Università degli Studi di Trieste Formalismo dell`Algebra di Clifford

Università degli Studi di Trieste
Dipartimento di Fisica
Corso di Studi in Fisica
Tesi di Laurea Triennale
Formalismo dell’Algebra di Clifford
in
Meccanica Classica
Laureando:
Giuseppe D’Auria
Relatore:
prof. Marco Budinich
ANNO ACCADEMICO 2014–2015
Indice
Introduzione
0.1
2
Pillole di storia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Algebra di Cliord
6
11
1.1
Prodotto geometrico tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
Prodotto esterno, grading e blade . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3
Divisione per vettori
15
1.4
Algebra dei multivettori
1.4.1
1.5
1.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pseudoscalare e dualità
Basi e sistema reciproco
1.5.1
1.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applicazione: reticolo reciproco in cristallograa
15
16
17
. . .
18
Algebra di Cliord nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6.1
Il bivettore e i suoi prodotti . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6.2
Connessione con i numeri complessi . . . . . . . . . . .
20
Algebra di Cliord nello spazio 3-d . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.7.1
Matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.7.2
Quaternioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.7.3
Limiti del prodotto vettoriale standard . . . . . . . . .
25
1.8
Riessioni e rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.9
Derivata vettoriale
28
1.9.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivata spaziotemporale
. . . . . . . . . . . . . . . .
2 Algebra di Cliord dello Spazio-tempo
Cl1,3
2.1
Algebra dello Spazio-tempo
2.2
Bivettori in
2.3
Sistemi di riferimento relativi
2.4
Bivettori e split spaziotemporale
2.5
Paravettori
2.6
Trasformazioni di Lorentz
2.7
Derivata spaziotemporale di un campo bivettoriale
Cl1,3
29
31
. . . . . . . . . . . . . . . .
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . .
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . .
36
38
3 Elettrodinamica Classica
39
3.1
Le Equazioni di Maxwell nel vuoto
3.2
Degenerazione per fase globale e simmetria duale
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
42
3.3
Le Equazioni di Maxwell con sorgenti . . . . . . . . . . . . . .
43
3.4
Sistema di riferimento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.5
La forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.6
Potenziale vettore complesso
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Lagrangiana del Campo Elettromagnetico
39
47
4.1
Lagrangiana tradizionale del Campo Elettromagnetico nel vuoto 47
4.2
Lagrangiana dual-simmetrica
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Conclusioni
5.1
Ringraziamenti
48
51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
A Derivata multivettoriale
53
B Programma in Mathematica
55
2
Ai miei genitori
3
4
Introduzione
Il progresso della scienza avviene per vie trasverse. Sebbene possano essere
tra le più disparate, tali vie seguono comunque, in prima approssimazione,
solamente due atteggiamenti di ricerca prevalenti: ricerca fatta guardando
dove nessun altro ha prima rivolto lo sguardo, oppure fatta rivolgendo lo
sguardo verso gli stessi problemi, ma con occhi diversi.
Tale discorso è valido indierentemente sia per la sica sperimentale sia
per la sica teorica e il lavoro fatto in questa tesi si propone di costituire,
a piccole scale, un esempio in ambito prettamente teorico del secondo tipo
di atteggiamento di ricerca descritto.
In particolare, si studiano le appli-
cazioni di un diverso formalismo matematico, il formalismo dell'Algebra di
Cliord, in meccanica classica, con l'obiettivo di mostrare come sia possibile
estrapolare e comprendere nuove informazioni siche in fenomeni classici
semplicemente utilizzando un linguaggio diverso, più chiaro e generale. Tale
formalismo, computazionalmente molto potente ed intuitivo, lo si incontra in
meccanica quantistica nella trattazione dello spin (come anche del momento
angolare, dello spin isotopico, ecc.)
e in generale nelle teorie quantistiche
di campi relativistici; tuttavia, mostreremo come ben si applichi anche in
meccanica classica, dove per classica si intende non quantistica e quindi
comprendente anche la relatività.
Il lavoro è strutturato fondamentalmente in:
•
una prima parte (Capitolo 1) dove viene presentato e descritto il formalismo matematico dell'Algebra di Cliord con denizioni, assiomi
generali ed esempi applicati in spazi
•
2-dimensionali
e
3-dimensionali;
una seconda parte dove si applica il formalismo in meccanica relativistica (Capitolo 2) e in Elettrodinamica Classica (Capitoli 3 e 4)
•
due appendici:
una che tratta la generalizzazione della derivazione
vettoriale a multivettori ed un'appendice in cui si mostra un esempio
di programma da me scritto nel linguaggio Mathematica per il calcolo
simbolico e numerico che impiega l'Algebra di Cliord.
Completano il lavoro un'introduzione su genesi e travagli storici dell'Algebra di Cliord e conclusioni e ringraziamenti a ne tesi.
5
Nell'augurarvi una buona lettura, specico alcune informazioni riguardo
alla notazione impiegata:
a causa della struttura dell'algebra di Cliord,
che considera scalari, vettori, bivettori, ecc.
come elementi di una stessa
algebra, si è scelto di denotare tali elementi con lo stesso carattere senza
ricorrere al grassetto, per denotare vettori, o altre notazioni di questo tipo
che si incontrano in letteratura.
0.1 Pillole di storia
Un problema che occupò molti eminenti matematici e sici del XIX secolo fu
quello di trovare una rappresentazione per le rotazioni in tre dimensioni, cié
nello spazio ordinario. W. R. Hamilton spese gran parte della sua vita su tale
problema e nalmente, nel 1844 riuscì a trovare una soluzione introducendo i
quaternioni, che rappresentavano una generalizzazione dei numeri complessi
allo spazio
3-dimensionale.
L'algebra dei quaternioni contiene
4
elementi:
{1, i, j, k}
che soddisfano:
i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 .
Figura 1: William Rowan Hamilton 1805-1865. Scopritore dei quaternioni e
una delle gure chiavi della comunità scientica del XIX secolo.
Nonostante la chiara utilità dei quaternioni, c'era tuttavia un alone di
mistero e molta confusione riguardo alla loro natura e al loro uso.
i quaternioni sono ancora usati per rappresentare rotazioni in
3D
Oggi
in molti
campi della scienza ed è noto che essi costituiscono uno strumento computazionalmente davvero eciente per eettuare tali operazioni. Comunque,
la confusione sulla loro natura ancora persiste e una comprensione profonda
e dettagliata dei quaternioni sta andando perdendosi sempre più.
6
Mentre Hamilton stava sviluppando la sua algebra dei quaternioni, anche
H. G. Grassmann formulava una propria algebra: essa introduceva, aanco
al
prodotto scalare che è commutativo (a·b = b·a), un nuovo tipo di prodotto
prodotto esterno, indicato con ∧, che era associativo:
tra vettori, il
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
e anticommutativo:
a ∧ b = −b ∧ a ,
con
a, b
e
c
vettori.
Figura 2: Hermann Gunther Grassmann 1809-1877. Matematico tedesco e
maestro di scuola, famoso per l'algebra che porta il suo nome.
Grassmann, maestro di scuola tedesco, fu in vita fondamentalmente igno-
forme difvariabili grassmaniane, variabili anticommutanti che sono a
rato e solo dopo la sua morte il suo lavoro stimolò lo sviluppo delle
ferenziali
e delle
fondamento di molte delle moderne teorie di supersimmetria e superstringhe.
Il passaggio cruciale si ebbe nel 1878 con il lavoro del matematico inglese
William Kingdon Cliord.
Cliord fu uno dei pochi matematici che lesse
e comprese il lavoro di Grassmann e, nell'intento di unicare le algebre di
Hamilton e di Grassmann in una singola struttura, introdusse la propria
algebra geometrica, oggi anche nota come Algebra di Cliord.
si ha un solo tipo di prodotto, il prodotto geometrico :
In tale algebra
ab = a · b + a ∧ b ,
formato unendo assieme il prodotto scalare (o interno) e il prodotto esterno: tale prodotto è associativo come il prodotto di Grassmann ma anche
invertibile, come il prodotto nell'algebra di Hamilton.
Come avremo modo di vedere, nell'algebra di Cliord un equazione vettoriale del tipo
inverso di
a:
ab = C
ha soluzione
b = a−1 C ,
dove
a−1
esiste ed è detto
né il prodotto interno né il prodotto esterno posseggono da soli
7
Figura 3: William Kingdon Cliord 1845-1879. Matematico e losofo.
tale invertibilità e gran parte della potenza di calcolo dell'Algebra di Cliord
deriva da questa proprietà.
L'algebra di Cliord combinava tutti i vantaggi dei quaternioni con quelli
dell'algebra lineare e della geometria vettoriale, pertanto sarebbe dovuta
diventare il sistema fondamentale per tutta la sica matematica. Tuttavia,
ci furono due eventi che cospirarono contro: il primo fu la morte prematura
di Cliord a soli 34 anni e il secondo fu l'introduzione del
calcolo vettoriale
proposto da J. W. Gibbs, che costituisce l'usuale algebra vettoriale in 3
dimensioni diusa ai giorni nostri.
Il calcolo vettoriale di Gibbs si adattava a spiegare bene l'elettromagnetismo, così come era formulato alla ne del XIX secolo; questo motivo e la
considerevole reputazione di Gibbs presso la comunità scientica del tempo
portarono il suo sistema vettoriale ad eclissare i lavori di Cliord e Grassmann. Ironicamente, lo stesso Gibbs sembrava convinto che l'approccio delle
algebre multiple di Grassmann fosse quello più corretto da utilizzare.
Con l'avvento della Relatività Speciale nel 1905 i sici realizzarono che
occorreva un sistema che considerasse uno spazio
4-dimensionale ma, in quel
periodo, le idee innovative di Grassmann e Cliord erano ormai state sepolte
tra i vecchi articoli del XIX secolo e dimenticate.
Nel negli anni '20 l'Algebra di Cliord riemerse come l'algebra che descriveva lo
spin
delle particelle in meccanica quantistica.
In particolare,
l'algebra di Pauli e delle matrici di spin di Dirac divenne indispensabile nella
teoria quantistica. Tuttavia, esse venivano usate semplicemente come algebre
astratte, mentre il loro signicato geometrico era andato perduto.
La situazione rimase pressocché invariata nché negli anni 60' David
Hestenes, sico teorico statunitense vivente, cominciò a riscoprire il signicato geometrico che si celava dietro le algebre di Pauli e di Dirac (Hestenes
1966).
8
Figura 4: David Orlin Hestenes. Inventore del calcolo geometrico e primo ad
aver attirato l'attenzione sulla natura di linguaggio universale dell'Algebra
di Cliord per ogni branca della scienza.
Sebbene la sua originaria motivazione era quella di cercare di comprendere meglio la natura della meccanica quantistica, ben presto Hestenes si
accorse che, applicata in modo appropriato, l'Algebra di Cliord aveva una
potenza di calcolo inaudita e poteva rappresentare davvero un linguaggio
universale per la matematica, la sica, l'ingegneria ed ogni branca della
scienza.
Ancora, il lavoro riguardevole di Hestenes è stato ignorato per circa venti
anni, ma poi la comunità scientica ha cominciato a rivalutarlo. Oggi vi sono
numerosi gruppi in tutto il mondo che lavorano applicando con successo l'Algebra di Cliord nei campi più disparati: dalla cosmologia ai buchi neri, al
tunnelling quantistico, in QFT, in sica della materia, in dinamica dei fasci
di particelle, in robotica, in chimica, in genetica, reti neurali, nel computer
design, solo per citarne alcuni. Esattamente lo stesso sistema algebrico riesce a soddisfare le branche più disparate della scienza e queste, parlando la
stessa lingua, riescono ora a comunicare, contaminarsi e confrontarsi fruttuosamente, contribuendo ad un più rapido progresso della scienza e della
conoscenza delle meraviglie dello stupendo mondo che ci circonda.
9
10
Capitolo 1
Algebra di Cliord
1.1 Prodotto geometrico tra vettori
Deniamo il
prodotto geometrico ab tra due vettori a, b, appartenenti ad uno
spazio vettoriale reale, l'operazione binaria che soddisfa i seguenti assiomi:
•
Associatività:
a(bc) = (ab)c = abc
dove
•
c
(1.1)
appartiene allo stesso spazio vettoriale reale.
Distributività a sinistra rispetto all'addizione:
a(b + c) = ab + ac.
•
•
(1.2)
Distributività a destra rispetto all'addizione:
(b + c)a = bc + ca.
(1.3)
a a = a2 ∈ < .
(1.4)
Contrazione:
Il prodotto geometrico appena denito, esteso ad un numero arbitrario di
vettori o ad una loro combinazione lineare, permette di denire un'algebra,
denominata
Algebra di Cliord,
i cui elementi sono detti
multivettori
e che
deniremo in modo rigoroso nelle sezioni successive.
L'ultimo assioma è particolarmente importante in quanto è ciò che differenzia l'Algebra di Cliord da un'algebra associativa generica.
Non forziamo lo scalare ad essere positivo (avremmo potuto scrivere
|a|2 ∈ <)
a2 =
poiché in tal modo si può incorporare facilmente l'algebra dello
Spazio-tempo di Minkowski senza successive modicazioni di segno nei nostri
assiomi.
Altra particolarità è l'assenza di commutatività che costringe a
postulare separatamente la distributività a destra e a sinistra.
