ELABORATO DI:
ERICA VINCIGUERRA
FABIANA D’ORSI
CHIARA GIANCONE
SALVATORE GAMBINO
IRENE VINCIGUERRA
Verso il futuro
Come è nata la
teoria della
relatività?
Dalla relatività
ristretta alla
relatività generale
Conferme
sperimentali della
relatività generale
Dilatazione
gravitazionale del
tempo
LA RELATIVITÀ
GENERALE
Relazione tra massa
inerziale e massa
gravitazionale
Esperimento mentale:
equivalenza tra massa
gravitazionale ed
inerziale
Principio di
equivalenza forte
Il nuovo concetto di
gravità
Spazio-tempo curvo:
gravitazione e inerzia
come proprietà
geometriche
Le geometrie non
euclidee
Principio di relatività
generale: gravità ed
elettromagnetismo
Come è nata la teoria della relatività?
Per comprendere la nascita della teoria della relatività, è necessario risalire alla fisica
galileiana e ai suoi principali postulati. Secondo la fisica classica, la velocità non è un valore
assoluto, ma è un concetto relativo al determinato sistema di riferimento cui essa è riferita:
essa infatti assume un determinato valore rispetto a qualcos’altro, così come ciò che si trova
su un treno in movimento appare fermo a chi viaggia sullo stesso treno, ma risulta invece in
movimento rispetto a chi lo osserva da fuori.
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MAPPA
Tuttavia gli studi di Maxwell mostrarono come in realtà questa
affermazione fosse un controsenso: era stato scoperto il valore della
velocità della luce, che contro il postulato galileiano sembrava proprio
essere un valore assoluto, indipendente dai sistemi di riferimento.
Quindi le onde elettromagnetiche si muovono con velocità c… rispetto
a cosa? Inizialmente venne introdotto il concetto di etere, superato
successivamente dalle teorie esposte da Einstein.
Dalla relatività ristretta alla relatività generale
Per superare la contraddizione tra il valore contante della velocità della luce e il concetto
classico di velocità relativa vennero messi in crisi tutti i postulati galileiani, fondati sulla
reciprocità del moto e sulla assolutezza del tempo. Einstein introdusse così il concetto di
simultaneità di due eventi, dilatazione dei tempi, contrazione dello spazio, e in un famoso
articolo intitolato «Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento», Einstein espose la sua teoria in
due postulati:
Il primo postulato stabilisce che le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di
riferimento inerziali, il che significa che i risultati di qualunque esperimento devono essere gli
stessi per qualunque sistema di riferimento che si muova di moto rettilineo uniforme.
Il secondo postulato, noto come principio di costanza della velocità della luce, afferma che la
luce si propaga nel vuoto con una velocità finita, pari a 300000000 m/s, indipendentemente
dalla velocità della sorgente che l'ha emessa.
Tuttavia la teoria della relatività ristretta aveva lasciato in
sospeso due punti:
• I principi della relatività ristretta possono essere estesi
anche ai sistemi non inerziali?
• Poiché i principi di Newton vanno contro quelli della
relatività, quale teoria deve essere considerata valida?
Relazione tra massa inerziale e massa
gravitazionale
La massa gravitazionale è una grandezza che esprime la proprietà di tutti i corpi di interagire con
altri corpi grazie alla forza di gravità, misura cioè la capacità di attrarre altre masse.
La massa inerziale è invece la grandezza che esprime l’inerzia di un corpo ossia la resistenza che
questo oppone all’azione di una forza esterna che tende a modificare il suo stato di quiete o di
moto.
Nel caso della caduta verticale si ha che la forza gravitazionale e quella inerziale coincidono essendo
a= g per cui F=
risulta uguale a Fg= mi g, da cui deriva che: il prodotto il rapporto mg/mi
e la costante k risulta uguale all’accelerazione di gravità, per cui se le masse assumessero un valore
diverso, i risultati di g (9,81m/s2) sarebbero variabili, da cui si giunge alla conclusione che la massa
inerziale è equivalente alla massa gravitazionale.
Esperimento mentale: equivalenza tra massa
gravitazionale ed inerziale
Einstein attraverso un esperimento mentale cercò di capire cosa significasse l’equivalenza tra massa
gravitazionale e massa inerziale dal punto di vista fisico.
