MODELLI PER LA VALUTAZIONE
DELLA PROBABILITA’ DI GUASTO
SULLA BASE DI DATI SPERIMENTALI
Giorgio Olmi
Dipartimento di Ingegneria Industriale (DIN)
Alma Mater Studiorum – Università di Bologna
Bologna, 30 Novembre 2012
SCALETTA
•
La sperimentazione: dal particolare al generale
•
Dai dati sperimentali alle grandezze fisiche
•
Valutazione della dispersione dei dati e determinazione
delle distribuzioni
•
Distribuzioni statistiche ed approccio probabilistico
•
Case study: da dati sperimentali a fatica oligociclica alla
determinazione della probabilità di guasto di un rotore di
turboalternatore
INTRODUZIONE
• Che cosa è la sperimentazione?
• Parte della vita di ogni giorno
• Osservazione dell’ambiente che ci circonda =
sperimentazione
• La produttività di un
campo di grano
INTRODUZIONE
• Il livello di pescosità
di un torrente per
pesca sportiva
• I fattori che incidono
sul processo di
produzione del gelato
INTRODUZIONE
• La resistenza di un
materiale
• Il comportamento
(curva) di un materiale
• Le prestazioni a fatica di
un materiale
INTRODUZIONE
Processo induttivo (da particolare a generale):
Sperimentazione Osservazione Interpretazione
Generalizzazione
Da prove su alcuni campioni …
Determinazione della resistenza di un materiale
Determinazione della curva caratteristica
Determinazione della resistenza a fatica
RESISTENZA DI UN MATERIALE
Prove secondo normativa UNI EN 10002
Provino normalizzato
Controllo di spostamento (velocità costante)
Valutate tensione (F/A) e deformazione (ΔL/L)
Opportuna strumentazione ed acquisizione dei dati
RESISTENZA DI UN MATERIALE
Cella di carico F
Estensometro ΔL/L
Attuatore
RESISTENZA DI UN MATERIALE
Valore massimo
Resistenza Su = 869 MPa
RESISTENZA DI UN MATERIALE
Un provino non sufficiente per caratterizzare il
materiale (completamento proc. induttivo)
Occorrono almeno 5-10 provini (rilevanza statistica)
Supponiamo di provare 10 provini e di voler
rappresentare i risultati in un istogramma
Campo di variazione
MIN
Classe
MAX
Resistenza
[MPa]
RESISTENZA DI UN MATERIALE
10 Provini ed istogramma
Frequenza
4/10
3/10
2/10
1/10
860
870
880
890
900
Resistenza
[MPa]
RESISTENZA DI UN MATERIALE
Istogramma: rappresentazione a scala della distribuzione
Frequenza
Interpolazione distribuzione continua
4/10
• Distribuzione prob.
3/10
di Su
2/10
• Forchetta di
variazione di Su
1/10
860
870
880
890
900
Resistenza
[MPa]
CURVA STATICA DI UN MATERIALE
Quali altre informazioni si possono ricavare?
Rappresentazione della curva in forma matematica
Determinazione di E, K, n
CURVA STATICA DI UN MATERIALE
Regressione lineare per la determinazione di E = 194.000
MPa
CURVA STATICA DI UN MATERIALE
Regressione lineare per la determinazione di K = 1004 MPa,
n = 0,57
CURVA STATICA DI UN MATERIALE
La retta determinata rappresenta la soluzione approssimata
di un problema impossibile.
Punti interpolabili con una banda di confidenza.
Range di variazione per K, n
CURVA STATICA DI UN MATERIALE
Distribuzioni Normali / Log-Normali per K, n
Forchette di variazione per K, n
Bande applicate alla curva
CURVA A FATICA DI UN MATERIALE
Sollecitazione a fatica ↔ presenza di sollecitazione ciclica
Carico
Ciclo
t
Sollecitazione a fatica oligociclica Case study successivo
Determinazione sperimentale della curva di fatica
CURVA A FATICA DI UN MATERIALE
Prove secondo normativa ASTM E-606
Provino normalizzato
Controllo di deformazione (ΔL/L)
Determinazione di curva sollecitazione Δε/2 – cicli N
Parametri del materiale: σ’f, ε’f, b, c
CURVA A FATICA DI UN MATERIALE
Regressione lineare per la determinazione di σ’f = 887 MPa,
b = -0,040
CURVA A FATICA DI UN MATERIALE
Punti più convenientemente interpolati tramite una banda di
confidenza.
