Borgogni - Istituto Comprensivo Ugento

Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
ISBN 9788896354858
€ 0,00
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
NUMERI INTERI
Una panoramica sui numeri
più semplici e di uso più comune
di
Stefano Borgogni
Copertina: Torcedor solitario di Rodrigo Moraes
https://www.flickr.com/photos/digomoraes/716138129
Matematicamente.it srl
ISBN: 9788896354858
Questo libro è rilasciato con licenza
Creative Commons BY ND
http://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/it/legalcode
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Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
INDICE
Introduzione..................................................................................................................... pag. 3
1 - Curiose tipologie di numeri primi .............................................................................. pag. 5
2 - Successioni e famiglie di numeri interi...................................................................... pag. 13
3 - Numeri figurati........................................................................................................... pag. 30
4 - Funzioni sui numeri interi .......................................................................................... pag. 41
5 - Disposizioni infinite di numeri .................................................................................. pag. 50
6 - Quadrati e altre figure magiche ................................................................................. pag. 59
7 - Basi numeriche non decimali .................................................................................... pag. 78
Conclusioni ..................................................................................................................... pag. 87
Bibliografia e sitografia .................................................................................................. pag. 89
Citazioni: matematici, filosofi, scienziati ....................................................................... pag. 91
Citazioni: tipologie, successioni, famiglie di numeri...................................................... pag. 93
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INTRODUZIONE
“La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei
numeri è la regina della matematica” (C.F. Gauss)
“Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera
dell'uomo” (L. Kronecker)
Proponiamo un semplice esperimento: chiedete a qualcuno di pensare un numero e scriverlo su
un foglio. Potrà essere 1, 3, 10 o magari un numero più grande come 313 - la targa dell’auto di
Paperino - o 1990 (una data di nascita o di matrimonio), ma è estremamente improbabile che si
tratti di 1/3, -3 oppure 2,53.
Insomma, potrete dire con ragionevole certezza che si tratta di un numero intero positivo.
Infatti, gli interi positivi - che utilizziamo per contare (ci sono 8 persone in una stanza) o per
definire un ordinamento (Milano è la 2ª città d’Italia per numero di abitanti) - sono quelli che si
usano maggiormente, se non esclusivamente, nella vita di tutti i giorni, tanto che si può dire che
l’idea di numero sia associata “naturalmente” a quella di numero intero.
Senza soffermarsi sull’argomento, che meriterebbe un’assai più ampia trattazione, citiamo solo
un esempio per segnalare quanto fosse forte tale identificazione fin dall’antichità, ricordando il
trauma psicologico portato nella scuola pitagorica dalla scoperta dell’incommensurabilità tra la
lunghezza del lato del quadrato e quella della sua diagonale, ossia dell’esistenza di quelli che
oggi chiamiamo numeri irrazionali.1
Prima di cominciare la trattazione, però, torniamo indietro di qualche riga, all’avverbio
“naturalmente”, che offre lo spunto per chiarire subito una questione terminologica non
trascurabile, almeno per chi è abituato al rigore matematico: numeri interi o numeri naturali?
Lo studio si occuperà - pur con qualche escursione nel regno del segno meno e “persino” nel
campo frazionario - esclusivamente di interi positivi, ossia dell’insieme N dei numeri naturali.
Per evitare inutili complicazioni, però, anche se la dizione “naturali” sarebbe più precisa conviene adeguarsi all’uso comune e parlare genericamente di “interi”, come fanno di norma
tutti i testi che trattano l’argomento.
Dunque, questo studio intende trattare i numeri interi, cercando di esaminarli da diverse
prospettive e di approfondirne alcune caratteristiche. I numeri potranno essere analizzati
singolarmente, a coppie o gruppi, o ancora in sequenze infinite.
Si parlerà di diversi temi, esaminando in primo luogo varie tipologie di numeri primi, per poi
proseguire con successioni e famiglie di interi, ivi comprese alcune configurazioni di numeri di
tipo geometrico. Successivamente, si prenderanno in considerazione particolari funzioni che si
applicano ai soli interi, per poi allargare il discorso a disposizioni infinite di numeri e a strutture
numeriche in qualche modo “magiche”.
Infine, si concluderà lo studio esplorando brevemente il mondo dei numeri interi espressi in un
sistema numerico diverso da quello decimale.
1
Può valere la pena di ricordare che l’aggettivo “irrazionale” niente ha a che vedere con un’eventuale irragionevolezza di
tali numeri, ma deriva dal latino “ratio”, rapporto; dunque, gli irrazionali sono numeri non esprimibili mediante un
rapporto tra interi.
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In sostanza, come si evince dagli argomenti enunciati, il testo si colloca a cavallo tra la teoria
dei numeri e l’area dei giochi matematici, tra la matematica pura e quella ricreativa.
I diversi temi possono apparire a prima vista slegati tra loro; di fatto, però le connessioni sono
numerosissime e - come si potrà verificare nel corso della lettura - vi saranno costantemente
intrecci e rimandi, talvolta inaspettati, tra un capitolo e l’altro.
Dunque, esiste una sorta di filo rosso che collega le varie parti. Non è, però, necessario leggere
il testo in ordine sequenziale, come un normale libro; al contrario, si può saltare da un punto
all’altro in base alla curiosità suscitata da un determinato tema. O, ancora, utilizzare questo
studio come un dizionario, cercando di volta in volta lo specifico argomento che interessa; a
questo scopo sono stati aggiunti in coda due elenchi che possono agevolare tali ricerche.
Va precisato che il testo non ha né la pretesa di essere esaustivo, né quella di fare qualche
nuova scoperta significativa per il mondo matematico, affrontando un argomento sul quale - nel
corso dei secoli - hanno detto e scritto schiere di matematici, ivi compresi i grandissimi come
Eulero o Gauss. Né, d’altro canto, intende riproporre dati e formule facilmente reperibili in testi
scolastici a diversi livelli di complessità.
Il suo scopo è, più semplicemente, quello di dare un contributo (si spera) originale, soprattutto
per quanto riguarda l’approccio complessivo. Infatti, si intendono trattare i numeri interi
citando solo en passant le loro caratteristiche più note, per concentrare l’attenzione su aspetti
minori se non del tutto sconosciuti fuori dall’ambiente degli “addetti ai lavori”. Inoltre, si
aggiungeranno - ove possibile - curiosità numeriche o giochi matematici, prendendo spunto
dall’argomento trattato in quel momento.
In conclusione, non resta che augurare a tutti buona lettura e buona navigazione nel mare
magnum dei numeri interi.
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1 - CURIOSE TIPOLOGIE DI NUMERI PRIMI
Un testo dedicato ai numeri interi non può che partire dai numeri primi, che costituiscono la
base dell’intera teoria dei numeri e saranno, dunque, i protagonisti di questo capitolo iniziale.
A sottolineare la grande importanza dei numeri primi, per rappresentarli sono state utilizzate nel
tempo varie metafore, spesso legate al concetto di “mattone”. Ossia, un prodotto molto
semplice, apparentemente modesto, ma fondamentale nella costruzione di qualsiasi edificio.
Non a caso i Numeri Primi hanno attirato l’attenzione dei matematici fin dall’antichità e su di
essi, nel corso dei secoli, si sono versati i proverbiali “fiumi di inchiostro”.
Ciononostante, rimane ancora tanto da scoprire. In particolare - com’è noto - è tuttora irrisolto il
problema fondamentale, quello di scoprire una qualche regola in base alla quale i numeri primi
si susseguono.
Non si tratterà, però, questo problema, né si affronterà qualcuna delle altre, numerose questioni
insolute relative ai numeri primi, alle quali si sono dedicati i maggiori esperti di teoria dei
numeri. In linea con l’orizzonte complessivo di questo testo che - come detto - intende
percorrere sentieri poco battuti, si cercherà di portare l’attenzione su alcune curiose e poco
conosciute tipologie di numeri primi.
Per maggiore chiarezza, il capitolo è suddiviso in due parti: la prima riguarda i numeri primi
presi singolarmente; la seconda li considera congiuntamente: a coppie, a terne o a gruppi di 4.
1.1 - NUMERI PRIMI PRESI SINGOLARMENTE
In primo luogo, presentiamo una tabella riepilogativa che descrive le svariate tipologie di
numeri primi prese in esame nel prosieguo del capitolo. Ci soffermeremo, in particolare, sulle
cifre che compongono i numeri stessi.
Per evitare di ripetere più volte le stesse avvertenze, precisiamo fin d’ora che - salvo
indicazione diversa - nella trattazione saranno ignorati i numeri primi minori di 10.
