25
TABELLA 6
Fibonacci
1
1
2
3
5
8≈7
13
21
34
55
Numeri di Lie
1
3
7
13
21
31
57
89
144
91
133
233
…
240
…
Numero di partizioni
1
1
2
3
5
7
11, 15
22 ≈ 21
30
42, 56 media
(42+56)/2= 49 > 42
77, 101
135, 176 media
(135+176)/2 =
155,5 ≈ 165 > 135
231
…
Come vediamo, tutti i primi numeri noti di N(n), numero di nodi
per n incroci, coincidono, o sono vicinissimi, o sono medie di
numeri di partizioni (e, in misura minore, anche ai numeri di
Fibonacci e ai numeri di Lie). Ampliando ancora la tabella, sarà
così anche per i successivi numero di nodi con n incroci che
saranno scoperti e contati in futuro.
26
Questa è la nostra ipotesi di base, che connette la teoria dei nodi
alle partizioni e , più in generale, alle teorie di stringa, come si
accenna nell’intervista ad Edward Witten citata all’inizio. Il modo
in cui cresce il numero di nodi N(n) al crescere degli incroci n,
potrebbe essere utile ad approfondire la relazione tra la teoria
matematica dei nodi e le teorie di stringa”.
Conclusioni seconda parte.
Possiamo terminare dicendo che le novità riportate in questa
seconda parte confermano le conclusioni della parte
precedente (Rif. 1) sulla possibile relazione tra nodi n, incroci
e numero N(n) di nodi con n incroci e particolarmente con le
partizioni di numeri .
Nota 1
Riprendiamo la Tabella 1:
TABELLA 1
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
Numero N(n) di nodi primi con
incroci 0 0 1
1
2
3
7
21 49 165
Numeri di Fibonacci
0 1 1
2
3
5
8
13 21
34
Numeri di partizioni
1 1 2
3
5
7
11 15 22
30
1 3 7 13 21 31 43 57 73
91
Numeri di Lie
27
Riguardo il numero N(n) di nodi, i numeri 2 e 3 sono anche numeri di
Fibonacci e numeri di partizioni e 3 è anche numero di Lie. Il 7 è
numero di partizioni e numero di Lie e somma dei due numeri di
Fibonacci 2 e 5. Il 21 è numero di Fibonacci e numero di Lie, ed è
anche la somma dei tre numeri di partizione 1, 5 e 15. Il 49 è dato
dalla media dei due numeri di Lie 91 e 7 ((91 + 7)/2 = 98/2 = 49) ed è
anche la media tra il 10° e l’11° numero di partizione, cioè tra 42 e 56
(42+56 = 98; 98/2 = 49). Il 49, inoltre, è anche la somma dei tre numeri
di Fibonacci 2, 13 e 34. Infine, 165 è dato dalla somma dei due numeri
di Fibonacci 144 + 21 = 165 e dalla somma dei tre numeri di Lie 91, 43
e 31 (91+43+31 = 165). Il 165 è anche la somma del 9° numero di
partizione, 30, e del 14° numero di partizione 135 (135+30 = 165).
Nota 2
Analizziamo le liste più complete dei numeri dei nodi e dei numeri di
partizioni.
A002863 as a simple table
Lista più completa numero dei nodi
n
a(n)
1
0
2
0
3
1
4
1
5
2
6
3
7
7
8
21
9
49
10
165
11
552
12
2176
13
9988
14
46972
15
253293
28
16
1388705
[0,0,1,1,2,3,7,21,49,165,552,2176,9988,46972,
253293,1388705]
A000041 as a simple table
Notiamo che l’11° numero di nodi è 552 molto vicino a quello da noi
stimato (435, differenza 117). Mentre per il 12°, il 13° ed il 14° numero
di nodi abbiamo 2176 ≈ 1188 * 2 (2376 diff. 200), quindi circa il doppio
del valore da noi stimato, 9988 ≈ 3088 * 3 (9264 diff. 724), quindi circa
il triplo del valore da noi stimato ed infine 46972 ≈ 7983 * 6 (47898
diff. 926), quindi circa il sestuplo del valore da noi stimato. Il 15°
numero di nodi è 253293, il valore da noi stimato era 19807 che è circa
13 * 19807 = 257491. Il 16° numero di nodi è 1388705, il valore da noi
stimato era 48878 che è circa 28 * 48878 = 1368584.
Lista più completa numero di partizioni
n
a(n)
0
1
1
1
2
2
3
3
4
5
5
7
6
11
7
15
8
22
9
30
10
42
11
56
12
77
13
101
14
135
15
176
16
231
17
297
18
385
19
490
20
627
29
21
792
22
1002
23
1255
24
1575
25
1958
26
2436
27
3010
28
3718
29
4565
30
5604
31
6842
32
8349
33
10143
34
12310
35
14883
36
17977
37
21637
38
26015
39
31185
40
37338
41
44583
42
53174
43
63261
44
75175
45
89134
46
105558
47
124754
48
147273
49
173525
[1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231,
297,385,490,627,792,1002,1255,1575,1958,2436,3010,
3718,4565,5604,6842,8349,10143,12310,14883,17977,
21637,26015,31185,37338,44583,53174,63261,75175,
89134,105558,124754,147273,173525]
Vediamo che 552 è dato dalla somma dei numeri di partizione 176,
135, 101, 77, 56 e 7. Il numero 2176 è dato dalla somma dei numeri di
partizione 1958, 176 e 42. Il numero 9988 è dato dalla somma dei
numeri di partizione 8349, 1575, 42 e 22. Il numero 46972 è dato dalla
somma dei numeri di partizione 37338, 8349, 1255 e 30. Il numero
30
253293 è dato dalla somma dei numeri di partizione 147273, 105558,
385 e 77.
Quindi, dall’11° al 15° numero di nodi abbiamo numeri
corrispondenti “esattamente” a somme di numeri di partizioni.
Mentre fino al 10° numero di nodi abbiamo numeri corrispondenti a
numeri di Fibonacci, di Lie e di partizioni (e/o loro medie e somme).
Per quanto concerne il “polinomio di Jones” inerente un nodo, il geniale fisico teorico
e matematico Edward Witten ha elaborato la seguente espressione:
∫
Γ0
DΑ exp(ikCS (Α )) ⋅ TrR Hol ( A, K )
(1)
Definiamo la funzione di Chern-Simons CS (Α ) , per qualche connessione Α ,
possibilmente dal valore complesso, attraverso la seguente espressione:
CS (Α ) =
1
4π
2


