E LEMENTI DI DEMOGRAFIA
3. Diagramma di Lexis
Posa Donato
k [email protected]
Maggio Sabrina
k [email protected]
D IP. TO
DI
U NIVERSITÀ DEL S ALENTO
S CIENZE E CONOMICHE E M ATEMATICO -S TATISTICHE
FACOLTÀ DI E CONOMIA
a.a. 2008/2009
Diagramma di Lexis
Il Diagramma di Lexis, dal nome dello statistico ed economista tedesco W. Lexis
(1837-1914), è uno strumento utile per affrontare l’analisi dei fenomeni demografici.
Tale grafico viene spesso utilizzato in Demografia per rappresentare la storia di un
individuo ed evidenziare gli eventi demografici (nascita, matrimonio, paternità/maternità,. . ., morte) che lo hanno interessato.
Diagramma di Lexis
Fissato un sistema di riferimento cartesiano,
sull’asse delle ascisse viene riportato il tempo
(in anni di calendario), mentre sull’asse delle
ordinate viene riportata l’età (in anni compiuti).
Su tale grafico sono indicati gli eventi demografici
oggetto di studio relativi ad ogni singolo individuo
tramite rette parallele (linee di vita) alla bisettrice
del primo quadrante.
Ogni punto del grafico rappresenta un istante della
vita di un individuo.
Diagramma di Lexis
Fondamentale per la costruzione del diagramma di Lexis è che l’asse delle
ascisse e delle ordinate presentino la stessa unità di misura; in tal modo, tracciando rette parallele agli assi in corrispondenza dei segni di graduazione, si
ottiene una griglia costituita da quadrati.
L’inizio ed il termine delle rette vengono così stabiliti:
la retta inizia nel punto corrispondente all’istante in cui l’individuo comincia ad essere a rischio di subire l’evento demografico oggetto di
studio;
la retta termina nel punto corrispondente all’istante in cui l’individuo
subisce l’evento demografico oggetto di studio: tale punto viene anche
detto punto-evento.
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I segmenti e le figure geometriche che si formano sullo schema dall’incrocio di rette parallele
agli assi e alla bisettrice del primo quadrante, hanno particolari significati:
i segmenti paralleli all’asse delle ascisse
identificano un insieme di individui viventi alla stessa età e nello stesso anno di
calendario;
i segmenti paralleli all’asse delle ordinate
individuano un insieme di individui viventi
nello stesso momento e alla stessa età;
i triangoli individuano un insieme di eventi accaduti nello stesso anno di calendario
a individui della stessa età e per i quali il
rischio di subire l’evento è iniziato nello
stesso anno (nessuna ambiguità);
i quadrati individuano un insieme di eventi accaduti nello stesso anno di calendario a
individui della stessa età, ma per i quali il
rischio di subire l’evento è iniziato in anni
diversi (ambiguità di generazione);
i parallelogrammi a basi orizzontali
(ABCE) individuano eventi accaduti in
due anni di calendario diversi a individui
della stessa età e per i quali il rischio di
subire l’evento è iniziato nello stesso anno
(ambiguità di anno);
i parallelogrammi a basi verticali (EFGL)
individuano eventi accaduti nello stesso anno di calendario a individui di età diverse,
ma per i quali il rischio di subire l’evento è
iniziato nello stesso anno (ambiguità di età).
Diagramma di Lexis
Esempio 1. Diagramma di Lexis
Legenda:
A = eventi vissuti nel 1982 da soggetti nati nel 1980 e in età 2 (anni compiuti) all’atto dell’evento
B = eventi vissuti nel 1982 da soggetti nati nel 1980 e in età 1 (anni compiuti) all’atto dell’evento
C = eventi vissuti nel 1982 da soggetti nati nel 1981 e in età 1 (anni compiuti) all’atto dell’evento
D = eventi vissuti nel 1983 da soggetti nati nel 1981 e in età 1 (anni compiuti) all’atto dell’evento
Diagramma di Lexis
Esempio 1. Diagramma di Lexis
Il grafico sarà costituito da un insieme di linee di vita (alcune delle quali sovrapposte), corrispondenti a ciascun individuo appartenente alla popolazione di riferimento e costellate da punti che
identificano eventi che possono essere conteggiati e classificati rispetto
al tempo in cui si sono verificati,
all’età,
all’istante di nascita dei soggetti che li hanno vissuti.
Se si ripartisce il tempo in anni solari, si misurano le età in anni compiuti e si considerano
congiuntamente le tre caratteristiche suddette (1. anno in cui si è verificato l’evento, 2. età e 3.
anno di nascita del soggetto interessato), tutti i punti (eventi) che nel grafico risultano compresi
entro i triangoli evidenziati nella suddetta figura, vengono raggruppati nella stessa classe.
