Prova scritta di Elementi di Logica Matematica

Prova scritta di Elementi di Logica Matematica
Esempio
Svolgete i primi due esercizi su un foglio, gli altri tre esercizi su un
altro foglio. Rispondete alle domande di teoria direttamente sul testo
mettendo una crocetta su vero o falso.
Scrivete il vostro nome su ogni foglio che consegnate, compreso questo!
A fianco di ogni domanda o esercizio è indicato il punteggio massimo
assegnato ad esso: per superare l’esame bisogna raggiungere 18 punti,
di cui almeno 4 relativi alle domande di teoria.
Domande di teoria
Dite se l’affermazione è vera o falsa. Le risposte errate influiranno
negativamente sul punteggio.
T1. Se I, σ |= ∀x F allora I, σ |= F {x/t} per ogni termine t. V
F
T2. Se I, σ |= F {x/t} per ogni termine t allora I, σ |= ∀x F . V
F
T3. Se F è valida nella logica con uguaglianza allora F è valida.
V
F
T4. ∀x F ∨ ∀x G ⇔ ∀x(F ∨ G).
V
F
T5. Se F è una formula aperta di tipo α, allora (NB: le conclusioni
corrette possono essere nessuna, una o più d’una):
F è una congiunzione;
V
F
F è logicamente equivalente a una congiunzione;
V
F
F non è un’implicazione;
V
F
F può essere la negazione di un’implicazione.
V
F
T6. Se F e G sono equisoddisfacibili, allora (NB: le conclusioni corrette
possono essere nessuna, una o più d’una):
se F è valida allora G è valida;
V
F
V
F
se F è valida allora G è soddisfacibile;
se F non è valida allora G non è valida;
V
F
F
se F non è soddisfacibile allora G non è soddisfacibile. V
T7. Se I e J sono interpretazioni per un linguaggio L e sappiamo che
esiste un omomorfismo forte di I in J, allora (NB: le conclusioni
corrette possono essere nessuna, una o più d’una):
V
F
I e J sono elementarmente equivalenti;
V
F
I e J non sono elementarmente equivalenti;
V
F
I e J sono isomorfe;
F
se F è un enunciato atomico, I |= F se e solo se J |= F . V
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Esercizi
E1. Sia L = {a, d, p, q, =} un linguaggio con uguaglianza, dove a è
un simbolo di costante, d e p sono simboli di funzione unari, q
è un simbolo di relazione unario. Interpretando a come Andrea,
d(x) come il dottore di x, p(x) come il padre di x e q(x) come x è
parente di Andrea, traducete le seguenti frasi:
(i) Il padre di Andrea è dottore di qualche parente di Andrea.
(ii) Andrea ha un parente che è dottore di qualcuno.
(iii) Il dottore di Andrea è dottore di tutti i parenti di Andrea,
ad eccezione del padre di Andrea.
E2. Sia L il linguaggio con un simbolo di costante c, un simbolo di
funzione unario f e simboli di relazione p (unario) e r (binario).
Sia I l’interpretazione per L definita da
I
D = N,
I
c = 4,
I
f (n) = n + 1,
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I
p = {0, 1, 4, 5, 11, 90},
rI = { (n, m) : n è pari e m è dispari } .
Stabilite se I soddisfa l’enunciato
p(c) ∧ ∀x ∃y(r(x, y) ∨ r(y, x)) → ∀x(p(x) ∧ ∃y r(y, x) → ¬p(f (x))).
E3. Costruite un’interpretazione con dominio {A, B, C} e uno stato
che soddisfano la formula
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∀x ∃y(r(x, y) ∧ ¬r(y, x)) ∧ r(x, x) ∧ ¬r(f (x), x).
E4. Se A, B, C, D e E sono formule atomiche, mettete in forma
normale congiuntiva la formula
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(A → ¬B) ∨ ¬(C ∧ D → ¬(¬C ∨ E))
E5. Sia F l’enunciato
∃z ∀x ∃y r(g(x, z), y) → ∀y ∃x r(x, g(y, z))
→ ∃z ¬∀x ∃y r(g(x, y), z) ∧ ¬∃y ∀x r(g(z, x), g(z, y)) .
(a) Indicate le occorrenze positive e negative dei quantificatori in
F.
(b) Skolemizzate localmente la F , ottenendo una formula F 0 .
(c) Trasformate F 0 in forma prenessa, usando il minimo numero
di quantificatori possibile.
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