Capitolo
X
Oscillazioni
1. Il moto periodico
In natura sono molto frequenti dei fenomeni che si ripetono con uguali
caratteristiche: le oscillazioni di un pendolo, l’alternanza di giorno e notte, il moto
orbitale di un pianeta, la nostra respirazione ed il battito del nostro cuore, le maree e
così via. Questo tipo di moto viene detto periodico.
Quali sono le caratteristiche di un moto che si dice periodico?
Una particella si muove di moto periodico quando continuamente ripassa per le
stesse posizioni ed in esse assume ogni volta la stessa velocità e la stessa
accelerazione.
Il più piccolo intervallo temporale dopo il quale il moto si ripete con le medesime
caratteristiche si chiama periodo del moto, e si indica con la lettera T . Diremo che
durante un intervallo temporale pari al periodo viene descritto un ciclo del moto. Il
periodo si misura tramite il rapporto seguente:
T
tempo trascorso
numero dei cicli svolti
infatti, dato che ogni frazione esprime il quantitativo del numeratore associato ad
un’unità del denominatore, tale rapporto rappresenta i secondi associati ad un ciclo.
Analogamente il suo reciproco:
f
numero dei cicli svolti
tempo trascorso
è il quantitativo di cicli associati ad una unità del denominatore, cioè i cicli (o la
frazione d ciclo) eseguiti in un secondo, e prende il nome di frequenza, ed indicata con la
lettera f . Il periodo si misura in secondi al ciclo, e nel Sistema Internazionale le sue
unità di misura sono s , in quanto il numero di cicli non ha dimensioni fisiche. La
1
frequenza si misura in cicli al secondo ed anche qui, essendo il numero di cicli una
grandezza adimensionale, nel SI le unità di misura della frequenza risultano s1 ,
a cui viene dato il nome di Hertz: 1 Hz 1 s1 . In base alla definizione la frequenza
è il reciproco del periodo:
f
1
T
Esempio 1
In un moto periodico vengono compiuti 3 cicli in 5 secondi. Calcolare frequenza e
periodo.
T
tempo trascorso
5
s 1.67 s
numero dei cicli svolti
3
f
numero dei cicli svolti
3
s1 0.600 Hz
tempo trascorso
5
Esempio 2
Il processore di un PC lavora con una frequenza di clock
di 2.20 GHz
( 1 GHz 109 Hz , cioè svolge 2.20 109 operazioni binarie ogni secondo). Quanto
tempo impiega per eseguire un’operazione?
Si tratta di calcolare il periodo, che è il tempo corrispondente ad un singolo ciclo:
1
1
T
s 0.455 109 s
f
2.20 109
2. Velocità angolare
Quando abbiamo a che fare con un punto P che si muove lungo una
circonferenza, la sua posizione può essere individuata dall’angolo di rotazione
rispetto ad una semiretta di riferimento uscente dal centro C .
s R
R
P
In che modo conviene misurare gli angoli?
Osservazioni di geometria elementare ci indicano che:
r
un angolo al centro e la lunghezza s dell’arco da esso sotteso sono proporzionali
C
Pertanto il rapporto s / R , fra la lunghezza s dell’arco ed il raggio R , non dipende
dalla misura del raggio, ad esempio assume lo stesso valore per tutte le circonferenze
di centro C , come le due in figura. Fissato l’angolo , il rapporto s / R può quindi
essere assunto come misura dell’angolo, visto che non occorre specificare su quale
2
delle infinite circonferenze concentriche viene misurato, dato che si ottiene sempre lo
stesso valore. Questo modo di misurare gli angoli si dice esprimerli in radianti:
rad
s
R
Il radiante è un numero adimensionale, essendo il rapporto di due grandezze che
hanno le stesse dimensioni fisiche. Nel Sistema Internazionale, quando un numero
esprime un angolo in radianti, si aggiunge il suffisso “rad”. L’angolo in radianti ha
convenzionalmente segno positivo se misurato in verso antiorario, negativo se
misurato in verso orario.
Perché conviene misurare gli angoli in radianti?
La misura in radianti consente di passare immediatamente dal valore dell’angolo
alla misura dell’arco, quando sia noto il raggio della circonferenza. Infatti:
s Rrad
questa stessa relazione è meno maneggevole quando gli angoli sono in gradi.
Esempio 3
Si esprimano in radianti gli angoli di: 360 , 180 , 90 , 45 , 30 . Si dica poi quanto
misurano gli archi staccati dall’angolo di 30 su di una circonferenza di raggio
2.50 m e su una di raggio 6.70 m .