Intervallo di variazione per σ’f, b (oltre che per ε’f, c)
CURVA A FATICA DI UN MATERIALE
Distribuzioni Normali / Log-Normali per σ’f, ε’f, b, c
Forchette di variazione per σ’f, ε’f, b, c
Bande applicate alla curva
CURVA A FATICA DI UN MATERIALE
Distribuzioni Normali / Log-Normali per σ’f, ε’f, b, c
Forchette di variazione per σ’f, ε’f, b, c
Bande applicate alla curva
G. Olmi (2012). An Efficient Method for the Determination of the Probability of Failure on the
Basis of LCF Data: Application to Turbogenerator Design. SDHM, 8 (1), pp. 61-89.
APPROCCIO DETERMINISTICO vs.
PROBABILISTICO
Una barra, di un materiale con resistenza Su,
è soggetta ad una forza F,
mentre A rappresenta la sezione resistente.
Si vuole verificare se l’asta resiste.
F
F
A
Approccio
deterministico:
Sollecitazione ≤ Resistenza, logica ON-OFF
APPROCCIO PROBABILISTICO
Approccio probabilistico: sollecitazione (σ) e resistenza
(Su) sono variabili dotate di distribuzioni, mentre A è
costante.
Spartiacque fra
funzionamento e danno:
funzione di guasto g
σ
Zona di
guasto
g<0
g: Su-σ = 0
g>0
Zona di
funzionamento
Su
APPROCCIO PROBABILISTICO
Funzione di guasto
σ
Prob. di guasto
Zona di
guasto
Indice di sicurezza β: dist.
punto di funzionamento –
design point
Zona di
funzionamento
Su
APPROCCIO PROBABILISTICO
Ulteriore semplificazione: Su variabile random,
sollecitazione σ deterministica
β
Su
σ
Su medio
Prob. di guasto
APPROCCIO PROBABILISTICO
Valori medi
Deterministico
Distribuzione
Probabilistico
Vantaggi approccio probabilistico:
• Una probabilità di rottura (approccio probabilistico)
è più significativa di un fattore di sicurezza
(approccio deterministico).
• Fornisce gli strumenti per avvicinarsi meglio ad un
progetto ottimale (stessa probabilità di guasto su
tutti i componenti).
METODO MONTE-CARLO
Come determinare la probabilità di guasto?
Metodo concettualmente più semplice: Monte-Carlo
A
Fi
÷
σi
σ1
R1
g1
σ2
R2
g2
…
…
…
σi
Ri
gi
…
…
…
σN
RN
gN
Calcolo di gi = Ri-σi
Ri
Almeno 10.000 iterazioni (N)
METODO MONTE-CARLO
Vantaggi:
• Metodo molto semplice
• Facilmente automatizzabile con apposite routine
Svantaggi:
• Molto oneroso dal punto di vista computazionale
• Quasi impossibile stimare probabilità molto basse
CASE STUDY: ROTORE DI
TURBOALTERNATORE
Ricerca iniziata con il
Prof. Freddi nel 2008:
sviluppo dell’attrezzatura
di prova 1 2,
sviluppo del metodo di
sperimentazione
innovativo 3
sperimentazione 4.
G. Olmi, A. Freddi, “Fatica oligociclica di cappe e rotori di turboalternatori: progetto e costruzione di attrezzatura e prime prove
sperimentali”. In: Atti XXXVIII Convegno AIAS, Torino, 2009.
1
G. Olmi, “A new loading-constraining device for mechanical testing with misalignment auto-compensation”. Exp. Tech., doi:
10.1111/j.1747-1567.2010.00678.x, 2010.
3 G. Olmi, “A Novel Method for Strain Controlled Tests”. Exp. Mech., doi: 10.1007/s11340-011-9496-x, 2011.
4 G. Olmi, A. Freddi, “Fatica oligociclica su cappe e rotori di turboalternatori: prove sperimentali, valutazione dell’anisotropia dei
materiali, analisi di sensitività sui modelli di comportamento”. In: Atti XXXIX Convegno AIAS, Maratea, 2010.
