A
Alessandro Ramponi
Lezioni di Finanza Matematica
Copyright © MMXII
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via Raffaele Garofalo, /A–B
Roma
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con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
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senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: novembre
A Raffaella, Martina e Federica
Indice
Prefazione
Capitolo I
Concetti base della Matematica Finanziaria
.. Interessi, – ... Interesse semplice, – ... Interesse composto
periodicamente, – ... Interesse composto continuamente, – .. Valore
temporale del denaro e flussi di cassa, – ... Valore attuale, –
... Valore futuro, – ... Equivalenza di flussi di cassa e IRR, –
.. Arbitraggio, – .. Alcuni meccanismi: vendita allo scoperto e
speculazione, – .. Un’estensione: il tasso di interesse dipendente dal
tempo, – .. Rendimenti e portafogli, .
Capitolo II
Security markets
.. Il modello matematico di mercato: arbitraggio e prezzi, – .. Le
obbligazioni, – ... Rendimenti e la struttura a termine dei tassi, –
... Obbligazioni con cedole, – ... Duration e duration modificata.,
– ... La determinazione della struttura a termine dei tassi d’interesse: il
metodo bootstrap., .
Capitolo III
Rischio di credito
.. Misure coerenti di rischio, – ... Il Value-at-Risk, – ... Expected
shortfall, – .. Il rischio di credito, – .. Il modello di Merton,
– .. Il modello ASRF, – ... La distribuzione delle perdite: il modello
asintotico, .
Capitolo IV
Prodotti derivati: forward, futures ed opzioni
.. Contratti Forward e Futures, – .. Contratti di opzione, –
... Opzione call, – ... Opzione put, – .. Proprietà delle opzioni, – ... Limiti sul valore dei premi, – ... Put-Call parity,
Indice
– .. Alcune strategie di mercato, – ... Uso dei derivati: hedgers
e speculatori, – ... Alcune strategie, – ... Effetto leva, –
.. Complementi ed esercizi, .
Capitolo V
Valutazione dei derivati: dalla formula CRR alla formula di BlackScholes
.. Il modello binomiale uniperiodale, – .. Il modello binomiale multiperiodale di Cox, Ross e Rubinstein, – .. La formula di
Black-Scholes, – ... Le lettere greche e l’equazione di Black-Scholes,
– ... Il modello dinamico a tempo continuo e la valutazione neutrale al
rischio, – .. Complementi ed esercizi, .
Capitolo VI
Richiami di Calcolo delle Probabilità
.. Eventi e Probabilità, – ... Probabilità condizionate, indipendenza e Formula di Bayes, – .. Variabili aleatorie, – ... Variabile
discrete, – ... Variabili continue, – .. Leggi congiunte di variabili aleatorie, probabilità condizionate e indipendenza, – ... Il
caso discreto, – ... Il caso continuo, – ... Ancora sul valore atteso condizionato: un punto di vista più generale, – ... Funzioni di
variabili aleatorie, – ... Variabili Normali Multivariate, – .. Funzioni caratteristiche, – .. Convergenze di variabili aleatorie, –
... La Legge dei Grandi Numeri, – ... Il Teorema Limite Centrale,
– .. Processi stocastici, filtrazioni e martingale., .
Bibliografia
Prefazione
Questo libro nasce dalla volontà di organizzare una serie di note
e appunti raccolti nel corso degli anni per le lezioni del corso di
Modelli Matematici per la Finanza (o per il Mercato Finanziario) che
ho tenuto a partire dal , sia per il corso di laurea specialistica in
Matematica, all’Università di Roma Tre, che per quella in Economia
(attualmente Economia dei Mercati e degli Intermediari Finanziari),
all’Università di Roma — Tor Vergata. Le note si sono quindi sviluppate e adattate di volta in volta per venire incontro alle esigenze
di studenti con differenti livelli di preparazione. Questo continuo
sviluppo mi ha però permesso di mettere a fuoco, o di cercare di
farlo, alcune idee e tecniche alla base di alcuni dei principali argomenti della moderna Finanza Matematica: mercati a reddito fisso,
analisi del rischio e valutazione di derivati. Ho ritenuto dunque necessario, per avere un insieme organico di nozioni, di includere sia
una parte introduttiva ai concetti base della Matematica Finanziaria
(composizione dei tassi di interesse, flussi di cassa, attualizzazione,
arbitraggio . . . ) sia un riepilogo dei principali strumenti del Calcolo delle Probabilità (spazi di probabilità, variabili aleatorie... ed in
particolare i concetti di valore atteso condizionato e di martingala).