TIPOLOGIE DI NUMERI PRIMI
Nome
Descrizione
Esempio Primi numeri (> 10) della sequenza
Additivi
La somma delle cifre dà un numero primo
47
11-23-29-41-43-47-61-67-83-89-101-113
Disparissimi
Hanno tutte le cifre dispari
97
11-13-17-19-31-37-53-59-71-73-79-97-113
Imirp
Invertendo le cifre danno un altro primo
149
11-13-17-31-37-71-73-79-97-101-107-113
Palindromi
Invertendo le cifre danno lo stesso numero
101
11-101-131-151-181-191-313-353-373-383
Permutabili
Tutti i possibili “anagrammi” sono primi
113
11-13-17-31-37-71-73-79-97-113-131-199
Monocifra
Sono formati da una sola cifra ripetuta
11
11-19 cifre “1”-23 cifre “1”-317 cifre “1”
Numeri Primi Additivi
Cominciamo questa carrellata con i Numeri Primi Additivi, ossia numeri tali che la somma delle
loro cifre è ancora un numero primo, come 47 (4+7=11).
La successione dei primi additivi inizia con: 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89.
In primo luogo, si nota che - a parte il caso particolare di numeri composti solo da due cifre “1”,
come 101 - la somma delle cifre deve essere necessariamente un numero dispari. Da ciò si può
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senz'altro stabilire che, se sono composti da un numero di cifre pari - devono comprendere al
loro interno almeno una cifra pari. Facciamo un paio di esempi: 29 (somma 11) o 1.093
(somma 13).
Al contrario, i primi additivi con numero di cifre dispari devono avere un numero pari di cifre
pari (ad esempio 12.347 che ne ha 2) oppure essere formati esclusivamente da cifre dispari,
come i numeri che stiamo per esaminare.
Numeri Primi "Disparissimi"2
Passiamo, dunque, ai Numeri Primi Disparissimi, ossia numeri formati soltanto da cifre dispari.
I primi dieci disparissimi sono i seguenti: 11, 13, 17, 19, 31, 37, 53, 59, 71, 73.
Dalla definizione stessa si può dedurre che questo insieme presenta intervalli di decine di
numeri - poi di centinaia, poi di migliaia e così via - nei quali non si potrà trovare alcun numero
primo; ad esempio, tra 20 e 30 (10 unità), tra 400 e 500 (100 unità) etc.
Inoltre, in relazione ai primi additivi visti poc’anzi, è evidente che nel caso di numeri con un
numero di cifre pari, le due tipologie sono alternative: se un primo è additivo non potrà essere
disparissimo e viceversa.
Un percorso a imbuto
Vi sono, però, altre tipologie di primi che appaiono senz’altro più interessanti per gli sviluppi
che possono produrre.
In particolare, ne esamineremo alcune che delineano un percorso di successive selezioni, dal
generale al particolare, attraverso il quale si restringe sempre più la quantità di “oggetti”
considerati, fino ad ottenere dei numeri estremamente rarefatti nell’universo degli interi.
Questa sorta di imbuto comprende, nella sua parte più larga, i numeri primi Imirp; seguono poi
i primi permutabili e i primi palindromi e, infine, il percorso si conclude con i primi monocifra.
Le definizioni appena viste saranno meglio spiegate nei singoli paragrafi.
Numeri Primi "Imirp"
I Numeri Primi Imirp traggono il loro strano nome semplicemente dalla parola “Primi” letta al
contrario.3 Si tratta, come si può intuire, di numeri che rimangono primi se si leggono le loro
cifre in ordine inverso: un esempio è il numero 37, dato che anche 73 è primo.
La sequenza dei primi Imirp inizia con: 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 101.
Ovviamente, i numeri di questa tipologia non possono iniziare né con un numero pari, né con 5,
per cui al di sotto di 100 si trova una striscia di 30 numeri (almeno) priva di Imirp, mentre al di
sotto di 1.000 tale striscia è costituita da non meno di 300 unità.
In generale, possiamo dire che nell'insieme dei numeri interi vi sono infiniti intervalli “Imirp
free” di dimensione crescente pari a 3×10k (con k maggiore o uguale a 2).
I numeri primi Imirp sono infiniti? Si ipotizza di sì, ma la questione è tuttora irrisolta. Per non
essere troppo ripetitivi, anticipiamo che ciò vale anche per le tipologie che saranno trattate
successivamente.
2
Traduciamo così il termine inglese “Oddest” con cui questi numeri sono normalmente conosciuti.
Nella letteratura specializzata questi numeri - secondo la dizione inglese - sono chiamati “Emirp”; nella nostra
traduzione utilizziamo il plurale anziché il singolare.
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Numeri Primi Palindromi
Restringiamo ora il campo a un sottoinsieme degli Imirp, considerando i Numeri Primi
Palindromi, ossia i numeri che rimangono identici anche invertendo l’ordine delle cifre che li
compongono. Esempi: 11, 181 e 797.
I primi dieci primi palindromi sono 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383.
Ovviamente, le condizioni affinché un numero primo sia palindromo sono assai più restrittive
rispetto agli Imirp visti in precedenza; la limitazione più significativa è che i primi palindromi
non possono avere un numero pari di cifre, poiché in tal caso sarebbero divisibili per 11.
Dunque, in questo caso le strisce numeriche prive di tali tipi di primi sono molto più ampie di
quanto visto nel paragrafo precedente: vanno, infatti, eliminati tutti i numeri di 4 cifre (da 1.000
a 9.999, ossia 9.000 unità), quelli di 6 cifre (900.000 unità) e così via.
In generale, possiamo osservare infiniti intervalli senza primi palindromi di dimensioni pari almeno - a 9×102k (con k maggiore o uguale a 2).
Numeri Primi Permutabili
A partire dagli Imirp si può costruire anche un altro sottoinsieme (non disgiunto da quello dei
primi palindromi): si tratta dei Numeri Primi Permutabili, ovvero quei numeri per i quali sono
primi anche i numeri ottenibili con tutte le possibili permutazioni. In altre parole, numeri che
restano primi comunque vengano “anagrammate” le loro cifre: ad esempio, 199, 919 e 991.
La sequenza dei primi permutabili comincia con: 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113.
E' evidente come tale vincolo diventi sempre più stringente con l’aumentare delle cifre e, di
conseguenza, delle possibili permutazioni: fino a 100 i primi permutabili coincidono con gli
Imirp, poi - salendo a 3 cifre - calano sensibilmente di numero.
Si potrebbe pensare che questa tendenza continui e, dunque, i primi permutabili oltre 1.000
siano rari, ma non rarissimi. Invece, sorprendentemente - una volta superata questa soglia - per
trovare il successivo numero appartenente al gruppo si deve salire addirittura fino a 19 cifre!
Scopriremo tra poco quale sia esattamente questo numero…
Numeri Primi Monocifra4
Infine, a conclusione di questo processo di selezioni successive, arriviamo all’ultimo stadio: i
Numeri Primi Monocifra, numeri costituiti da una sola cifra ripetuta n volte.
L’unica cifra accettabile per comporre tali numeri è “1”; per esempio, 77.777 non va bene
perché si nota immediatamente che è il prodotto tra 7 e 11.111. Ma c’è di più: detto Mn il
numero composto da n cifre “1”, è facile dimostrare che se n è divisibile per k, allora M n è
divisibile per Mk. Ad esempio, il numero M15 è divisibile per M5:
111.111.111.111.111 = 11.11110.000.100.001.
Dunque, affinché un numero monocifra sia primo è necessario che sia primo anche il suo
numero di cifre “1”, mentre non vale il viceversa: ad esempio, 111 (337) e 11.111 (41271)
sono entrambi composti.
Riportiamo l’elenco dei numeri primi monocifra più piccoli (si fa per dire) indicando, però, non
i numeri nella loro interezza - che sono di dimensioni tali da risultare illeggibili - bensì il
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Anche in questo caso, si possono trovare riferimenti a tali numeri utilizzando la dicitura inglese, che è “Rep-unit”.
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numero di cifre “1” che li compongono. Con questa avvertenza, la sequenza è la seguente: 2,
19, 23, 317, 1.031, 49.081, 86.453, 109.297...
Come si vede, adesso i paletti sono veramente molto stretti, tanto che - dopo 11 - il successivo
primo monocifra è quello formato da 19 cifre “1”.
Ed ecco svelato il piccolo “mistero” del paragrafo precedente: il primo numero primo
permutabile maggiore di 1.000 è esattamente il numero con 19 “1” appena visto. Ma non basta:
da qui in poi pare estremamente probabile (anche se non è stato ancora provato) che la
sequenza dei primi permutabili e quella dei primi monocifra siano esattamente coincidenti.
Uno sguardo d’insieme
Esaurita questa disamina, proviamo a cogliere con uno sguardo d’insieme le tipologie di numeri
esaminate, utilizzando due diverse rappresentazioni.
In primo luogo, proponiamo una figura che - attraverso la classica struttura insiemistica (in
questo caso con l’uso di rettangoli, anziché delle più consuete forme ad ellisse) - mostra le
relazioni di inclusione tra le varie tipologie esaminate.