2
TURBOALTERNATORE
Cave equispaziate sul rotore per bobine in rame ed
isolanti
Rame ed isolanti tenuti in posizione da cunei metallici
Rotore
1.2 m
4.5 m
Cappa
Cappa
TURBOALTERNATORE
Le bobine in rame emergono all’estremità per la richiusura
delle spire
Velocità nominale del rotore: 3000 rpm elevate forze
centrifughe
La massa del rame deve essere vincolata Cappe
TURBOALTERNATORE: PERCHÉ FATICA
OLIGOCICLICA?
Anello
centraggio
Cappa
Cappa
Rotore
Carico costante alla
velocità nominale,
ma variazione ciclica ad
ogni arresto e ripartenza
Anello
centraggio
TURBOALTERNATORE: PERCHÉ FATICA
OLIGOCICLICA?
Tempo
Tens.-Def.
3000 rpm
0 rpm
10.000 – 15.000 cicli nella vita di 50 anni
Conseguenze del cedimento molto serie esplosione
del rotore
CONSEGUENZE DELL’ASSENZA DI
AFFIDABILITA’
Importanza di eseguire un’analisi affidabilistica
Valutazione della probabilità di guasto F(t) di un’unità non riparabile
mediante la distribuzione cumulata
LA STIMA DELLA PROBABILITÀ DI GUASTO
F(t)
• Molto pesante
computazionalmente
• Inefficace per la stima di
probabilità molto basse
Metodi numerici approssimati
Probabilità F(t)
Metodo Monte Carlo:
15.000 cicli
• MVFOSM: approssimazione in serie di Taylor
• Hasofer-Lind: riduzione delle variabili
• AFOSM: approssimazione in un intorno del “design point”
• FORM e SORM: del primo e del secondo ordine
• AMV: metodi più moderni, assommano vantaggi
precedenti
METODI: VARIABILI E DISTRIBUZIONI
Il comportamento del materiale è descritto da otto variabili aleatorie
• Due variabili (K, n) per descrivere la prima messa in carico del
materiale (comportamento statico)
• Quattro variabili (σ’f, ε’f, b, c)per descrivere la curva di vita a fatica
• Due variabili (K’, n’) per descrivere il comportamento ciclico
Tempo
Tens.-Def.
3000 rpm
0 rpm
METODI: VARIABILI E DISTRIBUZIONI
Modello statistico per la determinazione delle deviazioni standard sui
termini noti e sulle pendenze delle regressioni.
• Risultano definite le distribuzioni Normali/Log-Normali delle 8 variabili
analisi affidabilistica
P.H. Wirsching, T.Y. Torng, W.S. Martin, “Advanced fatigue reliability analysis”, International Journal of Fatigue, 13 (5), 389–
394 (1991).
Y.T. Wu, P.H. Wirsching, “Advanced Reliability Method for Fatigue Analysis”, Journal of Engineering Mechanics, 110 (4),
536–553 (1984).
METODI: VARIABILI E DISTRIBUZIONI
Considerate 8 variabili aleatorie, relative alle curve statica
ciclica e di fatica
Variabile
Valore medio (µ)
U1 = n
U2 = Lg(K)
U3 = n'
U4 = Lg(K')
U5 = Lg(σ'f)
U6 = Lg(ε'f)
U7 = b
U8 = c
0.057
3.001
0.052
2.949
2.948
-0.830
-0.043
-0.546
Deviazione
standard (STD)
0.002
0.004
0.004
0.010
0.010
0.122
0.003
0.039
METODI: ALGORITMO
Vita = f ({sollecitazione (determ.); caratteristiche del materiale})
(Non lineare e non esplicita)
Approssimazione lineare locale (sviluppo di Taylor):
Y = Lg(N) = Y(U) = Y(U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8)
Inizialmente: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) = (µ1, µ2, µ3, µ4, µ5, µ6, µ7, µ8)
METODI: ALGORITMO
9 coefficienti α da determinare:
Δ lieve (10% dev.
stand.) perturbazione
della variabile in ingresso
METODI: ALGORITMO
Scrittura della funzione di guasto (failure function)
Vita calcolata – Vita di progetto > 0 funzionamento
Vita calcolata – Vita di progetto < 0 guasto
Vita calcolata – Vita di progetto = 0 spartiacque
funzionamento – guasto
g(U) = Lg(N)- Lg(N0) = 0
g(U) = Y(U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8) - Lg(N0) = 0
Polinomio
Cost.
