Definizioni: numerali e numeri
Un numerale è solo una stringa di cifre
Un numerale rappresenta un numero solo se si
specifica un sistema di numerazione
Lo stesso numerale rappresenta diversi numeri
in diverse notazioni
Esempio
La stringa 110100 rappresenta:
– Centodiecimilacento in base 10
– (52)10 in base 2
– Un numero dell’ordine di vari milioni in base 16
Interi positivi e negativi
Finora abbiamo considerato solamente la
rappresentazione dei numeri positivi
Si utilizzano varie rappresentazioni per gli interi
relativi
Modulo e segno
Complemento a 1
Complemento a 2
Eccesso
Per rappresentare gli interi relativi, a parità di
cifre si dimezza l’intervallo dei valori assoluti
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Rappresentazione con modulo e segno
Per rappresentare un numero con segno, si usa:
un bit per il segno: 0 per +, 1 per –
n-1 bit per il modulo
Intervallo di rappresentazione: [[-2 n-1 +1, +2 n-1 -1]
Esempio
n=4 bit intervallo [[-7,+7]
5 = 0101 -5 = 1101
Osservazioni
– Intervallo di rappresentazione simmetrico
– Problema: doppia rappresentazione dello zero (nel caso di 8 bit
10000000 e 00000000)
– Ulteriore problema: addizione e sottrazione complicata da segno dei
numeri, modulo dei numeri
Conversione da M&S a numero relativo
Per effettuare la conversione si scorpora il
numero in due parti:
Il bit più significativo è decodificato come segno
Gli NN-1 bit meno significativi sono decodificati come
valore assoluto del numero relativo
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Esempio
Convertire nei corrispondenti numeri relativi le seguenti
rappresentazioni modulo e segno:
10100
01110.
10100:
1: bit di segno = numero negativo
0100: valore assoluto = 4
Il numero relativo corrispondente è -4
01110:
0: bit di segno = numero positivo
1110: valore assoluto = 14
Il numero relativo corrispondente vale +14.
... vantaggi e svantaggi
• vantaggio: coincide con la nostra usuale
rappresentazione
• svantaggio: richiede il trattamento separato di
segno e modulo: algoritmi aritmetici più
pesanti ...
... nei calcolatori, per ovviare agli svantaggi
dell’aritmetica della rappresentazione in segno
e modulo, si adottano altre rappresentazioni
...
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Rappresentazione in complemento alla
base
Nella rappresentazione in complemento alla
base si dà una diversa attribuzione dei pesi
associati alle cifre che codificano il numero:
Alla cifra più alta è associato un peso negativo
Le cifre più basse hanno un peso positivo
Rappresentazione in complemento a 1
Si aggiunge uno 0 a sinistra alla rappresentazione dei
numeri positivi
Per cambiare di segno si complementa il numerale bit a bit
• I numerali positivi iniziano per 0, i negativi per 1
• Intervallo di rappresentazione con n bit: [[-2 n-1 +1, +2 n-1 -1]
• È una notazione posizionale:
posizionale:
Pesi delle cifre: ((-2 n-1 +1) 2 n-2 ... 2 1 2 0
Esempio
n=4 bit intervallo di rappresentazione [[-7, +7]
5 = 0101
-5 = 1010 ((-7+2)
Complementare = cambiare segno
Doppia rappresentazione dello 0
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Rappresentazione in complemento a 2
I numeri positivi hanno la stessa rappresentazione che in
complemento a 1
I negativi si ottengono sommando 1 alla loro rappresentazione in
complemento a 1
Intervallo di rappresentazione con n bit: [[-2 n-1 , +2 n-1 -1]
n
1
n
2
1
0
Pesi delle cifre: -2 2
... 2 2
Consideriamo il numero espresso in base 2
x(n(n-1)x(n(n-2) …x0
• Il bit più significativo xn-1 assume peso negativo –2 n-1
• Quindi, il valore di un numero N espresso in complemento a 2 è
Intervallo più esteso ma asimmetrico
Una sola rappresentazione dello 0
Rappresentazione in complemento a 2
Esempio:
n=4 bit intervallo [[-8, +7]
510=0101c2
-510 = 1011C2 (-8+2+1)
Prima regola pratica per complementare (calcolare la rappresentazione di -X a
partire da quella di X):
Effettuare il complemento di ogni bit di X ed aggiungere 1
Esempio (4 bit)
+610=0110C2
Complemento di tutti i bit: 1001
Aggiungere 1: 1001+1 = 1010 C2 = -6 10
Seconda regola pratica per complementare:
Partendo da destra si lasciano invariati tutti i bit fino al primo
primo 1
compreso, e poi si complementa bit a bit
- Gli ultimi 2 bit rimangono invariati: __10
- Complementare gli altri 2 bit: 1010 C2 = -6 10
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Conversione decimale-binario (CP1 e CP2)
Abbiamo già visto come fare se il numero X è positivo. Se il numero X è negativo:
negativo:
– Determinare il numero minimo di bit da usare (nmin )
– Convertire il numero positivo corrispondente in notazione a nmin bit
– Complementare (a 1 o 2) il numerale così ottenuto
Esempio: convertire ((-347)10 in CP2
2 8 = 256 < 347 < 512 = 2 9
intervallo con n bit: [[-2 n-1 ,+2 n-1 -1]
pertanto n min =10
+347 in notazione a 10 bit:
-512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
0101011011
complementando a 2:
- 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1010100101
In alternativa per CP2:
• Si converte in binario 2 n-1 +X
• Si mette il bit più significativo a 1
• Perché?