Permu
tabili
Monocifra
Palindromi
Disparissimi
IMIRP
Additivi
Tutti i primi
Relazione di inclusione tra le varie tipologie di numeri primi
Si è cercato nella figura di dimensionare i rettangoli suppergiù in proporzione alla quantità dei
numeri minori di 100.000 esistenti per ogni tipologia; fanno eccezione i permutabili (Perm.) e i
monocifra (Mon.), che sono sovradimensionati poiché in una rappresentazione strettamente
proporzionale sarebbero risultati del tutto invisibili.
Dunque, la figura ci mostra non solo quali gruppi di primi sono compresi in altri, ma ci offre
anche una prima approssimazione di “quanti” siano i primi che appartengono alle diverse
tipologie.5
5
Trattandosi di insiemi (con ogni probabilità) infiniti, il “quanti” non va inteso letteralmente, bensì come numero di
ricorrenze all’interno di uno stesso intervallo finito di interi; per questo motivo è stato messo tra virgolette.
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Per approfondire questo aspetto, aggiungiamo una tabella - per brevità limitata ai numeri fino a
100.000 - che mostra, per l’appunto, la densità di ciascun gruppo esaminato (in questa tabella si
sono considerati anche i numeri primi minori di 10).
Riguardo al numero “1”, ci atteniamo alla tendenza oggi largamente prevalente, per cui - a
differenza di un tempo - esso non viene considerato primo.
DENSITÀ DELLE DIVERSE TIPOLOGIE DI PRIMI
Fino a 100
Fino a 1.000
Fino a 10.000
N.
%
N.
%
N.
%
N.
%
Tutti
25
25%
168
16,4%
1.229
12,3%
9.592
9,59%
Additivi
14
14%
89
8,9%
590
5,9%
3.883
3,88%
Disparissimi
15
15%
57
5,7%
182
1,8%
790
0,79%
Imirp
13
13%
56
5,6%
260
2,6%
1.759
1,76%
Palindromi
5
5%
20
2,0%
20
0,2%
113
0,11%
Permutabili
13
13%
22
2,2%
22
0,2%
22
0,02%
Monocifra
5
5%
5
0,5%
5
0,05%
5
0,005%
Tipo di primi
Fino a 100.000
Che cosa ci dice questa tabella?
In primo luogo, che finché si resta su piccoli ordini di grandezza vi sono oscillazioni che non
permettono di trarre alcuna conclusione attendibile (ad esempio, inizialmente i primi
permutabili sono più numerosi dei primi palindromi). Dunque, occorre salire almeno fino a
numeri di 5 cifre per farsi un’idea un po’più precisa della numerosità delle diverse tipologie.
Secondariamente, si può notare che alcuni gruppi progrediscono con una certa costanza, mentre
altri procedono “a balzi” assai più irregolari.
Più in particolare, si può dire che:
- i primi Imirp e i primi disparissimi seguono un andamento simile a quello dei numeri primi
in generale, ossia aumentano di numero con una certa gradualità (sulla base di funzioni non
lineari, ma di tipo logaritmico);
- la quantità di primi palindromi aumenta per gli ordini di grandezza dispari (103, 105 etc.) e
poi “si blocca” per gli ordini pari (104, 106 etc.);
- se si fissa un qualsiasi numero N superiore a 1.000, i permutabili compresi nell’intervallo tra
0 e N sono - con ogni probabilità6 - 17 in più rispetto ai monocifra.
Una tabella pitagorica di primi
Concludiamo questa parte con una tabella che esula leggermente dall’argomento fin qui trattato,
ma che può essere utile per visualizzare alcuni numeri composti non immediatamente
identificabili come tali e che - dunque - potrebbero essere erroneamente scambiati per primi.
Si tratta di una tabella costruita sullo stile della ben nota tavola pitagorica, che riporta il
prodotto di due numeri primi minori di 70.
Non si sono considerati i multipli di 2, 3, 5 e 11, che - a differenza degli altri - si possono
scoprire facilmente in base a regole di scomposizione note anche ai ragazzi delle scuole medie.
6
Non possiamo dire “esattamente” poiché - come accennato - la coincidenza tra primi permutabili e primi monocifra
(oltre le 3 cifre) costituisce un’ipotesi fortemente probabile, ma non una certezza assoluta.
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TAVOLA PITAGORICA DEI PRODOTTI DI NUMERI PRIMI
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
7
49
91
119
133
161
203
217
259
287
301
329
371
413
427
469
13
91
169
221
247
299
377
403
481
533
559
611
689
767
793
871
17 119 221
289
323
391
493
527
629
697
731
799
901 1.003 1.037 1.139
19 133 247
323
361
437
551
589
703
779
817
893
1.007 1.121 1.159 1.273
23 161 299
391
437
529
667
713
851
943
989
29 203 377
493
551
667
841
899 1.073 1.189 1.247 1.363 1.537 1.711 1.769 1.943
31 217 403
527
589
713
899
961 1.147 1.271 1.333 1.457 1.643 1.829 1.891 2.077
37 259 481
629
703
851 1.073 1.147 1.369 1.517 1.591 1.739 1.961 2.183 2.257 2.479
41 287 533
697
779
943 1.189 1.271 1.517 1.681 1.763 1.927 2.173 2.419 2.501 2.747
43 301 559
731
817
989 1.247 1.333 1.591 1.763 1.849 2.021 2.279 2.537 2.623 2.881
47 329 611
799
893
1.081 1.363 1.457 1.739 1.927 2.021 2.209 2.491 2.773 2.867 3.149
53 371 689
901
61
67
1.081 1.219 1.357 1.403 1.541
1.007 1.219 1.537 1.643 1.961 2.173 2.279 2.491 2.809 3.127 3.233 3.551
59 413 767 1.003 1.121 1.357 1.711 1.829 2.183 2.419 2.537 2.773 3.127 3.481 3.599 3.953
61 427 793 1.037 1.159 1.403 1.769 1.891 2.257 2.501 2.623 2.867 3.233 3.599 3.721 4.087
67 469 871 1.139 1.273 1.541 1.943 2.077 2.479 2.747 2.881 3.149 3.551 3.953 4.087 4.489
La tabella, naturalmente, è lungi dall'essere esaustiva; mancano, ad esempio, i numeri derivanti
dal prodotto di 3 numeri primi, che potrebbero altrettanto bene "camuffarsi" da primi: ad
esempio 2.261 (7×17×19) oppure 3.857 (7×19×29).
1.2 - NUMERI PRIMI PRESI A COPPIE O A GRUPPI
In questa seconda parte esamineremo i numeri primi considerati non più uno per uno, bensì
congiuntamente: a coppie (il caso più usuale), a terne o a gruppi di quattro.
Si potrebbe anche andare oltre, ma - per brevità - ci limiteremo alla “quaterna” come
raggruppamento massimo di numeri, rimandando ai siti specializzati chi volesse approfondire
ulteriormente l’argomento.
Numeri Primi Gemelli
Il caso più semplice e immediato consiste nel prendere in esame le coppie di numeri più
prossimi; ecco, allora, i Numeri Primi Gemelli, cioè numeri della forma (n, n+2), che “distano”
tra loro soltanto due unità.
Vi sono diversi vincoli per questi numeri. Ad esempio, è stato dimostrato che ogni coppia di
primi gemelli - a parte il caso (3, 5) - deve avere la forma (6k-1, 6k+1), con k intero.
Le prime coppie di primi gemelli superiori a 10 sono: (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59,
61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151).
L'esistenza di infinite coppie di primi gemelli - che prende, per l’appunto, il nome di
“Congettura dei numeri primi gemelli” - è da lungo tempo uno dei grandi problemi aperti della
teoria dei numeri. Senza approfondire ulteriormente il tema, ricordiamo soltanto un importante
risultato ottenuto dal matematico norvegese Viggo Brun, il quale dimostrò nel 1919 che la
somma dei reciproci dei primi gemelli è convergente.
10
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Il valore limite di tale somma è la cosiddetta “Costante di Brun per i numeri primi gemelli”, che
vale all’incirca 1,90216.
Altre coppie di numeri primi
Una naturale estensione dei primi gemelli riguarda le coppie di numeri che distano l’uno
dall’altro 4 o 6 unità.
Per estensione del “grado di parentela”, le coppie (p, p+4) costituiscono i cosiddetti Numeri
Primi Cugini (curiosamente, chi ha coniato queste definizioni si è dimenticato dei fratelli!),
mentre alle coppie (p, p+6) è stata data una denominazione - quella di Numeri Primi Sexy7 totalmente estranea rispetto alle precedenti.
La successione delle coppie di primi cugini inizia con: (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67,
71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131); quella dei primi sexy con: (11, 17),
(13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), (61, 67).
Ricordiamo, en passant, che - analogamente al caso dei primi gemelli - esiste anche una
"Costante per i primi cugini", il cui valore approssimato è 1,19704.