11
Vogliamo ora dare elucidazioni sul signicato geometrico dei vari tipi di
moltiplicazione tra vettori. A partire dal prodotto geometrico
ab
è possibile
denire due nuovi tipi di prodotti:
•
un
prodotto interno
simmetrico
a·b=
•
un
prodotto esterno
(1.5)
antisimmetrico
a∧b=
da cui deriva la seguente
1
(ab + ba) = b · a ,
2
1
(ab − ba) = −b ∧ a ,
2
(1.6)
decomposizione canonica per il prodotto geometrico:
ab = a · b + a ∧ b.
(1.7)
Dall'assioma di contrazione (1.4) si mostra facilmente che
a·b
è uno
scalare, pertanto tale prodotto tra vettori può essere identicato con il
prodotto scalare standard euclideo.
La quantità
a∧b
è detta
bivettore
e può essere interpretata geometrica-
mente come un segmento di piano orientato, come mostrato in Figura 1.1.
Figura 1.1:
Prodotto esterno tra due vettori.
a è vi|a||b|sin(θ), con
il vettore a lungo
Il prodotto esterno
sualizzabile come un elemento di piano orientato di area
θ l'angolo tra i vettori a e b, ottenuto facendo scorrere
b. L'orientazione del parallelogramma segue il verso dei
vettori nell'ordine
in cui sono scritti nel prodotto esterno, cosicché può invertirsi passando da
senso antiorario ad orario scambiando
b con a, cioé invertendo l'ordine in cui
a ∧ b = −b ∧ a .
tali vettori appaiono nel prodotto esterno:
Pertanto, diversamente dal noto prodotto vettoriale
a×b
(che è un vet-
a ∧ b è un'entità intrinseca al piano
a e b ed è indipendente dalle dimensioni dello spazio vettoriale in
tore ortogonale al piano), il bivettore
contenente
cui tale piano (o ipersupercie, se in più dimensioni) vive: altresì, il prodotto vettoriale, come è noto, è ben denito solamente in uno spazio vettoriale
3-dimensionale.
La decomposizione canonica (1.7) può inizialmente apparire piuttosto
insolita, in quanto rappresenta la somma di due oggetti dierenti: uno scalare
12
e un bivettore. Tale è tuttavia una caratteristica peculiare dell'Algebra di
Cliord e deve essere vista allo stesso modo dell'addizione di un numero
reale con un numero immaginario in campo complesso: il risultato non è
né un numero reale né un numero immaginario puro, ma un misto di due
dierenti oggetti che combinati formano un singolo numero complesso.
In
realtà l'Algebra di Cliord è ancor più generale in quanto, come vedremo,
permette di sommare in tal senso molti più elementi diversi: scalari, vettori,
bivettori, ecc.
Dall'interpretazione geometrica del prodotto interno e del prodotto esterno, è possibile dedurre un'interpretazione geometrica del prodotto geometrico tra vettori in alcuni casi particolari.
Per vettori ortogonali, ad esempio, si ha che:
a·b=0
⇐⇒
ab = −ba .
(1.8)
D'altro canto, vettori collineari che determinano un parallelogramma con
area nulla hanno:
a∧b=0
Il prodotto geometrico
⇐⇒
ab = ba .
(1.9)
ab fornisce così una misura della direzione relativa
di due vettori in uno spazio vettoriale: commutatività implica che i vettori
sono collineari, mentre anticommutatività implica che essi sono ortogonali.
Ogni moltiplicazione può essere ridotta a tali casi estremi introducendo un
set completo (o base) di vettori ortonormali.
Come ulteriore esempio degli assiomi del prodotto geometrico in azione,
computiamo il quadrato di un bivettore
a ∧ b.
Le proprietà del prodotto
geometrico ci consentono di scrivere:
(a ∧ b) (a ∧ b) = (ab − a · b) (a · b − ba)
= −ab2 a − (a · b)2 + a · b (ab + ba)
= (a · b)2 − a2 b2
,
(1.10)
= −a2 b2 sin2 (θ)
a · b = |a| |b| cos (θ).
a ∧ b è uguale
lati a e b.
dove abbiamo assunto che
Pertanto, il modulo del bivettore
del parallelogramma di
13
eettivamente all'area
1.2 Prodotto esterno, grading e blade
In precedenza si è denito il prodotto esterno di due vettori
asserito che esso rappresenta un bivettore
passo per denire l'operazione di
a ∧ b.
grading
a
e
b
e si è
Tale informazione è il primo
dell'intera algebra.
Per far ciò
estendiamo la denizione di prodotto esterno ad un arbitrario numero di
vettori.
Il prodotto esterno di una
r-upla
grade r (o r-blade o multivettore
a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ar ed è denito come
di
a1 , a2 , . . . , ar è detto blade
grade r ), è denotato con Ar =
di vettori
puro
di
la somma totalmente antisimmetrica di
tutti i prodotti geometrici:
Ar = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ar =
1 X
(−1)ε ak1 ak2 · · · akr ,
r!
(1.11)
k1 , k2 , . . . , kr ed
mentre è −1 per
dove la somma è fatta su tutte le permutazioni degli indici
ε
è
+1
per permutazioni pari degli indici
k1 , k2 , . . . , kr ,
permutazioni dispari. Ad esempio si ha:
a1 ∧ a2 =
1
(a1 a2 − a2 a1 ) ,
2!
come richiesto che sia per la denizione (1.6).
L'antisimmetria del prodotto esterno assicura che esso si annulli se vi sono
almeno due vettori uguali.
Ne consegue che il prodotto esterno si annulla
se i vettori sono linearmente dipendenti, poiché in tal caso un vettore può
essere scritto come combinazione lineare degli altri.
Quindi, qualsiasi multivettore che può essere scritto puramente come il
prodotto esterno di un set di vettori è detto
blade :
ad esempio
a1 ∧a2 ∧a3 è un
blade di grade 3, o in gergo, un trivettore. Più in generale, un multivettore
qualsiasi può essere espresso come una somma di diversi blade, ciascuno
avente un grade ben denito e si dice che l'Algebra di Cliord è un'algebra
graded.
Geometricamente, il grade di un blade rappresenta la dimensione
dell'iperpiano che il blade specica.
Denotiamo l'operazione di proiezione sui termini di un preciso grade
h ir , così habi2
geometrico ab, cioé:
un multivettore tramite la notazione
o bivettoriale, del prodotto
habi2 = a ∧ b
habi0 = a · b .
14
r
di
indica la parte grade-2,
(1.12)
1.3 Divisione per vettori
La proprietà associativa (1.1) permette di realizzare il sogno di Hamilton di
poter dividere per vettori. Supponiamo di avere che
ab = C ,
dove
C
è una
qualche combinazione di uno scalare e di un bivettore.
Osserviamo che:
Cb = (ab) b = a (bb) = ab2 .
(1.13)
Da ciò e dall'assioma (1.4) possiamo denire il vettore
b−1 = b/b2
e, molti-
−1 , si ha:
plicando entrambi i membri della (1.13) a destra con b
Cbb−1 = ab2 b−1 = ab2 b/b2 = ab = C ,
(1.14)
bb−1 = 1.
(1.15)
si ricava cioé che:
Un ragionamento analogo permette anche di trovare che:
b−1 b = 1.
Si scopre, pertanto, che il vettore
b−1
(1.16)
rappresenta l'
elemento inverso
di
b.
La denizione di un elemento vettoriale inverso è resa possibile dalla struttura del prodotto geometrico che ingloba prodotto interno ed esterno, come
mostrato nella sua decomposizione canonica:
né il prodotto esterno né il
prodotto scalare da soli permettono di denire un tale elemento inverso. Non
serve dilungarsi troppo nel dire che tale peculiarità, oltre ad essere un'assoluta novità, rende l'Algebra di Cliord computazionalmente molto potente
ed eciente.
1.4 Algebra dei multivettori
Le denizioni nora introdotte si possono facilmente generalizzare a multivettori generici di grade
r-multivettore Ar
r.
Il prodotto geometrico di un vettore
a
con un
è dato da:
aAr = a · Ar + a ∧ Ar ,
(1.17)
dove il prodotto interno è generalizzato:
a · Ar = haAr ir−1 =
e agisce abbassando il grade di
Ar ,
1
(aAr − (−1)r Ar a)
2
(1.18)
mentre il prodotto esterno ha come
generalizzazione:
a ∧ Ar = haAr ir+1 =
che innalza di un'unità il grade di
1
(aAr + (−1)r Ar a) ,
2
Ar .
15
(1.19)
L'intera algebra multivettoriale viene costruita iterando tale processo di
moltiplicazione di vettori.
Il prodotto geometrico di due multivettori è (per denizione) associativo
r
e, per due blade di grade
e
s,
può essere decomposto nel seguente modo:
Ar Bs = hABir+s + hABir+s−2 + · · · + hABi|r−s| .
(1.20)
I simboli · e ∧ sono conservati per i termini rispettivamente con grade
più basso e più alto della somma (1.20), cioé:
Ar · Bs = hABi|r−s| ,
(1.21)
Ar ∧ Bs = hABir+s ,
(1.22)
che chiamiamo rispettivamente prodotto interno e prodotto esterno di due
blade.
Tali prodotti sono associativi e rispettano le proprietà di simmetria:
Ar · Bs = (−1)r(s−1) Bs · Ar
per r ≤ s ,
(1.23)
rs
Ar ∧ Bs = (−1) Bs ∧ Ar .
Deniamo poi l'operazione di
reversione
o di
inversione d'ordine,
che
inverte l'ordine dei vettori in ciascun multivettore. Il risultato di tale operazione su un multivettore
A
viene denotato con
Ã
ed è detto
reverso
di
A. Il
Ae
reverso di un vettore è il vettore stesso e il prodotto di due multivettori
B
è dato da:
(AB)∼ = B̃ Ã .
In particolare, per il reverso di un
r-blade
(1.24)
si ha:
Ãr = (−1)r(r−1)/2 Ar .
(1.25)
1.4.1 Pseudoscalare e dualità
Il blade di grade più alto presente in una data algebra è solitamente detto
pseudoscalare, il suo grade coincide con la dimensione dello spazio vettoriale
di partenza da cui si costruisce l'algebra e si denota solitamente con
pseudoscalare permette di denire l'operazione di
Ar = I
I.
dualità (di Hodge) :
Lo
sia
Bs un blade della stessa algebra con s ≤ r,
Bs il blade Bs∗ = Cr−s di grade r − s ottenuto
Bs con lo pseudoscalare:
lo pseudoscalare e sia
allora si denisce il
duale
di
dal prodotto geometrico di
Bs∗ = IBs = Cr−s .
16
(1.26)
1.5 Basi e sistema reciproco
Introduciamo ora i concetti di
base diretta
e
base reciproca,
che ci saran-
no necessari più avanti, nella trattazione dell'Algebra dello Spazio-tempo
relativistico.
Dall'algebra lineare standard è noto che un insieme di
mente indipendenti
costituisce una
base
e1 , . . . , en
o
o
{ek }
sistema di riferimento (diretto)
poi una base dell'Algebra di Cliord su
Vn
vettori linear-
Vn .
Vn
di tale spazio vetto-
riale. Iterando il prodotto esterno tra i vari elementi di
in cui i vettori di
n
che generano uno spazio vettoriale
{ek },
si costruisce
Non ci restringiamo al caso
siano ortogonali, pertanto gli
{ek }
non commutano
necessariamente.
L'elemento di volume per il sistema
{ek }
è denito come:
En = e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en = λI ,
dove
{ek }
En
λ
e
è cioé un multiplo dello pseudoscalare
uno scalare.
Associato a qualsiasi arbitraria base
reciproco {ek } denito dalla proprietà:
ei · ej = δji ,
dove
δji
rappresenta la
δ
I
(1.27)
dello spazio generato da
{ek }, vi è la base
reciproca o sistema
∀i, j = 1, . . . , n ,
di Kronecker che vale
+1
se
i=j
(1.28)
e
0
altrimenti.
I vettori e1 , e2 ed e3 formano una base non
3-dimensionale. Il vettore reciproco e3 è generato
formando il piano e1 ∧ e2 e costruendo il vettore perpendicolare a questo
3
3
piano. La lunghezza (modulo) del vettore e è ssata dalla relazione e ·e3 =1.
Figura 1.2:
Base reciproca.
ortogonale per lo spazio
La base reciproca è costruita nel seguente modo (vedasi Figura 1.2):
ej = (−1)j−1 e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ ¥j ∧ · · · ∧ en En−1 ,
dove la notazione ¥j sta ad indicare che il termine
ej
manca nell'espressione.
La formula (1.29) ha una semplice interpretazione: i vettori
essere ortogonali a tutti i vettori
{ei } , i 6= j .
