FORMULARIO DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA'
CALCOLO COMBINATORIO
n fattoriale
DISPOSIZIONI SEMPLICI
(CONTA L’ORDINE SENZA
RIPETIZIONI):
PERMUTAZIONI SEMPLICI
(CONTA L’ORDINE SENZA
RIPETIZIONI):
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI
(CONTA L’ORDINE
gli oggetti 1,2,..,k si ripetono r1,r2,...rk volte
):
COMBINAZIONI SEMPLICI
(NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):
DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE
(CONTA L’ORDINE CON
RIPETIZIONI):
COMBINAZIONI con RIPETEZIONE
(NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI):
n! = n·(n-1)·…·1
Dn,k = n·(n-1)·…·(n-k+1)
Pn = Dn,n = n!
Prn =
Cn,k =
Drn,k = nk
Cn,k =
PROBABILITA’
Probabilità di un evento E
Probabilità dell’evento contrario E
Probabilità dell’unione di eventi
Probabilità dell’unione di eventi
incompatibili
p(E) =
p(E) = 1 – p(E)
p(E1 E2) =
p(E1) + p(E1) – p(E1 E2)
p(E1 E2) = p(E1) + p(E1)
Probabilità condizionale
p(E1 E2) = p(E1 ) · p(E2)
p(E/F) =
Probabilità composta di eventi dipendenti
p(E F) = p(E/F) · p(F)
Probabilità composta di eventi indipendenti
Prova ripetuta n volte
Sia p la probabilità che E si verifichi una
volta.
La probabilità che E si verichi k volte su n è
QUESITI DELLA LEZIONE:
COMBINATORIA E PROBABILITA'
1
2
3
4
Matteo deve fare un test a crocette con 11 domande. Ciascuna domanda ha una
sola risposta giusta. La prima domanda ha 2 possibili risposte (A e B), la seconda
domanda ha 3 possibili risposte (A, B, C), e così via, fino all'undicesima domanda
che ha 12 possibili risposte. Qual è la probabilità che facendo a caso il test Matteo
dia almeno una risposta giusta ?
5
6
Un cavallo è posto in una casella d'angolo di una scacchiera 3 x 3. Una mossa
consiste nello spostare il cavallo in una casella raggiungibile mediante due passi in
orizzontale seguiti da un passo in verticale, o due passi in verticale seguiti da un
passo in orizzontale. In quanti modi è possibile spostarlo nella casella d'angolo
opposta, con esattamente 12 mosse?
SUGGERIMENTI
1
L’ultima cifra è sicuramente pari. Distinguiamo a seconda se questa sia quella doppia o no.
Contiamo, nei due casi, quante sono le possibili posizioni delle due cifre pari uguali e quella della
cifra dispari. Otteniamo i casi possibili che vanno moltiplicati per le possibili combinazioni al variare
delle cifre..
2
La lancetta elle ore è orizzontale se l’orologio segna le 3 o le
9. Per qualsiasi posizione raggiunta prima dell’ultimo lancio
abbiamo ..
3
Si consideri la scacchiera colorata come in figura; un passo della
pedina può solo condurla da una casella bianca a una casella
grigia, e viceversa: ne consegue che, dopo un numero dispari di
passi, ..
4
5
6
Considera separatamente i casi in cui Nicola abbia rispettivamente perso e vinto l’ultima
partita.
Nel primo caso (che avviene con probabilità 1/3) Nicola deve aver vinto le prime quattro
partite ..
Nel secondo caso (che avviene con probabilità 2/3), Nicola deve non aver perso più di due
partite tra le prime quattro: quest’ultimo evento ha probabilità complementare rispetto a quella
di perdere tutte le prime quattro partite, o di vincerne esattamente una su quattro ..
Osserviamo che il cavallo si muoverà sempre su caselle adiacenti
al perimetro della scacchiera (tutte tranne quella centrale) e che da
ogni casella sono possibili due mosse: una che porta il cavallo
avanti di 3 caselle sul perimetro in senso orario, e una che lo
sposta di 3 caselle in senso antiorario.
Se si numerano le caselle del perimetro della scacchiera da 1 a 8
in senso orario, dove la casella 1 è quella di partenza, le mosse del
cavallo possono essere rappresentate come nella figura che segue:
ciascuna mossa porta il cavallo dal vertice dell'ottagono
corrispondente alla casella in cui si trova a uno dei due adiacenti,
a seconda che sia in senso orario o antiorario.