Si ritiene (ma non vi è alcuna dimostrazione in proposito) che sia le coppie di primi cugini, sia
quelle di primi sexy siano infinite. Di più: ampliando il discorso a numeri primi che “distano”
più di 6 unità, va segnalata la cosiddetta Congettura di Polignac, secondo la quale per ogni
numero naturale k esistono infinite coppie di numeri primi che differiscono tra loro di una
quantità 2k.
Terne di numeri primi
Se nella ricerca di numeri primi il più possibile vicini ampliamo il campo, andando oltre la
coppia, possiamo ottenere le Terne di Numeri Primi, raggruppamenti di numeri della forma (p,
p+2, p+6) oppure (p, p+4, p+6).8
Ciò equivale a dire che una terna di primi contiene sicuramente una coppia di primi gemelli (p,
p+2 oppure p+4, p+6), una coppia di primi cugini (p, p+4 oppure p+2, p+6) e, infine, una
coppia di primi sexy (p, p+6).
Lo stesso numero può far parte di due o anche tre terne di primi; per esempio, 103 è membro
dei gruppi (97, 101, 103), (101, 103, 107) e (103, 107, 109). Se ciò avviene, si dice che i numeri
interessati formano una cinquina di primi, raggruppamento che non esamineremo.
Le prime terne di primi maggiori di 10 sono: (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41,
43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113).
Come per le coppie viste poc’anzi (e per le quaterne di cui si parlerà tra poco) , non si sa se le
terne di numeri primi siano o meno infinite.
Quaterne di numeri primi
Completiamo questa breve analisi con le Quaterne di Numeri Primi, ossia le sequenze di 4
numeri primi della forma (p, p+2, p+6, p+8). Una quaterna di primi contiene necessariamente
due coppie di primi gemelli e due terne di primi sovrapposte l’una all’altra.
7
Questi numeri non hanno niente di attraente; più semplicemente, la loro denominazione viene dal latino “sex”, il numero
sei.
8
E’ evidente che - a parte (3, 5, 7) - non può esistere alcuna terna di numeri (n, n+2, n+4), poiché uno di essi sarebbe
sicuramente divisibile per 3.
11
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La sequenza delle quaterne di primi - sempre oltre il numero 10 - comincia con: (11, 13, 17,
19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1.481, 1.483, 1.487,
1.489), (1.871, 1.873, 1.877, 1.879), (2.081, 2.083, 2.087, 2.089), (3.251, 3.253, 3.257, 3.259),
(3.461, 3.463, 3.467, 3.469), (5.651, 5.653, 5.657, 5.659).
Con l'eccezione di (5, 7, 11, 13), tutte le quaterne hanno la forma (30n+11, 30n+13, 30n+17,
30n+19).
Uno sguardo d’insieme
Analogamente a quanto visto nella prima parte, proponiamo una tabella che può dare un’idea
della “numerosità” dei raggruppamenti di numeri primi. Ci limiteremo a considerare i gruppi
che possono essere confrontati tra loro (cioè le 3 coppie), lasciando da parte terne e quaterne.
DENSITÀ DELLE DIVERSE COPPIE DI PRIMI
Fino a 100
Fino a 1.000
Fino a 10.000
Fino a 100.000
N.
%
N.
%
N.
%
N.
%
Gemelli
15
15%
69
6,9%
409
4,1%
2.447
2,45%
Cugini
16
16%
81
8,1%
405
4,1%
2.431
2,43%
Sexy
22
22%
119
11,9%
703
7,0%
4.363
4,36%
Tipologia
A scanso di equivoci, precisiamo che il numero indicato in tabella è relativo alla quantità di
singoli numeri, non alla quantità di coppie.
Detto questo, si può osservare che i “parenti” (primi gemelli e primi cugini) seguono una
medesima progressione: escluse le oscillazioni presenti per gli ordini di grandezza più piccoli,
infatti, a partire dalle 4 cifre la loro percentuale sul totale degli interi è pressoché identica.
I primi sexy, invece, sono notevolmente più numerosi rispetto alle altre due tipologie; inoltre, lo
scarto tende ad aumentare al crescere dell’ordine di grandezza considerato.
12
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2 - SUCCESSIONI E FAMIGLIE DI NUMERI INTERI
Questo capitolo intende trattare alcuni insiemi di numeri interi che, per maggiore chiarezza,
saranno suddivisi in due tipologie: “successioni” e “famiglie”.
Da un lato si prenderanno in considerazione le successioni di interi calcolabili con una formula
precisa (un caso semplicissimo è quello dei numeri pari, che si possono definire in base alla
relazione n=m×2, con m intero); dall’altro, saranno esaminate famiglie di numeri che hanno
determinate proprietà, ma non sono direttamente costruibili tramite una formula. L’esempio più
immediato è quello dei numeri primi, visto che - com’è noto - non esiste alcun modo per
prevedere la loro successione.
Questa bipartizione, peraltro, va intesa come indicazione di massima - utile per agevolare la
lettura - in quanto vi sono casi in cui il confine tra le due tipologie non è così netto.
Nel capitolo saranno esaminati gruppi di numeri di cui, probabilmente, hanno sentito parlare
solo gli “addetti ai lavori” o gli appassionati di matematica (ad esempio, i Numeri di Catalan o
quelli di Achille), insieme ad altri sui quali - al contrario - esiste un’ampia letteratura: è il caso
dei Numeri di Fibonacci o del Fattoriale. Per ogni insieme di numeri saranno messe in evidenza
alcune proprietà curiose o sorprendenti, nonché le possibili varianti sul tema.
Infine, si prenderanno in considerazione altri numeri che non rientrano in senso stretto nelle
tipologie di cui si è detto, in quanto hanno significato se considerati non singolarmente, bensì
come coppie, terne o gruppi ancora più allargati.
2.1 - SUCCESSIONI DI NUMERI INTERI 9
In primo luogo, vediamo una tabella che riporta sinteticamente le caratteristiche principali delle
successioni numeriche che saranno esaminate nel prosieguo del capitolo.
SUCCESSIONI DI NUMERI INTERI
Nome
Descrizione
Primi numeri della serie
Formula
Fattoriale
Prodotto dei primi n interi
1-2-6-24-120-720-5.040
n!= n×(n-1)×(n-2)…
Fattoriale doppio Prodotto di n per il fattoriale doppio di (n-2) 1-2-3-8-15-48-105-384
n!!=n×(n-2)!!
Fattoriale triplo
Prodotto di n per il fattoriale triplo di (n-3) 1-2-3-4-10-18-28-80-162
n!!!=n×(n-3)!!!
Superfattoriale
Prodotto dei primi n fattoriali
Sf(n)=n!×(n-1)!×(n-2)!…
Derangement
Numero di dismutazioni (permutazioni con
0-1-2-9-44-265-1.854
nessun oggetto nell’ordine iniziale)
!n=(n-1)×[!(n-1)+!(n-2)]
di Fibonacci
Somma 2 numeri precedenti (inizio 1-1)
1-1-2-3-5-8-13-21-34-55
Fn=Fn-1+Fn-2
di Lucas
Somma 2 numeri precedenti (inizio 1-3)
1-3-4-7-11-18-29-47-76-123
Ln=Ln-1+Ln-2
Tribonacci
Somma 3 numeri precedenti (inizio 1-1-2)
1-1-2-4-7-13-24-44-81-149
Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3
di Catalan
1-2-5-14-42-132-429-1.430
2×6×…(4n-10) / (n-1)!
di Bell
1-2-5-15-52-203-877-4.140
vedi paragrafo
9
1-2-12-288-34.560
Per approfondire il tema, si può consultare il sito Internet https://oeis.org (OEIS sta per On-line Encyclopedia of Integer
Sequences), che raccoglie le più svariate sequenze di numeri interi. Il sito viene aggiornato costantemente dagli stessi
“internauti” e attualmente - fine anno 2015 - conta quasi 270.000 successioni diverse (molte delle quali, per la verità,
piuttosto cervellotiche).
13
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Fattoriale
Cominciamo con una delle sequenze numeriche più note in assoluto, il Fattoriale, che - com’è
noto - si ottiene moltiplicando successivamente i numeri interi a partire da 1.
Il punto esclamativo, proposto dal matematico alsaziano Christian Kramp nel 1807, è dovuto si dice - alla sorpresa da lui manifestata per la rapidità con cui questi numeri crescono: il
Fattoriale di un numero relativamente piccolo come 15, ad esempio, è già un gigante di 12 cifre,
ossia dell’ordine delle centinaia di miliardi.
Il Fattoriale è legato in particolare al calcolo combinatorio e alla probabilità, campi nei quali
riveste un’importanza fondamentale. Ricordiamo solo le due formule più note che lo
riguardano, rimandando a testi specifici per eventuali approfondimenti:
- il numero di possibili permutazioni di n oggetti è pari a n!
