Fisica-Generale-1_-Università-degli-studi-di-Napoli

Fisica generale
Modulo 1: Meccanica
Registrazioni trascritte del corso di fisica 1 di
un’ingegneria di “bestie” [cit.]
Data inizio e fine corso: 2011/2012
Autore: A.P.
Questa è un’opera di fantascienza, ogni riferimento a nomi,
cose e città è puramente casuale. Non sono responsabile di
eventuali errori di battitura e/o argomento, gli appunti sono
completi e utilizzabili per sostenere l’esame. Ricordate di
spremere il tubetto di dentrificio dal basso e che la forza non è
con voi, ma muore come 1 su r.
(Fisica 1)
Cinematica del Punto
(27/09/2011 - 29/09/2011)
Prendiamo in considerazione l’origine di un’asse x su cui riportiamo il percorso di un punto che varia nel
tempo t. L’asse lo chiamiamo e il simbolo che lo sormonta indica un vettore di modulo unitario avente
verso e direzione dirette verso lo spostamento, il versore.
Si prenda in considerazione il seguente grafico :
In questo caso il corpo non è in movimento, ma in diverse situazioni più interessanti il corpo effettua uno
spostamento cioè, analizzando la sua posizione in due istanti successivi t 1 e t2 con t2>t1, posso chiamare con
x2=x(t2) e x1=x(t1) la posizione assunta dal corpo in quei istanti.
La prima nozione introdotta è quinti l’idea di spostamento in una sola direzione. La quantità:
Indica uno spostamento positivo o negativo a seconda del movimento rispetto all’origine. E’ comunque una
quantità vettoriale e quest’ultima è espressa dal verso sull’asse, cioè anche parlando di uno spostamento in
un’unica direzione abbiamo un carattere intrinsecamente vettoriale espresso da quel + o – posto prima del
modulo di
Prendendo in considerazione:
otteniamo quindi la velocità media (m/s), questa è una prima grandezza che comunque non ci dà
informazioni sensibili sul percorso ed eventuali cambiamenti di velocità tra x(t1) e x(t2).
Tracciamo il diagramma di un nuovo spostamento:
α
1
(Fisica 1)
In questo caso se prendessimo in considerazione il rapporto tra i cateti si otterrebbe la tangente, che non
varia nel tempo , quindi spazi uguali in tempi uguali, definendo così un tipo di spostamento detto moto
rettilineo uniforme.
Non sempre il moto è definibile come rettilineo uniforme, ma a volte è necessario un più attento studio del
problema. Prendiamo in analisi un ulteriore caso:
P
α
Ovviamente possiamo ragionare sulla velocità media, con x(t1) il punto di partenza, e x(t2) il punto di arrivo.
L’ipotenusa del triangolo è la velocità media e, poiché si discosta dall’andamento del grafico effettivo,
rappresenta un’informazione al quanto approssimativa. Volendo analizzare la velocità nel punto P,
stringiamo l’intervallo temporale intorno all’ascissa di P e ricalcoliamo
Riducendo sempre più
l’intervallo temporale si ottiene la velocità istantanea:
Introduciamo il concetto di accelerazione. Quest’ultima misura la rapidità con cui varia la velocità così come
la velocità misura la variazione spaziale nel tempo. Si definisce accelerazione media:
Ed accelerazione istantanea all’istante t1:
Poiché dv(t1) è la derivata della velocità istantanea, si ha:
Bisogna puntualizzare che l’accelerazione istantanea è sempre costante, al contrario della velocità
istantanea che non lo è mai in un moto uniformemente accelerato.
a(t)
v(t)
2
t
t
(Fisica 1)
Basandosi sulle definizioni precedenti:
prendiamo in considerazione un moto con accelerazione costante, quest’ultimo implica:
a(t)
t
Studiando le operazioni di integrazioni sotto il profilo matematico, quest’ultime hanno come risultato non
una primitiva della funzione integranda, bensì un insieme di primitive e ciò si traduce in termini fisici con la
presenza di una costante.
Considerati:
è possibile così operare:
Prendiamo in considerazione il seguente grafico:
v(t)
t
la linea continua rappresenta l’andamento della velocità mentre la tangente o coefficiente angolare
sarebbe la nostra accelerazione. Ora applicando lo stesso ragionamento precedente:
poiché l’integrale è un’operazione lineare è possibile applicare la regola
ottenendo:
e graficamente:
x(t)
3
(Fisica 1)
Vettori(04/10/2011)
z
P
y
x
Assumiamo un sistema di riferimento a tre assi e un punto P di coordinate (x,y,z). Possiamo analizzarlo
anche perché descritto da un vettore posizione
(è errore gravissimo scrivere una cosa del genere
Da ricordare che
il cui modulo
). Quindi se avessimo:
e nel caso si abbia
E nel caso di una differenza, si otterrebbe semplicemente un vettore con differenza di coordinate e
graficamente un vettore, diagonale minore utilizzando la regola del parallelogrammo sopra descritta.
4
(Fisica 1)
Cinematica del moto vettoriale(04/10/2011)
z
P
P’
O
y
x
Prendiamo in considerazione una pallina, le cui posizioni sono indicate dai due vettori posizione in figura.La
differenza che indica lo spostamento è:
Nel caso in cui dividiamo il tutto per il tempo si ha:
E applicando il concetto di limite
si ha:
Lo stesso vale per il resto della cinematica del punto della lezione precedente.
5
(Fisica 1)
Moto di un proiettile(06/10/2011)
y
O
x
La posizione iniziale è legata alle proiezioni o coordinate di
caso del nostro sistema di riferimento è individuata dalle coordinate (0;0).
. La posizione iniziale nel
Analizziamo il caso un cannone spara un proiettile dall’origine del nostro sistema di riferimento. Possiamo
esprimere v0 come:
Esiste una forza, la forza peso, agente sul proiettile per cui:
Ci sono due leggi che caratterizzano il moto del proiettile, una per il moto lungo l’asse delle ascisse e una
lungo l’asse delle ordinate. Lungo l’asse delle ascisse si ha:
Al contrario lungo l’asse delle ordinate l’accelerazione esiste ed otteniamo un moto uniformemente
accelerato:
Ponendo y(t)=0 e ricavando t, risolviamo un’equazione di secondo grado, ottenendo due soluzioni: le
intersezioni con l’asse delle ascisse ottenendo il tempo massimo di volo e una soluzione pari a 0
corrispondente al punto di lancio (0;0) del proiettile. Inoltre mettendo a sistema le due relazioni precedenti
e ricavando t dalla prima sostituendolo nella seconda si giunge all’equazione polinomiale di una parabola:
Per trovare l’altezza massima raggiunta pongo uguale a 0 la componente della velocità lungo l’asse delle
ordinate e risolvo l’equazione:
E sostituendo nell’equazione della posizione lungo l’asse y otteniamo:
6
(Fisica 1)
Per trovare il punto di caduta del proiettile basta sostituire il tempo massimo di volo nell’equazione della
legge oraria lungo ottenendo:
7
(Fisica 1)
Cinematica del moto circolare(06/10/2011)
Nel caso in cui il moto fosse a velocità costante, con un punto descrivente una circonferenza, potremmo
definire il moto come periodico di periodo 2π.