Il denominatore comune è stato quello di utilizzare solo tecniche
matematiche in quello che ritengo sia (o debba essere) bagaglio
culturale comune agli studenti di indirizzo economico/scientifico:
calcolo differenziale e integrale, algebra lineare e calcolo delle probabilità, evitando quindi l’uso dei processi stocastici e del calcolo ad
essi associato e dell’analisi funzionale. Le lezioni si prestano quindi
all’uso per un corso di Finanza Matematica di uno o due moduli
di / crediti ognuno, sia per studenti che non hanno ancora affrontato in modo organico argomenti di matematica finanziaria (p.e.
matematica o ingegneria) sia per studenti con una preparazione
economico/finanziaria ma meno orientata a certi aspetti del calcolo
delle probabilità.
Lezioni di Finanza Matematica
Concludo con un doveroso e opportuno ringraziamento ai colleghi,
ed amici, Fabio Antonelli e Sergio Scarlatti, senza i quali queste lezioni
non sarebbero mai state nè tenute nè scritte.
Alessandro Ramponi
Capitolo I
Concetti base della Matematica Finanziaria
In questo capitolo presenteremo alcune nozioni elementari della matematica finanziaria. Introdurremo in particolare la composizione
periodale e continua degli interessi, il valore presente e futuro di
un flusso di cassa ed alcune importanti strategie con cui si opera nei
mercati finanziari. Per approfondimenti si veda ad esempio [].
.. Interessi
Il più semplice modo di variazione nel tempo del valore di una quantità monetaria disponibile oggi a seguito di un’operazione finanziaria
è descritto dalle leggi di composizione degli interessi. Possiamo immaginare di avere a disposizione oggi una quantità di denaro X e di
investirla, p.e. depositandola su un conto corrente bancario (che supporremo privo di spese!) o prestandola allo Stato od a qualche azienda
privata (si parla in questo caso di Obbligazioni), con la promessa di
riavere alla fine del periodo considerato, che indichiamo con T > , il
capitale iniziale più una certa quantità, XT = X + I. In generale si può
assumere che la quantità I sia una percentuale del valore iniziale, ovvero I = rX dove r ∈ (, ). A tale valore ci si riferisce genericamente
come tasso di interesse.
... Interesse semplice
Si consideri il caso di un orizzonte temporale di un anno, ovvero T = .
Supponiamo di depositare oggi un capitale su un conto corrente (c/c)
Lezioni di Finanza Matematica
che paga un certo interesse annuo r:
t = (oggi)
X = (capitale iniziale)
r = % (interesse annuo - tasso).
Allora un anno dopo:
t = (un anno dopo)
X̃ = X + rX (nuovo capitale)
= +
= .
Se indichiamo con r il tasso di interesse su base annua, supponendo
che rimanga invariato nel corso del tempo considerato, l’interesse si
dice semplice se nell’anno successivo l’interesse che si matura è sul
capitale iniziale depositato, e non su quanto guadagnato (supponendo
di non fare prelievi):
t = (due anni dopo)
X̃ = X̃ + rX
= +
=
⇒ X̃ = X ( + r).
Dunque, dopo n anni
X̃n = X ( + nr)
con
X =
X̃n =
capitale iniziale
capitale finale dopo n anni
Quindi l’interesse semplice aggiunge di anno in anno gli interessi
sempre e solo sul capitale iniziale.
