Nodi concettuali
fondamentali nell’apprendimento
della geometria
Maria Piccione *
Dipartimento di Scienze Matematiche e Informatiche
“R.Magari”
Università degli Studi di Siena
* [email protected]
Premessa
•
•
La ricerca svolta nell’ambito di progetti e attività di laboratorio ha permesso
di analizzare le principali difficoltà nell’apprendimento della matematica e di
metterle in relazione con
la didattica generale
la didattica disciplinare
ne è scaturita una rivisitazione dei temi di matematica
trattati ai vari livelli scolastici
una focalizzazione dello studio sui
nodi concettuali della disciplina
funzionali alla costruzione di pensiero matematico
Nodi concettuali nello sviluppo di
pensiero geometrico
Interpretazione dei nodi da noi individuati:
tratti comuni con
i ‘nuclei fondanti’
i ‘nodi concettuali’
Come i ‘nuclei fondanti’, i nodi sono concetti che
• delineano la struttura della disciplina dal punto di vista cognitivo
• caratterizzano la disciplina epistemologicamente
• supportano le competenze attraverso le quali la mente si organizza
Come i ‘nodi concettuali’, i nodi sono concetti
• centrali del percorso didattico
• possono rappresentare ostacoli cognitivi
I nodi da noi scelti si intrecciano con
le ‘attività fondamentali’ del pensiero umano
attività universali che hanno contribuito
alla costruzione dei concetti fondamentali della matematica
(che si ritrovano nei programmi scolastici e universitari)
contare localizzare misurare disegnare giocare descrivere
dipendenti da facoltà della mente che fanno parte della dotazione genetica degli
esseri umani o si sviluppano fin dai primi mesi di vita:
isolamento distinzione confronto
con conseguenti
ordinamento classificazione
Condizione nella scelta dei nodi è stata la
essenzialità
ovvero la riduzione estrema del loro numero
In rapporto alla costruzione della mappa concettuale degli allievi
(individuale o condivisa)
ne consegue
un aumento del numero dei concetti correlati a uno stesso nodo
sul piano cognitivo: dimostrazione della ‘forza attrattiva’ del nodo
considerato
Modalità didattica nell’uso dei nodi è stata la
esplicitazione
agli allievi
finalizzata a
•
•
recupero del senso nello studio della matematica
conquista di consapevolezza
con questa stessa finalità vengono sollecitate
osservazione e riconoscimento
delle facoltà e delle attività fondamentali della mente
che entrano in gioco nella costruzione di un dato concetto
I nodi presi in considerazione
per la costruzione di pensiero geometrico sono
estensione
dimensione
posizione
misura
forma
Nell’organizzazione didattica:
l’esistenza teorica di ciascun nodo è messa in rapporto con
l’esigenza di risolvere un problema dell’esperienza comune
Esperienza senso-motoria e immagini mentali
Il lavoro geometrico inizia con la formulazione della domanda
che cosa è per voi la geometria?
le risposte fornite dai ragazzi vengono confrontate con una frase di
F. Speranza
che viene enfaticamente dichiarata e che contiene implicitamente
un’indicazione (peraltro classica!) da noi acquisita come criterio
metodologico:
La geometria è una schematizzazione estrema
delle nostre esperienze sensoriali e di movimento
Tale frase viene richiamata nella prosecuzione del lavoro per
sottolineare il ruolo fondamentale che l’esperienza senso-motoria
svolge nella formazione delle idee
Modalità di lavoro adottata
L’azione didattica è ispirata a principi di educazione sensoriale
(anche di impostazione montessoriana)
E’ dato spazio ad attività di
esecuzione e osservazione
di predisposte esperienze sensoriali (tattili - visive) e di movimento
efficaci in situazioni di
apprendimento usuale
recupero cognitivo
recupero affettivo
Osservazioni:
Tali attività sono risultate valide anche nel biennio della scuola secondaria
(seppure in contrasto con le teorie che tendono a porre limiti di età per simili
esperienze).
Il superamento delle difficoltà dipende da determinati passaggi del processo di
apprendimento non eliminabili e da recuperare in tempi ridotti e con atteggiamento
metacognitivo di controllo/valutazione.
E’ condotta una sistematica attività sulle
immagini mentali
indirizzata a
ricerca descrizione condivisione
di ciò che il soggetto ‘vede’ nella propria mente in relazione
a un concetto che va elaborandosi
a un procedimento che si sta sviluppando
Osservazioni:
La condivisione delle immagini mentali è risultata utile per il confronto e l’arricchimento
della ‘collezione’ individuale alla base del processo di astrazione.
L’attività sottolinea il ruolo che la costruzione delle immagini mentali svolge nella fase di
passaggio verso l’astrazione.
Nei casi di difficoltà, il controllo delle immagini si è dimostrato uno strumento vantaggioso
per evidenziare lacune o distorsioni nella costruzione concettuale (insegnante/allievo).
Il lavoro sulle immagini mentali evidenzia che
la geometria è un sistema di concetti
strutturato sulla base di
un sistema di percezioni
Un esperimento convincente
finalità:
evidenziare l’effettiva produzione di immagini
attuazione: preliminare all’uso del metodo del feed-back delle
immagini individuali
esecuzione: accurata esplorazione tattile, ad occhi bendati, di
un oggetto non comune (non riconducibile ad
immagini mentali pregresse)
disegno o descrizione verbale dell’oggetto
sottratto alla vista.