Assumiamo come anticipato in precedenza
, ma attenzione, costante è il suo modulo e non la
sua direzione e verso. Quindi considerando l’intera circonferenza come lo spazio percorso, si ha:
π
Mentre la frequenza:
La relazione che lega l’arco percorso dal punto sulla circonferenza e l’angolo, è espressa da:
E quindi l’equazione della velocità in un moto circolare è:
Detta
velocità angolare, espressa anche dalla relazione:
Ragioniamo sulla direzione variabile del vettore velocità, sappiamo che:
Si prendano due istanti sufficientemente vicini, con un movimento traslatorio, si sovrappongano come in
figura ottenendo il vettore differenza
di direzione radiale entrante:
8
(Fisica 1)
Per quanto concerne il modulo è possibile considerare il seguente triangolo isoscele:
Per trovare l’accelerazione istantanea si ponga
, poiché l’arco S è così piccolo da essere assunto
come un segmento, e essendo i due triangoli simili, è possibile applicare le relazioni tra arco e angolo
ottenendo:
ed inserendo il tutto nell’equazione dell’accelerazione si ha:
Il meno, scaturisce da una considerazione logica sul raggio vettore, il cui verso è entrante al contrario di
quello dell’accelerazione radiale.
Quindi, in un moto circolare accelerato si avrà un’accelerazione tangenziale che varia il modulo della
velocità:
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(Fisica 1)
Sistemi relativi(11/10/2011)
S’
S
Z’
z
P
Y’
X’
y
x
Si prendano in analisi due sistemi di riferimento, tra quest’ultimi esiste una certa velocità di trascinamento,
ad esempio l’acqua di un fiume. C’è una terza velocità relativa ad un uomo che nuota nel fiume quindi con
un ulteriore velocità, rispetto all’osservatore trascinato dalla corrente del fiume mentre è fermo su di una
barca (sistema di riferimento S’). La velocità dei vari punti in gioco assume ulteriori valori se analizzati dal
primo sistema di riferimento. Il problema che ci si pone non è altro che un quesito sulla composizione di
più velocità.
Le considerazioni possono essere molteplici se si considerassero i gradi di libertà del nuotatore; assumiamo
il caso si allontani:
con
a seconda se il nostro punto si allontani o si avvicini.
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(Fisica 1)
Principi di newton(11/10/2011)
Si consideri un piano scabro nel vuoto come in figura, nel caso in cui ponessimo un cubetto libero di
scivolare per l’inclinazione del piano, quest’ultimo raggiungerebbe il fondo risalendo fino ad un’altezza pari
a quella di partenza:
da questa esperienza ci si ricollega al primo principio di Newton:
1°principio di Newton
In un sistema di riferimento inerziale, un corpo non soggetto a forze non subbisce cambiamenti di
velocità, ovvero resta in quiete se era in quiete (
oppure si muove di moto rettilineo uniforme.
2°principio di Newton
da cui è possibile calcolare la massa inerziale che è quella grandezza responsabile dell’opporsi ai
cambiamenti di velocità:
Si prenda in analisi un blocco di massa m, poggiato su un piano orizzontale:
poiché il cubo è fermo, non subisce nessuna forza che potrebbe metterlo in movimento, tuttavia agisce sul
blocco la forza gravitazionale, e volendo pareggiarla, si necessita l’introduzione di una forza impressa sulla
massa di prova dal piano di appoggio, da ciò la terza legge di Newton:
3°principio di Newton
Se un corpo A esercita una forza
su un corpo B, il corpo B reagisce esercitando una forza
sul
corpo A. Le due forze hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto, esse cioè sono uguali
e contrarie.
La forza più comune nella nostra esperienza quotidiana è la forza di gravità o forza peso:
Poiché g è la stessa per tutti i corpi si può concludere che il peso di un corpo è direttamente proporzionale
alla sua massa. La grandezza vettoriale è la forza gravitazionale esercitata dalla Terra sul corpo, riferita
alla massa del corpo, ed è detta intensità del campo gravitazionale o, più semplicemente, campo
gravitazionale della Terra. La forza di attrazione gravitazionale varia da luogo a luogo, in particolare, nei
11
(Fisica 1)
punti al di sopra della superficie terrestre la forza di gravità è inversamente proporzionale al quadrato della
distanza dal centro della Terra, senza considerare che l’intensità del campo gravitazionale varia anche
lievemente anche con la latitudine in quanto la Terra non ha una forma perfettamente sferica, ma è
possibile paragonarla ad un ellissoide. Perciò, il peso, non è una caratteristica intrinseca di un corpo, a
differenza della massa.
Quando siamo in piedi su di una bilancia, pesapersone a molle, i nostri piedi avvertono la forza che la
bilancia esercita su di noi. La bilancia è tarata in modo tale da indicare la forza che essa deve esercitare per
equilibrare il nostro peso. La forza che equilibra il nostro peso è definita peso apparente, e la legge che
regola questa forza è espressa da:
ed è chiaro come ci sia una diretta proporzionalità tra azione e reazione.
12
(Fisica 1)
Attriti(13/10/2011)
Le forze di attrito si oppongono al moto, e sono presenti a causa della rugosità dei materiali utilizzati
quotidianamente che, a livello microscopico, si ostacolano a causa di creste e valli presenti sulla superficie
di contatto. Si prenda in analisi un corpo poggiato su un piano:
definendo R come reazione vincolare:
Reazione vincolare
Per reazione vincolare, si intende la risultante delle forze che ostacolano il moto di un corpo.
che in questo esempio, non solo ha una componente perpendicolare al piano ma anche una parallela,
dovuta alla presenza di attriti.
Le forze di attrito sono rappresentabili con il seguente diagramma :
O
la è caratterizzata da due intervalli, dall’origine alla posizione l, la forza di attrito prende il nome di statico:
superato il limite l, l’attrito prende il nome di dinamico:
[Scorretto definirlo senza valori assoluti, in quanto la forza di attrito dinamico/statico e la componente
normale della reazione vincolare, hanno direzione e verso differenti]
Per calcolare sperimentalmente il valore dei coefficienti di attrito statico e dinamico si prenda in
considerazione un piano inclinato (è possibile modificarne l’inclinazione) con attrito, e un volume cubico
posto su di esso non in movimento:
13
(Fisica 1)
Scomponendo le forze in figura e considerando uguale all’angolo indicato nel triangolo, in quanto i lati
formanti quest’ultimo sono perpendicolari a quelli del triangolo formato dal piano inclinato, si ha che lungo
l’asse delle ordinate:
pareggiando la componente della forza peso agente sul cubo, mentre lungo l’asse delle ordinate si ottiene:
Se l’inclinazione del piano venisse diminuita dopo l’avvio del movimento del cubo, si otterrebbe un
importante risultato sperimentale: il cubo non si ferma per diminuzioni di angolo relativamente piccole. Da
ciò è possibile dedurre che
.