d 3 xε µνλ Tr  Α µ ∂ν Α λ + Α µ Αν Α λ  .
∂V
3


∫
(2)
Indicando con h il doppio del numero di Coxeter del gruppo di gauge G , è possibile
scrivere una formula equivalente alla (2) nei termini di una “traccia” Trad nella
rappresentazione aggiunta di G
CS (Α ) =
1
2


d 3 xε µνλ Trad  Α µ ∂ν Α λ + Α µ Αν Α λ  .
∫
∂
V
8πh
3


(3)
Inoltre, nella (1) il termine TrR Hol ( A, K ) può anche scriversi nel seguente modo:
WR (K ) = TrR Hol ( A, K ) = TrR P exp ∫ A .
K
(4)
Quindi, la (1) può riscriversi nel seguente modo:
∫
Γ0
DΑ exp[ik
1
2


d 3 xε µνλ Trad  Α µ ∂ν Α λ + Α µ Αν Α λ ] ⋅ TrR P exp ∫ A .
∫
∂
V
K
8πh
3


31
(5)
L’azione di Chern-Simons per una teoria di gauge con un gruppo di gauge G (dove G
è un gruppo di Lie compatto) ed un campo di gauge A su una varietà tridimensionale
orientata W , può essere scritta:
I=
k
4π
∫
W
2


Tr  A ∧ dA + A ∧ A ∧ A  .
3


(6)
Ricordiamo che nella teoria di gauge g YM è la costante di accoppiamento di gauge e θ
l’angolo-theta della teoria di gauge. L’azione I della teoria N = 4 di super YangMills su una varietà quadridimensionale V è la somma di un termine proporzionale a
2
1 / g YM
, che contiene l’energia cinetica per tutti i campi, ed un termine proporzionale a
θ:
I=
1
2
g YM
∫d
4
V
x g Lkin + i
θ
32π 2
∫d
4
V
xε µναβ TrFµν Fαβ .
(7)
La parte di Lkin che riguarda soltanto A,φ (in metrica Euclidea) è:
1
1
2
A,φ
Lkin
= −Tr  Fµν F µν + Dµ φν D µ φ ν + Rµν φ µ φ ν + [φ µ ,φν ]  .
2
2

(8)
Possiamo quindi connettere la (6) e la (7), ottenendo:
I=
k
4π
2
1


Tr  A ∧ dA + A ∧ A ∧ A  ⇒ 2
W
3
g YM


∫
∫d
4
V
x g Lkin + i
θ
32π 2
∫d
V
4
xε µναβ TrFµν Fαβ .
(9)
Allora, la (1) può anche scriversi nel seguente modo:

