Algebra lineare (III parte): minore di una matrice, rango

MATEMATICA
a.a. 2014/15
7. Algebra lineare (III parte)
Definizione: Minore di una matrice
Sia A una matrice m × n. Si chiamano minori di A di ordine k i
determinanti delle sottomatrici quadrate di A di ordine k.
Ad esempio, consideriamo la matrice:
1 1 2 0


A =  0 1 1 −1 
 −1 1 0 −2 


Trattandosi di una matrice 3 × 4, essa ha minori di ordine 1, 2 e 3. I suoi
minori di ordine 1 sono: 0, 1, −1, 2 e −2 (ci sono 12 sottomatrici quadrate di
ordine 1, ma i determinanti sono soltanto questi). Ci sono 18 sottomatrici
quadrate di ordine 2; un minore di ordine 2 è ad esempio 1, dato che è il
determinante della sottomatrice:
 1 1
A=

 0 1
2
che si ottiene eliminando la seconda riga e la prima e la terza colonna.
Definizione: Minore di una matrice
Infine ci sono 4 sottomatrici di ordine 3: un minore di ordine 3 è ad
esempio 0, dato che è il determinante della sottomatrice:
1 2 0


A =  0 1 −1 
 −1 0 −2 


che si ottiene eliminando la seconda colonna. Si verifichi che nella
matrice A tutti i minori di ordine 3 sono nulli.
3
Definizione: Minore di una matrice
4
RANGO DI UNA MATRICE
Sia data una matrice A di ordine m x n:
 a11

a21

A=
 ...

 am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
si chiama minore di ordine r (r ≤ min {m, n} della matrice A una matrice
quadrata di ordine r ottenuta intersecando r righe ed r colonne di A.
Si dice che la matrice A ha rango (o caratteristica) r, se esiste un minore
di ordine r con determinante diverso da 0 e tutti i minori di ordine
maggiore di r hanno il determinante uguale a 0.
Il rango di una matrice è l’ordine massimo dei suoi minori che
hanno il determinante diverso da 0.
RANGO DI UNA MATRICE
Una matrice A ha rango 0 se e soltanto se la
matrice A è una matrice nulla.
Il rango rappresenta anche il massimo
numero di righe (o di colonne) di A
linearmente indipendenti.
RANGO DI UNA MATRICE
Si dice che una matrice A m x n ha rango massimo (o rango
pieno) se risulta rank A=min(m,n).
Se la matrice è quadrata di ordine n, essa ha un solo
minore di ordine n, che coincide con il determinante di A.
Allora una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se
il suo determinante non è zero, il che equivale al fatto che
le righe (e le colonne) sono indipendenti, oppure al fatto
che la matrice è invertibile.
7
RANGO DI UNA MATRICE
8