METODI: ALGORITMO
Zona di
guasto (g < 0)
g =0
uj
u* (design point)
β
ui
Zona di funzionamento
(g > 0)
Origine degli assi
(condizioni di
funzionamento nominali)
RISULTATI E DISCUSSIONE
• Metodo MC a 1
milione di iterazioni:
20 ore di simulazione,
impossibile stimare
probabilità < 10-6.
• Algoritmo numerico
molto efficace:
convergenza in 5-10
iterazioni (< 1 minuto).
• Ottimo accordo fra i
risultati ottima
accuratezza
RISULTATI E DISCUSSIONE
Probabilità di guasto:
• 3·10-10 dopo 6.000 cicli
(20 anni)
• 4·10-9 dopo 7.900 cicli
(26 anni)
• 5·10-8 dopo 10.000 (33
anni)
• 3·10-6 dopo 15.000 (50
anni)
CONCLUSIONI
• Importanza della sperimentazione come metodo per la
caratterizzazione di un materiale
• Determinazione dei parametri nominali e delle loro
bande di variazione (dispersione dell’esperimento)
• Connessione fra variabili considerate con le rispettive
distribuzioni e approccio probabilistico
• Vantaggi: dati statistici dei parametri in gioco incorporati
nella valutazione di sicurezza
CONCLUSIONI
• Case study: da dati sperimentali di fatica oligociclica alla
determinazione di una probabilità di guasto
• Considerate otto variabili aleatorie relative ai coefficienti
del materiale.
• Metodo Monte Carlo molto oneroso
• Sviluppato e implementato algoritmo numerico molto
efficiente ed accurato
• Curva prob. cumulata ricavata per punti in un tempo pari
a 1/100 di quello della simulazione Monte Carlo.
• Algoritmo di carattere generale ed estendibile anche ad
altri ambiti di studio (turbine, mecc. frattura, MEMS)
BIBLIOGRAFIA
A. Freddi, “Fracture Mechanics and testing of Steel for Large Rotors”. International Journal of Fatigue,
pp. 71-76, April 1981.
A. Freddi, S. Curioni, G. Caligiana, “Valutazione della fatica torsionale nei rotori dei turbogruppi”. ENEAUniv.BO, Libro, Giugno 1989.
S. Curioni, A. Freddi, G. Caligiana, “Experimental Techniques in Torsional fatigue Testing”. Proceedings
of the 1990 SEM Spring Conf. on Experimental Mechanics, Albuquerque, N. M. (USA), 4-6 Giugno
1990.
S. Curioni, V. Dal Re, A. Freddi, M. Zannoni, “Fracture Mechanics Analysis of a NiCrMoV Steel for a
turbine disc”. ÖIAZ, Österreichische Ingenieuren und Architekten Springer Verlag, Wien, Heft 8, 1986.
G. Olmi, A. Freddi, “Fatica oligociclica di cappe e rotori di turboalternatori: progetto e costruzione di
attrezzatura e prime prove sperimentali”. Atti del XXXVIII Convegno AIAS, Torino, 2009.
G. Olmi, “A new loading-constraining device for mechanical testing with misalignment autocompensation”. Experimental Techniques, vol. 35 (6), p. 61-70, 2011.
G. Olmi, A. Freddi, “Fatica oligociclica su cappe e rotori di turboalternatori: prove sperimentali,
valutazione dell’anisotropia dei materiali, analisi di sensitività sui modelli di comportamento”. Atti del
XXXIX Convegno AIAS, Maratea, 2010.
G. Olmi, “A Novel Method for Strain Controlled Tests”. Experimental Mechanics, vol. 52, p. 379-393,
2012.
G. Olmi , “Low Cycle Fatigue Experiments on Turbogenerator Steels and a New Method for Defining
Confidence Bands”. Journal of Testing and Evaluation, vol. 40 (4), p. 1-14, 2012.
G. Olmi, “An Efficient Method for the Determination of the Probability of Failure on the Basis of LCF
Data: Application to Turbogenerator Design”. SDHM, 8 (1), pp. 61-89, 2012.
GRAZIE PER L’ATTENZIONE
Giorgio Olmi
Dipartimento di Ingegneria Industriale (DIN), Università di Bologna
[email protected]
www.unibo.it