... Interesse composto periodicamente
L’interesse composto è l’interesse che matura anche su quanto guadagnato di anno in anno. Definendo r il tasso di interesse su base annua
e supponendo che rimanga invariato per tutto il tempo considerato,
. Concetti base della Matematica Finanziaria
è chiaro che non c’è differenza tra l’interesse semplice e l’interesse
composto solo nel primo anno:
t = (oggi)
X = (capitale iniziale)
r = % (interesse annuo - tasso)
t = (un anno dopo)
X = X + rX (nuovo capitale)
= ,
= +
t = (due anni dopo)
X = X + rX (nuovo capitale)
= +
= .
(quindi dopo il secondo anno abbiamo con l’interesse composto
euro in più rispetto all’interesse semplice). Cerchiamo una formula
generale:
X =
r =
capitale iniziale
interesse annuo - tasso
t = anno
X = X + rX = X ( + r)
t = anni
X = X + rX = X ( + r) = X ( + r)
..
.
t = n anni
Xn = Xn− + rXn− = Xn− ( + r) = X ( + r)n
Dunque, dopo n anni
Xn = X ( + r)n
con
X =
Xn =
capitale iniziale
capitale finale dopo n anni
Finora l’interesse era composto annualmente. Chiediamo ora invece alla banca di pagare sempre il % di interesse annuo, ma composto
Lezioni di Finanza Matematica
semestralmente:
t
X
r
= (oggi)
= (capitale iniziale)
= % (interesse annuo - tasso)
t = / (semestre dopo)
X/ = X + r X = X ( + r )
= +
= .
Alla fine del primo anno (e quindi del secondo semestre) riapplico
l’interesse composto semestralmente sul capitale finora maturato:
t
= un anno = semestri
X = X/ + r X/ = X ( + r )
) = ( + .) = ..
= ( +
Si osservi che la composizione semestrale degli interessi ha prodotto dopo un anno un capitale maggiore che con la composizione
annuale: infatti
r
( + ) > ( + r).
Dunque, dopo n anni, cioè h = n semestri
r
r
Xn = X ( + )h = X ( + )n .
Quindi componendo semestralmente guadagno di più rispetto ad
. Concetti base della Matematica Finanziaria
una composizione annuale. Se allora componessi giornalmente :
t
= / (un giorno dopo)
r
r
X = X ( +
)
X/ = X +
t
X
= +
=
..
.
= un anno = (giorni dopo)
r
r
= X/ +
X/ = X ( +
)
= ( +
) = .
Dunque, dopo n anni, ovvero h = n giorni
Xn = X ( +
r
)h = X ( +
r
) n .
In generale, suddividendo l’intervallo temporale di un anno in k
sottointervalli di ampiezza ∆t = /k, il capitale alla fine dell’anno con
composizione dell’interesse r sui sottointervalli ∆t è dato da
r
X = X ( + )k = X ( + ∆t r)/∆t .
k
Sia infine T > un dato istante di tempo, che assumiamo essere un
multiplo di ∆t, T = h ∆t = h/k: il capitale maturato al tempo T con
composizione dell’interesse r sui sottointervalli di ampiezza ∆t è
r
r
XT = X ( + )h = X ( + )k T = X ( + ∆t r)T/∆t .
k
k
(.)
Esempio .. Sia X il capitale posseduto oggi. Se r = %, quanti anni ci
vogliono per raddoppiare il capitale, assumendo una composizione annuale
. Possiamo assumere che un giorno corrisponda alla ◦ parte dell’anno. Le convenzioni attuariali per il calcolo degli interessi su differenti basi temporali variano da mercato
a mercato.
Lezioni di Finanza Matematica
degli interessi? Se aspetto anni quanto deve valere r per conseguire il
raddoppio del capitale?
Poichè Xn = X ( + r)n = X ( + .)n , per ottenere il raddoppio del
capitale deve essere Xn = X , ovvero X ( + .)n = X . Dunque n deve
soddisfare la condizione ( + .)n = da cui
n=
log
log .
= .
In base alla stessa relazione Xn = X ( + r)n = X , ma risolvendola
rispetto ad r con n = , otteniamo
= ( + r) ⇐⇒ r = / − = ..
