Prova scritta di STATISTICA
CDL Biotecnologie
(Programma di Massimo Cristallo - A)
1. Un’associazione di consumatori, allo scopo di esaminare la qualità di tre diverse marche di batterie
per automobili, osserva la durata di 70 batterie della marca A, di 85 batterie della marca B e di 63
batterie della marca C. Stabilire se la durata della batteria dipende dalla marca.
Marca
A
B
C
Totale
Bassa
12
11
9
32
Media
35
44
28
107
Totale
70
85
63
218
Alta
23
30
26
79
2. Si consideri un campione casuale di dimensione 25 proveniente da una popolazione normale con
media 120 e varianza 16. SI calcoli la probabilità che la media campionaria assuma un valore
maggiore di 122 e il valore superato dal 70% delle medie campionarie.
3. Un’urna contiene 15 palline bianche e 8 nere. Si determini la probabilità che in due estrazioni senza
ripetizioni si estragga una pallina bianca nella seconda estrazione dato che alla prima estrazione à
stata estratta una pallina bianca.
4. Il seguente campione si riferisce a 40 punteggi ottenuti ad un test.
38
40
41
42
42
43
44
45
45
48
50
54
56
57
57
61
63
64
64
65
65
65
66
66
68
68
69
69
70
70
70
71
71
72
73
73
73
74
77
78
(1) Determinare la mediana. Sapendo che la media è 60.675, analizzare gli indici di posizione del
campione.
(2) Sapendo che la deviazione standard è 12.05, calcolare l’errore della media campionaria.
(3) Effettuare una ripartizione in classi del campione casuale e costruire il relativo istogramma.
Correzioni e/o registrazioni venerdì 21 ore 11.30
Prova scritta di STATISTICA
CDL Biotecnologie
(Programma di Massimo Cristallo - B)
1. Il seguente campione casuale si riferisce a 40 rilevazioni di battiti cardiaci in un minuto.
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
(a)
(b)
(c)
(d)
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Determinare i quartili del campione e costruire il box-plot (o diagramma a scatola).
Effettuare una ripartizione del campione in classi e costruire l’istogramma.
Che tipo di analisi è possibile dedurre dai due precedenti grafici?
Verificare se il campione proviene da una popolazione gaussiana sapendo che la media
campionaria risulta 113,5 e la deviazione standard risulta 15,97.
2. A due panels costituiti da 10 persone ciascuno è stato chiesto di scegliere tra un deodorante alla
fragola ed un deodorante alla menta. I risultati sono riportati in tabella.
Panel A
Panel B
Totale
Deod. Fragola
9
8
17
Deod. Menta
1
2
3
Totale
10
10
20
(a) Stabilire con un test se la percentuale di preferenza del deodorante alla fragola è da
considerarsi uguale nei due panels.
(b) In caso di risposta affermativa al primo quesito verificare che la percentuale di preferenza del
deodorante alla fragola è maggiore di quella del deodorante alla menta.
(c) Spiegare perché è possibile usare entrambi i campioni per rispondere al quesito (b).
Correzioni e/o registrazioni venerdì 21 ore 11.30
Soluzioni – compito CRISTALLO A
1.
Si tratta di effettuare un test per l’indipendenza tra la variabile marca e la variabile durata.
La tabella delle frequenze attese risulta essere:
Bassa
Media
Alta
Totale
10,27523 34,3578 25,36697
70
12,47706 41,72018 30,80275
85
9,247706 30,92202 22,83028
63
32
107
79
218
A
B
C
La tabella per costruire la statistica test, ossia contenente i valori
A
B
C
− risulta essere
Bassa
Media
Alta
0,289515 0,012004 0,22086
0,174858 0,124582 0,020921
0,006635 0,27612 0,44008
vale 9,48 pertanto non si
Pertanto il valore finale della statistica è 1,56. Il quantile ,
;×
rigetta l’ipotesi di indipendenza tra le due variabili.
La media campionaria ha legge gaussiana di media 120 e varianza 16
= 3,2. Per
√25
calcolare > 122è necessario standardizzare ossia calcolare > 122 − 120 ⁄ 0.8 =
> 2,5 che vale 0.006. Per determinare il valore superato dal 70% delle medie campionarie, è
necessario calcolare il valore % in corrispondenza del quale la funzione di ripartizione di una
gaussiana standard vale &% = 0.70 e poi trasformarlo in un valore assunto dalla media
2.
campionaria mediante la trasformazione 120 + % × 3.2. Dalle tavole % = 0.5244 pertanto il
valore superato dal 70% delle medie campionarie risulta 121,67.
3.
Bisogna calcolare ) |) . Poiché dopo aver estratto una pallina bianca alla prima
estrazione, nell’urna sono rimaste 14 palline bianche ed 8 palline nere, questa probabilità vale
14/22.