90 2
180
Su di una circonferenza di qualunque raggio R , con centro nell’origine comune di
questi angoli, misurando l’arco s partendo dal punto marcato in figura, è facile
trovare l’espressione in radianti dell’angolo giro:
s
2R
360 s 2R
2 6.28 rad
R
R
Per gli altri angoli le misure di s si trovano facilmente prendendo la frazione di
perimetro corrispondente:
2R
s
R
180 s
3.14 rad
2
R
R
2R
s
R / 2
90 s
1.57 rad
4
R
R
2
2R
s
R / 4
45 s
0.789 rad
8
R
R
4
2R
s
R / 6
30 s
0.524 rad
12
R
R
6
Per avere la misura degli archi sottesi da / 6 0.524 rad sulle due
circonferenze basta usare la formula inversa s Rrad , da cui:
R 2.50 m s (2.50 0.524) m 1.31 m
R 6.70 m
s (6.70 0.524) rad 3.51 m
Esempio 4
Si trasformino in radianti gli angoli 270 , 135 , 60 .
[R: 3 / 2 ; 3 / 4 ; / 3 ]
3
45 4
30 6
360 2
Cosa si intende per velocità angolare di un punto?
Considerato un punto P che si muove lungo una circonferenza, ed un intervallo
temporale t durante il quale l’angolo di rotazione è variato di una quantità , è
possibile definire:
s R
R
P
velocità angolare media di un punto P in moto su di una circonferenza, è il
mumero di radianti spazzati in un secondo, dal raggio che individua P:
t
A
Ricordando infatti la definizione di rapporto fra due grandezze come il “quantitativo
al numeratore che è associato ad un’unità del denominatore”, la definizione appare
subito trasparente. Se il rapporto viene calcolato nel caso limite in cui t 0 , cioè
quando l’intervallo temporale si chiude attorno ad un singolo istante, la velocità
angolare si dice istantanea. Il simbolo che si adopera per la velocità angolare, sia
media che istantanea è la lettera greca òmega minuscola , e si misura in rad /s . Si
capisce che / t è l’analoga angolare del rapporto v s / t che dà la
componente della velocità (media) del punto sulla circonferenza. La sua utilità
appare evidente quando si ha a che fare con le rotazioni di un corpo rigido attorno
ad un asse. Consideriamo il pianeta Terra: un punto sull’equatore ruota molto più
velocemente di uno in prossimità del polo Nord, ma entrambi spazzano lo stesso
angolo ogni secondo, cioè hanno la medesima .
Come si esprime la velocità angolare se il moto è circolare uniforme?
Nel caso in cui il moto sia circolare uniforme, il raggio che individua il punto spazza
sempre lo stesso numero di radianti in un secondo e quindi non importa quale
ampiezza si usi per calcolare il rapporto / t , perché il risultato è sempre
lo stesso valore costante. Decidiamo allora di fare il conto riferendoci ad un giro
completo attorno all’asse. In questo caso il tempo impegato è il periodo t T del
moto circolare, cioè il tempo che serve a completare il giro, e si ha:
2
T
ed il numero di giri eseguiti in un secondo, cioè la frequenza del moto circolare
uniforme, si può scrivere:
1
f
T
2
Esempio 5
Calcolare periodo, velocità angolare e frequenza della punta della lancetta delle
ore, di quella dei minuti e di quella dei secondi.
La lancetta delle ore impiega 12 h per concludere il giro, quindi si ha:
Th 12 3600 43200 s
4
h
2
1.45 104 rad/s
Th
fh
1
2.31 105 Hz
Th
La lancetta dei minuti impiega 1 h per concludere il giro, quindi si ha:
Tm 3600 s
m
2
1.74 103 rad/s
Tm
fm
1
2.78 104 Hz
Tm
La lancetta dei secondi impiega 60 s per concludere il giro, quindi si ha:
Th 60 s
s
2
0.105 rad/s
Ts
fs
1
0.0167 Hz
Ts
In un moto circolare uniforme che relazione esiste fra velocità angolare e velocità?
Dalla definizione di radiante sappiamo che:
s R
cioè lo spazio che il punto percorre è tanto maggiore quanto più grande è la sua
distanza dall’asse. Pertanto, essendo la componente della velocità sulla circonferenza
v s / t risulta:
s
v
t
Rt
R
v R
P
Esempio 6
Calcolare la velocità angolare del pianeta Terra, e la velocità lineare di un punto P
alla latitudine italiana di 42 , assumendo per il raggio della Terra 6400 km .
[R: 7.27 105 rad/s , 346 m/s ]
42
Esempio 7
Sapendo che il diametro interno di un vecchio disco in vinile da 45 giri/min è
dB 4.5 cm , e che quello esterno è dA 18 cm , se ne calcoli la velocità angolare, e
si trovino le velocità lineari dei punti A e B in figura.