- le possibili scelte di k oggetti su un totale di n (con n, ovviamente, maggiore di k) sono
espresse dal cosiddetto coefficiente binomiale, una formula in cui il Fattoriale la fa da
padrone:
Va aggiunto, però, che il Fattoriale ha anche altre importanti applicazioni; ad esempio, si ritrova
con frequenza nel calcolo infinitesimale. Il caso più significativo riguarda la derivazione delle
funzioni polinomiali: la derivata n-esima di xn vale, per l’appunto, n!
Il numero n! può essere approssimato con la Formula di Stirling, n!=nne-n√2πn, una formula
estremamente interessante, che mette insieme tre operazioni fondamentali (prodotto,
elevamento a potenza, estrazione di radice) e coinvolge i due più importanti numeri
trascendenti, e e π.
Proprietà numeriche e curiosità
La definizione stessa del Fattoriale implica che ogni 5 termini si aggiunga al risultato una cifra
finale “0”, in quanto si moltiplica per un multiplo di 5 e, più volte, per un numero pari. Ciò
consente, dato un numero n!, di risalire con buona approssimazione a n; ad esempio, se il
numero n! ha 6 zeri al fondo, si può dedurre immediatamente che n è compreso tra 30 e 34.
Il Teorema di Wilson,10 afferma che (n-1)!+1 è divisibile per n se e solo se n è un numero
primo. Ad esempio, 6!+1 = 721, che equivale a 103×7.
A parte il caso banale di 1! e 2!, esistono due Fattoriali m! e n! il cui prodotto dia come risultato
ancora un Fattoriale? La risposta è “Sì”; vale, infatti, l’identità 6!×7!=10! Non sono noti altri
prodotti del genere, anche aumentando il numero di fattori moltiplicativi (m!×n!×p! …).
Un altro problema irrisolto è il seguente: sono infiniti i Fattoriali che, aumentati di 1, producono
un quadrato perfetto?11 E’ facile verificare che 4!, 5! e 7! hanno questa proprietà (da essi si
ottengono rispettivamente 25, 121 e 5.041, cioè 52, 112 e 712), ma finora non sono stati trovati
altri numeri del genere, né è stato dimostrato che non ne esistono.
Riguardo a 7! (5.040) - che compare in entrambi i quesiti appena visti - va ricordata anche una
curiosità di tipo “filosofico”: il numero di abitanti immaginato da Platone per la sua città
ideale12 è proprio questo. Si tratta di un numero che - senza essere troppo grande - ha ben 58
10
John Wilson, studente del matematico inglese del ‘700 Edward Waring, in realtà “riscoprì” una proprietà già nota al
filosofo e astronomo arabo Ibn-al-Haytham (più noto come Alhazen), vissuto intorno all'anno 1000.
11
Si tratta del cosiddetto “Problema di Brocard”, dal nome del matematico francese che pose per primo la questione.
12
Platone ne parla nell’opera “La Repubblica” (in greco Πολιτεία, Politéia).
14
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divisori propri e, dunque, si presta ottimamente per suddividere la popolazione in parti uguali
con diversi possibili scopi: tassazione, distribuzione di terre etc.
Varianti del Fattoriale
Tra le possibili varianti, ricordiamo il Fattoriale doppio che - sulla falsariga di quello standard si indica con il doppio punto esclamativo e si costruisce tramite la formula ricorsiva n!! = n×(n2)!!
Da tale formula si evince che il Fattoriale doppio di un numero n equivale al prodotto dei primi
numeri pari o dispari fino allo stesso n: ad esempio, 6!! è dato da 6×4×2 (48), mentre 5!! si
ottiene dal prodotto 5×3×1 (15). Dunque, in questa successione vi è un’alternanza continua di
numeri pari e numeri dispari.
I primi termini della sequenza sono: 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3.840.
Esiste una semplice formula - agevolmente ricavabile a partire dalle definizioni stesse delle due
successioni - che lega tra loro Fattoriale e Fattoriale doppio: n! = n!!×(n-1)!!
Analogamente a quanto visto fin qui, il numero n!!! = n×(n-3)!!! è definito Fattoriale triplo; i
suoi primi termini sono 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280. A parte 3, questa sequenza è
composta esclusivamente da numeri pari poiché in ogni prodotto c’è sempre almeno un fattore
pari.
Nel già citato sito OEIS vengono riportati anche il Fattoriale quadruplo e quello quintuplo, che
si costruiscono alla stesso modo dei precedenti.
Un’altra variante sul tema è il cosiddetto Superfattoriale, definito come il prodotto dei primi n
fattoriali; in sostanza Sf(n) = n!×(n-1)!×(n-2)!… Ad esempio, Sf(4) vale 1×2×6×24, cioè 288.
Com’è facile immaginare, questa successione produce rapidamente numeri enormi; basta
osservare come cresce, anche solo limitandosi ai primi termini: 1, 2, 12, 288, 34.560,
24.883.200…
Numeri Derangement
Capovolgiamo adesso la notazione, passando da n! a !n: quest’ultima, infatti, è la simbologia
normalmente usata per indicare i Numeri Derangement.
Un derangement (o dismutazione) è una permutazione di n oggetti in cui nessuno rimane
nell’ordine naturale. Prendiamo come esempio quello citato dallo statunitense Martin Gardner,
grande divulgatore matematico, in uno dei suoi articoli sulla rivista Scientific American: n
persone che entrano in teatro lasciando nel guardaroba i propri n cappelli, i quali, però, vengono
sistemati alla rinfusa. Si verifica un derangement se all’uscita nessuno riprende il proprio
copricapo.13
Ovviamente, per n=1 il derangement non è possibile, per cui !n=0; vale la pena di sottolineare
questo dato poiché si tratta di uno dei rari casi di successione di interi che non comincia per 1.
I termini successivi sono 1, 2, 9, 44, 265, 1.854, 14.833, 133.496; come si vede, nella sequenza
si alternano costantemente numeri pari e numeri dispari.
Vi sono due formule piuttosto semplici per costruire i Numeri Derangement.
13
A volte viene citato come esempio quello della “segretaria pasticciona”, che infila k lettere in k buste in maniera tale
che nessuna lettera verrà spedita all’indirizzo corretto.
15
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La prima, di tipo ricorsivo, è: !n = (n-1)×(!(n-1)+!(n-2)); l’altra - ancora più immediata - è
[n!/e]. In altre parole, l’n-esimo numero della successione può essere ricavato semplicemente
prendendo l’intero più vicino al rapporto tra n! e il numero e.
La successione fu studiata per la prima volta nel 1708 da Pierre de Montmort; successivamente,
se ne occuparono anche Nicholas Bernoulli, appartenente alla ben nota famiglia di matematici,
e Leonhard Euler (Eulero), che - oltre a portare contributi fondamentali in tutte le branche della
matematica “seria” - ha legato il suo nome anche a moltissime questioni di matematica
ricreativa.
In particolare, il grande matematico di Basilea studiò un’applicazione di questi numeri al
campo della probabilità con il cosiddetto “Jeu du rencontre”: due giocatori A e B voltano
contemporaneamente una a una le carte di due mazzi uguali; se almeno una volta girano la
stessa carta, A vince; se ciò non avviene (cioè se si verifica il derangement) vince B. Quali sono
le probabilità di vittoria dei due giocatori?
Evidentemente, nel caso di due carte la probabilità è del 50% per ciascun giocatore, mentre con
tre carte A vince in un numero di casi pari a 2/3. Questa è la situazione più favorevole al primo
giocatore, che comunque mantiene sempre una maggiore probabilità di vittoria secondo la
formula P(A) = 1-1/2!+1/3!-1/4!±…1/n!
Al crescere di n, tale probabilità tende a 1-1/e, cioè vale all’incirca 0,63; in sostanza, in un
gioco come quello analizzato da Eulero, il giocatore A può aspettarsi di vincere circa 63 volte
su 100. Vale la pena di aggiungere che se anche le carte da girare fossero 1.000 o 100.000, tale
probabilità resterebbe sostanzialmente invariata.
Numeri di Fibonacci
I Numeri di Fibonacci prendono il nome dal più importante matematico europeo del ‘200,
Leonardo da Pisa, detto per l’appunto Fibonacci, cioè “figlio di Bonaccio”.
Commerciando con il padre in diverse zone del Mediterraneo, egli era entrato in contatto con la
cultura matematica araba e fu il primo a promuovere il sistema posizionale arabo-indiano,14
comprendendo i suoi enormi vantaggi rispetto alla numerazione romana ancora in uso in
Europa.
L’opera principale di Leonardo da Pisa, il Liber abaci, è ricca di contributi matematici, ma il
suo nome resta legato a una successione di numeri che compaiono in un indovinello relativo
all’accrescimento di una popolazione di conigli,15 la cui soluzione è data, per l’appunto, da
quelli che oggi chiamiamo numeri di Fibonacci, ossia la successione in cui - partendo dalla
coppia 1-1 - ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
etc.