Tuttavia, se la classificazione avviene rispetto a due sole caratteristiche, i punti raggruppati sono
quelli compresi entro
i quadrati (somma dei triangoli B e C nella figura), allorché si considerano età e anno
dell’evento,
entro i parallelogrammi del tipo B + A (Figura), se si considerano l’anno di nascita e
l’anno dell’evento,
entro i parallelogrammi del tipo C + D (Figura), se si considerano età e anno di nascita.
Elementi di demografia
3. Diagramma di Lexis
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Ciò premesso, quando si intende rappresentare la frequenza degli eventi conteggiati, in accordo con una delle suddette classificazioni, sarà sufficiente indicare il corrispondente valore all’interno delle aree (triangoli, quadrati e parallelogrammi) che consentono di identificare le caratteristiche considerate.
Età
0
1
2
Morti nel 1977
Nati nel:
1977
11966
1976
1457
1976
380
1975
316
1975
231
1974
195
Morti nel 1978
Nati nel:
1978
10900
1977
1195
1977
298
1976
347
1976
192
1975
298
Tabella:
morti per età e anno di nascita. Italia
1977 e 1978.
Figura:
Diagramma di Lexis - Rappresentazione
(mediante figure geometriche) della frequenza di eventi
accomunati dalle stesse caratteristiche
Elementi di demografia
3. Diagramma di Lexis
Nello schema di Lexis, oltre alla classificazione e alla rappresentazione dei puntievento, si può operare facendo riferimento alle linee di vita; in particolare, conteggiando queste ultime si possono determinare e mettere in evidenza
il numero dei soggetti sopravvissuti in un dato istante,
o il numero di coloro che, durante un intervallo di tempo, hanno raggiunto un
prefissato compleanno.
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Nella figura
il segmento AB interseca tutti i 12924 punti che
appartengono ad altrettante linee di vita, riguardanti soggetti che, al 31 dicembre 1979, avevano un’età
compresa fra il secondo e il terzo compleanno;
il segmento CB fa riferimento ai 12332 soggetti che,
alla stessa data, avevano età compresa fra il primo ed
il secondo compleanno, e così via;
viceversa, il segmento DB attraversa i 12908 puntivita di coloro che, nel corso del 1979, hanno raggiunto
il secondo compleanno,
il segmento EF si riferisce agli 11594 soggetti che
hanno iniziato la loro vita (compleanno 0) nel corso
del 1979 e così via.
Figura:
Diagramma di Lexis - Stato e movimento della popolazione.
Provincia di Brescia.
Legenda:
numero di nati (N ), morti (M ), immigrati (I) e emigrati (E), classificati per età, anno di nascita e anno di
osservazione;
rappresentazione della popolazione residente per
classe annuale d’età (P ) e per età raggiunta (R).
Elementi di demografia
3. Diagramma di Lexis
Sulla base delle considerazioni appena esposte, è facile rendersi conto come lo schema
di Lexis si presti bene ad evidenziare e ordinare i dati di stock e di flusso di una
popolazione, e sia particolarmente utile per porre in relazione la numerosità degli
eventi osservati con la corrispondente popolazione che è stata in grado di viverli.
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Elementi di demografia
3. Diagramma di Lexis
Si osservi che il diagramma di Lexis può essere altresì utilizzato per rappresentare
la storia di qualsiasi fenomeno che abbia avuto origine in un dato istante e di cui si
ritenga utile osservare l’evoluzione in tempi successivi.
Ad esempio, se si rappresenta la storia dei matrimoni, le linee di vita hanno origine
all’atto della celebrazione del matrimonio, sono caratterizzate da alcuni eventi (tra i
quali il più significativo sotto il profilo demografico è la nascita di un figlio) e si sviluppano sino all’evento terminale (separazione, divorzio o morte di uno dei coniugi) che
dà luogo allo scioglimento dell’unione.
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Elementi di demografia
3. Diagramma di Lexis
Osservazioni sul diagramma di Lexis
Il diagramma di Lexis si presta a visualizzare solo fenomeni demografici non rinnovabili, che si possono cioè presentare una sola volta nella vita di un individuo (es:
morte, prime nozze, primo figlio, prima vedovanza, ecc.).
Ad esempio,
nel caso di uno studio di mortalità, una qualsiasi retta inizia nell’istante della
nascita (inizio del rischio di morte) e termina nell’istante del decesso;
nel caso di uno studio di nuzialità la retta inizierà invece al sedicesimo compleanno (data convenzionalmente indicata come data minima legale per sposarsi)
e terminerà nel giorno della cerimonia nuziale.