[R: 4.71 rad/s , 42 cm/s , 11 cm/s ]
Esempio 8
Un’automobile avanza con velocità V 20 m/s . Sapendo che il raggio della ruota
è R 0.40 m , si dica quanto valgono: l’intensità v della velocità di un punto sul
perimetro della ruota, la velocità angolare e la frequenza di un punto qualsiasi sulla
ruota.
[R: 20 m/s , 50 rad/s , 8.0 Hz ]
5
A
B
v
V
3. Il moto armonico
Eq.
F
Cosa è la forza elastica?
F
x
Si dice forza elastica qualsiasi forza F di richiamo, cioè sempre diretta verso una
posizione di equilibrio, e la cui intensità, variabile nel tempo, sia direttamente
proporzionale alla distanza da tale posizione.
x
LA CONTROFISICA
Per quanto possa suonare strano, un
elastico non esercita una forza elastica
nel senso della definizione qui data.
Infatti pur essendo in grado di tirare
verso l’equilibrio, non esiste una
configurazione in cui spinga. Il
meccanismo nasce dalla presenza di
lunghe catene di molecole al suo
interno, che non riescono a stare
stirate ma tendono ad assumere forma
contorta, e per questo ad accorciarsi.
Queste molecole filiformi sono
costrette ad assumere una geometria
ripiegata a causa del continuo
picchiettare laterale dovuto al moto di
agitazione termica di molecole più
piccole.
Fx = -kx < 0
0
x
Fx = 0
0
Fx = -kx > 0
x
Indicato con x il vettore spostamento che ha la coda nel punto di equilibrio e la
punta nella posizione istantanea della particella, si ha dunque che la forza elastica
può essere scritta:
F kx
dove la costante che figura è k 0 e le sue unità di misura sono N/m , in modo
che moltiplicata per una lunghezza produca N al primo membro dell’equazione.
L’intensità della forza vale F k x , ed è quindi tanto maggiore quanto più è
grande la distanza, e quando la massa si trova nella posizione di equilibrio la forza
vale zero essendo x 0 . Il segno negativo nell’equazione F kx indica come
la direzione della forza sia sempre parallela e contraria al vettore x , e quindi
orientata verso la posizione di equilibrio. Il numero k si dice costante elastica.
Come possiamo realizzare una forza elastica?
Dopo aver bloccato il capo di una molla a forma di elica, si attacchi una massa
all’altro capo, e la si ponga in un piano orizzontale senza attrito. La massa della
molla sia trascurabile rispetto a quella attaccata. Esiste una sola distanza del capo
libero dal punto di aggancio nella quale la molla è rilassata. Non appena si tenti di
allontanare la massa da questo equilibrio, la molla tende a riportacela. Le
osservazioni mostrano che il valore della forza di richiamo dipende dalla natura
della molla, ma che in ogni caso F si fa tanto più intensa quanto maggiore è
l’allontanamento x dalla posizione di equilibrio, dove la forza vale zero.
La costante elastica determina la rigidità della molla: a parità di deformazione, una
molla con k grande è più rigida (cioè esercita una forza maggiore) rispetto ad una
molla con k piccolo. Posto un asse di riferimento con l’origine nella posizione di
equilibrio ed indicata con Fx la componente orizzontale della forza, lungo di esso
risulta Fx kx , una relazione detta legge di Hooke. Una forza verso sinistra avrà
x x 0
quindi componente positiva, e questo accade se la molla viene compressa e cioè
quando x 0 . Per una molla allungata avremo viceversa Fx 0 ed x 0 .
Esempio 9
Lungo un piano inclinato di un angolo 35 come in figura, privo di attrito, è
adagiata una molla di costante elastica k 1.50 102 N/m avente all’estremità una
massa m 1.70 kg . Si dica di quanto si allunga la molla.
[R: x 6.38 cm ]
6
Esempio 10
Lungo un piano inclinato di un angolo 25 , privo di attrito, è adagiata una
molla di costante elastica k 2.00 102 N/m avente all’estremità una massa
m 2.10 kg . Si dica di quanto viene compressa la molla.
[R: x 4.35 cm ]
Esempio 11
fattrito
Una massa m 1.30 kg attaccata ad una molla con k 4.00 102 N/m viene
statico
tirata da un nastro trasportatore. Sapendo che il coefficiente di attrito statico fra le
superfici è S 0.840 , si trovi il massimo allungamento.
[R: x 2.68 cm ]
Cos’è il moto armonico?
Si dice moto armonico quel particolare moto periodico che si ottiene quando una
particella è sottoposta ad una forza elastica.
Le oscillazioni della massa attaccata alla molla ne sono un esempio. La massima
distanza dalla posizione di equilibrio viene chiamata ampiezza A del moto. Molti
sono i sistemi fisici che seguono naturalmente il moto armonico: dalle oscillazioni
degli atomi attorno ai siti di equilibrio, fino pennoni delle bandiere ed ai grattacieli.
