Prova scritta di Elementi di Logica Matematica

Prova scritta di Elementi di Logica Matematica
4 marzo 2002
A fianco di ogni domanda o esercizio è indicato il punteggio massimo assegnato ad esso: per superare l’esame bisogna raggiungere 18 punti, di cui
almeno 4 relativi alle domande di teoria.
Domande di teoria
Rispondete alle domande direttamente sul testo mettendo una crocetta su
vero o falso. Le risposte errate hanno un effetto negativo sul punteggio (e
quindi può convenire non rispondere a tutte le domande).
T1. Se l’unica variabile libera nella formula F è x e I, σ |= ∀x F allora per
ogni stato τ di I si ha I, τ |= F .
V F
T2. F ∨ (¬G ∧ H) è logicamente equivalente a G ∨ ¬H → F .
V F
T3. p(x) → ∀x F è logicamente equivalente a ∀x(p(x) → F ).
V F
T4. La formula ∀x ∃y f (x) = y è valida nella logica con uguaglianza, ma
non nella logica pura.
V F
T5. La formula ∀x ∀y ∀z ∃u q(x, y, z, u):
(le conclusioni corrette possono essere nessuna, una o più d’una)
V F
è una chiusura universale di ∃u q(x, y, z, u);
è una chiusura universale di ∀z ∃u q(x, y, z, u);
V F
è conseguenza logica di ∀x ∀y ∀z q(x, y, z, f (x));
V F
ha ∀x ∀y ∀z q(x, y, z, f (x)) come sua skolemizzata.
V F
T6. Sia F la formula ¬∀x ∃y r(x, y) → ∃u ¬∀v ¬r(u, v). Allora:
(le conclusioni corrette possono essere nessuna, una o più d’una)
tutte le occorrenze di ∃ in F sono positive;
V F
tutte le occorrenze di ∀ in F sono positive;
V F
la formula ¬∀x r(x, f (x)) → ¬¬r(g(x), h(x)) è una skolemizzata locale
di F ;
V F
la formula ¬∀x r(x, f (x)) → ¬∀v ¬r(a, v) è una skolemizzata locale di
V F
F.
T7. Siano ϕ un omomorfismo forte da I in J e σ uno stato di I:
(le conclusioni corrette possono essere nessuna, una o più d’una)
V F
se I, σ |= p(x) allora J, ϕ ◦ σ |= p(x);
se I, σ |= ¬p(x) allora J, ϕ ◦ σ |= ¬p(x);
V F
V F
se I |= ∀x p(x) allora J |= ∀x p(x);
V F
se I |= ∃x p(x) allora J |= ∃x p(x).
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Esercizi
Svolgete i primi due esercizi su un foglio, gli altri tre esercizi su un altro
foglio.
Scrivete il vostro nome su ogni foglio che consegnate, compreso questo!
E1. Sia L = {d, m, p, c, g, =} un linguaggio con uguaglianza dove d ed m
sono simboli di funzione unari, c e p sono simboli relazionali, binario e
unario rispettivamente, e g è un simbolo di costante. Interpretando d(x)
come “il dentista di x”, m(x) come “il miglior amico di x”, p(x) come
“x è parente di Gianni”, c(x, y) come “x cura y”, e g come “Gianni”
traducete le seguenti frasi:
(i) il dentista di Gianni cura almeno un parente di Gianni diverso da
Gianni;
(ii) i parenti di Gianni non curati dal dentista di Gianni sono curati
dal dentista del miglior amico di Gianni.
E2. Mostrate che l’enunciato H = ∃x r(x, x) non è conseguenza logica (nella
logica con uguaglianza) degli enunciati seguenti
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F = ∃x ∃y ∃z(x 6= y ∧ x 6= z ∧ y 6= z ∧ ∀u(u = x ∨ u = y ∨ u = z)),
G = ∃x ∃y r(x, y) ∧ ∀x ∀y(r(x, y) → ∃z(r(x, z) ∧ r(z, y))).
E3. Se A, B, C, D, E e F sono formule atomiche, mettete in forma normale
congiuntiva usando l’algoritmo di Fitting la formula aperta
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(A ∧ ¬B) ∨ C → ¬(¬D → E ∧ ¬F ).
E4. Sia F la formula
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∀x(∃y r(x, y)∨∃y q(y, x)) → ∃u ∀v ¬(∀w q(u, f (v, w))∧¬∃w r(f (u, v), f (w, u))).
(i) Trasformate F in forma prenessa, usando il minimo numero di
quantificatori possibili;
(ii) Skolemizzate la formula ottenuta.
E5. Sia L = {f, p, r} un linguaggio in cui f è un simbolo di funzione unario,
p è un simbolo di relazione unario e r è un simbolo di relazione binario.
Sia I l’interpretazione per L definita da
DI = {A, B, C, D};
f I (A) = C;
pI = {A, B};
f I (B) = D;
f I (C) = f I (D) = A;
rI = {(A, C), (A, D), (B, C), (B, D)}.
(i) Individuate una relazione di congruenza ∼ su I che abbia due
classi d’equivalenza;
(ii) definite un’interpretazione J con DJ = {0, 1} in modo che J e
I/ ∼ siano isomorfi, specificando qual è l’isomorfismo;
(iii) I e J sono elementarmente equivalenti?
In ogni caso giustificate le vostre risposte.
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