Diario - Università di Trento

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA B
A.A. 2016/17
DOCENTE: ANDREA CARANTI
Nota. L’eventuale descrizione di lezioni non ancora svolte si deve intendere come
una previsione/pianificazione.
Lezione 1. mercoledí 14 settembre 2016 (2 ore)
Radici quadrate modulo un primo congruo a 3 modulo 4.
Testa o croce per telefono, e radici quadrate modulo pq, con p, q primi distinti
(congrui a 3 modulo 4).
Lezione 2. lunedí 19 settembre 2016 (2 ore)
Esempio svolto di testa/croce per telefono.
Permutazioni. Il gruppo simmetrico Sn . Notazione ciclica. Scrittura di una
permutazione come prodotto di cicli disgiunti. Esempi.
Lezione 3. mercoledí 21 settembre 2016 (2 ore)
Sn non è abeliano se n ≥ 3.
Classi laterali destre e sinistre di un sottogruppo H in un gruppo G. Se G è
abeliano, allora Ha = aH per ogni a ∈ G. Se G non è abeliano può accadere che
Ha ̸= aH per qualche a ∈ G. Esempio in S3 .
Se Ha = aH per ogni a ∈ G, allora diciamo che H è normale in G. Esempio in
S3 .
Classi laterali in notazione additiva. Esempi negli interi. Il numero di classi
laterali sinistre e destre di un sottogruppo H in un gruppo G è uguale (dimostrazione solo nel caso in cui G è finito). Tale numero è l’indice di H in G (notazione
| G : H |). Teorema di Lagrange.
Ideale di un anello. Ogni insieme della forma nZ è un ideale negli interi. Se R
è una relazione di equivalenze compatibile con le operazioni di un anello A, allora
[0] è un ideale di A. Inoltre le classi di equivalenza sono le classi laterali di [0] in
A.
Lezione 4. lunedí 26 settembre 2016 (2 ore)
Se I è un ideale dell’anello A, allora la congruenza modulo I
aRb se e solo se a − b ∈ I
Date: Trento, A. A. 2016/17.
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è un relazione di equivalenza compatibile con le operazioni, e [0] = I. Dunque
l’insieme A/R delle classi di equivalenza è la stessa cosa dell’insieme A/I delle
classi laterali, ed è un anello con le operazioni
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
(a + I) · (b + I) = ab + I,
Siano A, C anelli, e f : A → C un morfismo suriettivo. La relazione su A data
da aRb se e solo se f (a) = f (b) ha [0] = { a ∈ A : aR0 } = { a ∈ A : f (a) = 0 } =
ker(f ), dunque ker(f ) è un ideale di A, e si ha il primo teorema di isomorfismo,
con A/I al posto di A/R.
Moltiplicazione di un sottoinsieme per un elemento in un gruppo. Condizioni
equivalenti per un sottogruppo normale.
Se R è una relazione di equivalenza compatibile su un gruppo G, allora [1] è un
sottogruppo normale.
Lezione 5. mercoledí 28 settembre 2016 (2 ore)
Viceversa. Primo teorema di isomorfismo per i gruppi.
Periodo (ordine) di un elemento con il primo teorema di isomorfismo.
Estensioni di un campo. Estensioni come spazi vettoriali.
Ideali principali, legami con la divisione e la relazione di “essere associato”.
Ideali di un dominio euclideo (inizio).
Lezione 6. lunedí 3 ottobre 2016 (2 ore)
Gli ideali di un dominio euclideo sono principali.
Struttura dell’anello quoziente F [x]/(m), con m polinomio di grado positivo.
Valutazione dei polinomi in un elemento. Caso trascendente e caso algebrico.
Lezione 7. mercoledí 5 ottobre 2016 (2 ore)
Polinomio minimo. Teorema di struttura delle estensioni semplici - legame con
la razionalizzazione.
Se un polinomio monico si annulla su α, ed è irriducibile, allora è il polinomio
minimo. Non vale il viceversa. Ma se B è un dominio (dunque un campo va bene),
allora ogni polinomio minimo di α ∈ B algebrico su F è irriducibile, e F [α] è un
campo.