Per lo studio dello pneumatico su asfalto, inerente all’attrito, pag. 135 .
14
(Fisica 1)
Lavoro ed Energia Cinetica(14/10/2011)
Si analizzi un oggetto su cui agisce una forza provocante uno spostamento
:
Il lavoro è:
mentre per una variazione di spazio infinitesima si ha:
Dunque se
,
non si compie lavoro. Questo è il caso di un satellite in orbita, infatti il
spazio percorso dal satellite, è approssimabile ad un moto rettilineo e perpendicolare a
fornisce l’accelerazione centripeta al moto circolare uniforme.
, lo
che
Si consideri uno spostamento lungo una traiettoria AB:
B
A
E al lavoro per ogni porzione infinitesima del percorso, tale che il lavoro non sia variabile. Prendendo in
considerazione la formula relativa al lavoro infinitesimo precedente e integrandola, si ottiene:
Ricordando che il quadrato
di un vettore è uno scalare
Il precedente risultato prende il nome di “Teorema delle forze vive” o “Teorema dell’energia cinetica” ed è
riassumibile con l’equazione:
Definendo la nuova grandezza risultante come energia cinetica.
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(Fisica 1)
Forze fittizie(14/10/2011)
Le leggi di Newton sono valide soltanto nei sistemi di riferimento inerziali. Se l’accelerazione di un corpo
qualsiasi viene misurata rispetto a un sistema che si muove di moto accelerato rispetto a un sistema di
riferimento inerziale, la forza risultante che agisce sul corpo non è uguale al prodotto della massa del corpo
per la sua accelerazione misurata nel sistema di riferimento accelerato. In alcuni casi, il corpo sarà in quiete
rispetto al sistema di riferimento non-inerziale anche se su di esso agisce manifestamente una forza non
equilibrata. In altri casi tutto ciò non accade, non manifestando alcuna forza particolare. Volendo usare la
seconda Legge di Newton in questi riferimenti non inerziali, si necessita altresì l’introduzione di forze fittizie
(così chiamate per distinguerle dalle forze effettive). Che dipendono dall’accelerazione del sistema di
riferimento . Queste forze non vengono esercitate da nessun agente, vengono semplicemente introdotte
per rendere valida
quando l’accelerazione viene misurata rispetto ad un sistema di riferimento
non-inerziale. Però, per gli osservatori nel sistema non-inerziale, le forze fittizie sono tanto reali quanto le
altre forze.
Si prenda in analisi un sistema in cui un’auto accelera e i passeggeri al
suo interno risentono di una forza che tende a schiacciarli contro il
sediolino della vettura. Ciò accade perché esiste una forza che agisce
sulla massa del passeggero farlo muovere con l’auto. Se analizzassimo il
tutto dall’interno del sistema non-inerziale, cioè l’auto, avremmo che
, e:
16
(Fisica 1)
Conservazione dell’energia Meccanica(18/10/2011)
Il lavoro è costantemente pari alla variazione di energia cinetica sia nel caso di forze conservative sia per
quelle non-conservative. La differenza sostanziale è la possibilità di introdurre una funzione detta energia
potenziale, quest’ultima dipende soltanto dalla variazione di quota del punto di partenza e quello di arrivo
non essendo soggetta al percorso. Tutto ciò è possibile solo in caso di mancata presenza di forze
dissipative, come gli attriti. Infatti, prendendo in analisi un oggetto libero di muoversi su un piano
orizzontale, il lavoro, che causa un eventuale moto dell’oggetto, è gradualmente ridotto a zero per la
presenza di forze di tipo dissipativo come attriti o trasformazione di energia in calore ed inoltre in questo
caso il percorso scelto, per spostare il corpo da un punto iniziale a uno finale influisce sulla quantità di
lavoro speso. Diamo ora la definizione di forze conservative:
Forze conservative
Una forza è conservativa se il lavoro totale che compie su un punto materiale è nullo quando il punto
materiale si muove lungo un cammino chiuso (circuitazione
) ritornando nella sua posizione iniziale.
Ne consegue che il lavoro compiuto da una forza conservativa su un punto materiale è indipendente dal
percorso seguito dal punto materiale per muoversi da un punto ad un altro.
Si prenda in analisi la caduta di un corpo, di generica massa m, da un punto A sopraelevato rispetto al
punto di arrivo B, in questa situazione l’unica forza in gioco è la forza peso che agirebbe sul corpo
attraendolo verso il basso e quindi generando lavoro. Analizzando il seguente caso più generale:
in cui è arbitraria la scelta del percorso da
a
, si ha:
E dalle considerazioni del teorema delle forze vive si ha:
17
(Fisica 1)
Il prodotto scalare tra z versore e vettore si traduce con la proiezione su z di qualsiasi percorso arbitrario
da a , inoltre si ottiene:
Si ricordi che quando analiticamente si effettua l’integrale di una funzione per trovare l’insieme delle
primitive si ha:
Nel caso in precedenza analizzato la costante assume valore uguale a zero per la scelta di posizionamento
dell’origine del sistema di riferimento utilizzato.
Il risultato finale delle precedenti considerazioni porta alla legge di conservazione dell’energia meccanica
(definita con U l’energia potenziale):
Analizzando il tutto dal punto di vista della forza elastica si ha
Il tutto è regolato da
e sostituendo quest’ultima nell’integrale precedente:
sistema intrinsecamente monodimensionale a causa delle scelte di sperimentazione, non potendoci essere
movimento se non quello lungo l’asse delle ordinate. Risolvendo l’integrale precedente si ottiene:
E’ noto che la primitiva sia del tipo:
la costante è considerabile pari a 0, se si pone x=0 la posizione della molla, assunta quando non è né
compressa né allungata, e si ha:
Le sperimentazioni precedenti valgono solo quando non è presente alcuna forma di dissipazione
dell’energia, totalmente inapplicabile nella realtà quotidiana, durante la quale si ha:
18
(Fisica 1)
Quindi:
Che è nella maggior parte dei casi negativo, in quanto spostamento e forze dissipative sono opposte.
19
(Fisica 1)
Potenza(18/10/2011)
La potenza è la rapidità a cui l’energia si trasmette da un sistema a un altro. Consideriamo un punto
materiale con velocità istantanea . In un breve intervallo dt, il punto materiale subisce uno spostamento
. Il lavoro compiuto da una forza
che agisce sul punto materiale durante questo intervallo di
tempo è:
La rapidità a cui la forza compie lavoro, ossia il lavoro compiuto dalla forza riferito all’intervallo di tempo
durante il quale viene compiuto, è la potenza P sviluppata dalla forza:
Espressa nel sistema internazionale in Watt.
Quantita’ di moto(20/10/2011)
Si introduce la seguente grandezza:
Con
si ha:
Quindi l’espressione della forza può essere espressa sia tramite l’enunciato di Newton, che utilizzando il
concetto di quantità di moto, la differenza sta nel poter sfruttare l’espressione della quantità di moto
anche quando la massa varia nel tempo, come nel caso di un razzo e del suo propellente.