1
DA
exp
ik g 2
∫Γ0
YM

∫
V
d 4 x g Lkin + i
θ
32π 2

4
µναβ
d
x
ε
TrF
F
µν
αβ
 ⋅ TrR P exp ∫KA ,
∫V

(10)
che è connessa con la (5), quindi, in definitiva:
∫
Γ0
DΑ exp[ik
1
2


d 3 xε µνλ Trad  Α µ ∂ν Α λ + Α µ Αν Α λ ] ⋅ TrR P exp ∫ A ⇒
∫
∂
V
K
8πh
3



1
⇒ ∫ DA expik 2
Γ0
 gYM
∫d
V
4
x g Lkin + i
θ
32π 2
∫d
V
4

xε µναβ TrFµν Fαβ  ⋅ TrR P exp ∫ A .
K

(11)
Notiamo come nella (11) ci siano i numeri di Fibonacci 2, 3 ed 8 e che tale numero è
connesso con i “modi” corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle superstringhe
attraverso la seguente funzione di Ramanujan:
32
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx  142

4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'

4
e
φw' (itw') 
1 
8=
.
3
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




Inoltre notiamo come 32 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 che sono tutti numeri di Fibonacci.
Abbiamo anche 32 = 24 + 8 dove 24 è anch’esso connesso con i modi corrispondenti
alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche attraverso l’altra funzione di
Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
e
dx 
∫0 cosh πx

142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
w'
−

 t w'
4
(
)
e
φ
itw
'
w
'