Sia r il tasso di interesse su base annua che componiamo sui sottoperiodi ∆t = /k e sia X il capitale iniziale. In particolare r è detto
tasso nominale. Dopo un anno avremo
r
X = X ( + )k .
k
Si definisce tasso di interesse semplice effettivo, ref f (k) equivalente al
tasso r composto su k periodi quel tasso di interesse che permette di
ottenere lo stesso capitale alla fine dell’anno, ovvero X = X (+ref f (k)).
Dalla relazione ( + ref f (k)) = ( + kr )k si ha quindi
r
ref f (k) = ( + )k − ⇐⇒ r = k ( + ref f (k))/k −
k
... Interesse composto continuamente
Nell’interesse composto periodicamente, più è piccolo il periodo di
tempo rispetto al quale si compone l’interesse, maggiore è il guadagno.
Siamo allora interessati ad intervalli di tempo ∆t sempre più piccoli,
ovvero al limite per ∆t → : il capitale dopo un anno è dunque
r
X = lim X ( + ∆t r)/∆t = lim X ( + )k = X er ,
k→+∞
∆t→
k
. Concetti base della Matematica Finanziaria
o considerando più generalmente un arbitrario istante di tempo T >
r
XT = lim X ( + ∆t r)T/∆t = lim X ( + )k T = X er T .
k→+∞
∆t→
k
Dunque il capitale maturato al tempo T se l’interesse fosse composto
continuamente è
XT = X e r T .
(.)
Esempio .. Sia X = e il capitale iniziale e r = % l’interesse
annuale: allora il capitale dopo un anno con composizione continua degli
interessi è
X = X er = e. = .
Osserviamo che poichè ( + x/k)k % ex , la composizione continua
degli interessi è sicuramente la più vantaggiosa per chi riceve gli
interessi e di conseguenza la meno vantaggiosa per chi invece li deve
pagare.
Anche in questo caso possiamo definire dei tassi effettivi equivalenti: dalle relazioni X = X erc = X ( + ref f (k)/k)k otteniamo
rc = k log( + ref f (k)/k) ⇐⇒ ref f (k) = k(erc /k − ).
.. Valore temporale del denaro e flussi di cassa
Supponiamo che un deposito su un c/c paghi r = % annuo (interesse
semplice) e supponiamo che r sia certo (ossia la banca paga l’interesse
sicuramente, non fallisce!). Se X e è il capitale iniziale, allora con
certezza dopo un anno il nuovo capitale è X = e.
Quindi, il valore attuale o presente di e tra un anno è e
disponibili subito. In altri termini, avere edisponibili subito o avere
edisponibili tra un anno è la stessa cosa (se c’è un investimento
certo):
X = PV(X ).
Analogamente, il valore futuro di e disponibili subito tra un
anno è e:
X = FV(X ).
Lezioni di Finanza Matematica
Poichè X = X ( + r) è immediato osservare che
PV(X ) = X =
X
,
+r
FV(X ) = X = X ( + r).
Assumendo invece una capitalizzazione continua degli interessi alla
fine dell’anno si ha
PV(X ) = X e−r ,
FV(X ) = X er .
Consideriamo un vettore a due componenti v ∈ R con v(x , x ):
interpretiamo le componenti del vettore come delle quantità monetarie disponibili a certi istanti di tempo fissati (p.e. t = e t = ) sul
nostro c/c. Se xi > si parla di entrate mentre se xi < si parla di uscite.
Il vettore v è detto cashflow o flusso di cassa. I flussi di cassa possono
essere positivi o negativi.
Esempio .. Il vettore v = (, ) indica la disponibilità di e oggi e di
e con certezza tra un anno.
Il vettore v = (, −) indica invece la disponibilità di e oggi e il
pagamento di e che dovrò con certezza effettuare tra un anno.
Più in generale possiamo definire un flusso di cassa su n istanti
temporali noti ≤ t < t < · · · < tn come un vettore v ∈ Rn , v =
(x , x , . . . , xn ), dove xi è una quantità monetaria certamente disponibile
(in entrata o in uscita) al tempo ti .
... Valore attuale
Vogliamo definire il valore attuale ed il valore futuro di un flusso di
cassa v.