17
(1.29)
ej
devono
Per far ciò si forma prima il
prodotto esterno degli
n − 1 vettori {ei } , i 6= j
En ) che ritorna un vettore
(n − 1)-dimensionale.
e poi se ne fa il duale (tramite
perpendicolare a tutti i vettori del sottospazio
1.5.1 Applicazione: reticolo reciproco in cristallograa
Un'importante applicazione della formula per il sistema reciproco si trova
nello studio dei reticoli cristallini in sica della materia. Se un cristallo presenta delle strutture ripetute denite dai vettori
e1 , e2 , e3 ,
che costituiscono
una base del cosiddetto reticolo diretto, eettuando studi di scattering di
luce laser incidenti su campioni del cristallo, si trovano picchi di interferenza
costruttiva per intervalli di vettori d'onda di luce scatterata:
δk = 2π(n1 e1 + n2 e2 + n3 e3 ) ,
dove
n1 , n2 , n3
sono interi. Si studiano cioé reticoli di dirazione che natu-
ralmente sono mappati nel reticolo reciproco
e1 =
(1.30)
e2 ∧ e3
,
e1 ∧ e2 ∧ e3
e2 =
e3 ∧ e1
,
e1 ∧ e2 ∧ e3
ei
che è denito come:
e3 =
e1 ∧ e2
,
e1 ∧ e2 ∧ e3
(1.31)
che, usando la relazione:
e1 ∧ e2 ∧ e3 = E3 = (e1 · e2 · e3 )I ,
(1.32)
assumono la forma standard, con il prodotto vettoriale di Gibbs:
(e2 ∧ e3 )I −1
e2 × e3
=
e1 · e2 · e3
e1 · e2 · e3
−1
(e1 ∧ e3 )I
e1 × e3
e2 =
=
e1 · e2 · e3
e1 · e2 · e3
(e1 ∧ e2 )I −1
e1 × e2
e3 =
=
e1 · e2 · e3
e1 · e2 · e3
e1 =
18
(1.33)
1.6 Algebra di Cliord nel piano
Il modo più semplice per comprendere il signicato geometrico del prodotto
geometrico è partire da esempi in spazi vettoriali di dimensione
2
o
3,
in cui
è possibile visualizzare gli elementi dell'algebra.
Consideriamo uno spazio vettoriale
e1
to da due vettori ortonormali
e2 .
ed
2-dimensionale
(un piano) genera-
Tali vettori di base soddisfano le
relazioni:
e1 2 = e2 2 = 1 ,
e 1 · e2 = 0
L'ultimo ente presente nell'algebra è il bivettore
(1.34)
e1 ∧ e2 ,
che rappresenta
l'elemento di grade più alto che si può costruire a partire da una base di due
vettori linearmente indipendenti.
Nel nostro caso, gli elementi di base dell'algebra sono dati da:
1
|{z}
e1 , e2
| {z }
1 scalare
2 vettori
Denotiamo tale algebra con
Cl2
e1 ∧ e2
| {z }
(1.35)
1 bivettore
e osserviamo che essa ha
22
blade. Ogni
multivettore può essere decomposto in questa base e somme e prodotti possono essere calcolati in termini di questa base. Ad esempio, supponiamo di
avere due multivettori
A
e
B,
dove:
A = α0 + α1 e1 + α2 e2 + α3 e1 ∧ e2 ,
(1.36)
B = β0 + β1 e1 + β2 e2 + β3 e1 ∧ e2 ,
con
α0 , . . . , α3
Allora la
β0 , . . . , β3 coecienti scalari.
loro somma S = A + B è data da:
e
S = (α0 + β0 ) + (α1 + β1 )e1 + (α2 + β2 )e2 + (α3 + β3 ) e1 ∧ e2
(1.37)
il ché mostra come l'addizione di multivettori sia piuttosto semplice da
eettuare.
1.6.1 Il bivettore e i suoi prodotti
Per studiare le proprietà del bivettore
e1 ∧ e2 ,
per prima cosa ricordiamo che
per vettori ortogonali il prodotto geometrico è un bivettore puro:
e1 e2 = e1 · e2 + e1 ∧ e2 = e1 ∧ e2
(1.38)
e che vettori ortogonali anticommutano:
e2 e1 = e2 ∧ e1 = −e1 ∧ e2 = −e1 e2 .
Vediamo ora cosa accade se moltiplichiamo il bivettore
(1.39)
e1 e2
a destra o a
sinistra con un vettore di base. La moltiplicazione a sinistra dà:
(e1 ∧ e2 )e1 = (−e2 e1 )e1 = −e2 e1 e1 = −e2
19
(1.40)
e
(e1 ∧ e2 )e2 = (e1 e2 )e2 = e1 ,
da cui osserviamo che, se assumiamo che
e1
ed
e2
(1.41)
formino una coppia de-
strorsa, la moltiplicazione a sinistra con il bivettore ruota i vettori di
90◦
in senso orario. Analogamente, la moltiplicazione a destra ruota i vettori di
90◦
in senso antiorario:
e2 (e1 e2 ) = −e1 .
e1 (e1 e2 ) = e2 ,
(1.42)
Si scopre, quindi, che l'azione del prodotto di un elemento di base con
un bivettore è strettamente legata ad una rotazione.
L'ultimo prodotto nell'algebra che consideriamo è il quadrato del bivettore
e1 ∧ e2 :
(e1 ∧ e2 )2 = e1 e2 e1 e2 = −e1 e1 e2 e2 = −1 .
(1.43)
In tal modo osserviamo come considerazioni puramente geometriche ci abbiano condotto in modo naturale ad una quantità il cui quadrato è
−1.
Ciò
corrisponde anche al risultato secondo cui due successive moltiplicazioni a
e1 e2
destra o a sinistra di un vettore con
180◦ ,
ruotano il vettore di un angolo di
il ché è equivalente ad una moltiplicazione per
−1.
Il fatto che ora abbiamo una consistente rappresentazione geometrica
per oggetti il cui quadrato algebrico è
−1
apre alla possibilità di fornire una
interpretazione geometrica per l'unità immaginaria, onnipresente anche in
sica, con l'intento di comprendere meglio il senso sico di formule in cui essa
compare. Eettueremo una trattazione più approfondita dello pseudoscalare
in una sezione successiva.
1.6.2 Connessione con i numeri complessi
Appare ora chiaro che vi sia una relazione tra l'Algebra di Cliord in due
dimensioni
Cl2
e l'algebra dei numeri complessi. Il bivettore
◦
una rotazione di 90 gradi e il suo quadrato dà
−1.
e1 ∧ e2
genera
La combinazione di
uno scalare e di un bivettore, che si forma in modo naturale con il prodotto
geometrico, può essere così vista come un numero complesso
1 Scriviamo ciò
come:
Z = u + ve1 e2 = u + Iv
(1.44)
I 2 = −1
(1.45)
dove
I = e1 ∧ e2
1
Teniamo a precisare che l'analogia tra i numeri complessi e multivettori
Z ∈ Cl2
del tipo della (1.44) è perfetta, ma si perde nel caso si considerino multivettori su spazi
vettoriali di dimensione maggiore: in tali spazi infatti possono esservi numerosi elementi
dell'algebra il cui quadrato dà
−1
e l'unicità dell' unità immaginaria viene meno. Tut-
tavia, si possono trovare multivettori della forma della (1.44) anche in spazi di dimensione
maggiore di
2
e, pur non rappresentando propriamente dei numeri complessi, ci si riferisce
ad essi ugualmente come multivettori in forma complessa.
20
Si è qui usato il simbolo
tosto che il simbolo
I
per lo pseudoscalare dell'algebra in interesse piut-
i dell'unità immaginaria, più diuso in letteratura, poiché
quest'ultimo ha il problema di suggerire l'idea di un elemento che commuti
con tutti gli altri, proprietà questa che non appartiene necessariamente allo
pseudoscalare.
Consideriamo ora un generico vettore in
Cl2 ,
che sappiamo essere una
combinazione di elementi di grade 1 del tipo:
x = ue1 + ve2 .
Se moltiplichiamo tale generico vettore per
(1.46)
e1
da sinistra, si ottiene:
e1 x = u + ve1 e2 = u + Iv = Z .
(1.47)
Otteniamo cioé una semplice prescrizione per legare un generico vettore
generico multivettore
Z
x al
che abbiamo indenticato come numero complesso.
Se ora si considera il complesso coniugato di
Z , Z † = u − Iv , osserviamo che:
Z † = u − ve1 e2 = u + ve2 e1 = xe1 .
(1.48)
dove si osserva che si ottiene semplicemente un'inversione dell'ordine del
prodotto geometrico tra
e1
ed
x.
Tale operazione di inversione dell'ordine
dei prodotti corrisponde proprio all'operazione di
reversione
denita nella
sezione 1.4 .
Supponiamo ora di introdurre un secondo numero complesso
vettore equivalente
W,
con
y:
W = e1 y .
(1.49)
Il prodotto tra due numeri complessi
ZW † = W † Z
ora diventa:
W † Z = ye1 e1 x = yx ,
rappresenta, cioé il prodotto geometrico tra i vettori
(1.50)
y
e
x.
Ciò, in realtà,
non deve molto sorprendere perchè storicamente si partì proprio dal prodotto
tra numeri complessi per suggerire la forma del prodotto geometrico.
21
1.7 Algebra di Cliord nello spazio 3-d
L'algebra di Cliord dello spazio
3-dimensionale
costituisce un potente stru-
mento matematico per risolvere problemi in geometria e in meccanica classica. Essa descrive vettori, piani e volumi in una singola algebra, che contiene
tutte le familiari operazioni vettoriali; include il prodotto vettoriale, che si
rivela essere una forma camuata di bivettore; inoltre, fornisce un metodo
chiaro e compatto per lavorare con rotazioni in modo molto più semplice
rispetto al formalismo matriciale.
Nella sezione precedente abbiamo costruito l'algebra di Cliord di un
piano. Ora consideriamo uno spazio vettoriale su
<
di dimensione
3
con il
set di vettori ortonormali (quindi anticommutanti, nel senso visto in (1.35))
{e1 , e2 , e3 }.
Da questi vettori di base possiamo generare i seguenti oggetti
geometrici:
1
|{z}
1 scalare
{e1 , e2 , e3 }
| {z }
3 vettori
{e1 e2 , e2 e3 , e3 e1 }
|
{z
}
3 bivettori
e1 e2 e3 ,
| {z }
(1.51)
1 trivettore
Cl3 di dimensione (1+3+3+1) = 8 = 23 . Molte
delle proprietà di quest'algebra sono condivise con il caso 2-dimensionale,
poiché i sottoinsiemi {e1 e2 }, {e2 e3 } e {e3 e1 } generano subalgebre 2 - dimensionali. In particolare si hanno 3 bivettori indipendenti {e1 e2 , e2 e3 , e3 e1 }, che
che formano lo spazio lineare
sono in numero pari al numero aspettato di piani indipendenti nello spazio,
come mostrato in Figura 1.3.
Figura 1.3: Bivettori nello spazio.
C'è poi il termine dato dal prodotto geometrico di tutti i
3
vettori di
base:
(e1 e2 )e3 = e1 e2 e3 = I .
Esso rappresenta un blade di grade 3, detto
trivettore
(1.52)
e geometricamente
corrisponde all'elemento di volume orientato ottenuto facendo scorrere il
bivettore
e1 ∧ e2
lungo il vettore
e3 ,
come mostrato in Figura 1.4.
22
Figura 1.4: Trivettori. Dati tre vettori
a, b
c,
e
il trivettore
a∧b∧c
cor-
risponde all'elemento di volume orientato che si ottiene facendo, ad esempio,
scorrere il bivettore
a∧b
lungo
c
o il bivettore
b∧c
lungo
a.
Osserviamo che :
(e1 e2 e3 )2 = e1 e2 e3 e1 e2 e3 = e1 e2 e1 e2 e3 2 = −1
(1.53)
e che:
(e1 e2 e3 )ek = ek (e1 e2 e3 )
∀k = 1, 2, 3
(1.54)
Queste relazioni portano nuove imterpretazioni geometriche:
•
Dalla (1.52) osserviamo che ciascun bivettore, oltre a far ruotare di
90◦
vettori che giacciono nel piano che essi descrivono, formano anche
trivettori (volumi) se moltiplicati con vettori ad essi ortogonali.
•
Dalla (1.54), il trivettore
e1 e2 e3
commuta con tutti i vettori, quindi
anche con tutti i multivettori.
•
Dalla (1.53) osserviamo che anche il trivettore possiede la prorprietà
algebrica di avere per quadrato
−1.
Si nota quindi che ora, su otto
elementi geometrici dell'algebra, quattro hanno tale proprietà, cioé i
tre bivettori e il trivettore e l'analogia con l'unità immaginaria dei numeri complessi ora non è più istantanea come nel caso
2-dimensionale.
In particolare, se in letteratura si incontra una soluzione algebrica di
una qualche equazione sica espressa in forma complessa e la si vuole
tradurre nel linguaggio dell'Algebra di Cliord, occorre prima comprendere bene il ruolo che l'unità immaginaria assume tacitamente nel
particolare problema considerato, in modo da poter poi identicarla
con uno dei bivettori o con il trivettore. In genere si trova che l'unità
immaginaria può essere associata a qualche piano nello spazio, così può
essere interpretata come un bivettore. Quando ciò accade, il signicato
sico dell'apparato matematico utilizzato diventa molto più chiaro e
trasparente e si ha modo di comprendere aspetti sici delle soluzioni
23
complesse trovate che altrimenti potrebbero sfuggire. Tuttavia, in alcune applicazioni dell'algebra dei numeri complessi in problemi sici,
non è così chiaro il signicato sico-geometrico da attribuire all'unità
immaginaria e in tal caso si propone di riformulare il problema partendo
direttamente dall'Algebra di Cliord, senza eettuare traduzioni tra
i due strumenti matematici, in modo da rintracciare soluzioni nel nuovo framework algebrico (in genere più potente) così da comprenderne
appieno il signicato sico.