Che legame esiste fra moto armonico e moto circolare uniforme?
E’ possibile pensare al moto armonico come alla proiezione sull’asse delle ascisse (o
delle ordinate, è lo stesso) della posizione di una particella che si muova di moto
circolare uniforme
Presa quindi una traiettoria circolare di raggio pari all’ampiezza A del moto
armonico, è possibile individuare una velocità di intensità v opportuna, per cui la
F
posizione della particella che oscilla legata all’estremità della molla coincide in ogni
istante con l’ombra di un’altra particella che gira sulla circonferenza con velocità di
modulo v costante. Infatti, indicata con F la forza centripeta all’origine del moto
Fx
circolare - qualunque ne sia natura - la sua componente Fx lungo l’asse orizzontale
risulta:
Fx F cos
2
v
x
ed essendo F m
, ed inoltre cos
come si vede dal triangolo in figura,
A
A
si ottiene:
2
v
x
Fx m
kx
A A
-A
0
+A
Acos
A
avendo indicato il prodotto di tutte le quantità costanti con un unico simbolo:
m 2
k
v . Abbiamo così dimostrato che la componente della forza lungo l’asse
A2
orizzontale è una forza di richiamo di tipo elastico. Poiché in un moto circolare
uniforme risulta v R ( A) , la velocità angolare del moto circolare la cui
7
y
x
x
proiezione genera il moto armonico di costante k , risulta legata alla costante elastica
dalla relazione:
m 2
m 2 2
k
v
A
2
m
A
A2
Quando ci si riferisca al moto armonico, il valore di viene detto pulsazione del moto,
sempre misurata in rad/s. Il periodo del moto armonico è lo stesso del moto circolare
uniforme che lo genera, il qual completa un giro nel tempo che la sua proiezione ha
completato un’oscillazione. Ricordando per il moto circolare uniforme vale la
relazione T 2 / , si ha per il periodo del moto armonico:
k
T 2
m
k
Notare infine che la frequenza (e di conseguenza il periodo T e la pulsazione non
dipendono dall’ampiezza A del moto.
Esempio 12
Si osserva che una massa m 2.30 kg attaccata ad una molla oscilla sedici volte in
2.00 s . Trovare la costante elastica della molla e la forza che essa esercita sulla massa
quando questa si trova 4.00 cm a destra del punto di equilibrio
Il periodo e la pulsazione di questo moto armonico risultano essere:
2.00
2
6.28
T
s 0.125 s
rad/s 50.2 rad/s
16
T
0.125
si ricava quindi la costante elastica:
k
m
k m 2 2.30 50.22 N/m 5.80 103 N/m
Quando la massa dista x 4.00 cm 4.00 103 m si ha che la componente della
forza vale:
Fx kx 5.80 103 4.00 102 N 230 N
15.0 cm
Fel
di segno negativo in quanto diretta verso sinistra dove si trova la posizione di
equilibrio.
Esempio 13
Una molla posta in verticale con appesa una massa m 0.850 kg si allunga di
W
15.0 cm rispetto alla posizione di equilibrio. Trovare il periodo delle oscillazioni che
la massa compie in un piano orizzontale.
[R: 0.776 s ]
Come si scrive la legge oraria della posizione in un moto armonico?
La velocità angolare è data dal rapporto fra l’angolo spazzato ed il tempo
impiegato, /t , da cui si ottiene la legge oraria dell’angolo per il moto
circolare uniforme nel caso particolare in cui l’angolo iniziale è nullo:
8
t
Con riferimento all’asse delle ascisse nella precedente figura si ha che:
x (t ) A cos A cos t
t 0
Nel caso in cui la particella che gira dovesse partire da un angolo iniziale 0 e si
avesse 0 t risulterebbe:
t
x (t ) A cos(t 0 )
0
Quali nomi si usano per queste grandezze?
La quantità t 0 si chiama nel suo complesso fase del moto armonico, mentre si
dice fase iniziale il valore dell’angolo 0 . In maniera del tutto analoga si sarebbe
potuto proiettare lungo l’asse delle ordinate ed ottenere una forma equivalente per
la legge oraria del moto armonico: y(t ) A sin(t 0 ) .
0
-A
+A
A cos( t 0 )
Esempio 14
La legge oraria di un moto armonico è x (t ) 3 cos(5t 2) . Si dica quanti cicli sono
compiuti ogni secondo, qual è la durata di ciascuno, e quanto vale la fase dopo 3.5 s .