Un ulteriore grandezza interessante è:
dove
è definito Impulso elementare, in quanto non è stata effettuata l’operazione di integrazione.
20
(Fisica 1)
Centro di massa(20/10/2011)
Si ha un sistema di punti materiali distribuiti in un sistema di riferimento orientato:
z
O
y
x
L’idea è di introdurre un concetto che leghi la posizione di tutte le masse di un sistema di riferimento:
In quanto sarebbe d’obbligo effettuare la sommatoria di tutte le masse, ma in questo modo non sarebbe
garantita l’importanza maggiore di una massa più grande di un’altra, allora si ottiene l’espressione finale:
Da notare che il centro di massa di un certo sistema è strettamente dipendente dal sistema di riferimento
adottato. Nel caso di corpi non discreti si sostituisce la sommatoria con un integrale, immaginando di
sommare dei volumetti infinitesimi, nella maggior parte dei casi a densità costante, ottenendo:
Effettuando la derivata della precedente sommatoria si ha:
Dall’espressione precedente:
21
(Fisica 1)
Conclusione di grande importanza in quanto esprime lo studio semplificato del moto di un sistema di punti
tramite la quantità di moto totale che non prevede sommatorie.
Effettuando un ulteriore derivata si ottengono ulteriori risultati:
Le forze totali possono essere scomposte in forze esterne e forze interne. Quest’ultime si annullano a due a
due al livello molecolare, per il principio di azione e reazione, conseguentemente si ha:
Conclusione definita come “Primo principio cardinale della dinamica”.
Il caso esempio per eccellenza, dove applicare il principio del centro di massa e le considerazioni derivanti è
necessario, è il caso del moto di una granata. Infatti anche se i suoi frammenti hanno una storia a sé, basta
studiare la traiettoria del centro di massa che rimane invariato anche dopo l’eventuale esplosione per
ottenere sufficienti informazioni.
22
(Fisica 1)
Conservazione della quantita’ di moto(25/10/2011)
Quando su un corpo non agiscono forze esterne, vale la conservazione della quantità di moto:
Un caso classico a cui applicare il principio è la presenza di due pattinatori sul ghiaccio non considerando
l’attrito relativo a quest’ultimo, infatti se i due atleti applicassero una forza su se stessi, generata da una
spinta reciproca, si metterebbero in moto allontanandosi l’un dall’altro. Bisogna specificare che il loro
centro di massa non varierebbe e soprattutto non si porrebbe in moto. Si nota al contrario che le loro due
velocità di spostamento sono diverse, ciò per la presenza della massa nell’equazione della quantità di moto.
Inoltre è possibile affermare che la conservazione della quantità di moto sia più generale rispetto alla
conservazione dell’’energia meccanica, basti pensare ad un proiettile in volo che si conficca all’interno di un
blocco di massa molto maggiore M appoggiato su una superficie senza attriti. In questo caso la quantità di
moto si conserva ma non l’energia cinetica, addirittura per un proiettile di massa 0.01 Kg e un blocco di
0.35 Kg su un totale di 800 J iniziali (si parla di energia cinetica), 780 J vengo dissipati, ottenendo un’energia
cinetica finale di soli 20 J.
Inoltre le considerazioni precedenti sono applicabili al caso del pendolo balistico:
O
P
m
N
h
M
Si ha un proiettile con una velocità
, che si conficca in un blocco, facendolo muovere di un angolo . Lo
studio del pendolo balistico è divisibile in due fasi. Durante la prima fase, volo e impatto del proiettile, è
impossibile applicare la conservazione dell’energia meccanica e lo studio dell’energia cinetica. Quindi
sfruttando la conservazione della quantità di moto:
Con , velocità del pendolo appena dopo l’impatto, che non conosciamo. Da notare che se è possibile
trascurare gli attriti per un accurato montaggio del pendolo, l’unica forza agente sul pendolo è la forza di
gravità, che è una forza conservativa. Quindi è possibile applicare la conservazione dell’energia meccanica:
23
(Fisica 1)
h è calcolabile tenendo presente il triangolo
e le relazioni trigonometriche sui suoi lati, in particolare
, infatti conoscendo la lunghezza del pendolo
. Conoscendo e sostituendo nell’equazione
della quantità di moto, algebricamente è possibile ricavare l’iniziale velocità del proiettile.
24
(Fisica 1)
Secondo teorema di Konig(25/10/2011)
Un’importante conclusione legata allo studio dell’energia cinetica, conservazione dell’energia meccanica e
centro di massa è il Teorema di Konig:
Teorema di Konig
L’energia cinetica di un sistema di punti materiali si può esprimere come somma di due termini:
l’energia cinetica associata al moto del centro di massa
, dove M è la massa totale del sistema, e
l’energia cinetica associata al moto dei punti materiali costituenti il sistema rispetto il centro di massa,
, dove
è la velocità dell’i-esimo punto materiale rispetto al centro di massa.
Si prenda in considerazione il moto di un’auto, con punto di osservazione solidale alla strada. Si ha che la
velocità dell’i-esimo punto materiale si può esprimere come somma della velocità del centro di mass
(la
velocità dell’auto eccetto gli pneumatici) e della velocità del punto materiale rispetto al centro di massa
(i punti materiali in rotazione rispetto l’asse dello pneumatico):
L’energia cinetica del sistema di punti materiali è quindi:
Da notare come
rappresenti la quantità di moto del sistema di punti materiali, ma poiché è vista
dal sistema in movimento, quest’ultima sommatoria è nulla. Dalle precedenti uguaglianze il risultato
conclusivo:
25
(Fisica 1)
Propulsione di un razzo(25/10/2011)
Si prenda in analisi un satellite o un razzo che si muove verso l’alto. Obiettivo: l’uscita dall’atmosfera
terrestre.
y
Y’
X’
O
Si ha un corpo di massa variabile
x
, velocità
, e velocità del propellente
.
La velocità di espulsione del carburante è pari a:
Trascurando attriti e interazione con l’atmosfera terrestre. Presa in considerazione:
Ricordando che ci spostiamo in una direzione, eviteremo l’utilizzo della simbologia vettoriale. La massa
dopo un istante di combustione di propellente è:
Quindi:
Non solo, ma si tenga conto anche della velocità e, quindi, della quantità di moto del propellente:
Il termine
è infinitesimo quindi annullabile, ottenendo:
E determinando la quantità di moto si ha:
26
(Fisica 1)
Quindi ragionando infinitesimamente si ha:
E portando
in evidenza:
Integrando:
La conclusioni a cui si è giunti indica la difficoltà nel cercare di avere
molto maggiore
, da ciò si
giustifica l’espulsione ad alte quote di serbatoi vuoti in modo da favorire l’aiuto, non molto incisivo, del
logaritmo nel vincere la forza di gravità. Basti pensare che se volessimo un ln10, che comunque non è un
risultato così rilevante visto l’andamento della funzione logaritmo, si dovrebbe avere un carico utile ridotto
al 10% della massa totale iniziale del razzo.