Le rappresentazioni sono sorprendenti!
Estensione
Inizio del lavoro
analisi dell’idea di ‘spazio occupato’
Operativamente
i ragazzi vengono invitati a:
compiere movimenti liberi in molti modi diversi
osservare lo spazio occupato dagli oggetti
Dimensione
Inizio del lavoro
analisi dell’idea di ‘puntamento’
Operativamente
i ragazzi vengono invitati a puntare (con un braccio teso o con una bacchetta) in modi diversi
La riflessione viene avviata con le seguenti domande
quanti modi di puntare esistono nello spazio fisico?
quanti su una superficie piatta?
quanti su un filo teso?
Deve emergere il concetto di direzione al quale riferire quello di dimensione
nei casi di retta, piano e spazio in senso astratto
Operativamente
ragazzi diversi puntano, ad esempio, verso il nord (ciascuno con una bussola) e rilevano il
‘parallelismo’ degli aghi
si riempie idealmente l’aula di fili tesi, tutti ugualmente indirizzati, ovvero ‘fasci di rette parallele’, si
rigano analogamente i piani dei banchi…
Si raccolgono le osservazioni e si commentano
Prosecuzione del lavoro
primo approccio ai concetti di lunghezza, larghezza, altezza
in termini di proprietà possedute da rette situate in posizione reciproca particolare
La riflessione si incentra sulle seguenti domande
quali possibilità di movimento possiede un essere puntiforme
nello spazio fisico?
su una superficie piatta?
su un filo teso o, più in generale, non teso?
Operativamente
I ragazzi sono invitati ad utilizzare materiale concreto ed eseguire movimenti effettivi
Si sperimenta l’esistenza di tre principali possibilità di movimento
‘in lungo’ ‘in largo’ ‘in alto’
idea di dimensione di un determinato ambito fisico (poi geometrico euclideo)
come numero massimo di direzioni mutuamente ortogonali in esso contenute
retta, piano, spazio hanno dimensione uno, due, tre e un punto…zero
Il lavoro conduce
•
all’intuizione dei concetti di
composizione di movimenti
movimento risultante dalla composizione
dipendenza/indipendenza di movimenti
•
alla precisazione della nozione di verso
con la duplice possibilità di orientazione di una retta (o linea)
•
alla contrapposizione dei concetti di dimensione e di
estensione
l’estensione di una figura indica lo spazio occupato
la dimensione indica come lo spazio viene occupato
• alla classificazione delle figure in
lineari superficiali solide
secondo che occupino lo spazio alla maniera
di una linea: solo in lungo
di un piano: in lungo e in largo
dello spazio: in lungo in largo e in alto
Sviluppo del lavoro
Studio di figure bidimensionali non piane
(superficie sferica, cilindrica…)
dal punto di vista delle possibilità di movimento permesse
con
individuazione di linee di spostamento
(in generale non tutte rette)
‘indipendenti’ e ‘generanti’ ogni altro spostamento considerato
Osservazioni:
Il lavoro intorno al nodo dimensione ha dimostrato di favorire
la comprensione di caratteristiche radicali dei diversi ambienti
geometrici/figure
Ha contestualizzato approfondimenti tematici (molto
suggestivi) come lo studio di semplici figure frattali
Posizione
L’idea di posizione risponde
al problema della individuazione di un punto nello spazio
salto epistemologico:
dalla
soluzione “in grande” della suddivisione non assoluta dello spazio fisico in zone (in
particolare quella legata alla struttura del corpo umano)
alla
soluzione raffinata fornita dal concetto di coordinata
Il concetto forte che compenetra il nodo posizione
è quello di riferimento
che ne sottolinea la relatività
Osservazioni:
La difficoltà concettuale è sottovalutata (frequentissime situazioni di errore e difficoltà che
si riscontrano negli sviluppi successivi dello studio matematico)
La costruzione di tale concetto richiede che vengano attentamente individuate e
giustificate le condizioni e i procedimenti che consentono l’introduzione delle coordinate
cartesiane (orientazione della retta, scelta del punto ‘origine’, misura di lunghezze, unità )
e il confronto con coordinate di tipo diverso (polari, sferiche, cilindriche…)
Misura
La convergenza concettuale del nodo misura
è con il concetto di grandezza
Osservazioni:
L’esperienza ha mostrato una debolezza/mancanza del senso
della misurabilità molto diffusa tra gli studenti
E’ fondamentale dominare l’idea di grandezza, distinguendone i
tipi, comprendere il ruolo della possibilità di confrontare e
sommare due grandezze (omogenee)
Forma
La costruzione del concetto di forma si avvale ampiamente dei
principi metodologici adottati:
percezione degli oggetti della realtà fisica al
riconoscimento di proprietà comuni
formazione di immagini mentali
rappresentazioni grafiche
regolarizzazione di alcune ‘forme’ in figure
Osservazioni:
E’ proficuo lavorare sulla distinzione tra forma in senso ‘genere’
e in senso ‘specie’ in funzione del collegamento dei concetti di
forma e di similitudine