Un osservatore posto all’interno di un ascensore(ambiente chiuso in stato di quiete soggetto al
campo gravitazionale) lascia cadere un corpo verso il basso che subisce l’attrazione del campo
gravitazionale terrestre. Se lo stesso osservatore si trova nello spazio all’interno di una navicella
(ambiente chiuso ma soggetto ad accelerazione verso l’alto e in assenza di campo gravitazionale) e
lascia cadere lo stesso oggetto, esso cadrà con la stessa accelerazione rilevata nel primo caso, da cui
si deduce che l’osservatore non sarà in grado di capire se la caduta dell’oggetto è dovuta a effetti
gravitazionali o inerziali. Questo principio è una conseguenza diretta dell’equivalenza tra massa
inerziale e massa gravitazionale. L’equivalenza si ottiene anche osservando un sistema accelerato
soggetto a campo gravitazionale terrestre e un sistema in quiete in assenza di campo gravitazionale,
e perciò non soggetto a forze. Einstein fu così in grado di formulare il principio di equivalenza forte.
Principio di equivalenza forte
In una regione spazio-temporale sufficientemente piccola esiste sempre, per quanto
concerne i fenomeni fisici, un sistema di riferimento nel quale è assente ogni effetto
della gravitazione.
Per Einstein la natura tratta tutti i sistemi di riferimento allo stesso modo, per cui non esiste un
sistema di riferimento migliore degli altri.
Principio di relatività generale: gravità ed
elettromagnetismo
L’equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale rese possibile l’estensione del
principio di relatività a tutti i sistemi di riferimento, per cui le leggi della fisica hanno la
stessa forma in tutti i sistemi di riferimento. Da questo enunciato deriva che anche i
fenomeni elettromagnetici devono seguire le stesse leggi di un qualunque sistema, sia esso
accelerato o soggetto a gravitazione. L’accelerazione curva la traiettoria della luce in un
sistema accelerato, ma dall’equivalenza tra fenomeni inerziali e gravitazionali, la traiettoria
della luce deve essere deviata anche sulla Terra, come se questa fosse dotata di peso e
subisse gli effetti del campo gravitazionale. L’equivalenza inerzia/gravitazione andava
contro i principi dell’elettromagnetismo, e per risolvere tale contraddizione Einstein
rivalutò i concetti di spazio e tempo, partendo dal rifiuto della geometria euclidea per
l’accettazione delle geometrie non euclidee.
I principi della geometria euclidea:
La geometria euclidea, considerata l’unica valida sino all’Ottocento, è
basata su tre postulati fondamentali:
1) Data una retta r e un punto P non appartenente ad essa, per P
passa una e una sola retta parallela ad r;
2) La somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180°;
3) La superficie euclidea è a curvatura costante K nulla.
Le geometrie non euclidee
Einstein utilizzò i principi della geometria non euclidea per elaborare un nuovo
modello di spazio-tempo. Tra le più importanti geometrie non euclidee, vanno
ricordate:
Geometria ellittica
Geometria iperbolica
Geometria ellittica
La superficie presa come modello di riferimento è sferica. La linea che individua la
minima distanza tra due punti (che nella geometria euclidea corrisponde alla retta)
è detta geodetica, che coincide con la circonferenza massima. Se si considera una
geodetica r e un punto P non appartenente ad essa, si ha che qualunque geodetica
passante per P interseca r, per cui se mettiamo a confronto rette e geodetiche, si
deduce che il principio dell’unicità della parallela viene violato. Il postulato di
Euclide viene sostituito dalla NON ESISTENZA DELLA PARALLELA ALLA RETTA
(geodetica). Si ottiene inoltre che in questa superficie sferica la somma degli angoli
interni di un triangolo delimitato da tre geodetiche risulta maggiore di un angolo
piatto e minore di tre angoli piatti.
Geometria iperbolica
La superficie presa in considerazione è stavolta una sella, che rappresenta
l’equivalente del piano euclideo. Se si considera una geodetica r un punto P non
appartenente ad essa, si osservano infinite geodetiche parallele a r. La somma degli
angoli interni di un triangolo è minore di 180°.