27
(Fisica 1)
Seconda equazione cardinale della dinamica
(27/10/2011)
Rapidi cenni ai prodotti con vettori. Esistono due tipi di prodotti tra vettori:
 Prodotto scalare:
 Prodotto vettoriale:
Il risultato del vettore uscente o entrante è calcolabile utilizzando la regola di Laplace sulla matrice:
E inoltre se applicassimo Cramer su due vettori paralleli o antiparalleli, il risultato sarebbe zero,
combaciando con il classico risultato del prodotto per il seno a 0° e 180°.
Si prenda in analisi il caso di una porta libera di ruotare intorno ad un’asse fisso. E’ noto che l’unica forza
agente su di essa, è una forza perpendicolare alla stessa, il tutto schematizzabile con il seguente
diagramma:
Nei precedenti capitoli si è parlato della velocità come
, sapendo che la velocità angolare dà
informazioni su quale sia l’asse di rotazione, del suo verso di rotazione e del numero di radianti percorsi al
secondo, il prodotto vettoriale:
Da proprio il risultato visto in precedenza, poiché il vettore posizione e quello velocità angolare sonno
naturalmente perpendicolari.
Il primo vettore introducibile tramite prodotto vettoriale è il momento angolare o momento della quantità
di moto:
28
(Fisica 1)
Che rimane costante nel tempo perché (algebricamente) perché varia un lato del triangolo ma anche
l’angolo , (fisicamente) perché non agisce forza esterna.
Discorso simile vale per il momento della forza.
Quest’ultima spiega il perché di un impossibile rotazione della porta se spinta lungo l’asse, infatti a seno
pari a 0° e 180° il momento della forza è pari a zero, al contrario di quando la si spinge perpendicolarmente,
infatti in quel caso il momento della forza sarà massimo per il seno a 90° e 180°.
Prendendo in considerazione il caso di un satellite orbitante:
Dove
è il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione. Da notare che se:
Il momento delle forze agenti complessivo è uguale a zero, basti pensare che la forza radiale, in questo caso
l’attrazione gravitazionale, formano un angolo di 180° con il raggio vettore. Naturalmente le forze di attrito
generano momenti delle forze capaci di far variare la quantità di moto del punto.
Inoltre:
Ed effettuando la derivata del momento angolare:
Poiché
e il vettore velocità è parallelo a quello della quantità di moto, il primo termine è nullo,
quindi:
29
(Fisica 1)
Per il momento angolare e della forza complessivi, basta effettuare la sommatoria su tutti i momenti
agenti, ottenendo:
Denominata seconda legge cardinale della dinamica. Anche qui è possibile notare come nel caso in cui la
derivata di un momento angolare complessivo fosse costante, il momento complessivo delle forze agenti
sarebbe pari a zero.
30
(Fisica 1)
Momento di inerzia(03/11/2011)
1
2
3
Nel primo caso si ha una massa in rotazione intorno ad un asse e il punto di applicazione del vettore
posizione coincide con il centro del tracciato percorso dal punto durante il suo moto; in questo caso è
parallelo (e concorde) alla velocità angolare. Nel secondo caso una massa ruota intorno ad un’asse, ma il
punto di applicazione del raggio-vettore non coincide con il centro della circonferenza descritta dal moto. Si
ha che il momento angolare non è parallelo alla velocità angolare, al contrario del terzo caso in cui viene
inserita un ulteriore massa rotante. Infatti la somma dei due momenti angolari delle due masse, annulla la
sua componente parallela al raggio, avendo così come risultato finale un momento angolare anche questa
volta parallelo alla velocità angolare. Si può altresì notare che il centro di massa coincide con un punto
appartenente all’asse, caratteristica comune agli assi di rotazione di corpi rigidi simmetrici.
Si prenda ora in analisi un quarto caso:
4
Per un unico elemento infinitesimo del corpo rigido si ha:
Anche nel quarto caso la velocità dell’elemento infinitesimo è tangente alla circonferenza descritta durante
il moto. Si ricordi inoltre che:
31
(Fisica 1)
Effettuando l’integrale di una superficie:
Poiché la velocità angolare è uguale per tutti gli elementi infinitesimi:
Quindi è definito come momento di inerzia e varia a seconda del solido preso in considerazione. E’
interessante osservare che esiste diretta proporzionalità tra la velocità angolare e il momento angolare
proprio per il comportamento costante del momento di inerzia. A titolo esemplificativo verrà ora riportato
il calcolo del momento di inerzia relativo ad un generico disco:
Con si intende la distribuzione di massa. Sostituendo il tutto nel precedente integrale del momento di
inerzia si ha:
Applicando le considerazioni sul momento di inerzia alla seconda legge cardinale della dinamica:
[Il gatto è capace di variare il suo momento di inerzia spostando le masse rispetto il suo asse di rotazione,
cadendo sempre sulle zampe].
32
(Fisica 1)
Cinetica rotazionale(03/11/2011)
Per un singolo elemento infinitesimo, vale:
Nel caso dell’intero corpo si ottiene:
Inoltre analizzando il caso di una porta in grado di ruotare intorno al proprio asse, per un suo elemento
infinitesimo vale:
E la potenza:
nel caso in cui il momento della forza sia parallelo rispetto alla velocità angolare e:
nel caso non lo siano.
33
(Fisica 1)
Teorema Huygens-Steiner(03/11/2011)
Teorema di Huygens-Steiner
N Il momento di inerzia rispetto ad un asse z, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa, si
ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a cm il prodotto tra la massa del corpo e la distanza al
quadrato tra gli assi cm e z.
Sfruttando il teorema di konig, è noto che:
In precedenza si è dimostrato che:
Quindi uguagliando le due espressioni si ottiene:
Sapendo che
, sostituendo:
Poiché la rotazione rispetto ad un asse di un
semplificando:
è la stessa rispetto a qualsiasi asse parallelo ad esso,
34
(Fisica 1)
Moto rototraslato(08/11/2011)
Si supponga di prendere in considerazione un oggetto che al contempo rotola, e trasla: la comune ruota di
un’auto.
2
1
Supponendo che gli attriti siano trascurabili e colpendo la ruota per un’asse passante per il centro di massa,
è possibile scomporre il moto in uno traslato (1) e uno rotazionale (2). Nel secondo caso la velocità di un
punto è una funzione del raggio e della velocità angolare:
In particolare, per trovare una situazione in cui non ci sia scivolamento il percorso effettuato dall’auto deve
essere pari a quello percorso da uno generico punto sulla superficie dello pneumatico. Quindi per una
rotazione complessiva l’auto in questione deve percorrere una distanza uguale a 2πr. Si analizzi la velocità
del punto ad altezza massima sulla ruota, evidenziando gli effetti sulla velocità della rototraslazione:
2
Nel caso di una palla da bowling che trasla e rotola, l’attrito dinamico comporta un momento della forza
rispetto al centro di massa, che tende ad annullare l’attrito dinamico stesso, riportando l’intero moto ad
uno rototraslato con il punto in contatto con il suolo a velocità pari a zero, e quello più distante a velocità
doppia rispetto a quella del centro di massa (una circonferenza avente centro nel punto di contatto con il
suolo e raggio pari al diametro della sfera). Fisicamente accade che:
35
(Fisica 1)
Con
. La velocità è data da:
Esiste inoltre un momento della forza:
quindi per la seconda legge della dinamica:
Andando a sostituire il tutto nell’equazione della velocità angolare si ha:
E per calcolare l’istante in cui inizia un moto rototraslato basterà porre
nell’equazione di
.