Da un’analisi dell’equazione data risulta 5 rad/s pertanto risulta:
2
6.28
s 1.26 s
5
Per la fase abbiamo:
(5 3.5 2) rad 19.5 rad
T
f
1
0.79 Hz
T
y
Esempio 15
Un cocomero è messo in fresco in un recipiente colmo di acqua. Nel momento della
prima immersione la linea di galleggiamento viene fatta scendere di 3.00 cm sotto al
pelo dell’acqua, ed il cocomero comincia ad oscillare di moto armonico compiendo
quattro cicli in 6.00 s . Dopo aver scritto la legge oraria della quota y(t ) della linea di
galleggiamento, si dica dove si trova dopo 0.200 s e dopo 0.650 s .
[R: y(t ) 3.00 sin(4.19t 2 ) ; 2.01 cm , 2.74 cm ]
0
3.00
Esempio 16
Una barretta lunga L ruota con velocità angolare attorno ad un punto C a due
terzi della sua lunghezza. Che relazione esiste fra le ampiezze e le fasi dei moti
armonici originati dalle proiezioni degli estremi A e B sul diametro orizzontale?
Come si ricava osservando l’istante in cui la barretta è orizzontale, l’ampiezza delle
oscillazioni della proiezione di A è doppia dell’ampiezza delle oscillazioni della
proiezione di B. In una rotazione antioraria come quella in figura, B si trova sempre
in anticipo di una angolo piatto rispetto ad A, cioè la sua fase iniziale vale . Se
scegliamo come istane zero quello in cui l’ascissa di A è massima, le equazioni dei
due moti armonici sono:
9
A
C
B
x
P
x A (t )
6
x B (t )
1
L sin(t )
3
B
A
C
2
L sin t
3
Esempio 17
Un punto P ruota su di una circonferenza di raggio R facendo quattro giri ogni tre
secondi. Che relazione esiste fra le ampiezze, le pulsazioni e le fasi dei moti armonici
generati dalle proiezioni di P lungo i due diametri in figura?
[R: vedi in fondo]
4. Il pendolo semplice
L
la massa del filo è trascurabile rispetto ad m , ed il filo stesso è inestensibile, cioè la
sua lunghezza non cambia mai nonostante la sollecitazione a cui viene sottoposto.
T
Wn
s(t )
Wt
Cosa si intende per pendolo semplice?
Il pendolo semplice è un dispositivo costituito da una massa m che oscilla legata al
capo di un filo di lunghezza L ed agganciato ad un punto di sospensione.
Consideriamo il caso ideale, in cui:
0
W
Il moto del pendolo non è rettilineo: può essere armonico?
Il moto armonico può avvenire anche lungo una traiettoria curva, come nel caso
dell’arco di circonferenza descritto dal pendolo. In questo caso il moto si considera
armonico quando la coordinata curvilinea s(t ) che separa la massa m dalla
posizione di equilibrio, segue una legge oraria della forma vista per il caso rettilineo:
s(t ) A cos(t 0 )
LA CONTROFISICA
Si faccia attenzione alla reciproca
lunghezza
dei
vettori
che
rappresentano le forze sul pendolo.
La tensione deve
sempre essere più
lunga della gravità in
quanto con la sua
T
sola
componente
verticale la deve equiNO
librare
W
Questo accade solo se la componente della forza tangenziale alla traiettoria agisce
come richiamo verso un equilibrio, ed ha intensità direttamente proporzionale alla
lunghezza s(t ) dell’arco che occorre percorrere per raggiungerla.
Il moto di un pendolo semplice è un moto armonico?
Per rispondere alla domanda se le oscillazioni del pendolo siano armoniche,
dobbiamo ricavare un’espressione per la forza tangenziale e vedere se risulta
proporzionale alla distanza s(t ) percorsa dal pendolo sulla circonferenza. Come si
vede dal disegno, la componente tangenziale del peso agisce come forza di richiamo
dato che è sempre diretta verso il punto più basso, e la sua intensità vale:
Wt mg sin
Ora se l’angolo è espresso in radianti si ha che per valori minori di
8
la sua
misura e quella del seno risultano pressoché indistinguibili1, cioè:
1
Se / 8 0.3927 rad si ha sin 0.3827 quindi se si sostituisce al seno dell’angolo la
misura in radianti dell’angolo stesso si commette un errore
di circa il 3% .
10
sin
sin
0.39270.3827
0.3827
0.02613 cioè
sin
se
(23)
8
sin
che sostituita nell’espressione per la forza di richiamo produce:
0
s(t )
Wt mg mg
k s(t )
L
1
avendo sfruttato la definizione di radiante, s(t ) / L ed indicato i valori costanti
con k mg / L . Come si vede, nel caso delle oscillazioni che formano piccoli angoli
(
8
) il moto del pendolo semplice risulta armonico.
Quanto vale il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo semplice?