Spazio-tempo curvo: gravitazione e inerzia
come proprietà geometriche
Einstein propose come modello dell’Universo uno spazio-tempo quadrimensionale
curvo, in cui la traiettoria della luce nello spazio tempo quadrimensionale della
relatività generale è una geodetica. Questo spiega la deflessione della luce come
semplice conseguenza fisica e geometrica dell’Universo. La traiettoria della luce è
curvilinea perché percorre una geodetica dello spazio-tempo curvo. Secondo
Einstein l’incurvamento dello spazio sarebbe dovuto alle masse di elevata densità.
Ma in questo nuovo spazio, cos’è la gravità?
E inoltre, la curvatura dello spazio ha conseguenze anche sull’aspetto temporale?
Può essere dimostrato sperimentalmente che lo spazio-tempo è curvo?
Il nuovo concetto di gravità
La gravità nello spazio curvo concepito da Einstein non è più una forza, bensì una
proprietà geometrica, perché la curvatura dello spazio è dovuta proprio alla massa
dei corpi che vi si trovano immersi. La causa della gravità è la distribuzione della
massa-energia e i pianeti si muovono nello spazio seguendo delle geodetiche.
Dunque la distribuzione della massa-energia determina la geometria dello spaziotempo, cioè la gravità, e al tempo stesso regola il moto dei corpi.
G=k T
(dove G rappresenta tutte le informazioni sulla geometria dell’Universo, k è una
costante e T è la densità della massa-energia).
Dilatazione gravitazionale del tempo
La curvatura dello spazio ha conseguenze anche sull’aspetto temporale? La dilatazione
temporale gravitazionale è un'altra delle implicazioni derivanti dal principio di equivalenza.
Proviamo, questa volta, a misurare il tempo che un raggio di luce fatto passare da un
forellino praticato sul soffitto di un ascensore impiega per raggiungere un sensore posto sul
pavimento. Per semplicità immaginiamo che il nostro ascensore sia alto 300.000 chilometri
(ossia approssimativamente la misura che la luce percorre in un secondo) e che i raggi di
luce vengano emessi con un intervallo di un secondo.
Il primo raggio 1 parte ad ascensore fermo ed impiega un secondo a raggiungere il pavimento,
facciamo poi partire un altro raggio 2 sempre ad ascensore fermo: l'intervallo di tempo tra i
due segnali sarà lo stesso in arrivo ed in partenza. Il terzo raggio 3 parte ad ascensore in
accelerazione ed arriverà a destinazione prima di un secondo perché il tragitto che ha dovuto
compiere per arrivare al pavimento è più breve! L'intervallo di tempo tra i due segnali non sarà
quindi più identico in arrivo ed in partenza: i segnali in partenza registreranno un intervallo di
un secondo, quelli in arrivo un intervallo di tempo inferiore e pertanto il tempo misurato dal
sensore sul pavimento sarà (relativamente) più lungo! Dato il principio di equivalenza la
dilatazione del tempo che misuriamo in un sistema accelerato è, pertanto, al pari misurabile in
un campo gravitazionale analogo, quindi la gravità rallenta il tempo facendolo quindi scorrere
più lentamente per chi si trova in un campo gravitazionale più intenso.
La dilatazione temporale gravitazionale fa sì che il tempo scorra a differenti velocità
in regioni di diverso potenziale gravitazionale. Ciò è stato dimostrato osservando
che gli orologi atomici a differenti altitudini (e perciò a diverso potenziale
gravitazionale) mostrano alla fine tempi differenti. Gli effetti rilevati in tali
esperimenti sono estremamente piccoli. La presenza di un campo gravitazionale
causa il rallentamento degli orologi, per esempio se un orologio viene posto sul
Sole, questo presenta un ritardo gravitazionale di 1s ogni 6 giorni. Dunque il campo
gravitazionale determina una dilatazione del tempo.
Conferme sperimentali della relatività
generale
Einstein indicò tre conseguenze della curvatura dello spazio-tempo che
potevano essere soggette a verifica sperimentale:
1) Deviazione gravitazionale di un raggio luminoso;
2) Precessione del perielio dei pianeti nel moto di rivoluzione attorno
al Sole;
3) Red shift gravitazionale;
Deviazione gravitazionale di un raggio
luminoso
La luce proveniente da una stella subisce una deviazione a causa del campo
gravitazionale del Sole. La lente gravitazionale è il fenomeno caratterizzato dalla
deflessione della radiazione emessa da una sorgente luminosa a causa della
presenza di una massa posta tra la sorgente e l'osservatore. Il sole deforma lo
spazio, curvandolo, e di conseguenza i raggi luminosi vengono deviati e dunque
curvati lungo lo spazio-tempo.