1.7.1 Matrici di Pauli
Vediamo ora cosa accade moltiplicando lo pseudoscalare
I
con i vettori di
base:
Ie3 = (e1 e2 e3 )e3 = e1 e2
Ie1 = (e1 e2 e3 )e1 = e2 e3
(1.55)
Ie2 = (e1 e2 e3 )e2 = e3 e1
3-dimensionale Cl3
Osserviamo così che l'Algebra di Cliord dello spazio
corrisponde con l'algebra delle matrici di spin di Pauli, note in meccanica
quantistica. In particolare, tale equivalenza tra le due algebre diventa più
evidente se si scrive il prodotto geometrico tra due vettori di base qualsiasi
di
Cl3 :
ei ej = ei · ej + ei ∧ ej = δij + Iεijk ek ,
dove
δij
e
εijk
(1.56)
sono rispettivamente la delta di Kronecker e il tensore com-
pletamente antisimmetrico di Levi-Civita.
Le matrici di Pauli (scritte rispetto alla base in cui
σ3
è diagonale ) invece
sono:
σ1 =
0 1
1 0
σ2 =
0 −i
i 0
σ3 =
1 0
0 −1
(1.57)
e soddisfano:
σi σj = δij + iεijk σk ,
relazione che coincide formalmente con la (1.56).
(1.58)
Osserviamo cioé che le
matrici di Pauli sono una particolare rappresentazione matriciale di
Cl3 .
1.7.2 Quaternioni
Rimanendo in
Cl3 ,
possiamo denire:
i = Ie1
j = −Ie2
k = Ie3 .
24
(1.59)
Osserviamo che:
i2 = Ie1 Ie1 = I 2 e21 = −1
j2 = (−Ie2 )(−Ie2 ) = I 2 e22 = −1
k2 = Ie3 Ie3 = −1
ijk = Ie1 (−Ie2 )Ie3 = Ie1 (−I)Ie2 e3 = Ie1 e2 e3 = I 2 = −1
dove abbiamo usato la (1.54) e che
(1.60)
(−I)I = 1.
Abbiamo quindi ottenuto che:
i2 = j2 = k2 = ijk = −1 ,
(1.61)
la quale rappresenta l'usuale relazione che identica l'algebra dei quaternioni
elaborata da Hamilton, che ora vediamo essere contenuta in
Cl3 .
In parti-
colare ora possiamo comprendere istantaneamente il signicato geometrico
i j e k, in quanto, a partire dalla
degli elementi dell'algebra dei quaternioni ,
denizione (1.59), si ha:
i = Ie1 = e2 e3
j = −Ie2 = e1 e3
k = Ie3 = e1 e2 ,
(1.62)
cioé essi sono bivettori e quindi generano rotazioni di
90◦
rispetto a tre
direzioni ortogonali dierenti. In eetti, è noto che l'algebra dei quaternioni
è ideale per rappresentare rotazioni arbitrarie in tre dimensioni e che fu
costruita da Hamilton proprio per questo scopo.
1.7.3 Limiti del prodotto vettoriale standard
Il prodotto vettoriale o
denito in
Cl3
prodotto di Gibbs a × b
tra due vettori
a
e
b
è
a partire da un'operazione di dualità (moltiplicazione con
lo pseudoscalare) con il prodotto esterno
a∧b
:
a × b = −Ia ∧ b .
(1.63)
L'operazione di dualità in tre dimensioni scambia un piano con un vettore
ad esso ortogonale in senso destrorso.
Nella letteratura matematica, tale
dualità di Hodge. Vettori del tipo
vettori polari e cambiano segno per operazione
operazione è conosciuta con il nome di
di
a
e
b
vengono poi detti
di parità, metre vettori costruiti a partire dal prodotto vettoriale di Gibbs,
come
a × b, sono detti vettori
assiali
e non cambiano segno per operazione di
parità. Tuttavia, come largamente argomentato in diverse referenze [3, 7, 14,
13, 9], il prodotto vettoriale tra due vettori appare come un prodotto esterno
camuato, una forzatura dovuta alla necessità di lavorare esclusivamente
con vettori e risulta fortemente limitante in quanto può essere solo denito
in uno spazio vettoriale
3-dimensionale
25
con la prescrizione della
regola della
mano destra
, mentre il prodotto esterno è denito in spazi vettoriali di
dimensione arbitraria (persino innita, rispettando gli opportuni criteri di
convergenza). Ne risulta che nel framework dell'Algebra di Cliord anche la
distinzione in vettori assiali e polari diventa completamente non necessaria
se si comprende e accetta l'inutilità del prodotto vettoriale di Gibbs.
1.8 Riessioni e rotazioni
La potenza di calcolo dell'Algebra di Cliord comincia ad emergere quando si
considerano riessioni e rotazioni. Consideriamo un vettore arbitrario
vettore unitario
n
2
(cioé con n
parallela e ortogonale a
n
= 1).
Possiamo scomporre
a
a e un
in componenti
nel seguente modo:
a = n2 a
= n(n · a + n ∧ a)
(1.64)
= ak + a⊥ ,
dove:
ak = a · n n ,
La formula per
ak
a⊥ = n n ∧ a .
rappresenta manifestamente la proiezione di
(1.65)
a
nȧ⊥ = hnn n ∧ ai0 = hn ∧ ai0 = 0 .
Il risultato della riessione di
a0
= a⊥ − ak
n;
a⊥ :
su
mostriamo ora che anche il secondo termine rappresenta eettivamente
(1.66)
a rispetto al piano ortogonale a n è il vettore
(vedasi Figura 1.5 ), dato da:
a0 = a⊥ − ak = n n ∧ a − a · n n
= −n · a n − n ∧ a n
(1.67)
= −n a n .
Queste formula per una riessione si estende a multivettori arbitrari. Ad
esempio, se in vettori
ad
n,
a
allora il bivettore
b sono entrambi riessi
a ∧ b viene riesso in :
e
nell'iperpiano ortogonale
1
(−nan) ∧ (−nbn) = (nannbn − nbnnan)
2
= na ∧ bn .
(1.68)
In tre dimensioni, la dierenza di segno tra le formule (1.67) e (1.68) per
vettori e bivettori tiene conto del diverso comportamento dei vettori polari
e assiali sotto riessione.
26
a
Figura 1.5: Una riessione. Il vettore
a
n.
risultato
ad
n
riesso nell'(iper)piano ortogonale
Questo è il modo per descrivere riessioni in dimensioni arbitrarie: il
a0
è ottenuto invertendo il segno di
ak ,
il componente di
a
parallelo
.
Le rotazioni sono costruite a partire da coppie di riessioni: una rotazione
nel piano generato d due vettori unitari
n
e
m è ottenuta eettuando riesm e n. Eettuando prima una
sioni successive nell'(iper)piano ortogonale ad
m:
riessione nell'iperpiano ortogonale ad
b = −mam
e, successivamente, nell'iperpiano ortogonale a
(1.69)
n,
si genera il nuovo vettore:
c = −nbn = −n(−mam)n = nm a mn .
(1.70)
R = nm a mn ,
(1.71)
Deniamo:
in tal modo possiamo scrivere il risultato della rotazione come:
c = R a R̃ .
(1.72)
Nel derivare questa trasformazione non si è specicata la dimensionalità dello
spazio vettoriale, perciò vale per ogni dimensione. Il multivettore
rotore
(da non confondere con il
∇×),
R
è detto
contiene solamente elementi di grade
pari e soddisfa l'identità (trasformazione unitaria):
RR̃ = R̃R = 1 .
(1.73)
Notiamo che possiamo scrivere:
R = nm = n · m + n ∧ m = cos(θ) + n ∧ m .
27
(1.74)
Abbiamo già calcolato il modulo del bivettore
m∧n
nella (1.10):
(m ∧ n)(m ∧ n) = −sin2 (θ) .
Da ciò deniamo il bivettore unitario
B=
In termini del bivettore
B,
B
m∧n
sin(θ)
nel piano di
(1.75)
m∧n
come:
B 2 = −1 .
(1.76)
abbiamo:
R = cos(θ) − Bsin(θ) ,
(1.77)
che risulta essere semplicemente la decomposizione polare di un numero
complesso con l'unità immaginaria rimpiazzata da
B.
Possiamo, pertanto, scrivere:
R = exp(−Bθ) ,
(1.78)
con l'esponenziale denito in termini della sua serie di potenze, come con-
2
sueto .
rappresentazione spinoriale
La (1.78) è talvolta anche detta
del rotore.
Tale espressione per il rotore risulta essere uno dei più importanti oggetti
che si possono costruire con l'Algebra di Cliord e e ad esso ci ricondurremo
nella trattazione sulle trasformazioni di Lorentz nel capitolo successivo.
1.9 Derivata vettoriale
∇. Al(grade 1) in
L'operazione di derivazione vettoriale viene denotata con il simbolo
gebraticamente, essa possiede tutte le proprietà di un vettore
un'algebra di Cliord.
Le proprietà dell'operatore
denizione del prodotto interno tra
fornisce la
derivata direzionale
∇
∇
sono contenute nella
e un qualsiasi vettore
nella direzione di
a.
a:
il risultato
Cioè:
F (x + εa) − F (x)
,
ε→0
ε
a · ∇F (x) = lim
(1.79)
dove assumiamo che tale limite esista e sia ben denito.
Supponiamo ora di denire un sistema di coordinate costante
il suo sistema reciproco
da
xk = e k · x,
{ek }.
{ek }
con
Le coordinate spaziali sono pertanto denite
dove si utilizza la convenzione della sommazione implicita se
sono presenti indici ripetuti (alla Einstein).
La derivata vettoriale può così essere espressa:
∇=
X
k
2
ek
∂
= ek ∂k ,
∂xk
(1.80)
La serie di potenze per l'esponenziale risulta essere assolutamente convergente per
ogni blade del multivettore.
28
dove introduciamo la notazione abbreviata:
∂i =
∇ = ek ∂k
La decomposizione
∂
.
∂xi
(1.81)
mostra chiaramente come la derivata vettoria-
le combini le proprietà algebriche di un vettore con le proprietà operatoriali
delle derivate parziali.
Poichè la scelta di una base
{ek }
bitraria, la derivata vettoriale ne risulta indipendente.
è del tutto ar-
Per una rigorosa
trattazione dell'analisi matematica generalizzata a multivettori si rimanda ai testi specialistici [2, 9].
Nell'Appendice A si riporta l'operazione di
derivazione multivettoriale.
1.9.1 Derivata spaziotemporale
Per costruire l'operatore di derivazione vettoriale nello spazio-tempo, intro-
γµ (il cui signicato sarà specicato in modo
µ
coordinate associate x . Possiamo allora scrivere:
duciamo un sistema ortonormale
chiaro nel Capitolo 2) con
∇ = γ µ ∂µ = γ0
∂
∂
+ γi i .
∂t
∂x
(1.82)
Tale operatore di derivazione è l'operatore chiave in ogni teoria relativistica
dei campi, incluse la teoria di Dirac e dell'elettromagnetismo.
Se post-moltiplichiamo mediante prodotto geometrico l'operatore
γ0 ,
∇
con
osserviamo che:
~ ,
∇γ0 = ∂t + γ i γ0 ∂i = ∂t − ∇
(1.83)
~ = γ0 ∧ ∇ = σ i ∂i
∇
(1.84)
dove si denisce:
la derivata vettoriale nello
spazio relativo
Capitolo 2) denito dal vettore
γ0 :
(vedasi Sezione 2.3 a pag.33 del
esso corrisponde al
3-gradiente
relativo
usato nell'analisi vettoriale standard.
Allo stesso modo, si ha:
~ .
γ0 ∇ = ∂t + ∇
(1.85)
L'operatore di derivazione vettoriale dello spazio-tempo soddisfa pertanto
la relazione :
~ 02 (∂t + ∇)
~ =
∇2 = (∂t − ∇)γ
∂2
~2,
−∇
∂t2
(1.86)
che corrisponde all'operatore d'Alambertiano dello spazio-tempo, l'operatore
fondamentale che descrive onde viaggianti alla velocità della luce nel vuoto.
29
30
Capitolo 2
Algebra di Cliord dello
Spazio-tempo
2.1 Algebra dello Spazio-tempo Cl1,3
L'Algebra di Cliord
Cl1,3
costruita a partire dallo spazio-tempo relativistico
4-dimensionale di Minkowski viene in gergo detta semplicemente
dello Spazio-tempo
o
Spacetime Algebra.
Algebra
Come è noto, i vettori che appartengono allo spazio-tempo di Minkowski
non hanno norma denita positiva: un quadrivettore
x = (ct, x1 , x2 , x3 )
è
detto di tipo tempo, luce o spazio a seconda che, rispettivamente, si abbia
x2 > 0, x2 = 0
oppure
x2 < 0.
L'invarianza dell'intervallo tra due eventi per
cambiamento di sistema di riferimento:
(ct)2 − r2 = (ct0 )2 − r02
(dove si ipotizzi di passare da un certo sistema
S
(2.1)
ad un altro
S0
in moto rela-
tivo rispetto al primo) rappresenta il punto di partenza per la formulazione
della relatività speciale e costituisce anche il concetto algebrico fondamentale che occorre inglobare nella costruzione dell'Algebra dello Spazio-tempo.
La (2.1) richiede infatti che l'algebra che dobbiamo costruire necessita di
quattro vettori di base ortogonali
{γ0 , γ1 , γ2 , γ3 }
soddisfacenti le seguenti
relazioni algebriche:
γ02 = 1 ,
dove
i
e
j
γ 0 · γi = 0 ,
sono indici che corrono da
1
a
γi γj = −δij ,
3.