Sfruttando la relazione precedentemente ricavata si ottiene il periodo delle piccole
oscillazioni
T 2
m
mL
L
2
2
k
mg
g
Si traggono quindi le seguenti conclusioni:
(1) Le piccole oscillazioni sono isòcrone cioè hanno tutte la stessa durata, indipendentemente dal valore dell’ampiezza A .
(2) Il periodo delle piccole oscillazioni non dipende dalla massa appesa.
(3) Il periodo delle piccole oscillazioni è tanto maggiore quanto più lungo è il filo del
pendolo.
La velocità angolare e quella lineare di un pendolo sono costanti?
No, non lo sono. Entrambe crescono a mano a mano che si procede verso il punto
più basso dove raggiungono il massimo, poi decrescono fino ad annullarsi nella
posizione di massima altezza.
Come cambia il periodo di un pendolo se ci si sposta su altri pianeti?
La relazione fra i periodi dipende dal valore dell’accelerazione di gravità in
superficie, che la legge di gravitazione universale prevede essere direttamente
proporzionale alla massa del pianeta ed inversamente proporzionale al quadrato del
suo raggio2. Pertanto i periodi di uno stesso pendolo misurati sul pianeta A e sul
pianeta B stanno fra loro nel rapporto:
2 L / gA
TA
g
M B / RB2
R
B
A
2
TB
gA
RB
M A / RA
2 L / g B
MB
MA
Esempio 18
Un pendolo semplice compie 40 oscillazioni al minuto. Si calcoli la lunghezza del
filo e si dica cosa succede al periodo se questa viene dimezzata.
2
2
11
Ricordiamo infatti che si ha g GM / R , con G 6.67 10
2
Nm / kg .
11
A2
A1
diversa ampiezza
ma stesso periodo
Risulta T (60/ 40) s 1.50 s da cui si ricava la lunghezza del filo:
T 2
L
g
L
gT 2
9.81 1.502
m 0.560 m
2
39.4
4
Se l lunghezza del filo è dimezzata il periodo nuovo periodo T risulta diviso per
un fattore 2 rispetto al vecchio:
L
L
T
1.50
s 1.06 s
g
g
2
2
2
quindi le oscillazioni del nuovo pendolo più corto sono più rapide.
T 2
2
1
2
Esempio 19
Fra alcune liane che pendono da un albero, se ne deve individuare una che sia più
lunga di 15 m . Come possiamo effettuare la scelta senza arrampicarci per
misurarle?
[R: vedi in fondo]
Esempio 20
Si descriva la traiettoria seguita da un pendolo oscillante il cui filo venga tagliato
mentre si trova: (1) nel punto di massima altezza, (2) in qualunque punto di
avvicinamanto all’equilibrio, (3) nel punto di minima altezza, (4) in un qualunque
punto di allontanamento dall’equilibrio.
[R: vedi in fondo]
Esempio 21
Una molla ed un pendolo che sulla Terra hanno lo stesso periodo, mantengono tale
relazione se spostati sulla Luna, dove gL 16 gT ? Di quale percentuale dovrebbe
essere variata la massa m da attaccare allla molla affinché i due oscillatori
rimangano in sincronia? E di quale percentuale dovremmo invece variare la
lunghezza del filo?
[R: 500% , 83.3% ]
Esempio 22
Sapendo che la massa della Luna è circa 1/ 81 della massa terrestre, si dica in che
rapporto stanno le oscillazioni di uno stesso pendolo sulla Terra e sulla Luna e le
rispettive accelerazioni di gravità. Si supponga una densità uguale e costante nei due
corpi celesti. Si confrontino i valori così trovati con quelli realmente misurati,
gT 6gL e TL 2.5TT .
Se la densità fosse costante, la massa crescerebbe con il volume e cioè
proporzionalmente al cubo del raggio del pianeta. Quindi dalla Terra alla Luna il
cubo del raggio diminuisce di 81 volte ed il raggio diminuisce di 3 81 3 volte. Il
rapporto fra i periodi vale pertanto:
TL
R
L
TT
RT
RL
MT
ML
3 RL
81 M L
ML
81
3
3
quindi TL TT cioè le oscillazioni sono tre volte più lente mentre fra le
accelerazioni di gravità vige la relazione:
TL
g
T 3 gT 9gL
TT
gL
12
Questi risultati sono un po’ differenti dai valori reali ( gT 6gL e TL 2.5TT ), quindi
non possiamo assumere densità costante ed uguale per i due corpi celesti.
Esempio 23
Il capitano Polipox giunge su di un lontano pianeta di raggio R 7500 km e
decide di misurarne la massa facendo oscillare un pendolo semplice appena
atterrato sulla superficie. Se il filo del pendolo è lungo L 80.0 cm e si osservano
30 oscillazioni in un minuto, aiutate il capitano a calcolare la massa del pianeta.