Precessione del perielio dei pianeti nel moto
di rivoluzione attorno al Sole
Secondo la teoria galileiana e la meccanica newtoniana le orbite dei
pianeti sono fisse. Einstein mette in discussione questa teoria: poiché i
pianeti curvano lo spazio-tempo e si muovono lungo geodetiche, le
orbite dei pianeti non rimangono fisse, ma si spostano in tempi molto
lunghi (fenomeno noto come precessione del perielio): l’orbita non si
richiude su se stessa, ma descrive una forma detta a rosetta. È l’orbita
stessa a ruotare all’interno dello spazio-tempo.
Red shift gravitazionale
Il campo gravitazionale provoca il cosiddetto fenomeno del red shift gravitazionale,
cioè uno spostamento dello spettro elettromagnetico verso il rosso. Il fotone si
muove dalla sorgente verso un campo gravitazionale con effetti inferiori, la sua
lunghezza d’onda aumenta e dunque la frequenza diminuisce, spostandosi verso lo
spettro del rosso d’altronde, quando un fotone si muove nello spazio
allontanandosi dalla sua fonte di emissione, esso perde energia, ma poiché la
velocità della luce è sempre la stessa, il fotone può perdere energia solo se
diminuisce la sua frequenza. Ciò comporta quindi lo spostamento dello spettro
elettromagnetico di emissione verso il rosso.
Verso il futuro
La relatività generale prevede anche altri interessanti fenomeni che sono
tutt’ora oggetto di studio:
• I buchi neri
• Cosmologia
• Unificazione delle forze
• Onde gravitazionali
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I buchi neri
I buchi neri sono frutto di un collasso della
materia da cui né la materia né la luce
riescono a sfuggire a causa dell’intensità
gravitazionale.
Trattenendo la luce, un buco nero risulta
invisibile, proprio per questo per
individuarlo occorre rilevare o gli effetti
gravitazionali sulle stelle circostanti o le
radiazioni emesse dal gas incandescente
che precipita verso esso.
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Cosmologia
Einstein nel 1917 ipotizzò un modello stazionario in cui lo spazio è finito e
limitato (superficie sferica) e la materia è distribuita con omogeneità, per
conciliare la staticità dell’Universo con l’azione attrattiva della gravità,
introdusse una costante cosmologica al fine di escludere l’espansione o la
contrazione. La teoria del Big Bang, implicante l’espansione dell’Universo,
portò lo stesso Einstein all’abbandono della costante cosmologica. Oggi
prevale il modello dell’universo non stazionario ma in espansione con
velocità crescente, e secondo questa ipotesi la materia visibile costituisce
solo il 5% dell’universo, il 25% è costituito da materia oscura e il 70% da
energia oscura.
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Unificazione delle forze
Einstein tentò di unificare campo gravitazionale e campo elettromagnetico in
un’unica equazione. Probabilmente il suo tentativo si rivelò un fallimento dal
momento che Einstein non utilizzò i concetti quantistici: ancora oggi i fisici
cercano di descrivere univocamente capo elettromagnetico e campo
gravitazionale e far coincidere le quattro interazioni note, quali forza
nucleare forte, elettromagnetica, nucleare debole e gravitazionale.
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Onde gravitazionali
Un’onda gravitazionale è la propagazione di una perturbazione della geometria dello
spazio-tempo causata da cambiamenti nella distribuzione della massa-energia. Le
equazioni di Einstein teorizzano l’esistenza di tali onde, ma la loro intensità, prevedibile
teoricamente, è sempre molto debole e risulta difficile rilevarle. Attualmente si sta
tentando di individuarle ricorrendo a due generi di dispositivi:
• I rilevatori risonanti criogenici, antenne che operano in condizioni di temperature molto
basse e con dispositivi che cercano di eliminare i fattori di disturbo di origine ambientale;
• Gli interferometri, basati sulle conseguenze del passaggio di un’onda gravitazionale su
una perturbazione luminosa.
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