Lezione 8. lunedí 10 ottobre 2016 (2 ore)
Ancora su: se B è un dominio, allora ogni polinomio minimo di α ∈ B algebrico
su F è irriducibile, e F [α] è un campo: legame con la razionalizzazione e i prodotti
notevoli.
Irriducibilità di polinomi di
√ piccolo.
√ grado
Polinomio minimo su Q di 2 e 3 2.
Lezione 9. mercoledí 12 ottobre 2016 (2 ore)
√
√
Il polinomio minimo di 2 + 3 su Q.
Polinomi minimi e estensioni di campi.
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Lezione 10. lunedí 17 ottobre 2016 (2 ore)
√
√
Teorema della radice razionale e ± 2 ± 3 ∈
/ Q.
Formula dei gradi. (Solo enunciato e cenno alla dimostrazione.)
In una estensione di grado finito ogni elemento è algebrico, di grado (del polinomio minimo) che divide il grado dell’estensione.
Lemma di Eisenstein.
Lezione 11. mercoledí 19 ottobre 2016 (2 ore)
Estensioni algebriche.
Lemma di Gauss e conseguenze.
I numeri algebrici formano una estensione algebrica, di grado infinito sui razionali.
Lemma di Eisenstein e polinomio minimo di una radice primitiva p-sima dell’unità , per p primo.
Per un intero n > 0 sono equivalenti:
(1) n è primo,
( e)
n
(2) n divide
per ogni 0 < i < n.
i
Lezione 12. venerdí 21 ottobre 2016 (3 ore)
Prima provetta intermedia.
Lezione 13. lunedí 24 ottobre 2016 (2 ore)
Cambio di variabile in un anello di polinomi.
Campo dei quozienti di un dominio.
L’insieme dei numeri algebrici è numerabile.
Lezione 14. mercoledí 26 ottobre 2016 (2 ore)
Esistenza di una radice di un polinomio in una estensione.
Matrice compagna.
Lezione 15. mercoledí 2 novembre 2016 (2 ore)
Campo di spezzamento di un polinomio. Esistenza, cenno all’unicità.
Caratteristica di un anello con unità. Sottoanello primo: il più piccolo sottoanello A con unità di un anello con unità è isomorfo a Z (e allora si dice che A ha
caratteristica 0) o a Z/nZ (e allora si dice che A ha caratteristica n). Se A ha
caratteristica n > 0, allora na = 0 per ogni a ∈ A.
La caratteristica di un campo E è o 0 (e allora E è estensione di Q) o un numero
primo p (e allora E è estensione di Fp = Z/pZ.
Un campo finito E di caratteristica p > 0 ha ordine pn , ove n = |E : Fp |.
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Lezione 16. lunedí 7 novembre 2016 (2 ore)
Gli elementi di un campo E di ordine pn , ove p è un primo, sono le radici di
x − x ∈ Fp [x].
Derivata formale di un polinomio: proprietà. Radici semplici, radici multiple.
Sia f un polinomio non nullo in F [x], ove F è un campo, e sia L un campo di
spezzamento di f su F . Allora α ∈ L è una radice multipla di f se e solo se α
è radice di gcd(f, f ′ ). In particolare f ha tutte redici semplici (nel suo campo di
spezzamento) se e solo se gcd(f, f ′ ) = 1.
n
Le radici di f = xp − x ∈ Fp [x] sono distinte. Le radici di f in un campo
di spezzamento su Fp formano un campo, dunque un campo con pn elementi.
L’unicità del campo di spezzamento ci garantisce che questo campo è unico (in
qualche senso).
Teorema (senza dimostrazione): Sia E un campo. Sia G un sottogruppo finito
del gruppo nolitplicativo E ∗ . Allora G è ciclico, cioè esiste α ∈ G tale che G = ⟨ α ⟩.
