Parallelogrammo

Parallelogrammo
PARALLELOGRAMMO
Definizione: Un parallelogrammo è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.
A
B
D
C
I lati opposti [AB] e [DC] sono paralleli ([AB]  [DC]).
I lati opposti [AD] e [BC] sono paralleli ([AD]  [BC]).
Teorema In un qualsiasi parallelogrammo:
a) ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in due triangoli congruenti;
b) i lati opposti sono congruenti;
c) gli angoli opposti sono congruenti;
d) gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari, cioè la loro somma è un angolo
piatto;
A

2
2

1
D
[AB]  [DC] PARALLELI
[AD]  [BC] PARALLELI
B

Ipotesi
Tesi:
[ABD] = [BCD] (triangoli congruenti)
[AB] = [DC]
[AD] = [BC]

5)   
7)  +  =  (angolo piatto)
9)  +  =  (angolo piatto)
1
1)
2)
C
3)
4)
6)  +  =  (angolo piatto)
8)  +  =  (angolo piatto)

Costruzione
Disegnato il parallelogrammo [ABCD], si traccia la diagonale [BD]. Questa divide il
parallelogrammo in due triangoli: [ABD] e [BCD]. Inoltre gli angoli  e  vengono divisi in due
angoli, rispettivamente  1 e  2, 1 e 2.
Dimostrazione
Si prendono in considerazione i due triangoli [ABD] e [BCD]. Si vuole dimostrare che sono
congruenti. Infatti:
[ABD] [BCD]
[BD] = [BD] sono congruenti perché in comune con i due triangoli
1 =  2
i due angoli sono uguali perché angoli alterni interni delle rette parallele
2
=
1
[AB] e [DC] tagliate dalla trasversale [BD].
i due angoli sono uguali perché angoli alterni interni delle rette parallele
[AD] e [BC] tagliate dalla trasversale [BD].
I due triangoli hanno un lato in comune e due angoli congruenti pertanto, per il secondo criterio di
congruenza, i due triangoli sono congruenti (primo enunciato della tesi dimostrato). Questo significa
che sono congruenti anche gli altri elementi dei due triangoli:
[AB] = [DC]
[AD] = [BC]
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Parallelogrammo

Queste tre uguaglianze non rappresentano altro che il secondo, il terzo e il quarto enunciato
della tesi.
Il quinto enunciato della tesi si verifica in questo modo: l’angolo  è dato da:
  1 + 2
mentre l’angolo  è dato da:
  1 + 2
Poiché:
1 =  2
e
2   1
in quanto dimostrato sopra, si ha che :

L’enunciato 6) della tesi si verifica facilmente. Infatti gli angoli  e  sono coniugati interni
delle rette parallele [AD] e [BC] tagliate dalla trasversale [DC]. Essi, per un teorema
precedente, sono supplementari, cioè la loro somma è u angolo piatto:

Allo stesso modo si dimostrano gli enunciati 7), 8), 9).
Il teorema, pertanto, è completamente dimostrato.(c.v.d.)
-----------------------------------------------------Teorema: In un qualsiasi parallelogrammo le diagonali si intersecano nel loro punto medio.
A
B

D
[ABCD] è un parallelogrammo

O

Ipotesi:

C
Tesi: Le diagonali si incontrano nel loro punto
medio, cioè:
1) [OA] = [OC]
2) [OD] = [OB]
Costruzione
Si disegna il parallelogrammo [ABCD]. Si tracciano le diagonali [BD] e [AC]. Queste si intersecano nel
punto O, che dovrebbe essere il loro punto medio. Si individuano gli angoli , ,  e .
Dimostrazione
Si prendono in considerazione i triangoli [AOB] e [COD]. Si vuol dimostrare che sono congruenti.
[AOB] [COD]
[AB] = [DC]
questi due lati sono congruenti perché lati opposti di un
parallelogrammo, affermazione verificata nel teorema precedente.
 = 
sono congruenti perché angoli alterni interni delle rette parallele
[AB] e [DC] tagliate dalla trasversale [BD].
  
sono congruenti per lo stesso motivo di sopra, dove, però,
la trasversale è [AC].
I due triangoli, pertanto, sono congruenti perché hanno due angoli ed il lato compreso congruenti.
Dalla loro congruenza si ha che:
[OA] = [OC] e [OB] = [OD]
La conclusione coincide con la tesi, pertanto il teorema è dimostrato (c.v.d.)
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