Curiosamente, il matematico pisano non si soffermò affatto sulle proprietà della “sua”
sequenza, che venne studiata approfonditamente solo nella seconda metà dell’800 dal
14
All’epoca la proposta di Fibonacci non ebbe molto successo. Tra l’altro, si racconta che a Firenze il sistema posizionale
fosse stato rifiutato in quanto … promosso da un pisano!
15
Data una coppia di conigli, si suppone che diventi fertile dopo un mese e dia alla luce una nuova coppia dopo un altro
mese. Considerando che tutte le nuove coppie si comportino allo stesso modo, quante coppie di conigli ci saranno alla
fine di ogni mese?
16
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matematico francese Edouard Lucas:16 fu proprio lui a darle il nome con cui oggi è
universalmente nota.
Per capire quale importanza abbia questa successione nel mondo matematico, basta citare un
dato: negli USA si pubblica da ben 50 anni (il primo numero è del 1963) una rivista trimestrale
denominata The Fibonacci Quarterly, edita dalla “Fibonacci Association” (vedi sito
http://www.mathstat.dal.ca/fibonacci).
Negli ultimi anni i numeri di Fibonacci hanno acquistato notorietà anche presso una vastissima
platea di “non addetti ai lavori”, dopo la pubblicazione del best-seller di Dan Brown, Il codice
da Vinci. Peraltro, molti altri scrittori (e artisti in genere) sono rimasti affascinati da questa
successione numerica; ad esempio, il pittore e scultore Mario Merz inserisce spesso i numeri di
Fibonacci nelle sue opere, come emblema della crescita organica e dell'energia insita nella
materia.17
Ma qual è il motivo del successo di questa sequenza? Probabilmente, esso si deve al contrasto
tra la sua estrema semplicità e l’incredibile quantità di applicazioni che ha, in ambiti talora
insospettabili.
In particolare, i numeri di Fibonacci compaiono ovunque nel mondo vegetale: dai fiori (quasi
tutti hanno 3 o 5 o 8 o 13 o … petali) alle foglie sui rami degli alberi; dalle file di squame degli
ananas agli elementi conici ripetuti del cavolfiore.
Per maggiori dettagli, si rimanda all’ampia letteratura esistente sul tema; ci limitiamo qui a
citare uno dei casi più stupefacenti, quello dei girasoli.
Le infiorescenze al centro di questo fiore sono disposte lungo due insiemi di spirali che girano
in senso orario e antiorario. Di norma vi sono 34 spirali in senso orario e 55 in senso antiorario
oppure 55 e 89; alcune specie giganti hanno rispettivamente 89 e 144 spirali. Ebbene, tutti i
numeri indicati appartengono alla successione di Fibonacci!
Due esempi della presenza dei Numeri di Fibonacci in natura
https://violantely.files.wordpress.com/2010/08/cavolfiore-fib.jpg
http://www.isypedia.com/uploads/7/5/0/5/7505316/8876691.jpg?282
Tornando a un ambito più prettamente matematico, i numeri di Fibonacci compaiono in
problemi come la generazione di numeri casuali o i metodi di approssimazione di massimi e
minimi in alcune funzioni particolari, argomenti che non trattiamo in questa sede.
16
Lucas si occupò anche di matematica ricreativa e fu l’inventore del rompicapo noto come “Torre di Hanoi.
I primi numeri della successione compaiono, tra l’altro, sull’installazione luminosa “Il volo dei numeri”, collocata sulla
Mole Antonelliana di Torino.
17
17
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Proprietà numeriche e curiosità
Il valore dell’n-esimo numero di Fibonacci si può calcolare direttamente, senza bisogno di
conoscere i due precedenti; la formula è: Fn = [φn/√5],18 ossia il rapporto - arrotondato all’intero
più vicino - tra il numero aureo φ elevato a n e la radice di 5.
Una notevole proprietà della successione riguarda il rapporto tra due termini consecutivi, che
tende a (1+√5)/2), ossia al valore dello stesso φ. In particolare, il rapporto Fn/Fn-1 dà un numero
reale che è alternativamente maggiore e minore rispetto al numero aureo, ma si avvicina sempre
più ad esso al crescere di n.
I numeri di Fibonacci possono essere pari o dispari, ma osservano sempre una stessa regola: si
alternano due dispari e un pari, poi altri due dispari e un pari, e così via.
Non si sa se all’interno della successione i numeri primi siano o meno infiniti, ma se un numero
di Fibonacci Fk è primo, anche il suo indice k lo è. Non è vero il contrario: ad esempio, F19 =
4.181, che equivale a 113x37.
A parte 1, l’unico quadrato perfetto è 144, che corrisponde a F12, ossia al dodicesimo numero
della serie; si tratta di una coincidenza notevole: il numero, infatti, equivale esattamente al
quadrato del proprio indice. L’unico cubo perfetto della successione (1 escluso) è 8.
Infine, ecco alcune proprietà numeriche che legano tra loro due o più numeri di Fibonacci:
- Per qualsiasi n, vale la relazione Fn2 = (Fn-1×Fn+1)±1: ad esempio, 82=(5×13)-1.
- Legata alla precedente è anche questa proprietà: dati quattro termini consecutivi A, B, C e
D, si verifica che C2-B2=A×D. Ad esempio, 132-82=105, che equivale a 5×21.
- Fn2+Fn+12 = F2n+1 (ad esempio, F52+F62 = F11, cioè 52+82 = 89).
E tutto questo è solo un esiguo campione delle innumerevoli proprietà numeriche che possiede
la successione di Fibonacci.
Numeri di Lucas
Non è difficile immaginare le possibili varianti ai numeri di Fibonacci: come accennato nel
trucco matematico appena visto, basta partire da una coppia di interi diversa da 1-1 e applicare
successivamente la regola additiva per cui ogni termine è pari alla somma dei due che lo
precedono.
La scelta più naturale è quella della coppia 1-3 (ovviamente, non va bene la coppia 1-2, poiché
in tal caso si ripresenterebbe la normale successione di Fibonacci); operando in tal modo si
ottengono i cosiddetti Numeri di Lucas, che prendono il nome dal già citato matematico
francese che più di ogni altro si è dedicato a questo tipo di sequenze numeriche.
I primi 10 termini della successione sono 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123.
Proprietà numeriche e curiosità
Come per i numeri di Fibonacci, si alternano costantemente due dispari e un pari; si ignora se i
numeri primi siano o meno infiniti.
18
Si tratta di un valore approssimato che deriva dalla cosiddetta “Formula di Binet” (matematico e astronomo francese del
primo ‘800): Fn = φn-(-φ)-n / √5.
18
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Il valore dell’n-esimo numero di Lucas si può calcolare direttamente per mezzo di una formula
estremamente semplice: Ln = [φn].
Il limite del rapporto tra numeri consecutivi della sequenza equivale anche in questo caso al
numero aureo φ, con valori che sono alternativamente maggiori o minori del limite. Ciò vale
per tutte le “successioni di Fibonacci generalizzate”, ossia le sequenza additive che - a partire
da una coppia di interi positivi qualunque - si sviluppano secondo la formula ricorsiva Sn = Sn1+Sn-2.
Se si esclude 1, l’unico numero di Lucas che sia anche un quadrato perfetto è 4, mentre non ci
sono cubi perfetti.
Analogamente a quanto visto per i numeri di Fibonacci, anche per quelli di Lucas esiste una
semplice relazione che collega tre termini consecutivi; la formula è Ln2=(Ln-1×Ln+1)±4: in
sostanza, basta sostituire Fn con Ln e 1 con 4. Una regola simile, cambiando opportunamente la
costante da sommare o da sottrarre, vale per qualsiasi serie additiva.
Infine, facciamo un breve accenno ad alcune delle molteplici relazioni esistenti tra numeri di
Fibonacci e di Lucas.
- Esistono due semplici formule che legano tra di loro i numeri appartenenti alle due
sequenze: la prima è Ln = Fn-1+Fn+1; la seconda Fn×Ln = F2n. Vediamo un esempio per
ciascuna formula: L6=F5+F7 (18=5+13); F4×L4=F8 (3x7=21).
- Le due successioni non hanno alcun numero in comune, ad eccezione dei casi banali 1 e 3.
- Il rapporto tra n-esimo “Lucas” e n-esimo “Fibonacci” (Ln/Fn) tende a √5; anche in questo
caso i valori sono alternativamente maggiori o minori del limite.
Un trucco matematico
Segnaliamo ancora una proprietà, valida per sequenze additive qualsiasi, che ben si presta per
realizzare un bel trucco matematico, semplice ma di notevole effetto.
La proprietà è la seguente: la sommatoria dei primi n termini di una generica sequenza additiva
è pari a Sn-S2, ossia equivale alla differenza tra l’ultimo e il secondo. Ad esempio, prendendo i
primi 7 numeri di Fibonacci si ha: 1+1+2+3+5+8+13 = 33, ovvero F9-1. La regola, ovviamente,
continua a valere anche iniziando con un qualsiasi termine della successione.