24 = 
.
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  

+ 
log  



4
4
 




Sempre presente nella (5) è, inoltre, il π che è connesso con la sezione aurea
attraverso le seguenti relazioni:
φ = 2 ⋅ cos
π
5
oppure
φ = 2 ⋅ sin
3π
10
Il legame tra π e φ , ossia tra 3.14… e 0.618… , può ottenersi anche dalla semplice
relazione:
arccosφ = 0.2879 π;
vale a dire
arccos 0.618 = 0.2879 π
che in radianti con l’uso della calcolatrice si effettua così:
rad inv(cos) 0,61803398 = 0,9045569 e 0,2879 · 3,14159265 = 0,9044645.
Da cui notiamo come 0,90455 sia vicinissimo all’altro valore, cioè 0,90446 con una
differenza 0,00009 trascurabilissima.
33
Riferimenti
1) “Teoria dei nodi e i numeri di Fibonacci”
Sul nostro sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
2) “Teoria dei nodi”
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La teoria dei nodi è una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si occupa
di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. La teoria ha applicazioni in fisica
subatomica, chimica supramolecolare e biologia.
Fregio del cancello del dipartimento di matematica di Cambridge.
Per i suoi stretti legami con lo studio delle varietà di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei
nodi è spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.
3) sito http://www.aromatic.com/rudi/026.pdf
:
4) http://www.unimib.it/open/news/I-polinomi-che-governano-lacomplessita/6413442428496323404
I polinomi che governano la complessità
34
“Grazie ai formidabili progressi fatti in questi ultimi anni, in particolare dalla teoria dei nodi,
è ora possibile identificare e seguire nel tempo l’annodamento e lo snodamento di filamenti
fluidi nello spazio. Semplici polinomi – come x+x3–x-4 – identificano in modo univoco ognuno
degli infiniti ed evanescenti nodi e legami che si formano nel fluido, a cui si associano poi
proprietà dinamiche ed energetiche…”
5) “The Jones Polynomial”
http://math.berkeley.edu/~vfr/jones.pdf
6) “Intervista a Vaughan Jones”
di Francesco Vaccarino - Politecnico di Torino
da "La Stampa - Tuttoscienze" del 18 marzo 2009
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/VaccarinoNodi/Vaccarin
oNod...
7)”Nodi
e fisica”
Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2007)
di Louis H. Kauffman
http://www.treccani.it/enciclopedia/nodi-e-fisica_(Enciclopedia-della-Scienza-edella-Tecnica)/
8)Edward Witten – “A new look at the Jones Polynomial of a Knot” – Clay
Conference, Oxford, October 1, 2013
9)Edward Witten – “Fivebranes and Knots” – arXiv:1101.3216v2 [hep-th] 11/08/2011
35
Nota finale su una nuova stima più attendibile:
Osserviamo meglio il brano sulla divergenza tra le nostre stime i valori reali dall’11°
al 15° numero di nodi:
Notiamo che l’11° numero di nodi è 552 molto vicino a quello da noi
stimato (435, differenza 117). Mentre per il 12°, il 13° ed il 14° numero
di nodi abbiamo 2176 ≈ 1188 * 2 (2376 diff. 200), quindi circa il doppio
del valore da noi stimato, 9988 ≈ 3088 * 3 (9264 diff. 724), quindi circa
il triplo del valore da noi stimato ed infine 46972 ≈ 7983 * 6 (47898
diff. 926), quindi circa il sestuplo del valore da noi stimato. Il 15°
numero di nodi è 253293, il valore da noi stimato era 19807 che è circa
13 * 19807 = 257491. Il 16° numero di nodi è 1388705, il valore da noi
stimato era 48878 che è circa 28 * 48878 = 1368584.
…
Quindi, dall’11° al 15° numero di nodi abbiamo numeri
corrispondenti “esattamente” a somme di numeri di partizioni.
Mentre fino al 10° numero di nodi abbiamo numeri corrispondenti a
numeri di Fibonacci, di Lie e di partizioni (e/o loro medie e somme).”
Notiamo che tale divergenza potrebbe essere legata, ancora una volta, ai numeri di
Fibonacci, come da seguente tabella:
nostra stima precedente
moltiplicata per i primi
numeri di Fibonacci
11° numero
Numeri di Fibonacci
Nuove stime più
attendibili
Rapporto stimato reale
435/552 = 0,78 ≈ 1
435* 1 = 435
435/1 = 435
stima 435 valore reale552
(1,26 ≈ √1,618=1,27)
435/0,78= 557,69
36
12° numero
2176/1188 = 1,83 ≈
2
Stima 1188
Differenza intera 5
2176/2 = 1088 ≈ 1188
Differenza 100
valore reale 2176
13° numero
3,23 ≈ 3
9988/3088 = 3,23
Stima 3088
3088*3 = 9264 diff.724
9988/3 = 3329
valore reale
9988
14° numero
Differenza intera 241
46972/7983 = 5,88 ≈
5
46972/5 = 9394,4
Stima 7983
Differenza intera 1411
reale 46972
46972/5,88= 7988
15° numero
253293/19807= 12,78 ≈ 13
Stima 19807
253293/13 = 19484
Differenza intera 323
Valore reale 253293
16° numero
1388705/48878 = 28,41 ≈ 27
1388705/27 = 51433,51
Stima 48878
≈ Media ar. tra 12 e 34 = 27,5
Differenza intera
51433- 48878 = 2555
Valore reale 1388705
Dal 11° al 15° numero, quindi, un valore stimato v ancora più attendibile è
v = stima * numeri di Fibonacci successivi 1, 2, 3, 5,13, o loro medie, per es. 27 per
il 16° numero
Previsione di stima dei numeri di nodi per il 17° numero numero :
nostra stima precedente * 34 successivo numero di Fibonacci dopo la media 27, e
cosi via.
37
Ma riprendiamo la precedente tabella di pag. 16 e completiamola ora con i numeri
N(n) esatti, dall’11° al 16°
N(n) Valori reali
Valori stimati (in
rosso)
N(n-1)
1
2
3
7
21
49
165 (10)° numero)
552
2176
9 988
46 972
1
1
2
3
7
21
49
165
552
2 176
9 988
46 972
253 293
1 388 705
1 388 705*6=8 332 230
8332230*6,5=54159495
54159495*7=379116465
379 116 465*7,5=
r =N(n) / N(n-1) da
1 in poi .Valori reali
253 293
Valori stimati(in
rosso)
1
2
1,5
2,33
3
2,33
3,36
3,34
3,94
4,59
4,70
5,39
5,48
1 388 705
8 332 230
54 159 495
379116465
≈ 6?
≈ 6,5 ?
≈7?
≈ 7,5?
…
…
2 843 373 487 intero
…
In tal modo possiamo stimare con buona approssimazione i valori del 17°, 18°,
19° e 20° numero di nodi , e cioè N(17), N(18), N(19) ed N (20), stimando i
rapporti tra uno di essi e il precedente, leggermente crescenti (mediamente di
circa 0,5 ad ogni nuova stima. Ulteriori calcoli per i valori reali confermeranno o
meno queste nostre attuali stime provvisorie, il 20° numero, per esempio, non
dovrebbe essere molto lontano dai tre miliardi di nodi con 20 incroci
38
Una stima per difetto potrebbe essere il prodotto tra un valore reale e l’ultimo
rapporto noto, per esempio 1388 705*5,48 = 7 610 103 intero, circa 8 332 230 del
valore stimato con il più attendibile rapporto (ora anch’esso stimato), e cioè 6,
possibilmente più vicino al valore reale
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