Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati
II Semestre 2005/2006
Alberi di Ricerca
Marco Antoniotti
Operazione di rimozione in un BSTs
•
•
Abbiamo visto le operazioni search e insert per BSTs
Ora vediamo una semplice, ma problematica, operazione di rimozione (delete)
di un nodo, ovvero di una coppia <key, value>
•
BST delete
–
–
–
Caso 0 (niente sottoalberi): si rimuove il nodo senza problemi
Caso 1 (un sottoalbero): si rimuove il nodo e lo si sostituisce con la radice dell’unico
sottoalbero
Caso 2 (due sottoalberi): si trova il nodo successore del nodo da rimuovere d, lo so
scambia con d e si procede come nei casi precedenti
Problemi: strategia
macchinosa e non simmetrica
L’abero risultante non è
simmetrico anche se random
e la profondità può crescere
fino a √N
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Rimozione “pigra” (lazy delete)
•
•
Per facilitare le operazioni di rimozione possiamo anche esser “pigri”
(“lazy”)
Invece di rimuovere effettivamente un nodo lo si marca come “rimosso”
– Le operazioni di inserimento e ricerca devono trattare questi nodi in modo
particolare
•
Costi: O(lg(N’)) per inserimento, ricerca e rimozione, dove N’ è il
numero totale di inserimenti
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Dizionari a confronto
Caso peggiore
•
•
Caso medio
Implementazione
Search
Insert
Delete
Search
Insert
Delete
Array ordinato
lg(N)
N
N
lg(N)
N/2
N/2
Lista non ordinata
N
N
N
N/2
N
N
Hash Table
N
1
N
1*
1*
1*
BST
N
N
N
lg(N)
lg(N)
lg(N)
BST: solite assunzioni (casualità e N = numero totale inserimenti per lazy
delete)
Domanda: possiamo migliorare le prestazioni dei BST rimuovendo la
dipendenza dall’input?
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Rotazioni
• Rotazioni: operazioni fondamentali per riarrangiare i nodi negli
alberi
– Mantengono le invarianti dei BSTs
– Sono locali: cambiano solo tre puntatori
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Rotazione Destra e Rotazione Sinistra
// Nota: senza controlli su puntatori nulli.
// L’uso di sentinelle facilita le operazioni.
BinaryNode* rotLeft(BinaryNode* h) {
BinaryNode* x = h->getRight();
h->setRight(x->getLeft());
x->setParent(h->getParent());
x->setLeft(h);
return x;
}
BinaryNode* rotRight(BinaryNode* h) {
BinaryNode* x = h->getLeft();
h->setLeft(x->getRight());
x->setParent(h->getParent());
x->setRight(h);
return x;
}
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Inserimento alla Radice
•
Root insert: si inserisce unnuovo nodo e lo si rende la radice
–
–
•
Si inserisce usando la stessa struttura di insert
Si ruota il nodo fino alla radice
Perchè far ciò?
–
–
Le ricerce degli elementi appena inseriti sono più veloci
Queste operazioni sono la base per algoritmi su BST più sofisticati
BinaryNode* rootInsert(BinaryNode* h, Key k, Value v)
{
if (h == 0) return new BinaryNode(k, v);
if (k < h->getKey()) {
h->setLeft(rootInsert(h->getLeft(), k, v));
return rotRight(h);
}
else {
h->setRight(rootInsert(h->getRight(), k, v));
return rotLeft(h);
}
}
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Inserimento alla radice: esempio
Esempio: A S E R C H I N G X M P L
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Alberi “Randomizzati” con
Inserimento alla Radice
•
•
Si ricordi: se le chiavi sono inserite in modo casuale, allora il BST è
essenzialemente bilanciato (con alta probabilità)
Idea: quando si inserisce un nuovo nodo, lo si inserisca alla radice con
probabilità 1(N+1) e si ripeta ricorsivamente
BinaryNode* insertNodeR(BinaryNode* h, Key k, Value v) {
if (h == 0) return new BinaryNode(k, v);
if ((rand() / (float) RAND_MAX) * (h->count() + 1) < 1)
return rootInsert(h, k, v);
// si inserisce usando piu` o meno la normale insertNode
// …
h->incrCount();
return h;
}
•
Risultato: la forma dell’albero è simile a quella ottenuta assumendo
inserimenti casuali
– Ma ora non abbiamo più questa dipendenza
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Esempio
• Inseriamo le
chiavi in ordine
crescente
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“Randomized” BST
• Proprietà: assomiglia sempre ad un albero random
Θ(lg(N)) caso medio
Implementazione: dimensione del (sotto)albero contenuta nel nodo
Probabilità di sbilanciamento molto bassa
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“Randomized” BST: altre operazioni
• Operazione join: congiungere due BSTs A (dimensione M) e B
(dimensione N) assumendo che tutte le chiavi in A siano minori
delle chiavi in B
– Si usa A come radice con probabilità M/(M+N) e si congiunge (join)
ricorsivamente il sottoalbero destro di A con B
– Si usa B come radice con probabilità N/(M+N) e si congiunge (join)
ricorsivamente il sottoalbero sinistro di B con A
• Operazione delete: si rimuove il nodo e si congiungono (join) i
due sottoalberi
• Teorema: l’albero risultante è ancora casuale (random)
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Dizionari a confronto
Caso peggiore
•
•
Caso medio
Implementazione
Search
Insert
Delete
Search
Insert
Delete
Array ordinato
lg(N)
N
N
lg(N)
N/2
N/2
Lista non ordinata
N
N
N
N/2
N
N
Hash Table
N
1
N
1*
1*
1*
“Randomized”
BST
lg(N)
lg(N)
lg(N)
lg(N)
lg(N)
lg(N)
“Randomized BST: prestazioni logaritmiche “garantite” (ammesso di avere a
disposizione un buon generatore di numeri casuali)
Domanda: possiamo dare delle garanzie di prestazioni deterministiche?
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BSTs: operazioni ulteriori
• Ordinamento: dopo l’inserimento basta produrre una lista “inordine” del contenuto
• Ricerca tra limiti (range search): trovare tuttle le chiavi
comprese tra k1 e k2
• Trovare il k-esimo (più grande o più piccolo) elemento
–
–
–
–
Generalizzazione di una coda con priorità
Caso speciale: massimo e minimo
Si usa la dimensione del sottoalbero
Tempo proporzionale alla profondità
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Dizionari a confronto
Caso asintotico
Implementazione
Search
Insert
Delete
Find kth
Sort
Join
Ceil
Array ordinato
lg(N)
N
N
lg(N)
N
N
lg(N)
Lista non ordinata
N
N
N
N
N lg(N)
N
N
Hash Table
1*
1*
1*
N
N lg(N)
N
N
BST
N
N
N
N
N
N
N
“Randomized”
BST
lg(N)
lg(N)
lg(N)
lg(N)
N
lg(N)
lg(N)
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Sommario
• Operazioni di delete di un nodo da un BST
– Diretta
– “lazy”
• Problema: albero può diventare sbilanciato
• Operazioni di rotazione di un nodo
• Operazioni di “inserimento alla radice”
• Alberi esplicitamente randomizzati (con operazione di
inserimento alla radice)
– Rimozione della dipendenza dall’input
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