(2.2)
Tali relazioni algebriche sono
sintetizzate in notazione relativistica come:
γµ · γν = ηµν = diag(+ − −−) ,
La notazione
µ, ν = 0, . . . , 3
(2.3)
{γµ } per un sistema di riferimento dello spazio-tempo è una
convenzione largamente diusa nella letteratura dell'Algebra dello Spaziotempo ed è presa in prestito dalla teoria di Dirac.
31
ηµν
rappresenta la metrica
dello spazio-tempo e si è scelta la segnatura tipica della sica delle particelle,
che assegna la norma negativa a vettori di tipo spazio.
Si sceglie poi la
convenzione di usare indici latini per riferirsi alle componenti spaziali e indici
greci per tutte le componenti.
Dal sistema
la Sezione 1.5)
e
{γµ }
{γ µ },
si costruisce il sistema di riferimento reciproco (vedasi
avente, a causa della segnatura di Minkowski,
γ 0 = γ0
γ i = −γi .
Un generico vettore nello spazio-tempo può così essere costruito a partire
da
x,
{γµ }
: un evento dello spazio-tempo, ad esempio, che viene indicato con
ha coordinate
xµ
nel sistema
{γµ }.
Esplicitamente, il vettore
x
assume la
forma:
x = xµ γµ = ctγ0 + xi γi .
In questo modo, a partire da
4
contiene 2
= 16
1 scalare
l'Algebra dello Spazio-tempo
Cl1,3
termini di base:
{γµ }
| {z }
1
|{z}
{γµ },
(2.4)
{γµ ∧ γn u}
| {z }
4 vettori
Iγµ
|{z}
I
|{z}
4 trivettori
6 bivettori
.
(2.5)
1 pseudoscalare
Vedremo come la struttura di quest'algebra fornisce praticamente tutte
le informazioni che occorrono per descrivere uno spazio-tempo piatto e il
gruppo di trasformazione di Lorentz.
Un multivettore generico di
Cl1,3
può essere scritto come:
M = α + a + B + Ib + Iβ ,
dove
α
e
β
sono scalari,
a
e
b
sono vettori e
B
(2.6)
è un bivettore.
Il reverso di questo elemento è dato da:
M̃ = α + a − B − Ib + Iβ
e i vettori generatori
{γµ }
(2.7)
soddisfano le relazioni:
γµ γν + γν γµ = 2ηµν .
(2.8)
Tali relazioni sono le stesse che deniscono anche l'algebra delle matrici di
Dirac: ne consegue che le matrici di Dirac deniscono una rappresentazione
dell'Algebra dello Spazio-tempo.
2.2 Bivettori in Cl1,3
In
Cl1,3
ci sono sei bivettori che vengono suddivisi in due categorie: quelli
che contengono una componente di tipo tempo (ad esempio
che hanno solo componenti spaziali (ad esempio
Per ogni coppia di vettori ortogonali
a
e
b,
γi ∧ γj ).
a · b = 0,
con
(a ∧ b)2 = abab = −a2 b2 .
32
γi ∧ γ0 )
e quelli
si ha:
(2.9)
I due tipi di bivettori hanno quindi quadrati con segno dierente.
Per
bivettori puramente spaziali, abbiamo:
(γi ∧ γj )2 = −γi 2 γj 2 = −1 .
(2.10)
che rappresenta il familiare risultato per bivettori euclidei, ciascuno dei quali
rappresenta una rotazione su un piano.
Per bivettori contenenti una componente di tipo tempo, invece si ha:
(γi ∧ γ0 )2 = −γi 2 γ0 2 = +1 .
(2.11)
Bivettori con quadrato positivo posseggono numerose nuove proprietà.
Come risultato immediato, ad esempio, si ha che:
α2 α3
+
γ1 γ0 + . . .
2!
3!
= cosh(α) + sinh(α)γ1 γ0 .
eαγ1 γ0 = 1 + αγ1 γ0 +
(2.12)
Ciò mostra esplicitamente che si ha a che fare con una geometria di tipo
iperbolico. Questi bivettori non generano rotazioni di
90◦
ma soddisfano le
relazioni:
γ0 (γ1 γ0 ) = −γ1 ,
γ1 (γ1 γ0 ) = −γ0
(2.13)
2.3 Sistemi di riferimento relativi
Cl1,3 con l'analisi standard dei
3-vettori di Gibbs, esprimiamo la dualità di Cl1,3 selezionando un particolare
Per connettere l'Algebra dello Spazio-tempo
sistema di riferimento relativo inerziale.
Per far ciò, decomponiamo la base
dei bivettori in tre elementi che utilizzano uno specico vettore di tipo tempo
γ0 ,
nel seguente modo:
σi = γi0 = γi ∧ γ0 ,
con, al solito,
i = 1, 2, 3.
(2.14)
Deniamo anche i loro duali:
σi I = −εijk γjk ,
(2.15)
εijk il tensore completamente antisimmetrico di Levi-Civita.
σi deniscono un set di bivettori dello spaziotempo rappresentanti
piani di tipo tempo. Le σi soddisfano le relazioni:
con
Le
1
σi · σj = (γi γ0 γj γ0 + γj γ0 γi γ0 )
2
1
= (−γi γj − γj γi ) = δij .
2
(2.16)
Vediamo cioè che esse agiscono come vettori ortonormali generatori di un'algebra tridimensionale! Tale algebra è l'algebra di Cliord dello
33
spazio relativo
γ0 . Il signicato sico di ciò è
spazio 3-dimensionale come immer-
riferito al sistema di riferimento solidale con
il seguente: quando si considera l'usuale
so nello spazio-tempo
4-dimensionale,
per considerare vettori spaziali in un
dato sistema di riferimento solidale con
γ0
(cioé l'asse temporale) si assume
tacitamente che tali vettori spaziali esistano per un certo tempo. I bivettori
σi
sono così particolari bivettori nello spazio-tempo che possono essere inter-
3 dimensioni (perché generano un algebra di vettori
3-dimensionale) che vivono relativamente ad un certo tempo γ0 e
sono appunto detti vettori relativi. Si noti che in 3 dimensioni l'informazione
pretati come vettori in
ortonormali
di esistenza per un certo tempo dei vettori è data per implicita. Perdipiù,
l'elemento di volume di questa sottoalgebra è dato da:
σ1 σ2 σ3 = (γ1 γ0 )(γ2 γ0 )(γ3 γ0 ) = −γ1 γ0 γ2 γ3 = I ,
cosicché l'algebra dei vettori relativi ha lo stesso pseudoscalare
(2.17)
I
dell'Algebra
dello Spazio-tempo.
2.4 Bivettori e split spaziotemporale
In termini della base di
bivettore
F
in
Cl1,3
3-vettori relativi σi = γi0 appena deniti, un generico
assume la forma:
~ + BI
~ ,
F = E1 γ10 + E2 γ20 + E3 γ30 + B1 γ32 + B2 γ13 + B3 γ21 = E
dove si sono utilizzati un
relativo
~
B
3-vettore
~
E
(2.18)
e il duale di un
3-vettore
~ = (B1 σ1 + B2 σ2 + B3 σ3 )I .
BI
(2.19)
relativo
:
~ = E1 σ1 + E2 σ2 + E3 σ3
E
La scomposizione (2.18) per un bivettore è detta
split spaziotemporale.
Si noti che tale scomposizione in due termini relativi duali
specicazione di un particolare vettore di tipo tempo
γ0
~
E
e
~
B
richiede la
nella base (2.14), il
ché rompe l'indipendenza dal sistema di riferimento tra i due termini
solamente il bivettore totale
che si denisce un
F
~
E
e
prodotto dalla loro somma nella (2.18) è quello
oggetto geometrico proprio,
indipendente dal sistema di
riferimento e dall'osservatore. Si è scelta la suggestiva notazione che usa
e
~
B
~:
B
~
E
per anticipare la loro corrispondenza con i campi elettrico e magnetico
in elettrodinamica classica.
Osserviamo ora come si può utilizzare il prodotto tra un vettore e un
bivettore a partire dalla relazione (1.17) per computare lo split spaziotemporale (2.19):
F = F γ0 γ0−1 = (F · γ0 )γ0 + (F ∧ γ0 )γ0 ,
dove si è utilizzato che
(2.20)
γ0 = γ0−1 .
Il primo termine della (2.20) contrae (cioé ne abbassa il grade)
un vettore ortogonale a
γ0
e poi moltiplica per
34
γ0
F
ad
per produrre la base di
3-vettori relativi σi = γi γ0 . Il secondo termine dilata (cioè ne innalza il
grade) F ad un trivettore che include γ0 , per poi contrarlo nuovamente con
γ0 , dando origine alla base duale σi I = −εijk γj γk . Tale risultato ci sarà utile
nelle sezioni successive.
2.5 Paravettori
Usando lo split spaziotemporale (2.19) per i bivettori, si può scrivere un
generale multivettore (2.6) in
Cl1,3
nel seguente modo:
h
i h
i
~ + v + (β + B)
~ +w I,
M = (α + E)
dove
α, β
sono scalari,
v ,w
sono vettori e
~
E
e
~
B
sono
(2.21)
3-vettori
relativi.
La (2.21) rappresenta una partizione dei due termini dell'espansione complessa in un termine di grade pari (come
~ ) e un termine di grade dispari
(α+E)
(v ). Tali partizioni hanno ognuna quattro componenti e sono tra loro duali
rispetto a moltiplicazione da destra di un determinato
Come importante esempio, consideriamo il
γ0 .
4-vettore
delle coordinate
x,
che diventa:
xγ0 = [ctγ0 + x1 γ1 + x2 γ2 + x3 γ3 ]γ0
= ct + x1 γ10 + x2 γ20 + x3 γ30
(2.22)
= ct + ~x ,
che rappresenta la somma di un tempo scalare relativo e di un
3-vettore
relativo delle coordinate spaziali. Tale combinazione di uno scalare relativo
e di un
3-vettore
relativo viene in gergo detta
paravettore.
Dalla (2.22) osserviamo come la moltiplicazione a destra di un
con
γ0
non faccia altro che isolare le quantità
sistema di riferimento inerziale di
plicazione a sinistra per
γ0
γ0 .
relative
4-vettore
che corrispondono al
Analogamente, si vede che la molti-
inverte il segno della componente
causa dell'antisimmetria del prodotto esterno:
γ0 x = ct−~x.
3-vettoriale
a
Da ciò possiamo
recuperare in modo consistente l'intervallo invariante tra due eventi usando
direttamente la dualità del paravettore:
x2 = xγ0 γ0 x = [ct + ~x]ct − ~x = (ct)2 − |~x|2 .
35
(2.23)
2.6 Trasformazioni di Lorentz
Le trasformazioni di Lorentz sono solitamente espresse in termini di una
trasformazione di coordinate. Si considerino due sistemi di riferimento inerziali
S
ed
S0,
con gli assi
1
2
e
coincidenti e tali che
S0
si muova con velocità
βc lungo l'asse 3 rispetto al sistema S . Denotiamo i componenti 0 e
3 rispettivamente con t e z . Se le origini dei sistemi coincidono nell'istante
t = t0 = 0, le coordinate dello stesso evento spaziotemporale misurate nei
scalare
due diversi sistemi di riferimento, sono legate dalle leggi di trasformazione
di Lorentz:
0
t0 = γ(t − βz)
dove
γ = (1 − β 2 )−1/2
x1 = x1
e
β
0
z 0 = γ(z − βt) ,
x2 = x2
è la velocità in unità di
(2.24)
c (β < 1).
Le relazioni inverse sono:
t = γ(t0 + βz 0 )
x1 = x1
0
x2 = x2
0
z = γ(z 0 + βt0 ) .
(2.25)
Le argomentazioni che portano alla formulazione di tali leggi possono essere trovate in qualsiasi testo di introduzione alla relatività ristretta e sono
qui omesse.
Per raggiungere una più chiara comprensione di queste leggi
di trasformazione, occorre prima convertire tali relazioni in leggi di trasformazione per i vettori di base. Consideriamo il vettore
x
decomposto in due
0
sistemi di riferimento γµ e γµ :
x = xµ γµ = xµ0 γµ0 .
(2.26)
Abbiamo, ad esempio:
t0 = γ 00 · x .
t = γ0 · x ,
Concentrandoci sulle componenti
0
e
3,
(2.27)
si ha:
tγ0 + zγ3 = t0 γ00 + z 0 γ30
(2.28)
e da ciò deriviamo le relazioni vettoriali:
γ00 = γ(e0 + βγ3 ) ,
γ30 = γ(γ3 + βγ0 ) ,
(2.29)
che legano le basi dei due sistemi di riferimento.
In precedenza, nella (2.12) abbiamo visto che bivettori con quadrato positivo portano ad una geometria dello spazio-tempo di tipo iperbolico. Ciò
suggerisce di introdurre un angolo
α,
detto
rapidità
, tale che:
tanh(α) = β ,
(2.30)
γ = (1 − tanh2 (α))−1/2 = cosh(α) .
(2.31)
con:
36
Il vettore
γ00
ora diventa:
γ00 = cosh(α)γ0 + sinh(α)γ3
= (cosh(α) + sinh(α)γ3 γ0 )γ0
(2.32)
= exp(αγ3 γ0 ) γ0 ,
dove abbiamo espresso il termine (scalare
+ bivettore) come un esponenziale.
Allo stesso modo si ottiene che:
γ30 = cosh(α)γ3 + sinh(α)γ0 = exp(αγ3 γ0 ) γ3 .