4.
(a) La mediana è quel valore che divide il campione in due sottogruppi di uguale
numerosità. Poiché la taglia del campione è pari, tale valore risulta essere al centro tra 50 e 70,
ossia vale 60. La media è 60.675. La distribuzione appare trimodale, quindi il valore della moda non
è significativo. Media e mediana sono abbastanza vicini quindi rispetto al centro la distribuzione è
bilanciata. (b) L’errore della media campionaria è 12.05
. (c) Poiché la taglia è 40, possono
√40
essere scelte 6 classi. Il campo di variazione del campione è 78-38=40. Pertanto possiamo scegliere
6 classi di ampiezza 7. Le 6 classi coprono un’ampiezza di 42 unità, pertanto poniamo l’estremo
sinistro della prima classe a 37. La tabella delle frequenze è
Correzioni e/o registrazioni venerdì 21 ore 11.30
(37,44]
(44,51]
(51,58]
(58,65]
(65,72]
(72,79]
Frequenze
7
4
4
7
12
6
ed il relativo istogramma risulta
Frequenze
14
12
10
8
Frequenze
6
4
2
0
(37,44]
(44,51]
(51,58]
(58,65]
Correzioni e/o registrazioni venerdì 21 ore 11.30
(65,72]
(72,79]
Soluzioni – compito CRISTALLO B
1.
I quartili del campione casuale suddividono il campione casuale in quattro parti. Poiché la
taglia è pari, si tratta di determinare il centro tra l’elemento che si trova al decimo e all’undicesimo posto
(primo quartile), tra il ventesimo e il ventunesimo posto (mediana), tra il trentesimo e il trentunesimo
posto (terzo quartile). I valori risultano 97, 108 e 119 rispettivamente. Il box plot viene costruito usando
questi elementi e il minimo e il massimo del campione casuale, ossia 87 e 129. Il grafico è
140
120
100
min
80
q1
med
60
q3
40
max
20
0
1
Per effettuare l’istogramma è necessario ripartire il campione in classi. Scegliamo 6 classi e poiché il campo
di variazione è 42 fissiamo l’ampiezza pari a 7. La tabella delle frequenze risulta
Classi
Frequenze
(87,94]
8
(94, 101]
6
(101,108]
6
(108,115]
7
(115,122]
6
(122,129]
7
e l’istogramma è
Correzioni e/o registrazioni venerdì 21 ore 11.30
Frequenze
9
8
7
6
5
Frequenze
4
3
2
1
0
(87,94]
(94, 101] (101,108] (108,115] (115,122] (122,129]
Dai due grafici si evince che c’è una distribuzione uniforme soggiacente i dati. Per rispondere all’ultimo
quesito, usiamo la ripartizione in classi impiegata per costruire l’istogramma. Ad ogni frequenza osservata
va associata la frequenza attesa ottenuta moltiplicando la taglia del campione per la probabilità che un
dato del campione cada in quella classe.
Classi Frequenze Freq.attese Stat. Test
(87,94]
8
4,44142168 2,851222
(94, 101]
6
4,23443767 0,736157
(101,108]
6
5,93511447 0,000709
(108,115]
7
6,88566916 0,001898
(115,122]
6
6,6122717 0,056694
(122,129]
7
11,8910853 2,011819
Totale
40
40
5,6585
La statistica test risulta valere 5,65. Va confrontata con il quantile ,
;+
che vale 7,81. Pertanto
l’ipotesi di legge gaussiana non si rigetta.
Si tratta di confrontare due percentuali. L’ipotesi nulla è ,
: . = . mentre l’ipotesi
2.
alternativa è
, : . ≠ . . La statistica test risulta essere
96:
=
01 02
1
1
30045 65 7
1
2
dove = 0.9, =
0.8, = 6
= 0.85, ; = ; = 10. Pertanto il valore di Z risulta essere 0.88. La regione di accettazione
del test risulta essere (-1,95;1,95) pertanto poiché il valore della statistica rientra nella regione di
accettazione l’ipotesi nulla non si rigetta. Per rispondere al secondo quesito effettuiamo il seguente test:
l’ipotesi nulla è ,
: . = 0.5 mentre l’ipotesi alternativa è , : . > 0.5 dove p rappresenta la percentuale
di preferenza del deodorante alla fragola. La statistica test risulta essere
=
0<
1
3 00
5
dove =
17/20, . = 0.5, ; = 20. Il valore della statistica test risulta essere 4,38. La regione di accettazione è
l’intervallo a sinistra di 1,64 pertanto si rigetta l’ipotesi nulla in favore di quella alternativa. E’ stato possibile
mettere assieme i due campioni perché provenienti da popolazioni indipendenti.
Correzioni e/o registrazioni venerdì 21 ore 11.30