Un altro caso interessante, è come mettere in moto un oggetto (sferico) direttamente con un moto
rototraslato, classico caso della tecnica utilizzata dai professionisti del biliardo per non perdere velocità a
causa dell’attrito dinamico. Per questo esempio si rimanda al Tipler.
36
(Fisica 1)
Moto giroscopico e stabilita’(08/11/2011)
Le considerazione precedenti si legano ai moti giroscopici. Si prenda in considerazione un disco in rotazione
a velocità angolare costante lungo l’asse di rotazione:
La ruota imperniata, sviluppa un momento angolare come in figura. Inoltre sia la forza peso agente nel
baricentro del disco. Consideriamo trascurabile il peso del braccio di lunghezza d. Esiste quindi un momento
della forza:
Dove è il versore tangente alla circonferenza. Conseguentemente:
Sapendo che:
Il modulo del momento della forza non cambia il modulo del momento angolare e tra l’altro non effettua
lavoro. Quindi se
, allora anche
spostamento durante il tempo:
. Ciò vuol dire che la sua differenza deriva soltanto dallo
Per le relazioni dei radianti:
Quindi:
37
(Fisica 1)
Quindi la velocità relativa alla precessione angolare è pari:
molto piccola per velocità angolari molto grandi.
E’ possibile che si verifichino due condizioni particolari:
Che prendono il nome di equazione di stabilità. Le condizioni sono necessarie, ma nel caso di un corpo
rigido, anche sufficienti visto che la distanza tra i suoi punti non varia nel tempo. Altro problema è la scelta
del polo a cui applicare i momenti, e si dimostra con passaggi algebrici che quest’ultimo non incide ai fini
del risultato fisico-matematico:
O
O’
Z’
z
X’
Y’
y
x
Ma
poiché una delle condizioni di stabilità era
.
38
(Fisica 1)
Baricentro(10/11/2011)
L’idea è che abbiamo a che fare con un sistema di forze tutte parallele e l’obiettivo è trovare il punto che
bilanci la forza di gravità agente sul corpo, applicando una seconda forza di verso contrario. Il tutto deve
avvenire in assenza di momenti di forze esterni, come da equazione di stabilità. Poiché la forza agisce su
ogni particella infinitesima, si effettua una sommatoria:
Se è possibile considerare la forza di gravità costante in tutti i punti, si ha che il baricentro non è altro che
il centro di massa:
concetto slegato dal polo di applicazione dei vettori. Se due forze hanno direzione parallela ma versi
opposti, le considerazioni precedenti subiscono delle modifiche, infatti è possibile individuare tra le due, la
forza che ha più importanza, che crea rotazioni o traslazioni, e tentare di bilanciarla.
39
(Fisica 1)
Squilibri(15/11/2011)
Gli squilibri si suddividono in:
 Squilibri dinamici: tutte le volte che il momento angolare non è parallelo alla velocità angolare, si
parla di squilibrio dinamico:
 Squilibrio statico: si ha quando l’asse di rotazione non è passante per il baricentro di un corpo
rigido .
Durante la fase di progettazione di un solido, bisogna tener sempre presente eventuali squilibri, in quanto,
se presenti, rischiano di arrecare gravi danni strutturali al punto di applicazione dello stesso.
Gravitazione(15/11/2011)
Prima di elencare le relazioni fondamentali della gravitazione universale, è importante specificare che tutto
ciò che si affermerà in seguito è inerente a corpi rigidi, la cui massa è concentrata totalmente nel suo
centro di massa, grande intuizione di Newton.
Per quanto concerne le tre leggi di Keplero si ha:
Prima legge di Keplero
Tutti i pianeti si muovono lungo orbite ellittiche, con il Sole in uno dei due fuochi.
Seconda legge di Keplero
Il raggio vettore, che unisce il Sole ad uno qualsiasi dei pianeti, descrive aree uguali in tempi uguali.
Terza legge di Keplero
Il raggio vettore, che unisce il Sole ad uno qualsiasi dei pianeti, descrive aree uguali in tempi uguali.
40
(Fisica 1)
Newton, sfruttando le precedenti leggi, formulò la legge fondamentale della gravitazione:
che regola l’attrazione tra due masse. E’ una forza di tipo attrattiva, come lo dimostra il segno negativo, e G
rappresenta una costante pari a circa 6,67x10-11 (non è un numero puro bensì una grandezza con le proprie
dimensioni).
La “forza peso” si relaziona in questo modo alla legge della gravitazione universale:
Quindi:
E la sua variazione è trascurabile fino a quando la distanza dalla Terra non è confrontabile con l’ordine di
grandezza del raggio terrestre. Oltre questo “limite” al denominatore si avrebbe:
Sviluppando il secondo termine in parentesi con le serie di potenze, matematicamente si ha la conferma
che
è trascurabile se h<<
.
E’ possibile dare una spiegazione fisica alla seconda e la terza legge di Keplero. Partendo dalla seconda:
In un certo tempo
con
, il pianeta spazza una determinata area descrivendo una figura simile ad un triangolo:
definibile come velocità areolare e, dividendo per la massa, si ha:
Che non è altro il modulo del momento angolare. Inoltre visto che l’unica forza in gioco è
, ed è radiale,
quindi parallela al raggio vettore:
41
(Fisica 1)
Quindi il momento angolare non può che essere costante in modulo direzione e verso. La velocità angolare,
poiché proporzionale al momento della quantità di moto, è costante.
Per quanto concerne la terza legge di Keplero:
e definito il periodo orbitale come
, sostituendo:
Dove il termine tra parentesi, rappresenta la costante di proporzionalità.
In precedenza si è definita la forza peso, mettendo in rapporto massa gravitazionale e inerziale si ottiene:
Nel caso in cui il rapporto sia pari a 1, l’accelerazione sarebbe la stessa per tutti i corpi, verificando ancora
una volta l’esperienza di Torricelli.
Per l’esperimento di Cavendish riguardare capitolo sulla gravitazione del Tipler.
42
(Fisica 1)
Dipendenza della gravita’ dalla latitudine(17/11/2011)
Si prenda in considerazione un sistema di riferimento, con origine nella Terra, e un punto P sulla sua
superficie, localizzato dalla latitudine :
Ci troviamo in un sistema di riferimento non inerziale a causa del moto di rotazione (e di rivoluzione).