[R: 1.06 1026 kg ]
13
Soluzioni
3
135 4
Esempio 4
60 3
3
270 2
r
3
s
(3/ 2)R
3
2R
4.71 rad
4
R
R
2
3
s
(3 / 4)R
3
135 s 2R
2.36 rad
8
R
R
4
2R
s
(1/ 3)R
60 s
1.05 rad
6
R
R
3
270 s
Esempio 6
Sapendo che il giorno solare medio è periodo di rotazione, T 86400 s , si ha:
2
6.28
rad/s 7.27 105 rad/s
T
86400
Per avere la velocità lineare del punto P è necessario conoscere il raggio r della
circonferenza che esso descrive. Con riferimento alla figura si ha:
r 6400 km cos 42 4756 km
da cui si ricava:
v r (7.27 105 rad/s) (4756 km) 0.346 km/s 346 m/s
P
42
Esempio 7
La frequenza è il numero di giri al secondo, quindi considerando 45 giri/min un
numero esatto, si ha:
giri
45 giri
3
45
Hz f
min 60 s
4
da cui si ricava la velocità angolare, che tenendo tre cifre risulta:
3
3
2 f 2 rad/s rad/s 4.71 rad/s
4
2
per le velocità lineari è sufficiente moltiplicare per i due raggi:
d
18
vA A 4.71
cm/s 42 cm/s
2
2
d
4.5
vB B 4.71
cm/s 11 cm/s
2
2
2R
Esempio 8
Risulta v V 20 m/s , infatti quando il punto di contatto ha fatto un giro
completo, anche il centro della ruota si è spostato di un tratto pari al perimetro della
ruota. Per la velocità angolare e la frequenza, identiche per tutti i punti della ruota,
risulta:
v
20
50
rad/s 50 rad/s f
Hz 8.0 Hz
R
0.40
2 6.28
2R
y
F
x
Wx
W
x
Esempio 9
Lungo un asse parallelo al piano inclinato, posto lo zero in corrispondenza della
posizione rilassata che la molla avrebbe senza la massa, all’equilibrio, indicando con
F la forza elastica, abbiamo:
Wx Fx 0
14
y
Osservando che, essendo x 0 , si ha Fx kx 0 :
mg sin kx 0
mg sin 1.70 9.81 sin 35
x
m 6.38 10-2 m 6.38 cm
k
1.50 102
cioè la molla si comprime di 6.38 cm .
x
F
W
x
Wx
Esempio 10
Lungo un asse parallelo al piano inclinato, posto lo zero in corrispondenza della
posizione rilassata che la molla avrebbe senza la massa, all’equilibrio, indicando con
F la forza elastica, abbiamo:
Wx Fx 0
Osservando che, essendo x 0 , si ha Fx kx 0 :
mg sin kx 0
mg sin
2.10 9.81 sin 25
x
m 4.35 10-2 m 4.35 cm
k
2.00 102
cioè la molla si comprime di 4.35 cm .
Esempio 11
Il massimo allungamento si ha quando la forza elastica della molla bilancia il valore
massimo dell’attrito statico, cioè S N , dove N è la forza normale al piano
d’appoggio. Lungo un asse parallelo al nastro, posto lo zero in corrispondenza della
posizione rilassata della molla, all’equilibrio, indicando la forza elastica con F , si ha:
fSx Fx 0
osservando che, essendo x 0 , si ha Fx kx 0 :
S N kx 0
N
fS
F
x
W
e poiché la seconda legge della dinamica lungo l’asse verticale ci dice:
N y Wy N mg 0 N mg
sostituendo si ottiene:
S mg kx 0
mg
0.840 1.30 9.81
x S
m 2.68 102 m 2.68 cm
2
k
4.00 10
Esempio 13
Quando la molla è in equilibrio in verticale, lungo l’asse delle ordinate si ha:
Felastica W 0 kx mg 0
mg
0.850 9.81
N/m 55.6 N/m
x
0.150
quindi il periodo delle oscillazioni in orizzontale vale:
k
T 2
y
m
0.850
6.28
s 0.776 s
k
55.6
Esempio 15
4
Hz 0.667 Hz da cui:
6.00
2 f 6.28 0.667 rad/s 4.19 rad/s
Si ha A 3.00 cm e f
15
x
Se iniziamo a contare il tempo nell’istante in cui il cocomero sta sott’acqua, la fase
iniziale dovrà essere tale per cui y(0 s)= 3.00 cm , quindi:
y(0) 3.00 A sin( 0 0 ) 3.00 sin(0 )
sin 0 1,
0
2
La legge oraria risulta allora:
y(t ) A sin(t 0 ) 3.00 sin(4.19t )
2
La quota della linea di galleggiamento dopo 0.200 s e dopo 0.650 s risulta essere:
y(0.200 s) 3.00 sin(4.19 0.200 1.57) cm 2.01 cm
y(0.650 s) 3.00 sin(4.19 0.650 1.57) cm 2.74 cm
Pertanto se t 0.200 s la linea di galleggiamento sarà 2.01 cm sotto al pelo
dell’acqua, mentre se t 0.650 s la linea di galleggiamento sarà 2.74 cm sopra al
pelo dell’acqua.