(2.33)
Ora si ricordi che questi sono solo due dei quattro vettori di base e che gli
altri due non cambiano con la trasformazione. Poiché
γ0
e con
γ3 ,
ma commuta con
γ1
γ2 ,
e con
γ3 γ0
anticommuta con
possiamo esprimere le relazioni
tra le basi dei due sistemi di riferimento come:
γµ0 = Rγµ R̃ ,
γ µ0 = Rγ µ R̃ ,
(2.34)
dove:
R = eαγ3 γ0 /2 .
(2.35)
Si ricava cioé che la stessa forma per i rotori costruita per rotazioni nello spazio Euclideo (nella (1.78)) funziona allo stesso modo per boosts di
Lorentz in relatività .
Ciò rende il calcolo delle trasformazioni di Lorentz
mediante l'Algebra di Cliord drammaticamente più semplice rispetto alle
usuali computazioni matriciali.
Come applicazione, consideriamo un boost di Lorentz che ruota un bivettore
F
da un sistema con velocità relativa
~v
nel sistema solidale con
F 0 = e−αγ3 γ0 /2 F eαγ3 γ0 /2
(2.36)
= e−ασ3 /2 F eασ3 /2 ,
con
γ0 :
α = tanh−1 (|~v |/c).
F = Fk + F⊥ in
che ~
v commuta con
Per semplicare la (2.36), scomponiamo il bivettore
termini
Fk
Fk
F⊥
paralleli perpendicolari
ma anticommuta con
F⊥ ,
a
~v
e, osservando
allora la trasformazione di Lorentz diventa:
F 0 = e−ασ3 /2 F eασ3 /2
= Fk + e−ασ3 /2 F⊥
−1 (|~
v |/c) σ3 /2
= Fk + e−tanh
s
= Fk + exp −ln
1 + (|~v |/c) σ3
1 − (|~v |/c) σ3
1 − ~v /c
= Fk + p
F⊥
1 − (v/c)2
= Fk + γ(1 − ~v /c)F⊥ .
37
F⊥
!
F⊥
(2.37)
~
F⊥ = E⊥
0
bivettore ortogonale, allora la sua trasformazione F⊥ diventa:
Se eettuiamo uno split spaziotemporale (2.18)
~ ⊥I
+B
F⊥0 = γ(1 − ~v /c)F⊥
~⊥ + B
~ ⊥ I)
= γ(1 − ~v /c)(E
~ ⊥ + ~v × B
~⊥ + B
~⊥ I ,
~ ⊥ − ~v × E
=γ E
c
c
dove abbiamo semplicato
per
~ ).
B
del
(2.38)
~ ⊥ = ~v × E
~ ⊥ I , dato che ~v · E
~ ⊥ = 0 (e similmente
~v E
2.7 Derivata spaziotemporale di un campo bivettoriale
Utilizzando la denizione di derivata spaziotemporale introdotta nella Sezione
1.9.1 a pag.
29 del Capitolo 1, possiamo ora scrivere l'espressione della
derivata del campo bivettoriale
relative al vettore
~
~
F (x) = E(x)
+ B(x)I
,
con
x
coordinate
γ0 :
~
∇F (x) = γ0 (∂0 + ∇)F
~ E
~ + BI)
~
= γ0 (∂0 + ∇)(
h
i
~ + ∂0 BI
~ + ∇(
~ E
~ + BI)
~
= γ0 ∂0 E
h
i
~ + ∂0 BI
~ +∇
~ · (E
~ + BI)
~ +∇
~ ∧ (E
~ + BI)
~
= γ0 ∂0 E
h
i
~ + ∂0 BI
~ +∇
~ ·E
~ +∇
~ · BI
~ −∇
~ × EI
~ −∇
~ × B)
~
= γ0 ∂0 E
h
i
h
i
~ ·E
~ + ∂0 E
~ −∇
~ ×B
~ + γ0 ∇
~ ·B
~ + ∂0 B
~ −∇
~ ×E
~ I,
= γ0 ∇
(2.39)
che assume la forma di un singolo campo vettoriale complesso scritto come
paravettore.
Per scrivere la (2.39) sono usate le relazioni:
~ ×E
~ = −∇
~ ∧ EI
~ ,
∇
~ ×B
~ = −∇
~ ∧ BI
~ ,
∇
(2.40)
per ricondurci agli operatori di rotore dell'analisi vettoriale standard.
L'espressione (2.39) è di fondamentale importanza per ricavare l'espressione per le equazioni di Maxwell dell'Elettrodinamica Classica nel formalismo dell'Algebra di Cliord, come vi vedrà nel Capitolo 3.
38
Capitolo 3
Elettrodinamica Classica
3.1 Le Equazioni di Maxwell nel vuoto
Gli strumenti matematici sviluppati nelle sezioni precedenti ci consentono
ora di esplorare in profondità la struttura sica dell'elettromagnetismo così
come emerge in termini dell'Algebra di Cliord.
Come vedremo, l'elettro-
magnetismo aora in modo naturale direttamente dalla struttura geometrica dell'algebra dello spazio-tempo n qui sviluppata, senza alcuno sforzo
aggiuntivo.
Per procedere in questo intento, iniziamo con l'esaminare l'operazione di
derivazione di un campo bivettoriale partendo dalla seguente osservazione:
la più semplice equazione dierenziale scrivibile per un campo bivettoriale
F,
l'equazione omogenea:
∇F = 0
(3.1)
è equivalente alle quattro equazioni di Maxwell nel vuoto, con le opportune scelte delle costanti che deniscono le unità di misura per i componenti
bivettoriali.
È bene sottolineare che la comparsa quasi automatica delle equazioni
di Maxwell nel framework sviluppato è riguardevole, in quanto emerge solamente da un'attenta costruzione della struttura algebrica e dierenziale
della varietà dello spazio-tempo, senza far riferimento ad ulteriori assunzioni
siche. Torneremo su questo tema intrigante nelle sezioni successive quando
svilupperemo il formalismo Lagrangiano del manifold dello spazio-tempo.
Passiamo ora a mostrare l'equivalenza tra la (3.1) e le usuali equazioni
di Maxwell in un sistema di riferimento relativo con il vettore di tipo tempo
γ0 .
Usando la relazione (2.20), scriviamo
polare
~
(E)
e assiale
~
(B)
F
in termini dei suoi componenti
tramite contrazione con
γ0 .
~ + BI
~
F = F γ0 γ0 −1 = (F · γ0 )γ0 + (F ∧ γ0 )γ0 = E
39
(3.2)
Applichiamo ora l'identità dierenziale (2.40) alla (3.1):
h
i
h
i
~ ·E
~ + ∂0 E
~ −∇
~ ×B
~ + γ0 ∇
~ ·B
~ + ∂0 B
~ +∇
~ ×E
~ I
∇F (x) = γ0 ∇
(3.3)
Data la lineare indipendenza dei componenti vettoriale e trivettoriale della (3.3), anché valga l'uguaglianza (3.1), si deve vericare che debbano
annullarsi entrambe le equazioni paravettoriali per il sistema di riferimento
γ0 :
~ ·E
~ + ∂0 E
~ −∇
~ ×B
~ =0
∇
~ ·B
~ + ∂0 B
~ +∇
~ ×E
~ =0
∇
(3.4)
Per nire, le parti scalare e trivettoriale di ciascuno dei due paravettori della
(3.4) possono essere separate per ottenere le quattro equazioni di Maxwell
nel vuoto nella usuale formulazione dei 3-vettori di Gibbs:
~ ·E
~ = 0,
∇
~ ·B
~ = 0,
∇
~ ×B
~ = ∂0 E
~
∇
~ ×E
~ = −∂0 B
~
∇
(3.5)
L'equivalenza diventa ancor più esplicita riscalando questi vettori con le
costanti che ssano le unità di misura nel SI
~ →E
~ √ ε0
(E
~ → B/
~ √ µ0 )
B
∂ → c−1 ∂t . D'altro canto, con queste sostituzioni
√ 0
c = 1/ ε0 µ0 , diventa evidente che il campo bivettoriale:
espandendo
che
e
F =
√
ed
e ricordando
~ + BI/
~ √ µ 0 = √ ε0 E
~ + cBI
~
~ + BI
~ /õ0
ε0 E
= E/c
(3.6)
risulta essere precisamente equivalente al campo vettoriale elettromagnetico
complesso di Riemann-Silberstein [11, 12]. È tuttavia importante notare che
il fattore pseudoscalare
I
che qui compare ha un signicato più ricco di quello
che si potrebbe avere utilizzando semplicemente l'unità immaginaria scalare
i
che appare in altre trattazioni.
Per comodità ometteremo le costanti nella trattazione che segue, visto
che esse possono essere recuperate in modo semplice in ogni momento.
Osserviamo che l'equazione (3.1) è manifestamente covariante rispetto a
cambiamento di sistema di riferimento inerziale, a dierenza delle quattro
equazioni (3.4). Scelto, infatti, un altro vettore di tipo tempo
contrarre
F,
cioé scrivendo
~0 + B
~ 0I,
F = E
γ
0
0 con cui
si ottengono dierenti campi
3-vettoriali relativi:
~ 0 = F · γ0 0 γ0 0 = E
~ · γ 0 0 γ 0 0 + BI
~ · γ0 0 γ0 0
E
~ 0 I = F ∧ γ0 0 γ0 0 = E
~ ∧ γ 0 0 γ 0 0 + BI
~ ∧ γ0 0 γ0 0
B
i quali devono soddisfare parimenti le equazioni (3.4).
40
(3.7)
Questi nuovi campi vettoriali relativi (3.7) riferiti a
γ
0
0 mescolano le com-
~ eB
~ (riferiti a γ0 ) pur producendo lo stesso campo bivettoriale
ponenti di E
~
~
~0 + B
~ 0 I . Da ciò, comparando le diverse espansioni nei
F = E + BI = E
diversi sistemi di riferimento, si comprende il fondamentale ruolo assunto
I nel regolare automaticamente le implicite basi relative
0
0
0
~σi = γ i γ 0 : usando un'unità immaginaria scalare i non si
dallo pseudoscalare
~σi = γi γ0
e
sarebbe preservata l'invarianza per cambiamento di sistema di riferimento.
Il mescolamento delle componenti dei campi (3.7), dovuto a tale cambiamento di sistema di riferimento, ha precisamente la forma di un boost
di Lorentz della (2.38).
Per provare ciò, notiamo che è sempre possibile
esprimere il vettore del nuovo sistema
γ
0
0 tramite un boost di Lorentz del
γ0 con una certa velocità relativa ~v . Tale boost ha rappresen0
γ 0 = ψγ0 ψ̃ con lo spinore di rotazione ψ = exp (−αv̂/2),
3-versore velocità v̂ = ~v / |v| appartiene anch'esso al piano di ro−1 |v| /c che rappresenta la rapidità del
del boost, e con α = tanh
vecchio sistema
tazione spinoriale
dove il
tazione
boost. Questa trasformazione di Lorentz produce la relazione:
γ
0
0
1 − ~v /c
= ψγ0 ψ̃ = exp (−αv̂/2) γ0 = q
γ0
1 − (|v| /c)2
Ridenendo, per brevità, l'usuale fattore di dilatazione relativistico
[1 − (|v| /c)2 ]−1/2 , possiamo
0
sistema γ 0 usando la (3.2):
0
0
direttamente espandere
F
(3.8)
γ =
nei campi relativi al
−1
F = F γ 0 γ 0 = γ 2 F γ0 γ0 (1 − ~v /c)(1 + ~v /c)
~ + BI)(1
~
= γ 2 (E
− ~v /c)(1 + ~v /c)
~ + BI
~ −E
~ · (~v /c) − B
~ · (~v /c)I + B
~ × (~v /c) − E
~ × (~v /c)I](1 + ~v /c)
= γ 2 [E
~ k + γ(E
~ ⊥ + ~v × B
~ ⊥ /c)] + [B
~ k + γ(B
~ ⊥ − ~v × E
~ ⊥ /c)]I
= [E
(3.9)
che è proprio la stessa forma che si ottiene direttamente da un boost di
Lorentz di
F
come la si era ottenuta in precedenza nella (2.38).
41
3.2 Degenerazione per fase globale e simmetria duale
È rilevante osservare che l'equazione (3.1) è invariante per trasformazioni
di fase globali.
Per comprendere le implicazioni di tale simmetria delle
equazioni di Maxwell, rivisitiamo rapidamente il modo in cui tali trasformazioni agiscono sul campo elettromagnetico stesso.
In particolare, applichiamo una rotazione di fase usando la rappresentazione spinoriale
ψ = exp(−θI/2)
all'equazione (3.1):
ψ (∇ F ) ψ ∗ = e− θ I /2 (∇ F ) eθ I /2
= ∇ eθ I /2 F eθ I /2
(3.10)
= ∇ F exp (θ I) = 0
la quale mostra come la trasformazione di fase eettivamente si cancelli. Si
noti che questa trasformazione di fase equivale a modicare la fase intrinseca di
F → F exp(θ I).
stesso modo in ogni punto
Tale fase aggiunta mescola i campi
x,
~
E
e
~
B
allo
pur lasciando il sistema di riferimento inerziale
invariato:
~ − sin θB)
~ + (sin θE
~ + cos θB)
~
F exp(θ I) = (cos θE
Nell'interessante caso particolare in cui si consideri un angolo
è uno scambio dei campi relativi
x.