A partire da queste considerazioni, ecco il trucco di cui si diceva: fate scegliere a qualcuno due
numeri interi e ditegli di costruire una sequenza di 8-10 valori applicando la regola dei numeri
di Fibonacci, e di scriverli in colonna su un foglio. Tirate una riga lasciando due numeri sotto la
riga stessa; ora potete stupire tutti calcolando “al volo” la somma di tutti i numeri al di sopra
della riga: essa è pari all’ultimo numero scritto meno il secondo. Provare per credere!
Numeri “Tribonacci” e “Tetranacci”
Per concludere questo excursus sulle successioni additive, citiamo ancora quelli che - per
assonanza con la sequenza standard - sono stati denominati Numeri “Tribonacci”19, ossia i
numeri che si costruiscono sommando ogni volta tre termini successivi anziché due.
La successione inizia con 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 125, e si alternano costantemente due
numeri pari e due dispari.
19
Questo nome si deve a Mark Feinberg, precoce matematico statunitense che nel 1963 - a soli 14 anni - pubblicò un
articolo in proposito sul Fibonacci Quarterly. Feinberg morì poco tempo dopo in un incidente stradale.
19
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Al crescere di n, il rapporto TRn+1/TRn tende alla radice reale compresa tra 1 e 2 del polinomio
x3-x2-x-1 (1,83929…). Non è un caso; al contrario, una regola simile vale per tutte le
successioni additive costruite a partire dalla coppia 1-1, compresa quella di Fibonacci: il
numero , infatti, non è altro che la radice positiva del polinomio x2-x-1.
Analogamente, sono stati definiti Numeri “Tetranacci” i numeri pari alla somma dei precedenti
quattro interi; la loro successione comincia con 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208. Senza
approfondire più di tanto, segnaliamo che - com’è facilmente immaginabile da quanto visto in
precedenza - il rapporto TEn+1/TEn tende a un valore (1,92756…) che corrisponde a una radice
del polinomio x4-x3-x2-x-1.
L’elenco potrebbe continuare con i “Pentanacci”, gli “Esanacci” etc., sui quali non ci
soffermiamo, rimandando chi volesse saperne di più al già citato sito OEIS; ci limitiamo a far
rilevare che, al crescere di n, il rapporto tra due “N-nacci” consecutivi si avvicina sempre più al
valore-limite 2.
Numeri di Catalan
Chi non abbia mai sentito parlare di questi numeri, leggendo “Catalan Numbers” nella dizione
inglese potrebbe ragionevolmente pensare che essi siano legati in qualche modo alla Catalogna.
Niente di tutto ciò: questi numeri non hanno nulla a che fare con Barcellona e dintorni, ma
prendono il nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan, che li studiò nel XIX secolo.
In realtà, come per i numeri di Fibonacci, non vi è corrispondenza tra il nome della successione
e quello del suo scopritore: in questo caso, il primo in Europa20 a occuparsene fu il già citato
Eulero.
Numero di modi in cui un esagono convesso può essere scomposto in triangoli
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Catalan-Hexagons-example.svg
Partendo dalla domanda “In quanti modi diversi si può dividere un poligono convesso in
triangoli, tracciando diagonali che non si intersecano?”, egli scoprì - per l’appunto - la sequenza
che stiamo esaminando: la risposta al quesito, infatti, è data dall’n-esimo numero di Catalan,
con n equivalente al numero di lati del poligono meno due. Ad esempio, il numero di modi
diversi in cui si può dividere un esagono con le regole sopra descritte è 14, cioè C4, il quarto
numero della successione.
Eulero elaborò anche una formula generale per calcolare i termini di questa successione:
2×6×…(4n-10)/(n-1)!, con n intero positivo e maggiore di due.
I primi Numeri di Catalan sono: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1.430, 4.862, 16.796.
20
Va specificato “in Europa” poiché questa successione era già stata scoperta e utilizzata alcuni anni prima in Cina (nel
1730) dal matematico e astronomo mongolo Minggatu.
20
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Una interessante proprietà di questi numeri è che sono tutti pari, tranne quelli di posizione 2n-1
(ossia quelli di posto 1, 3, 7, 15 etc.). In altre parole, si può dire che in questa successione vi
sono sequenze sempre più lunghe di numeri pari intervallate da un solo numero dispari.
I numeri di Catalan hanno - come quelli di Fibonacci - la tendenza a comparire
inaspettatamente in svariate situazioni, come nell’esempio sopra citato; il loro campo
d’applicazione è, però, assai più ristretto, limitandosi sostanzialmente al calcolo combinatorio.
Tra gli svariati problemi la cui soluzione è data dai numeri di Catalan, ne citiamo ancora due;
Cn è il numero di modi diversi in cui è possibile:
- inserire n coppie di parentesi in un prodotto di n+1 fattori; ecco l’esempio per n=3:
- tagliare una forma a scalinata di altezza n con n rettangoli (nella figura n vale 4):
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Catalan_stairsteps_4.svg
Infine, segnaliamo un collegamento tra i numeri di Catalan e la teoria dei grafi: Cn è il numero
di alberi planari trivalenti (cioè tali che in ogni biforcazione confluiscono esattamente tre linee)
e che hanno uno e un solo tronco uscente dalla radice.
Numeri di Bell
Molto simili ai numeri di Catalan - ma da non confondere con essi - sono i Numeri di Bell,
definiti come le possibili partizioni di un insieme di n elementi, cioè il numero di modi in cui
questo insieme può essere ottenuto come unione disgiunta di suoi sottoinsiemi non vuoti.
Un esempio può chiarire meglio il concetto: B3 = 5 in quanto per un insieme di tre elementi
{a,b,c} esistono cinque differenti modi di dividerlo in sottoinsiemi non vuoti: {a},{b},{c} /
{a,b},{c} / {a,c},{b} / {a},{b,c} / {a,b,c}.
La questione si può porre in altri termini: se ho n oggetti, in quanti modi diversi posso disporli
in n scatole non distinguibili tra di loro? Evidentemente, nel caso di 1 oggetto e 1 scatola esiste
1 sola possibile disposizione; per n=2 le possibilità sono 2 (entrambi gli oggetti in una scatola
oppure 1 oggetto in ciascuna scatola); per n=3 il risultato è 5 e così via.
La successione di Bell comincia con i seguenti numeri: 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4.140, 21.147,
115.975. Si può notare che - dopo 1 e 2 - la successione prevede costantemente due numeri
dispari, poi uno pari, poi altri due dispari e così via.
Esistono sia una formula di tipo ricorsivo, sia una che permette di calcolare direttamente l’nesimo numero di Bell, ma sono entrambe alquanto complicate; c’è, invece, un modo molto
semplice per costruire questa sequenza, utilizzando il cosiddetto “Triangolo di Bell” (o
“Matrice di Aitken”).21
Concludiamo il paragrafo con una notevole applicazione di questa sequenza: data una poesia di
n versi, i numeri di Bell indicano il numero dei possibili schemi differenti di rima. Ad esempio,
21
Questo triangolo sarà descritto dettagliatamente nel Capitolo 5, dedicato alle disposizioni infinite di numeri.
21
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una quartina offre 15 possibilità: aaaa, aaab, aaba, abaa, baaa, aabb, abab, abba, aabc, abac,
abca, abbc, abcb, abcc, abcd.
Salendo nel numero di versi, le possibili rime differenti aumentano in maniera vertiginosa: se
esaminassimo un poema di 14 versi (la misura del sonetto, la forma poetica più classica della
nostra tradizione letteraria), scopriremmo che esistono ben 190.899.322 schemi diversi di rima!
2.2 - FAMIGLIE DI NUMERI INTERI
In questa seconda parte del capitolo passiamo ad esaminare alcune famiglie di interi per le quali
- a differenza delle successioni viste finora - non esiste una formula certa che permette di
calcolare i numeri che ne fanno parte.
Va precisato che questo elenco è lungi dall’essere completo, poiché esistono innumerevoli altre
famiglie, che - come quelle della tabella - prendono il nome dal loro scopritore oppure sono
state ribattezzate con aggettivi più o meno fantasiosi.22
Per brevità, nel testo si opererà un’ulteriore sintesi, tralasciando alcune delle famiglie indicate
in tabella.
FAMIGLIE DI NUMERI INTERI
Nome
Descrizione
Esempio
Primi numeri del gruppo
Perfetti
Uguali alla somma dei propri divisori
28
6-28-496-8.128
Potenti (Powerful)
Divisibili per un primo p e per p2
27
1-4-8-9-16-25-27-32-36
di Achille
Potenti che non sono potenze perfette
72 (32x23)
72-108-200-288-392-432
Ciclici
Moltiplicati per 1,2… danno le stesse cifre in
ordine ciclico
142.857
142.857
Automorfi
Le potenze terminano tutte con n
762=5.776
0-1-5-6-25-76-376-625
di Armstrong
Pari alla somma delle k cifre elevate a k
153 (13+53+33)
1-2-3…9-153-370-371
Conservativi
Dividono esattamente il proprio inverso
8.712 / 2.178=4
8.712-9.801-87.91298.901
Dattaraya
Il quadrato si può separare in quadrati
132=169 (16,9)
7,10,13,20,30,1.602
Numeri Perfetti
I Numeri Perfetti sono numeri equivalenti alla somma dei loro divisori propri, 1 compreso.