Per arrivare all'angolo opposto, il cavallo deve spostarsi in totale
di 4 posizioni sull'ottagono, più eventualmente di un numero
intero di giri dell'ottagono (8 mosse in senso orario o antiorario
riportano il cavallo sulla casella di partenza).
Sia x il numero di mosse effettuate in senso orario, y il numero di
mosse effettuate in senso antiorario; dobbiamo contare il numero
di percorsi possibili in cui x + y = 12 (si compiono 12 mosse in
totale) e x - y è un numero della forma 8k+4 (con k intero) ..
SOLUZIONI
1
2
3
L’ultima cifra è sicuramente pari. Distinguiamo a seconda se questa sia quella doppia o no. Nel primo caso
l’altra cifra doppia può occupare 3 diverse posizioni (non la 4) e per ciascuna di queste la cifra dispari può
occupare una qualunque delle 3 posizioni rimanenti. Nel secondo caso le due cifre uguali possono disporsi in 3
modi diversi (1 e 3, 1 e 4, 2 e 4) e per ciascuno di questi la cifra dispari può occupare 2 posizioni tra le 3 libere
(non la 5). In tutto si hanno 33 + 32 = 15 modi di fissare le posizioni delle due cifre uguali e della cifra
dispari. Per ciascuno di questi modi si possono scegliere liberamente la cifra dispari (5 casi), la cifra pari
doppia (5 casi), la prima e la seconda delle cifre pari singole (4 e 3 casi rispettivamente), per un totale di
155543 = 4500 combinazioni differenti che rispettano le richieste.
La lancetta delle ore è orizzontale se l’orologio
segna le 3 o le 9. Per qualsiasi posizione
raggiunta prima dell’ultimo lancio abbiamo 1
risultato utile su 6 per raggiungere o il 9 (fig 1) o
il 3 (fig 2). Quindi la probabilità è 1/6 .
Si consideri la scacchiera colorata come in figura; un passo della pedina può solo
condurla da una casella bianca a una casella grigia, e viceversa: ne consegue che,
dopo un numero dispari di passi, la pedina non può che trovarsi in una delle
quattro caselle bianche.
Qualunque sia la casella bianca in cui la pedina si trova dopo 11 passi, vi sono 4
caselle che essa può raggiungere con il dodicesimo passo, una sola delle quali è
un casella d'angolo. La probabilità che la pedina si trovi in un angolo dopo 12
passi (cos come dopo un qualunque numero positivo pari di passi) e quindi 1/4.
4
5
6
Per arrivare all'angolo opposto, il cavallo deve spostarsi in totale di 4 posizioni
sull'ottagono, più eventualmente di un numero intero di giri dell'ottagono (8
mosse in senso orario o antiorario riportano il cavallo sulla casella di partenza).
Per arrivare all'angolo opposto, il cavallo deve spostarsi in totale di 4 posizioni
sull'ottagono, più eventualmente di un numero intero di giri dell'ottagono (8
mosse in senso orario o antiorario riportano il cavallo sulla casella di partenza).
Sia x il numero di mosse effettuate in senso orario, y il numero di mosse effettuate in senso antiorario;
dobbiamo contare il numero di percorsi possibili in cui x + y = 12 (si compiono 12 mosse in totale) e
x - y è un numero della forma 8k+4 (con k intero). Le coppie ordinate di soluzioni possibili (con x e y
non negativi) sono le seguenti: x = 12, y = 0; x = 0, y = 12; x = 8, y = 4; x = 4, y = 8. Le prime due
coppie rappresentano i due percorsi in cui il cavallo fa tutte le mosse in senso orario o antiorario.
Le altre due coppie rappresentano percorsi in cui vengono fatte 8 mosse in senso orario e 4 in senso
antiorario, o viceversa; il numero di tali percorsi è dato dal numero di modi in cui è possibile scegliere
l'ordine delle mosse: in particolare, si tratta di
in entrambi i casi (fra le 12 mosse da effettuarsi,
dalla prima alla dodicesima, vanno scelte le 4 che saranno svolte in senso antiorario nel primo caso,
orario nel secondo).