~
E
e
~,
B
(3.11)
θ = −π/2,
vi
a meno di un segno, in ogni punto
Il bivettore risultante è denito come il duale di
F
e tipicamente viene
espresso con la seguente notazione:
~ −E
~I
G = F I −1 = B
(3.12)
che in notazione dei componenti tensoriali, si trova nell'usuale forma:
Gµν = ?F µν = −
1 X µναβ
ε
Fαβ
2
(3.13)
α, β
usando l'operazione
?
di Hodge-dualità delle forme dierenziali e il tensore
completamente antisimmetrico di Levi-Civita
e
G , intrinseca alle equazioni di Maxwell
nel vuoto, è storicamente nota come
dei campi di Maxwell
Questa libertà di scambio tra
F
εµναβ .
simmetria duale
nel vuoto. Ora possiamo meglio osservare che essa può in realtà essere vista
come una caratteristica strutturale di un campo bivettoriale dello spaziotempo che ammette una simmetria per trasformazione di fase globale delle
equazioni del moto.
Si noti che il modulo del bivettore
|F |2 ≡ F · F = G · G
sempre manifesamente invariante per simmetria duale.
42
risulta essere
3.3 Le Equazioni di Maxwell con sorgenti
Modichiamo le equazioni di Maxwell nel vuoto (3.1) aggiungendo un campo sorgente.
Poiché la dierenziazione di un campo bivettoriale può solo
produrre un campo vettoriale complesso, tale modica produce
∇F = j
dove la corrente complessa
j = je + jm I
(3.14)
agisce come campo sorgente e
ammette sia parte vettoriale (elettrica) sia parte trivettoriale (magnetica). Si
noti che questa equazione non è più intrinsecamente invariante per semplice
rotazione di fase
sorgente
F → F exp(θ I)
a causa della presenza della corrente
j.
Eettuando un ulteriore dierenziazione della (3.14) otteniamo il set di
equazioni:
∇2 F
=
(∇ ∧ je ) + (∇ ∧ jm ) I
(3.15)
∇ · je
=
∇ · jm = 0
(3.16)
La prima equazione (per la parte bivettoriale) mostra che
F
quazione d'onda con una sorgente complessa pari al rotore di
soddisfa un'e-
j
. La seconda
equazione (per la parte scalare) indica che la sorgente soddisfa un'equazione
di continuità .
3.4 Sistema di riferimento relativo
Riscriviamo l'Eq.(3.14) esprimendo la corrente sorgente in parte vettoriale e
trivettoriale
j = je + jm I .
Essa si scompone in due equazioni indipendenti:
∇ · F = je
∇ ∧ F = jm I
Scrivendo
con
γ0
(3.17)
F , je e jm in un sistema di riferimento relativo tramite contrazione
, analogamente a quanto fatto nell'Eq.(3.2), si ottiene:
~ +B
~I
F = E
je = γ0 (c ρe − J~e )
jm = γ0 (c ρm − J~m )
(3.18)
Sostituendo ora le (3.18) nelle (3.17), si ottengono le equazioni di Maxwell
che includono, formalmente, entrambe le cariche elettriche e magnetiche:
~ ·E
~ = c ρe ,
∇
~ ·B
~ = c ρm ,
∇
~ −∇
~ ×B
~ = − J~e
∂0 E
~ −∇
~ ×E
~ = − J~m
∂0 B
43
(3.19)
Allo stesso modo, l'equazione di continuità per le sorgenti (3.16) si scompone
nelle due equazioni:
~ · J~e = 0,
c ∂0 ρe + ∇
~ · J~m = 0
c ∂0 ρm + ∇
(3.20)
3.5 La forza di Lorentz
Parimenti alla comparsa delle equazioni di Maxwell (3.1), anche la legge per
la forza di Lorentz sorge in modo naturale direttamente dalla struttura dello
spazio-tempo, espresso in termini dell'Algebra di Cliord. Per mostrare ciò,
analizziamo cosa accade nel caso in cui si contragga
~ + B
~I
F = E
con un
4-vettore w = (w0 + w)γ
~ 0.
Usando la (1.18), otteniamo:
1
[F w − F w]
2
1 ~
~ I) (w0 + w)
~ −B
~ I)] γ0
= [(E
+B
~ + (w0 + w)
~ (E
2
~ · w)
~ +w
~ γ0
= (E
~ γ0 + [w0 E
~ × B]
F· w =
(3.21)
w rappresenti un vettore di
w2 = c2 . Scomponendo x = [ct + ~x]γ0 , si
dx
d
d(ct) d(~x)
=
[ct + ~x] γ0 =
+
γ0
(3.22)
dτ
dτ
dτ
dτ
Si consideri ora il caso particolare in cui
velocità propria
ha:
Denotando
w = dx/dτ ,
dt/dτ = γ
con
il fattore relativistico di dilatazione temporale,
osserviamo che
dx
dx
= γ
= γ ~v .
(3.23)
dτ
dt
2
2 2
2
2
2
Espandendo il modulo quadro w = c = w0 − |w| = γ (c − |~
v |2 ), si
2
ottiene l'usuale espressione per il fattore relativistico γ = (1 − |~
v /c| )1/2 , da
cui otteniamo le componenti relative di w :
c
w0 = γ c = p
,
1 − |~v /c|2
w
~ = γ ~v
(3.24)
e le eleganti e utili relazioni:
γ =
dt
w
=
· γ0 ,
dτ
c
d~x
= w ∧ γ0 ,
dτ
~v
w ∧ γ0
=
c
w · γ0
(3.25)
Inserendo le (3.24) nella (3.21) si ottiene l'interessante relazione:
h
i
h
i
~
~
~
F · w = γ c E · ~v γ0 + γ c E + ~v × B γ0
44
(3.26)
Invertendo i fattori e moltiplicando per una carica scalare
[F · (q0 w)]
q0
si ottiene:
h
i
dτ
~ · ~v + q0 c E
~ + ~v × B
~
γ 0 = q0 c E
dt
(3.27)
da cui osserviamo che la parte vettoriale del membro di destra rappresenta
proprio la
Forza di Lorentz
d~
p
dt in un sistema di riferimento relativo con
p~ = m~v , mentre la parte scalare corrisponde precisamente alla densità di
2
energia dε/d(ct) con ε = γmc . Segue che la semplice contrazione di F con
un quadrivettore corrente q0 w produce la forza di Lorentz propria:
dp
= F · (q0 w)
dτ
dove
p = (ε/c + p~)γ0
4-vettore
è il
(3.28)
proprio energia-momento.
Possiamo sviluppare ulteriormente questo risultato: consideriamo il caso
j = q0 w exp(θI).
Partendo dalla relazione di contrazione propria F · (wI) = (F ∧ w)I , consideriamo il prodotto esterno del campo bivettoriale con la velocità w :
in cui il quadrivettore corrente
q0 w
sia complesso, del tipo
1
[F w + wF ]
2
1 ~
~
~ − BI)]γ
~
= [(E
+ BI)(w
~ − (w0 + w)(
~ E
0 + w)
0
2
~ · w]
~ −w
~ γ0 I −1
= [B
~ γ0 I −1 + [w0 B
~ × E]
F ∧w =
La contrazione totale di
F
con
j = q0 w exp(θI) = je + jm I
(3.29)
ha pertanto la
forma:
dp
1
= hF ji1 = F · je + (F ∧ jm )I = [F j + (F j)∼ ]
dτ
2
(3.30)
dove l'operazione di proiezione di grado-1 rende l'espressione particolarmente
elegante, mentre l'ultima uguaglianza segue dalle proprietà d'inversione
−F
e
F̃ =
j̃ = j ∗ .
3.6 Potenziale vettore complesso
La costruzione del potenziale vettore parte dall'ansatz:
F = ∇z
dove
z
(3.31)
è un qualche multivettore inizialmente non specicato. A causa del
fondamentale teorema di Green-Stokes, che può facilmente essere generalizzato a campi multivettoriali come fatto nelle referenze [2, 9], tale ansatz
può solo descrivere campi
conservativi
che si annullano quando integrati lun-
go il bordo di una qualsiasi (iper)supercie chiusa.
puramente bivettoriale,
∇z
Poiché
F
è un campo
deve soddisfare le condizioni seguenti:
45
• z
deve essere un campo vettoriale, in modo da produrre un campo
bivettoriale tramite operazione di derivazione;
•
a causa della
simmetria duale
di
F, z
deve essere complesso.
In particolare, una rotazione di fase di
F
induce la trasformazione:
F → F exp(θI) = (∇z)exp(θI) = ∇(zeθI ) = ∇(eθI/2 zeθI/2 ) ,
che implica una rotazione di fase in notazione spinoriale per
Ne consegue che
z
(3.32)
z.
debba essere un campo vettoriale complesso della
forma:
z = ae + am I ,
con separate parti
ae elettrica
e
(3.33)
am magnetica, che soddisfano l'equazione:
∇z = ∇ ∧ ae + ∇ · (am I) = ∇ ∧ ae + (∇ ∧ am ) = F ,
(3.34)
1
utilizzando la gauge di Lorentz-Fitzgerald :
∇ · ae = ∇ · am = 0 .
(3.35)
Come risultato i campi potenziali devono essere manifestamente trasversi:
∇ae = ∇ ∧ ae ,
∇am = ∇ ∧ am .
(3.36)
Questa trasversalità implica che vi sia una libertà di gauge addizionale nel-
z dovuta all'invarianza per sostituzione con z 0 = z + ∇ζ ,
2
0
con ζ tale che ∇ ζ = 0. Ciascun nuovo z , così produce lo stesso campo
0
2
bivettoriale: ∇z = ∇z + ∇ ζ = F .
la denizione di
1
Questa condizione, nota anche come semplicemente
gauge di Lorentz, ssa solo parzial-
mente la libertà di gauge per ottenere un'espressione più esplicita per una trattazione dei
campi in modo relativisticamente manifestamente covariante.
46
Capitolo 4
Lagrangiana del Campo
Elettromagnetico
È bene enfatizzare che nora non si è introdotto alcun postulato sico se
non quello implicito dell'esistenza dello spazio-tempo stesso e dell'algebra ad
esso associato.
Tuttavia, la teoria classica dell'elettromagnetismo è descritta in modo
completo tramite il formalismo Lagrangiano e il nostro intento è ora di
studiare tale formalismo nel nuovo framework dell'Algebra di Cliord.
4.1 Lagrangiana tradizionale del Campo Elettromagnetico nel vuoto
Come visto nella Sezione 3.6, la simmetria duale delle Equazioni di Maxwell
nel vuoto per il potenziale vettore
z
sotto trasformazione globale di fase
implica che esso debba essere invariante
z → zeIθ
e perciò deve essere intrinse-
camente complesso. Tale simmetria pone un problema per la Lagrangiana
tradizionale del campo Elettromagnetico, che può essere scritta nella forma:
Ltrad (x) =
~ 2 − |B|
~ 2
h(∇z)2 i0
hF 2 i0
|E|
1X
=
=
=
Fµν F µν ,
2
2
2
4 µν
(4.1)
dove l'ultima uguaglianza utilizza l'usuale notazione tensoriale .
Tradizionalmente il potenziale vettore
z
è considerato essere puramente
z = ae . Ciò genera un singolo campo costituente ad esso associato
F = ∇ ∧ ae . Perciò nell'elettromagnetismo tradizionale, con sole cariche
elettrico
elettriche, tutte le quantità magnetiche devono annullarsi.
Osserviamo che la Lagrangiana tradizionale (4.1) non è dual-simmetrica,
z nelle sue parti costituen∇ · ae = ∇ · am = 0 e denendo i due
infatti espandendo il potenziale vettore complesso
ti, imponendo la gauge di Lorentz
47
campi costituenti:
~e + B
~ eI
Fe = ∇ ∧ ae = E
~m + B
~ mI ,
Fm = ∇ ∧ am = E
tali che
F = ∇z = Fe + Fm I ,
(4.2)
allora la Lagrangiana si espande nella forma:
2i
hFe2 i0 − hFm
0
+ hFe · Fm Ii0
2
i
h
i
h
1 ~ 2
~e · B
~m + B
~e · E
~m ,
~ e |2 + |E
~ m |2 − |B
~ m |2 − E
=
|Ee | − |B
2
Ltrad (x) =
(4.3)
che mostra la presenza di termini misti dei campi costituenti che alterano
la struttura formale della (4.1). Tali termini addizionali appaiono perché la
Lagrangiana tradizionale non è invariante per rotazione di fase
z → zeθI , ma
invece trasforma come:
Ltrad →
~ 2 − |B|
~ 2
|E|
~ ·B
~ sin(2θ) .
cos(2θ) − E
2
(4.4)
La mancanza di invarianza per fase globale dell Lagrangiana è problematica
per mantenere un potenziale vettore complesso dual-simmetrico
z.
Tuttavia
si può sempre aggirare tale problema rompendo la simmetria duale postulando che
z = ae ,
cioé che il potenziale vettore sia puramente elettrico come
nell'approccio tradizionale.
Si può procedere anche in un modo alternativo interessante che consiste
nel modicare leggermente la Lagrangiana per renderla manifestamente dualsimmetrica sotto rotazione di fase globale.
4.2 Lagrangiana dual-simmetrica
È possibile modicare la Lagrangiana tradizionale per renderla propriamente
dual-simmetrica aggiungendo il complesso coniugato
∇z ∗
all'espressione
tradizionale, cioé scrivendo:
Ldual =
h(∇z)(∇z ∗ )i0
.
2
(4.5)
Si noti come tale modica renda la Lagrangiana una semplice forma quadratica del campo
z,
come ci si aspetta dall'energia cinetica di un tale
campo.
Verichiamo che tale modica produca eettivamente i risultati desiderati.