Consideriamo ad esempio il flusso di cassa definito dal vettore
v = (, ) che rappresenta la disponibilità di e oggi e di e tra un
anno: il suo valore attuale è chiaramente e oggi più il valore attuale
dei e disponibili certamente tra un anno, attualizzato rispetto ad
un dato tasso di interesse r con capitalizzazione periodale (annuale):
quindi
PV(v) = +
.
+r
. Concetti base della Matematica Finanziaria
Se r = %,
PV(v) = +
= .
+ /
Ciò vuol dire che adesso, oltre l’euro che ho in cassa, è come se ne
avessi altri che sicuramente tra un anno matureranno euro di
interesse.
Se dunque v = (x , x ), allora
PV(v) = x +
x
.
+r
Il valore attuale di un flusso di cassa si può estendere a più anni ed
a flussi di cassa relativi a tale periodo, avendo assunto che la partizione
temporale, ovvero gli istanti di tempo fissati in cui si effettueranno
con certezza movimenti monetari, sia fatta compatibilmente con il
tipo di tasso di interesse considerato: se v = (x , x , x , . . . , xn ) è il flusso
di cassa dove xi rappresenta la quantità monetaria che con certezza
sarà movimentata alla fine dell’anno i-esimo e r è il tasso di interesse
annuale, allora
PV(v) = x +
x
+r
+
x
( + r)
+ ··· +
xn
( + r)n
=
n
X
xi
i=
( + r)i
.
In particolare:
— v = x ∈ R =⇒ PV(x ) = x ;
— v = (, , . . . , xn ) =⇒ PV(v) = xn /( + r)n ;
Esempio .. Sia v = (, , ) e r = %: allora PV(v) = /( +
.) . e , ossia il valore presente di euro a pagarsi tra due anni con
un tasso di interesse certo del % composto su base annua, è di . euro.
In generale possiamo dare la seguente
Definizione .. Siano r il tasso di interesse annuale, = t < t < · · · <
tn istanti di tempo fissati che supponiamo equispaziati, ∆t = ti+ − ti (i.e.
ti = i∆t), i = , . . . , n − e v = (x , x , . . . , xn ) un flusso di cassa relativo
a tali tempi. Allora il valore attuale del flusso di cassa v con composizione
Lezioni di Finanza Matematica
periodale degli interessi su base ∆t è
PV(v) =
n
X
xi
i=
( + ∆t r)i
mentre con composizione continua degli interessi è
PV(v) =
n
X
xi e−rti .
i=
... Valore futuro
Possiamo ora definire in modo del tutto analogo il valore futuro di un
flusso di cassa. Sia ad esempio v = (x , x ) e fissiamo la base periodale
come base annua. Sia r un tasso di interesse certo annuale. Il valore
della quantità disponibile oggi x tra un anno è chiaramente x ( + r);
inoltre tra un anno si avrà la quantità x e quindi
FV(v) = x ( + r) + x .
Se v = (x , x , x ), si ha invece che il valore di x tra due anni è
x ( + r) , il valore di x alla fine del secondo anno è x ( + r) e poichè
alla fine del secondo anno si avrà x , otteniamo
FV(v) = x ( + r) + x ( + r) + x .
Per un generico flusso di cassa v = (x , x , x , . . . , xn ), dove xi rappresenta la quantità monetaria che con certezza sarà movimentata alla
fine dell’anno i-esimo e r è il tasso di interesse annuale, allora
FV(v) = x (+r)n +x (+r)n− +x ( +r)n− + · · · +xn =
n
X
xi (+ r)n−i .
i=
Definizione .. Siano r il tasso di interesse annuale, = t < t < · · · <
tn istanti di tempo fissati che supponiamo equispaziati, ∆t = ti+ − ti (i.e.
ti = i∆t), i = , . . . , n − e v = (x , x , . . . , xn ) un flusso di cassa relativo
a tali tempi. Allora il valore futuro del flusso di cassa v con composizione
periodale degli interessi su base ∆t è
FV(v) =
n
X
i=
xi ( + ∆t r)n−i