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Elementi di demografia
3. Diagramma di Lexis
Analisi per generazioni e per contemporanei
Gli eventi demografici possono essere studiati mediante due differenti tipi di
analisi:
a) analisi per generazioni (o longitudinale),
b) analisi per contemporanei (o trasversale).
Nell’analisi longitudinale lo studio dei fenomeni demografici viene effettuato in funzione degli eventi che interessano una stessa generazione, mentre in
quella trasversale lo studio riguarda gli eventi vissuti da differenti coorti in
uno stesso intervallo di tempo.
Per generazione si intende un gruppo di individui nati in uno stesso periodo.
Un’estensione del concetto di generazione è quello di coorte, ovvero un gruppo di persone identificate da uno stesso evento-origine vissuto in un determinato intervallo di tempo.
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Elementi di demografia
3. Diagramma di Lexis
Ad esempio, uno studio per generazioni (Longitudinale) della mortalità consente di evidenziare l’influenza esercitata, sulla eliminazione per morte, dall’età e da fattori esterni che hanno determinato un miglioramento delle condizioni di vita nel corso della storia di una generazione.
D’altra parte, con lo studio della mortalità per contemporanei (trasversale),
si dà maggiore rilievo all’influenza esercitata dai fattori di un determinato
istante temporale (guerre, epidemie, ...), ovvero ai fattori che agiscono simultaneamente in un istante temporale limitato, su tutti gli individui appartenenti
alla popolazione, distinti per età e per generazione.
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Elementi di demografia
3. Diagramma di Lexis
Analisi per generazioni
L’analisi per generazioni segue lo svolgersi degli eventi lungo la vita di un
gruppo di individui: tutti gli individui appartenenti alla generazione sono
esposti nel tempo alle stesse circostanze esterne ambientali.
A seconda delle diverse modalità di osservazione degli eventi, è possibile
distinguere:
analisi per generazioni seguita: gli eventi sono registrati man mano che
si verificano,
analisi per generazioni retrospettiva: in un determinato istante, è possibile interrogare gli individui di una generazione sulla loro storia passata
e ricostruirla.
Nell’analisi per generazioni seguita occorre disporre di dati che si riferiscono ad un
lasso di tempo notevolmente ampio, mentre in quella retrospettiva i dati si riferiscono ad un
intervallo di tempo relativamente ristretto.
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Analisi per generazioni e per contemporanei nel
diagramma di Lexis
L’analisi trasversale misura l’esperienza di individui tra loro contemporanei, ma non coetanei.
Esempio 3. Analisi longitudinale e analisi trasversale del fenomeno demografico: “nuzialità
delle minorenni (14-17 anni)”
Si consideri l’insieme di dati relativi alla popolazione italiana convenientemente esposti nel
seguente diagramma di Lexis.
Legenda:
P = popolazione femminile che raggiunge il compleanno x nell’anno ta ;
′
P = popolazione femminile in età x (anni compiuti) al 1.1.1979 e al 31.12.1979;
S = spose di età x (anni compiuti) appartenenti alla generazione femminile nata nel 1960;
′
S = spose di età x (anni compiuti) nell’anno 1979.
a
I valori di P per ogni età x sono stati stimati mediante la relazione:
P = 1/2[Px−1 (1.1.t − 1) + Px (31.12.t)]
Esempio 3. Diagramma di Lexis
1. Analisi longitudinale
In tal caso, l’analisi della nuzialità può essere svolta in termini , solo per la generazione di
minorenni che sono entrate in età matrimoniabile, avendo raggiunto il 14-esimo compleanno,
nel corso del 1974.
Ciò premesso, il numero medio di matrimoni, riferito all’ammontare iniziale di tale generazione
di quattordicenni, risulta pari a:
1690 + 2122 + 4006 + 7051
= 0, 0337
441409
e costituisce una prima misura, ancorchè grezza, dell’intensità finale del fenomeno in oggetto.
Analogamente, l’intensità attuale alle diverse età viene espressa dai valori riportati nel seguente
prospetto (colonna 4):
Età (x)
Eventi (Sx )
(1)
14
15
16
17
(2)
1690
2122
4006
7051
Somma degli eventi
fino all’età x
(3)
1690
3812
7818
14869
Intensità fino
all’età x
(4)=(3)/441409
0,0038
0,0086
0,0177
0,0337
Esempio 3. Diagramma di Lexis
Infine, un indicatore sintetico del calendario del fenomeno, relativamente alla generazione in
oggetto, viene fornito dal calcolo dell’età media al matrimonio:
17
X
x=
(x + 0, 5) · Sx
x=14
17
X
=
(14, 5)(1690) + ... + (17, 5)(7051)
= 16, 604
14869
Sx
x=14
per la cui determinazione si assume che gli eventi occorsi tra il 14-esimo ed il 15-esimo
compleanno si siano verificati (in media) ad un’età di 14,5 anni, quelli occorsi tra il 15-esimo ed
il 16-esimo compleanno si siano verificati ad una età media di 15,5 e così viaa .
a Tale ipotesi non è del tutto realistica; tuttavia, la trattazione del fenomeno in questa sede ha
esclusivamente funzione esemplificativa.