Corollario: Un campo finito di caratteristica p è estensione semplice del campo
Fp . In particolare, in Fp [x] ci sono polinomi irriducibili di qualsiasi grado.
pn
Lezione 17. mercoledí 9 novembre 2016 (2 ore)
Polinomi irriducibili in F[x] nei casi F = Q, R o C.
Polinomi irriducibili di grado 2 su F2 . Costruzione di un campo di ordine 4.
Polinomi minimi su F2 di tutti gli elementi.
Morfismo di Frobenius e radici di un polinomio irriducibile. Le radici di un
i
polinomio f di grado n irriducibile in Fp [x] sono gli elementi αp dove 0 ≤ i ≤ n−1
e α è una radice qualunque di f (senza dimostrazione).
Polinomi irriducibili di grado 2 su F3 . Costruzione di un campo di ordine
9: dipendenza dalla scelta del polinomio irriducibile. Non sempre le radici del
polinomio scelto generano il gruppo moltiplicativo: polinomi primitivi. Polinomi
minimi di tutti gli elementi.
Polinomi irriducibili di grado 3 su F2 . Costruzione di un campo di ordine 8.
Polinomi minimi di tutti gli elementi.
Lezione 18. lunedí 14 novembre 2016 (2 ore)
I polinomi irriducibili di grado 4 su F2 . Costruzione del campo con 24 = 16
elementi. Logaritmo discreto. Polinomi minimi di tutti gli elementi. GF(pm ) ⊆
GF(pn ) se e solo se m | n.
Lezione 19. mercoledí 16 novembre 2016 (2 ore)
Codici a rivelazione e correzione d’errore: il caso delle date.
Codice a ripetizione due e tre volte. Codici lineari. Matrice del codice e matrice
di controllo della parità.
Codice a controllo di parità (inizio).
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Lezione 20. lunedí 21 novembre 2016 (2 ore)
Codice a controllo di parità. Rivelazione e correzione di un errore in termini
della matrice di controllo della parità. Distanza di Hamming.
Lezione 21. mercoledí 23 novembre 2016 (2 ore)
Rivelazione e correzione di un errore in termini della distanza minima.
Codice di Hamming di lunghezza 7 a partire dal polinomio x3 + x + 1.
Lezione 22. venerdí 25 novembre 2016 (3 ore)
Seconda provetta intermedia.
Lezione 23. lunedí 28 novembre 2016 (2 ore)
Il codice di Hamming è ciclico: elenco ragionato degli elementi.
Codice di Hamming di lunghezza 7 a partire dal polinomio x3 + x2 + 1. Legame
col precedente.
Codice di Hamming di lunghezza 15 a partire dal polinomio x4 + x + 1.
Lezione 24. mercoledí 30 novembre 2016 (2 ore)
Secondo teorema di isomorfismo per gruppi ed anelli.
Un’applicazione: la formula m · n = gcd(m, n) · lcm(m, n).
Indici di sottogruppi in Z.
Lezione 25. lunedí 5 dicembre 2016 (2 ore)
Terzo teorema di isomorfismo per gruppi.
Applicazione: sottogruppi di un gruppo ciclico.
Lezione 26. mercoledí 7 dicembre 2016 (2 ore)
Terzo teorema di isomorfismo per anelli.
Divisibilità e ideali principali in un dominio.
Anelli noetheriani.
Un PID è noetheriano.
In un PID, un elemento a ̸= 0, a non una unità, è divisibile per un irriducibile.
Lezione 27. lunedí 12 dicembre 2016 (2 ore)
In un PID, ogni elemento si scrive come prodotto di irriducibili.
In un PID, gli irriducibili sono primi.
Lemma di Gauss e questioni collegate.
Lezione 28. mercoledí 14 dicembre 2016 (2 ore)
Presentazioni relative al codice di Hamming. Piano di Fano.
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Lezione 29. venerdí 23 dicembre 2016 (3 ore)
Terza provetta intermedia.
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Trento, via Sommarive
14, 38123 Trento
E-mail address: [email protected]
URL: http://science.unitn.it/∼caranti/