Esempio 17
L’ampiezza del moto vale R in entrambi i casi, ed anche la pulsazione non dipende
dal diametro sul quale si proietta P, ed è pari a:
4 giri
8
2 f 2
rad/s
3s
3
Per quanto riguarda la fase, la proiezione B è sempre in anticipo di / 6 rispetto alla
proiezione A, quindi la sua fase sarà sempre maggiore proprio di / 6 . Se scegliamo
come istante zero quello in cui l’ascissa di A vale R, abbiamo:
8
8
x A (t ) R sin t
x B (t ) R sin t
3
3
6
Esempio 19
Si deve appendere al capo una massa qualunque (purché grande rispetto a quella
della liana) e misurare il periodo delle piccole oscillazioni. Sapendo che una corda
lunga 15 m produce un periodo:
L
15
T 2
6.28
7.8 s
g
9.81
quelle liane per cui si misura una durata delle oscillazioni maggiore di questo valore
sono più lunghe di 15 m .
1
2
3
4
Esempio 20
Nel momento in cui viene tagliata la fune il pendolo si trova soggetto solo alla forza
peso ed è pertanto un corpo in caduta libera. La forma della traiettoria dipende
dalla velocità iniziale e, considerando un’oscillazione verso destra come in figura, è:
(1) una retta verticale se il filo è tagliato nel punto di massima altezza, visto che in
quella posizione la velocità iniziale è nulla;
(2) una porzione di parabola che inizia a destra del vertice, se il filo è tagliato durante
l’avvicinamento all’equilibrio, cioè quando la velocità è inclinata verso il basso;
(3) la metà esatta di una parabola se il filo è tagliato nel punto più basso, quando la
velocità è orizzontale e massima;
(4) una porzione di parabola che inizia a sinistra del vertice, se il taglio avvien nella
fase di allontanamento dall’equilibrio. In questo caso la massa risale fino al vertice
della parabola e poi ricade. Il punto di massimo è inferiore all’altezza massima che
16
avrebbe raggiunto se non avessimo tagliato, perché la componente verticale della
velocità non viene più incrementata dall’azione del filo.
Esempio 21
I periodi non possono rimanere uguali perché, mentre l’accelerazione di gravità
L
varia, e con essa il periodo del pendolo T 2
, i valori della costante elastica
gL
k della molla e della massa attaccata restano gli stessi, e con essi il periodo
m
T 2
. Se vogliamo che le due oscillazioni siano sincrone pure sulla Luna,
k
dobbiamo attaccare alla molla una massa m ' tale che:
L
m'
L
m'
L
L
2
2
m' k
6k
gL
k
gL
k
gL
g
e ricordando che vale l’uguaglianza dei periodi sulla Terra:
L
m
L m
L
2
2
m k
g
k
g
k
g
Risulta quindi m ' m ele due masse differiscono della quantità:
L
L
L
m ' m 6k k 5k
g
g
g
pertanto la variazione in percentuale da apportare ad m è:
m ' m
5kL / g
5 500%
m
kL / g
Possiamo rendere sincroni i pendoli sulla Luna anche usando una lunghezza L ' per
il filo del pendolo tale che:
L'
m
L' m
m
m
2
2
L ' gL
g
gL
k
gL
k
k
6k
Sulla Terra vale l’uguaglianza:
L
m
L m
2
2
g
k
g
k
L
m
g
k
risulta quindi L ' L e le due lunghezze differiscono della quantità:
m
m
m
1 5 m
L L ' g g g 1
g
k
6k
k
6 6 k
pertanto la variazione in percentuale da apportare ad L è:
L L ' 5mg / 6k
5
0.833 83.3%
L
mg / k
6
Esempio 23
Il pendolo ha un periodo di:
30
T
s 0.500 s
60
L’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta vale:
GM
gP
R2
che sostituita nell’espressione del periodo produce:
T 2
L
R 2L
2
gP
GM
17
da cui si ha il valore della massa del pianeta:
M
4 2 R 2 L
4 9.86 (7.500 106 )2 0.800
Kg
GT 2
6.67 1011 0.5002
4 9.86 56.25 0.800
101211 Kg 1064 1023 Kg 1.06 1026 Kg
6.67 0.250
18