-1·2 n-1 + (2 n-1 +X) = X
Somma in complemento a due
Dati due numeri X e Y in complemento a due su N bit, la
somma X+Y si calcola sommando aritmeticamente
tutti i bit degli addendi, compreso quello di segno.
segno.
L’eventuale carry oltre il bit di segno viene tralasciato.
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Esempio
Calcolare -( 7) + 10 in complemento a due su 5
bit.
- 7= 11001
10 = 01010
1
11001+
01010
00011
Tralasciando il carry,
carry, il risultato vale 00011 = +3.
Differenza in complemento a due
Si può procedere in due modi:
Ci si riconduce al caso della somma trasformando
la differenza nella somma del primo numero con
l’opposto del secondo.
Si esegue la differenza usando la stessa tecnica
utilizzata per la codifica in binario puro,
sottraendo aritmeticamente tutti i bit degli
addendi, compreso quello di segno.
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Esempio
Calcolare ((-7) - 4 in complemento a due su 5 bit.
Si opera come se l’operazione fosse ((-7) + ((-4).
-7 = 11001
-4 = 11100
1
11001+
11100
10101
Tralasciando il carry, il risultato vale 10101 = -11.
Overflow in complemento a 2
Si può verificare un overflow nell’operazione tra
due numeri in complemento a due quando si
effettua la somma di due numeri concordi o la
differenza tra due numeri discordi.
Si ha overflow quando il segno del risultato è
diverso dal segno dei due addendi.
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Esempio di overflow
Calcolare (-12) + (-6) in complemento a due su 5 bit:
(-12) = 10100
(-6) = 11010
1
10100+
11010
01110
Si ha carry oltre il bit di segno, che viene ignorato.
Il bit di segno è diverso da quello degli addendi, dunque
la somma ha prodotto overflow.
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Rappresentazione eccesso-k
•
•
•
•
•
•
•
La rappresentazione in eccesso-k costituisce un metodo diverso da quello dei
resti in modulo per ricondurre i numeri negativi a positivi.
In particolare, tutti i numeri sono traslati verso l’alto di k, che viene scelto
maggiore o uguale al numero più piccolo da rappresentare: X=r(x)=x+k.
Analogamente al caso dei complementi diminuiti, la somma va corretta
aggiungendo o sottraendo la costante k, e quindi in maniera sufficientemente
semplice.
Le moltiplicazioni e le divisioni risultano invece più complesse .
Il vantaggio di tale codifica è che viene conservata la proprietà della
disuguaglianza sulle rappresentazioni:
x1 > x 2 ⇔ X 1 > X 2
Questa rappresentazione, perciò, è utilizzata soltanto laddove siano richieste
perlopiù somme algebriche e confronti logici fra gli operandi.
Tipicamente si utilizza per rappresentare gli esponenti nella rappresentazione
in virgola mobile.
Esempio: rappresentazione in eccesso-8 su 4 bit
n=4
Intervallo: [–8;7]
Codifica:
X=x+k;
x
X2
X10
7
6
1111
1110
15
14
5
4
1101
1100
13
12
3
2
1011
1010
11
10
1
0
1001
1000
9
8
-1
-2
0111
0110
7
6
-3
-4
0101
0100
5
4
-5
0011
3
-6
0010
2
-7
-8
0001
0000
1
0