Descrivendo una traiettoria circolare, siamo sottoposti ad una forza centripeta e una fittizia, detta
centrifuga. La prima è una forza che tende a mantenere i punti sulla Terra in traiettoria, la seconda causa
uno spostamento di direzione del vettore gravità, in realtà non perfettamente puntante verso il centro
terrestre. L’accelerazione centrifuga sarebbe:
Applicando il teorema di Carnot al triangolo tratteggiato è possibile conoscere il valore dell’accelerazione di
gravità effettiva:
Per il teorema degli infinitesimi
è trascurabile, quindi:
E sviluppando in serie di potenze il termine in parentesi si ha:
43
(Fisica 1)
Energia potenziale gravitazionale(17/11/2011)
Si prendano in considerazione due masse di cui una al centro del sistema di riferimento:
B
A
Partendo dal lavoro:
Si nota subito che la forza gravitazionale è una forza di tipo conservativa, poiché dipendente soltanto dalla
scelta di
e . Conseguentemente è possibile introdurre la funzione energia potenziale. Integrando
indefinitivamente, si otterrebbe:
E’ noto che la soluzione di un integrale indefinito è rappresentata da un’insieme di soluzioni, spiegando la
presenza della costante, che dà l’opportunità di scegliere liberamente dove il potenziale varrebbe zero. Le
scelte più utili sono:

Porre il potenziale ad

Porre il potenziale ad
Ed esprimendo questa funzione energia potenziale in funzione della quota sopra la superficie della Terra,
, è possibile confrontare questa funzione con mgh.
44
(Fisica 1)
Velocita’ di fuga(17/11/2011)
E’ possibile allontanare un corpo di massa m, definitivamente dalla Terra. Si supponga che la funzione
energia potenziale gravitazionale valga zero ad infinito così come la sua energia cinetica e l’energia
meccanica. Per il principio di conservazione di quest’ultima:
Inoltre considerando un corpo di massa m orbitante intorno alla terra a distanza r:
Quindi volendo allontanare indefinitamente un corpo dalla sua orbita, è necessario somministrargli una
forza pari a metà della sua energia potenziale.
Satelliti geostazionari(17/11/2011)
Tale orbita viene definita 'geostazionaria' in quanto per un osservatore a terra, il satellite appare fermo in cielo, sospeso
sempre al di sopra del medesimo punto dell'equatore, muovendosi alla stessa velocità angolare della Terra.
Per pianeti diversi dalla Terra, tale orbita è anche detta isosincrona. Non per tutti i pianeti è possibile che vi sia un'orbita
stazionaria, in quanto la loro velocità di rotazione può essere tale da richiedere che il satellite stia in un'orbita troppo
vicina oppure troppo lontana per essere stabile.
Nel caso della Terra, il satellite deve percorrere l'orbita in un tempo uguale al giorno siderale:
Trot = 23 h 56 min 4,09 sec =86164,09sec.
Il raggio di tale orbita può essere determinato mediante la terza legge di Keplero a pagina 42:
-11
24
essendo G = 6,672 × 10 N (m/kg)² la costante di gravitazione universale e M = 5.9 × 10 kg la massa della terra. La
formula precedente può essere utilizzata per determinare il raggio dell'orbita isosincrona per ogni corpo celeste,
inserendo gli opportuni valori di M e Trot.
45
(Fisica 1)
Oscillazioni(24/11/2011)
L’idea legata ad un oscillatore armonico è legata a qualcosa che si ripete periodicamente nel tempo. Un
esempio sono le coordinate di un punto P ruotante su di una circonferenza, sia individuate dalla proiezione
del vettore posizione sugli assi, che dal valore trigonometrico dei cateti del triangolo origine P H:
Presa in considerazione un sistema massa-molla:
La forza in gioco è proporzionale allo spazio ma con verso opposto (forza di richiamo). Più in generale è
noto che:
Nel moto armonico semplice l’accelerazione è diretta sempre in verso opposto rispetto allo spostamento:
e l’accelerazione è proporzionale allo spostamento tramite una costante.
Riprendendo in considerazione il caso precedente delle coordinate del punto P, è necessario trovare
un’espressione i cui termini devono ritornare quelli iniziali in seguito ad una derivata di secondo grado, ma
con segno opposto. Le funzioni più adatte, e per giunta periodiche, sono il seno ed il coseno.
Quindi:
46
(Fisica 1)
Dove è definita come pulsazione,
moto.
come fase iniziale,
come fase e A come ampiezza del
Se si effettuassero le derivate successive:
Ed è chiaro come la costante elastica del caso della molla sia legata alla pulsazione:
Inoltre dalle considerazioni finali precedenti, è possibile definire la velocità sfasata di
rispetto lo spazio e
l’accelerazione in opposizione di fase. Volendo analizzare meglio la pulsazione, è necessario ricordare che si
sta parlando di moto periodico quindi:
E sostituendo nella precedente relazione della costante elastica:
Si nota come il periodo rimane costante se fissato m e k (strumenti come il pianoforte ne sono un esempio).
Dal punto di vista energetico, si prenda in considerazione:
Sostituendo
, si hanno due termini equivalenti, segno che l’energia è data da metà di quella cinetica
così come metà di quella potenziale:
Attenzione, poiché per
si intende il valor medio della velocità assunta nel moto armonico:
E il valore dell’energia cinetica e potenziale è:
47
(Fisica 1)
E conseguentemente:
Cioè il punto di massima velocità dell’oggetto oscillante.
Pendolo Semplice(01/12/2011)
E’ nota la relazione tra angoli, raggi e archi:
La tensione, la forza che mantiene in traiettoria la pallina, è controbilanciata dalla componente lungo l’asse
y della forza peso. La componente lungo l’asse x è sempre tangente alla traiettoria del moto, ed è
l’accelerazione che si oppone al movimento. Dalla trigonometria:
Inoltre dalla seconda legge di Newton è noto che:
Ma questo risultato è ancora inconfrontabile con:
Dai discorsi sui limiti notevoli:
48
(Fisica 1)
Quindi se senx è molto piccolo è confrontabile con l’angolo quindi:
E sostituendo l’angolo con la relazione angolo-archi:
risultato pienamente confrontabile con l’equazione del moto armonico, e poiché:
Sostituendo nell’equazione del periodo:
Pendolo Composto(01/12/2011)
Si prenda in considerazione un corpo imperniato in un punto che non sia il baricentro, distante d da
quest’ultimo:
Scelgo come origine del sistema di riferimento O, poiché unico punto fisso durante l’eventuale rotazione
del corpo.
Il momento della forza peso è pari:
E ricordando che l’accelerazione angolare è la derivata seconda dell’angolo percorso rispetto al tempo:
49
(Fisica 1)
E, considerando l’approssimazione dell’angolo
fatta per il pendolo semplice:
Pendolo di Torsione(01/12/2011)
Un filo di quarzo, caratterizzato da un certo coefficiente di torsione, torto, risponde con un momento di
forza, e quest’ultimo è direttamente proporzionale all’angolo di torsione:
Quindi la derivata seconda dell’equazione precedente è proprio legata alla legge:
Rispetto ai pendoli precedenti, per quello di torsione non c’è bisogno di approssimazione, infatti, così come
avviene per la legge di Hook, la proporzionalità con lo spazio percorso è diretta.
