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Sul gioco del lotto
Problema_1
Franco è nato il 13-03-1984 e decide di giocare al gioco del lotto puntando sulla ruota di Napoli i
due numeri così ottenuti: il primo numero è dato dalla somma delle cifre che compaiono nella sua
data di nascita, il secondo numero è il quoziente tra il numero che rappresenta l’anno di nascita ed il
doppio del numero ottenuto sommando il giorno di nascita ed il numero d’ordine del mese di
nascita.
a) Determinare la probabilità che Franco riesca a fare ambo.
b) Indicare le possibili estrazioni contenenti i due numeri giocati da Franco e tali che gli altri
tre numeri abbiano l’ulteriore proprietà che il più piccolo sommato al doppio del quadrato
del medio uguagli il più grande dei tre.
c) Determinare il numero delle diverse disposizioni che si possono ottenere spostando in tutti i
modi possibili i numeri che compongono le cinquine determinate nel precedente punto b).
Soluzione
Determiniamo i numeri da giocare
Il primo numero è 29; infatti risulta 4+3+10+12=29.
Il secondo numero è dato dal quoziente 1984:[2⋅(13+3)]=1984:32=62.
Dunque. Franco gioca i numeri 29 e 62 sulla ruota di Napoli.
a) Probabilità di fare ambo
Ricordiamo che un giocatore vince un ambo su una determinata ruota se tra i cinque numeri
estratti su quella ruota figurano i due numeri giocati.
Per determinare la probabilità di vincita si noti che le cinquine possibili che si possono
comporre sono le combinazioni semplici dei 90 numeri della classe 5:
90
C90;5 =
5
Le cinquine favorevoli alla vincita di Franco sono in numero pari alla combinazioni semplici
di classe 3 che si possono comporre con gli 88 numeri che rimangono dai 90 togliendo i due
giocati. Il numero di queste combinazioni è perciò
88
C88;3 =
3
La probabilità di fare ambo è quindi
88
88 ⋅ 87 ⋅ 86
C88;3
3
44 ⋅ 29 ⋅ 86
2
3 ⋅ 2 ⋅1
=
=
p=
=
=
N.O x
y
z
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86
90
C90;5
18 ⋅ 89 ⋅ 22 ⋅ 29 ⋅ 43 801
1
1
2
9
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
5
b) Siano x, y e z i numeri che insieme a 29 e 62 compongono le cinquine
da determinare, con le l’ipotesi che x<y<z. I tre numeri devono
verificare l’uguaglianza
x + 2 y2 = z ,
oltre che essere interi e compresi tra 1 e 90
Si tratta di vedere quali sono le cinquine che contengono 29, 62 ed x,
y, z comunque disposti. Da una rapida analisi si riconosce che le terne
possibili per x, y, z sono solo quindici; queste sono riportate nella tabella a
fianco. Pertanto il numero di cinquine diverse che si possono avere come
risultati nell’estrazione del lotto, poiché non è importante l’ordine dei
diversi numeri nelle cinque cellette, possiamo affermare che esse sono
appunto 15 e sono ovviamente quelle ottenute aggiungendo a ciascuna
delle 15 terne indicate i due numeri 29 e 62.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
3
4
5
6
3
4
5
6
4
5
6
5
6
6
19
33
51
73
20
34
52
74
35
53
75
54
76
77
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
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c) Per il calcolo delle disposizioni richieste osserviamo che le quindici cinquine ottenute nel
precedente punto sono tutte diverse tra loro e che permutando in ciascuna di esse i numeri
che le compongono si ottengono 5!=120 disposizioni diverse. Pertanto il numero totale di
disposizioni diverse è 15 ⋅120 = 1800 .
Problema_2
Rossella gioca al loto i numeri 1, 17, 19 sulla ruota di Bari. Calcolare la probabilità che vinca
almeno un ambo.
Soluzione
Con i tre numeri giocati Rossella può vincere tre ambi. Dimostriamolo.
Sulla ruota di Bari si può presentare una qualsiasi delle tre coppie (1;17), (1;19), (17;19). In questo
caso evidentemente Rossella vince un solo ambo; ma potrebbero uscire sulla ruota i tre numeri
giocati e, siccome ha pagato per giocare tre numeri su quella ruota, ha diritto a riscuotere il premio
previsto per ciascun ambo realizzato.
Nel testo del problema non si richiede di calcolare la probabilità che Rossella vinca solo un ambo,
ma che vinca almeno un ambo. Dunque, è prevista la possibilità che vinca addirittura tre ambi.
Quali sono le cinquine che danno diritto di vincita?
Le cinquine che contengono solo una coppia delle tre indicate sono tante quante sono le
combinazioni semplici che si possono comporre prendendo a tre a tre gli 87 numeri diversi da 1, 17,
87
19, quindi C87;3 =
; poiché le coppie sono tre, il numero complessivo di cinquine favorevoli
3
all’evento << uscita di un solo ambo>> sono N1 = 3 ⋅ C87;3 .
Alla suddette cinquine si devono aggiungere quelle che si possono comporre con la presenza dei tre
numeri 1, 17, 19 e con gli altri 87 numeri presi a due a due; questo numero è pari alle combinazioni
87
semplici di 87 elementi della classe 2. Dunque N 2 = C87;2 =
.
2
La probabilità che Rossella faccia almeno un ambo giocando i tre numeri sulla ruota di Bari è data
dal rapporto tra la somma N1 + N 2 e la totalità delle cinquine componibili con i 90 numeri che sono
le combinazioni semplici dei 90 numeri presi a cinque a cinque: N = C90;5 . Si ha:
p=
N1 + N 2
=
N
3 ⋅ C87;3 + C87;2
C90;5
=
3⋅
87 ⋅ 86 ⋅ 85 87 ⋅ 86
+
87 ⋅ 43 ⋅ 86
43
3 ⋅ 2 ⋅1
2 ⋅1 =
=
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86
18 ⋅ 89 ⋅ 22 ⋅ 29 ⋅ 43 5874
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
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