In termini di campi costituenti, la (4.5) si espande nelle seguenti forme
48
equivalenti:
2i
hFe2 i0 hFm
0
+
2
2
h(∇ae )2 i0 h(∇am )2 i0
=
+
2
2
h
i 1h
i
1 ~ 2
2
~ e| +
~ m |2 − |B
~ m |2 .
=
|Ee | − |B
|E
2
2
Ldual (x) =
(4.6)
Tale espressione è manifestamente dual-simmetrica e vediamo, forse sorprendentemente, che la forma dual-simmetrica della Lagrangiana rappresenta
semplicemente la somma di due copie della Lagrangiana tradizionale, una
per ciascuno dei campi costituenti
ae
e
am
del potenziale vettore complesso
z = ae + am I .
Tale espressione per una Lagrangiana dual-simmetrica corrisponde precisamente a quelle trovate in molte referenze [14, 16, 17, 18], le quali, pur
procedendo per le strade più svariate, con diversi formalismi matematici,
partono tutte, nora, dall'eettuare alcune assunzioni siche che le rendono
meno generali dell'espressione trovata nel formalismo dell'Algebra di Cliord
applicato alla geometria dello spazio-tempo .
49
50
Capitolo 5
Conclusioni
Il lavoro presentato mostra come l'Algebra di Cliord riesca in modo semplice
ed intuitivo a mostrare caratteristiche dello Spazio-tempo relativistico che in
genere passano inosservate, prima fra tutte la sua intrinseca struttura complessa (nel senso algebrico visto), la quale non risulta essere particolarmente
1
esplicita nell'usuale rappresentazione tensoriale .
Anche nello studio dell'Elettrodinamica Classica si sono trovati numerosi
nuovi risultati davvero interessanti: si è osservato che un bivettore proprio
F si separa naturalmente in parte polare e assiale (nel~ + BI
~ , se considerato rispetto ad
la convenzione dei 3-vettori di Gibbs) F = E
dello spazio-tempo
un particolare sistema di riferimento (2.18) e si è notato che tali componenti
3-vettoriali
trasformano tramite un boost di Lorentz esattamente come ci si
aspetta che il campo elettrico trasformi, nelle equazioni (3.9).
Successivamente si è avuto modo di vedere che la struttura della più
semplice equazione dierenziale bivettoriale
∇F = 0,
la (3.1), rappresen-
ta precisamente le Equazioni di Maxwell nel vuoto, mentre la sua successiva
modica
∇F = j , la (3.15), costituisce le Equazioni di Maxwell che includono
formalmente entrambe le cariche elettriche e magnetiche, inglobate in un
singolo vettore corrente complesso
rente complessa
dp
dτ
= hF ji1 ,
j
j.
Contraendo il bivettore
F
con la cor-
si ottiene poi la corretta equazione per la Forza di Lorentz
che supporta entrambe le cariche elettriche e magnetiche .
Risultato assolutamente sorprendente è che tutte queste proprietà emergano direttamente solo dalla struttura algebrica dello Spazio-tempo e che
corrispondino precisamente ai risultati della teoria dell'elettromagnetismo
classico, senza eettuare ulteriori ipotesi siche.
Ciò spinge a rimeditare sui postulati sici della teoria classica e a chiedersi
se e quali siano eettivamente necessari. Naturalmente una descrizione più
completa del mondo innitamente piccolo (o meglio, a piccole scale di azione)
è data dalla meccanica quantistica e in tali regimi si deve far riferimento ai
1
Si tenga presente che si dimostra che anche il formalismo tensoriale risulta essere una
particolare rappresentazione dell'Algebra di Cliord dello Spazio-tempo.
51
postulati di tale teoria. Si riesce tuttavia in modo molto semplice e lineare
2 nel linguaggio
anche a riformulare la meccanica quantistica interamente
dell'Algebra di Cliord [6], analogamente a quanto fatto per il caso classico
(come in questa tesi) e la proprietà di quest'algebra di poter considerare
contemporaneamente oggetti commutanti e oggetti anticommutanti, la rende
particolarmente adatta anche a questo scopo.
Pertanto, l'idea di Hestenes di usare l'Algebra di Cliord come unico
linguaggio universale per ogni branca della sica e, più in generale, per ogni
branca della scienza, non risulta essere priva di fondamenta: sta a noi, nel
prossimo futuro, costruire teorie su tali fondamenta, sperando non crollino
inesorabilmente!
5.1 Ringraziamenti
Tengo a porgere particolari ringraziamenti in primis al mio relatore, il prof.
Marco Budinich, per la pazienza avuta nel guidarmi a scrivere questa tesi e
soprattutto per il suo carisma che mi ha fatto avvicinare e incuriosire alle
applicazioni dell'Algebra di Cliord.
Non potró smetter mai di ringraziare i miei genitori, Arturo e Livia,
che rappresentano il mio esempio di vita e amore, credono sempre in me,
mi hanno sempre sostenuto con passione nelle mie scelte e a cui voglio un
mondo di bene.
Last but not least, ringrazio tutti i miei amici e i miei cari, con cui ho
condiviso e condivido quotidianamente momenti stupendi del mio percorso
di vita e che sono, fortunatamente, talmente tanti che non sto qui ad elencare
perchè altrimenti raddoppierebbe la lunghezza della tesi!
Grazie a tutti voi.
2
Si ricordi che la trattazione di spin, momento angolare, spin isotopico, ecc. in mecca-
nica quantistica risulta già espressa in termini di tale algebra. Qui si fa riferimento a ciò
che non è espresso in tale formalismo ma che eredita il formalismo Hamiltoniano classico
espresso in termini di
3-vettori
di Gibbs.
52
Appendice A
Derivata multivettoriale
L'operazione di derivazione vettoriale può essere generalizzata a un campo
multivettoriale A.
Si ha:
∇A = ek ∂k A
e per un campo di un
(A.1)
r-blade Ar :
∇ · A = hAr ir−1
(A.2)
∇ ∧ A = hAr ir+1 ,
che deniscono rispettivamente la
derivata esterna
derivata interna,
e la
come generalizzazioni del rotore e della divergenza dei
3-vettori
di Gibbs.
Un importante risultato per la derivata multivettoriale è che la derivata
esterna di una derivata esterna è sempre nulla:
∇ ∧ (∇ ∧ A) = ei ∧ ∂i (ej ∂j A)
(A.3)
= ei ∧ ej ∧ (∂i ∂i A) = 0 .
Ciò segue dal fatto che
ei ∧ ej
è antisimmetrico, mentre
co a causa della commutatività tra le derivate parziali.
∂i ∂i
è simmetri-
Analogamente, la
divergenza di una divergenza si annulla:
∇ · (∇ · A) = 0 ,
che si dimostra allo stesso modo o usando la relazione di dualità.
(A.4)
Per
una trattazione più dettagliata della derivazione di campi multivettoriale
si rimanda ai testi specialistici [2, 9].
53
54
Appendice B
Programma in Mathematica
Si inserisce, per completezza, un programma da me scritto in Mathematica
per il calcolo simbolico e numerico che utilizza l'Algebra di Cliord in spazi
vettoriali di dimensione arbitraria regolabile.
Prodotto Geometrico di Cliord:
ClearAll[ Global`* ]
ClearAll[SmallCircle, a, b, e]
SetAttributes[SmallCircle, {Flat, OneIdentity}]
Dimensionespazio
= 3;
BaseSpazioVettoriale
= Table [ei , {i, 1, Dimensionespazio}] ;
Q[k_]:={k, BaseSpazioVettoriale}
ZZ [Union [ Table
[ai , {i, 1, Dimensionespazio}] , Q[z_]:=
{{Union [ Table [ai , {i, 1, Dimensionespazio}]]} , Table[Q[z], {i, 1, Dimensionespazio}]}
rt
= Flatten [ZZ [Union [ Table [ai , {i, 1, Dimensionespazio}] ] , Q [ai ]] , 1] ;
elementi
= Drop[rt, 1]
{{a1 , {e1 , e2 , e3 }} , {a2 , {e1 , e2 , e3 }} , {a3 , {e1 , e2 , e3 }}}
BaseSpazioCliord
=
{1} ∼ Join ∼
(If[Length[#] > 1, SmallCircle@@#, #[[1]]]&/@
Union [Flatten [
55
Table [Union[rt[[1]]], {a1 , {e1 , e2 , e3 }} , {a2 , {e1 , e2 , e3 }} , {a3 , {e1 , e2 , e3 }}] ,
Dimensionespazio − 1
{1, e1 , e2 , e3 , e1 ◦ e2 , e1 ◦ e3 , e2 ◦ e3 , e1 ◦ e2 ◦ e3 }
Clear[SmallCircle]
SmallCircle[a___, b_, c_, d___]:= − SmallCircle[a, c, b, d]/;
And[MemberQ[BaseSpazioVettoriale, b],
MemberQ[BaseSpazioVettoriale, c], Order[c, b]
== 1]
a_ ◦ a_:=1/;MemberQ[BaseSpazioVettoriale, a]
SmallCircle[a_, b_]:=ab/;Or[NumberQ[a], NumberQ[b]]
SmallCircle[a___, Times[b_, c_], d___]:=
bSmallCircle[a, c, d]/;NumberQ[b]
SmallCircle[a___, Plus[b_, c_], d___]:=
Plus[SmallCircle[a, b, d], SmallCircle[a, c, d]]
Unprotect[Times];
Times[Plus[a_, b_], c_]:=Plus[Times[a, c], Times[b, c]]
Protect[Times];
TabellaProdGeom
= Table[a ◦ b, {a, BaseSpazioCliord},
{b, BaseSpazioCliord}];
TableForm[TabellaProdGeom, TableHeadings
→
{BaseSpazioCliord, BaseSpazioCliord}];
Prodotto geometrico per calcoli numerici:
Ordine[{s_, x_, y_, z_, a_, b_, c_, t_}]:={s, {x, y, z}, {a, b, c}, t}
BaseSpazioCliord//Ordine;
Dim:=Dimensions[BaseSpazioCliord][[1]]
plus
= Table[Reverse[IntegerDigits[2∧ i, 2, Dim]], {i, 0, Dim − 1}];
minus
= Table[Reverse[−IntegerDigits[2∧ i, 2, Dim]], {i, 0, Dim − 1}];
56
stringhe
= plus ∼ Join ∼ minus;
EstesaBaseSpazioCliord
SimboliToStringhe
= BaseSpazioCliord ∼ Join ∼ −BaseSpazioCliord;
= Table[EstesaBaseSpazioCliord[[i]]->stringhe[[i]],
{i, 1, 2 ∗ Dim}];
StringheToSimboli
= Table[stringhe[[i]]->EstesaBaseSpazioCliord[[i]],
{i, 1, 2 ∗ Dim}];
= Replace[TabellaProdGeom, SimboliToStringhe, {2}];
Sostituzione
gp
= Transpose[Replace[TabellaProdGeom, SimboliToStringhe, {2}], {1, 3, 2}];
SmallCircle[List[a__], List[b__]]:=Ordine[Flatten[List[a]].gp.Flatten[List[b]]]
Testnale
:
= Table[Flatten[stringhe[[i]] ◦ stringhe[[j]]], {i, 1, Dim}, {j, 1, Dim}];
Verica
ListaVerica
= Replace[Verica, StringheToSimboli, {2}];
TabellaProdGeom==ListaVerica
True
Velocizzazione del calcolo numerico:
QGP
ei_ :=ei
QGP[{a_, b_}]:=a ◦ b
QGP[{a_, b_, c_}]:=a ◦ b ◦ c
QGP
QGP
◦ ej_ ◦ ek_ :=nei ◦ ej ◦ ek /;NumberQ[n]
ei_ ◦ ej_ m_ :=nm (ei ◦ ej ) /;And[NumberQ[n], NumberQ[m]]
n_ei_
n_
QGP[a_ ◦ b_]:=a ◦ b
QGP[{Times[a_ ◦ b_ ◦ c_, −1]}]:=Times[a ◦ b ◦ c, −1]
QGP[{Times[a_ ◦ b_, −1]}]:=Times[a ◦ b, −1]
QGP[{Times[a_, −1]}]:=Times[a, −1]
57
QGP[Times[a_ ◦ b_ ◦ c_, −1]]:=Times[a ◦ b ◦ c, −1]
QGP[Times[a_ ◦ b_, −1]]:=Times[a ◦ b, −1]
QGP[Times[a_, −1]]:=Times[a, −1]
(* Altri metodi provati *)
(*FilledSmallCircle[a___, b___]:=
TimeConstrained[SmallCircle[a, b], 0.5,
(x:=HoldForm[SmallCircle[a, b]];
y :=Table[ReleaseHold[x[[1, i]]], {i, 42}];
Do[y
= QGP[y], {IntegerPart[Sqrt[Length[y]]] + 3}]; y
)
]*)
Diamond[a___, b___]:=
(y :={a, b};
Do[y
= QGP[y], {IntegerPart[Sqrt[Length[y]]]}]; y
)
Diamond[a_]:=a
Diamond[{a__, b_, c__}]:=Diamond[a, b, c]
{0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0} {0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0} {0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0}
{0, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, −1}
3e1 e2 + 4e1 e2 − 5e1 e2 e3 + 2 (e1 e2 + 1) e1 +
(e3 e2 + e2 e1 ) (e3 e1 + e1 )
8e1 ◦ e2 − e2 ◦ e3 − 6e1 ◦ e2 ◦ e3 + 2e1 − e2
58
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