50
(Fisica 1)
Oscillazioni Smorzate(06/12/2011)
Nei precedenti casi di oscillatori armonici, l’unica forza in gioco considerata era la forza di richiamo. Ciò è
totalmente inapplicabile a casi reali e non ideali, infatti è sempre presente una forza che tende a dissipare
l’energia di un oscillatore o pendolo. Si introduce adesso un’ulteriore forza di tipo resistiva, che va ad
aggiungersi all’elenco delle precedenti forze trattate (attrito):
è una costante di proporzionalità in grado di modellare qualsiasi tipo di forza resistiva. Riprendendo il
caso della pallina attaccata ad una molla:
E aggiungendo alle forze anche quella resistiva precedentemente introdotta:
Per trovare le soluzioni di questa equazione occorrerebbe conoscere i processi risolutivi di un’equazione
differenziale, attualmente non studiati, quindi si cercherà ora di ricavare quest’ultime attraverso
considerazioni logiche evitando passaggi matematici. In precedenza si è parlato di potenza, affrontabile
anche in questo caso:
Per comprendere quanta energia abbandona il sistema in un certo lasso di tempo, si ha:
Ma sapendo che nel caso di un oscillatore armonico la velocità è legata al seno e al coseno, la presenza del
valor medio porta alla conclusione:
Inoltre inserendo la massa nell’equazione si otterrebbe proprio l’energia meccanica complessiva presente
nel sistema, quindi sostituendo con
si ottiene:
Quindi volendo portare in evidenza l’energia meccanica:
51
(Fisica 1)
E integrando:
(E’ chiaro che
è l’energia massima nel sistema in quanto tende sempre a diminuire con l’aumentare di t).
Da notare come al decrescere di il fenomeno si smorza sempre più velocemente, poiché “tutto muore
esponenzialmente” *cit. R.B.]. Graficamente:
è definito come tempo caratteristico. Inoltre sperimentalmente è noto che:
E sostituendo la conclusione
ponendo in evidenza anche
:
Si definisce
l’energia persa in un oscillazione completa ed E la sua energia totale, inoltre è possibile
definire il rapporto:
e coefficiente qualitativo:
La scelta del tipo di dipende dall’utilizzo dell’oscillatore. Basti pensare alla differente funzione dei pendoli
e degli ammortizzatori. Considerando le varie conclusioni precedenti è possibile riportare la soluzione
dell’equazione:
52
(Fisica 1)
Cioè:
Con
, definita come pulsazione smorzata:
53
(Fisica 1)
Dinamica dei fluidi(13/12/2011)
Per i prossimi casi si farà riferimento alla densità, grandezza definita come:
e alla viscosità. Riguardo quest’ultima si introduce ora il concetto di fluido ideale, le cui caratteristiche sono
l’incomprimibilità, quindi con densità costante (Curiosità: qualora l’atmosfera terrestre è perturbata da un
profilo alare con velocità inferiore ai 0.2-0.3 Mach, l’aria si comporta come fluido incomprimibile), e
l’assenza di fenomeni dissipativi come l’attrito:
Un’ulteriore grandezza da introdurre è la pressione, quest’ultima è calcolata come:
Dove
e
sono visualizzabili come una forza che agisce su una superficie infinitesima simil-cubetto.
Attenzione: l’[atmosfera] non è un’unità di misura dell’MKS.
Un primo caso è volto all’analisi della variazione di pressione in funzione della quota, e ciò va sotto il nome
di Legge di Stevino o Legge dei fluidi pesanti. Si prenda in considerazione un certo volume di fluido:
*L’attrito non influenza il sistema
neanche se il fluido non fosse
ideale, in quanto è presentato un
caso stazionario]
Sperimentalmente è noto che immergendo un corpo, cilindrico nella figura precedente, in un fluido, questo
sprofonderebbe fino a raggiungere una posizione di equilibrio, quindi le forze agenti sul cilindro devono
pareggiarsi. La prima forza in gioco è la forza peso (in questo caso la densità è costante ma se non lo fosse
basterebbe effettuare un integrale sull’intero corpo):
La seconda forza in gioco è la pressione atmosferica sulla faccia del cilindro “a pelo d’acqua”:
54
(Fisica 1)
E una forza agente sulla faccia opposta, fornita dal fluido a una determinata altezza h:
Linearizzando le tre forze:
Si consideri ora un torchio idraulico:
Ma essendo la pressione costante sostituendo la pressione uno nella pressione due:
Risultato importantissimo, infatti avendo una differenza di superfici sufficiente, è possibile generare una
forza risultante di oltre un migliaio di volte più forte di quella impressa sulla piattaforma piccola.
Per la misurazione di queste forze viene utilizzato il manometro. Il manometro è uno strumento di
misura della pressione dei fluidi. La corretta accezione del lemma si riferisce a strumenti dedicati alla
misura di pressioni maggiori dell'atmosferica; per valori inferiori all'atmosferica il termine corretto
è vacuometro o vuotometro (misuratore del vuoto).
Inizialmente la parola manometro si riferiva solo a strumenti idrostatici con liquido a colonna, oggi
chiamati manometri a U, poi fu esteso per abbracciare anche strumenti a quadrante o digitali:
55
(Fisica 1)
Normalmente il liquido di prova utilizzato è il mercurio, in quanto quest’ultimo ha il vantaggio di essere un
metallo, quindi alta densità, ed inoltre è un fluido che si adatta agevolmente alla forma dello strumento.
Naturalmente in circostanze normali il livello del fluido è lo stesso per le due braccia del manometro, ma
nel caso venisse applicata una bombola di gas su una delle due estremità, applicando la Legge di Stevino, è
possibile calcolare la pressione di quest’ultimo conoscendo la differenza di altezza h e la pressione
atmosferica agente sul fluido nella parte di tubo aperto.
E’ possibile altresì calcolare la cosiddetta pressione assoluta, infatti chiudendo una delle due estremità, e
capovolgendo il manometro di 360°, il mercurio creerebbe una “sorta” di vuoto (poiché è impossibile
ottenere il vuoto perfetto) all’estremità non aperta. In questo caso la differenza di altezza h indicherebbe il
valore esatto della pressione atmosferica in mm di mercurio (760 mm per la pressione ambiente):
MANCANO LE ULTIME DUE PAGINE TRATTANTI LA SPINTA DI ARCHIMEDE.
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(Fisica 1)
Ringraziamenti
Visto che il lavoro svolto è frutto dello sclero di quasi 1 anno di fisica, son costretto a ringraziare il mitico
R.B. che continua ad allietare gli studenti con “cazziate” di ogni genere, e i miei due compagni d’avventura,
F. e D. per il supporto morale (e sclero).
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