Esempio 3. Diagramma di Lexis
I precedenti risultati non tengono conto però delle variazioni che intervengono nel numero
di donne effettivamente presenti alle diverse età (a seguito della mortalità e dei movimenti
migratori) e che, viceversa, influiscono sulla determinazione del numero di matrimoni osservati.
Per ovviare a tale limite si possono innanzitutto determinare i tassi specifici per età, calcolando
il rapporto tra il numero di matrimoni in età x ed il numero medio di donne (anni vissuti) della
stessa età:
Età (x)
Tassi specifici: sx = 1000Sx /1/2(Px + Px+1 )
14
1000[1690/1/2(441409 + 442181)] = 3, 83
15
1000[2122/1/2(442181 + 442748)] = 4, 80
16
1000[4006/1/2(442748 + 443307)] = 9, 04
17
1000[7051/1/2(443307 + 443871)] = 15, 90
17
X
sx = 33, 57
Totale:
x=14
Successivamente, ricordando che i tassi specifici sx esprimono il numero di matrimoni tra i
compleanni x e x + 1 per ogni 1000 anni-vita entro tali anniversari, si può effettuare la somma.
Esempio 3. Diagramma di Lexis
Tale somma si presta ad essere interpretata come misura del numero totale di matrimoni che si
sono osservati tra il 14-esimo ed il 18-esimo compleanno in una generazione di 1000 donne,
nell’ipotesi che nessuna donna sia morta o emigrata entro tali limiti d’età e che esse siano state
caratterizzate dai tassi specifici di nuzialità sx (x = 14, 15, ..., 17).
In tal modo, si può disporre di una misura dell’intensità del fenomeno nuzialità delle minorenni,
che non risenta delle variazioni intervenute nell’ammontare della generazione, a seguito
dell’interferenza di altri fenomeni demografici (mortalità, migrazioni).
Esempio 3. Diagramma di Lexis
2. Analisi trasversale
L’insieme di dati disponibili offre la possibilità di analizzare la nuzialità delle minorenni oltre
che in un’ottica longitudinale, come per la generazione di quattordicenni del 1974, anche in
un’ottica di tipo trasversale.
Infatti, relativamente all’anno 1979 è possibile misurare l’intensità del fenomeno mediante:
a) il calcolo del tasso generico, che esprime l’intensità pro capite attribuibile al complesso delle
donne appartenenti alla classe di età 14-17 nel 1979:
s(1979) = 1000(30 + 115 + 4268 + 6513)/[1/2(471273 + 448477 + 432793 +
+ 430019 + 463738 + 471489 + 448680 + 432976)] = 6, 07
b) il calcolo e la successiva somma dei tassi specifici relativi a ciascuna età:
Età (x)
Tassi specifici: s′x = 1000Sx′ (79)/1/2[Px′ (1.1.79) +
Px′ (31.12.79)]
14
1000[30/1/2(471273 + 463738)] = 0, 06
15
1000[115/1/2(448477 + 471489)] = 0, 25
16
1000[4268/1/2(432793 + 448680)] = 9, 68
17
1000[6513/1/2(430019 + 432976)] = 15, 09
17
X
s′x = 25, 08
Totale:
x=14
Esempio 3. Diagramma di Lexis
Quest’ultimo procedimento consente di determinare una misura dell’intensità finale basata sulle
condizioni del momento (anno 1979), vale a dire: quell’intensità che verrebbe prodotta da
un’ipotetica generazione di 1000 quattordicenni nell’ipotesi che tutte restino in vita e nessuna
emigri fino al 18-esimo compleanno e che sperimentino, nel corso delle diverse età, i tassi
specifici osservati nel 1979.
Rispetto alla sintesi del calendario del fenomeno, con i dati osservati nel 1979 si può procedere
al calcolo dell’età media effettiva:
17
X
x=
(x + 0, 5)Sx′
x=14
17
X
=
Sx′
(14, 5)(30) + ... + (17, 5)(6513)
= 17, 080
10926
x=14
oppure all’analogo calcolo riferito alla generazione fittizia di cui si è detto:
17
X
x′ =
(x + 0, 5)s′x
x=14
17
X
=
s′x
(14, 5)(0, 06) + ... + (17, 5)(15, 09)
= 17, 080.
25, 09
x=14
Nel caso in esame, i due risultati (anche se non è sempre così) vengono a coincidere.