Si tratta di una delle famiglie di interi più conosciute in assoluto; i numeri perfetti, infatti,
furono studiati sin dall’antichità. Un teorema enunciato da Pitagora (e dimostrato poi da
Euclide) afferma che se 2n-1 è un numero primo, allora m=2n-1×(2n-1) è un numero perfetto;
successivamente, il “solito” Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono
necessariamente avere tale forma.
Ma i numeri esprimibili come 2n-1 con n primo sono i ben noti Numeri primi di Mersenne (dal
nome del frate francese del ‘600 Marin Mersenne), per cui si può dire che ciascuno di essi dà
certamente origine a un numero perfetto. Al momento, si conoscono 48 numeri primi di
Mersenne e, di conseguenza, 48 numeri perfetti; il più grande tra questi è formato da quasi 35
milioni di cifre.
22
Citiamo, a titolo di esempio, le seguenti famiglie: numeri di Genocchi, numeri di Leonardo, numeri di Keith, numeri
fortunati, numeri felici, numeri pratici, numeri intoccabili. Come si vede, ce n’è per tutti i gusti!
22
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L’elenco dei primi cinque numeri di questo gruppo è il seguente: 6, 28, 496, 8.128 e
35.550.336.
Tra le altre proprietà dei numeri perfetti, ricordiamo che sono anche triangolari,23 visto che si
possono scrivere nella forma k×(k+1)/2, che è appunto la formula del k-esimo numero
triangolare.
Inoltre, è facile dimostrare che tutti i numeri perfetti pari terminano per 6 o per 8. Infatti, dalla
formula stessa si ricava che 2n-1 è pari e termina con le cifre 2, 4, 8, 6, mentre 2n-1 è dispari e
termina rispettivamente per 3, 7, 5, 1 (ma 5 va scartato poiché cadrebbe l'ipotesi di primalità). A
questo punto le coppie possibili sono 2-3, 4-7 e 6-1, che danno come prodotto 6 o 8.
Restano tuttora aperte due questioni:
 i numeri perfetti sono infiniti?
 esistono numeri perfetti dispari?
Sulla base dei risultati trovati finora, si ipotizzano rispettivamente un sì e un no alle due
domande (cioè, i numeri perfetti sarebbero infiniti e non ne esisterebbero di dispari)24, ma
nessuna delle due congetture è stata ancora dimostrata.
Numeri multiperfetti
Se includiamo tra i divisori di un numero n anche n stesso, i numeri perfetti si possono definire
come quelli “equivalenti a 2 volte la somma dei propri divisori”, una definizione che è evidentemente - del tutto identica a quella vista in precedenza, ma che dà lo spunto per
introdurre una nuova tipologia di numeri.
Infatti, se si sostituisce 2 con un altro intero k (cioè se si considerano i numeri pari a k volte la
somma dei propri divisori) ecco comparire i Numeri Multiperfetti.
Lasciando da parte il caso banale k=1 (in tal caso solo il numero 1 soddisfa i requisiti richiesti),
otteniamo in successione i 3-perfetti, i 4-perfetti e così via. Ad esempio, 120 è un numero 3perfetto, poiché la somma dei suoi divisori (120 compreso) vale 360.
L’interesse per i numeri multiperfetti nacque in Francia nel XVII secolo, quando si scatenò una
vera e propria gara - che coinvolse i massimi matematici d’oltralpe, come Mersenne, Cartesio e
Fermat -per trovarne di nuovi e di ordini sempre maggiori. A metà del ‘600 l’elenco
comprendeva già 7 numeri 7-perfetti; un risultato notevolissimo considerati gli strumenti di
calcolo dell’epoca.
Oggi si conoscono 5.311 numeri multiperfetti, sino all’ordine k=11. Non sembra esserci un
limite al valore di k, ma l’analisi di questi numeri è tutt’altro che semplice, in quanto le loro
dimensioni aumentano in maniera impressionante: l’unico 11-perfetto al momento conosciuto
ha addirittura 1.907 cifre!
Si ritiene che i numeri multiperfetti siano infiniti, ma in numero finito per ciascun ordine k,
eccezion fatta per k=2 (cioè per i numeri perfetti “normali” che - come detto in precedenza dovrebbero essere infiniti).
Concludiamo la trattazione del tema con una tabella che riporta le informazioni essenziali sui
numeri multiperfetti finora conosciuti.
23
24
Si veda in proposito il Capitolo 3, interamente dedicato alle varie tipologie di numeri figurati.
Il già citato Catalan ha dimostrato che se esistono numeri perfetti dispari, essi devono avere più di 45 cifre.
23
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NUMERI MULTIPERFETTI
k
Numeri noti
N. cifre del minore
Elenco
1
1
1
1
2
48
1
6 - 28 - 496 - 8.128 - 33.550.336 …
3
6
3
120 - 672 - 523.776 - 459.818.240 - 1.476.304.896 …
4
36
5
30.240 - 32.760 - 2.178.540 - 23.569.920 - 45.532.800 …
5
65
11
14.182.439.040 - 31.998.395.520 - 518.666.803.200 …
6
245
21
154.345.556.085.770.649.600 ...
7
516
57
…
8
1.134
162
…
9
2.095
466
…
10
1.164
924
…
11
1
1.907
…
Altre varianti
Un’altra variante - che citiamo velocemente senza soffermarci più di tanto su di essa - si ha
sostituendo l’addizione con la moltiplicazione. In tal modo si ottengono i Numeri Perfetti di 2°
specie, numeri equivalenti al prodotto dei loro divisori propri.
E’ stato dimostrato (Teorema di Lionnet) che possono appartenere a questo gruppo soltanto i
prodotti di due numeri primi distinti - ad esempio 14, i cui divisori sono 1, 2 e 7 - oppure i cubi
dei numeri primi, come 27, i cui divisori sono 1, 3 e 9.
Dunque, l’elenco di tali numeri comincia con: 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33…
Numeri Potenti e Numeri di Achille
I Numeri Potenti (o Powerful) sono interi positivi tali che se sono divisibili per un numero
primo p, lo sono anche per p2. Una definizione equivalente - e assai più semplice - è la
seguente: un numero potente è il prodotto di un quadrato per un cubo, ovvero ha la forma a2×b3,
dove a e b sono interi positivi, eventualmente uguali a 1.
Ovviamente, tutte le potenze, di qualsiasi ordine, possono essere espresse nella forma suddetta,
per cui rientrano automaticamente nella famiglia dei numeri potenti: ad esempio, a7=(a2)2×a3
oppure a10=(a5)2×13.
Per questo motivo risulta, indubbiamente, più interessante un sottoinsieme dei potenti, quello
composto dai numeri che rispettano la regola generale ma NON costituiscono una potenza
perfetta: si tratta dei cosiddetti Numeri di Achille.25
E’ facile dedurre che questi numeri si possono costruire moltiplicando tra loro un quadrato (m 2)
e un cubo (n3) purché m ed n siano primi tra loro; i tre numeri più piccoli di questa famiglia
sono 72 (23×32), 108 (22×33) e 200 (52×23), poi la sequenza prosegue con 288, 392, 432, 500,
648, 675, 800.
Infine, una curiosità: per trovare la più piccola coppia di interi consecutivi che sono anche
numeri di Achille bisogna salire oltre il miliardo: i due numeri sono rispettivamente
5.425.069.447 (pari a 73×412×972) e 5.425.069.448 (23×26.0412).
25
Il curioso nome di questi numeri deriva, per l’appunto, da quello dell’eroe omerico, guerriero potente ma “imperfetto”,
a causa del suo proverbiale tallone.
24
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Numeri Ciclici
I Numeri Ciclici sono interi di n cifre con una particolare proprietà: se li si moltiplica per ogni
valore da 1 a n, il prodotto è composto dalle stesse cifre del numero originale e queste si
succedono nel medesimo ordine.
Il concetto è più chiaro con un esempio: il più piccolo numero ciclico è 142.857, che moltiplicato rispettivamente per 2, 3…6 - dà 285.714, 428.571 … 857.142. Un’altra proprietà è
che se si moltiplica il numero per n+1, si ottiene una serie di tutti “9”: 142.857×7 = 999.999.
La “magia” del numero 142.857 è nota da secoli e i matematici di diverse epoche si sono posti
la domanda: “Esistono altri numeri con le medesime caratteristiche?” La risposta è affermativa.
All’inizio del secolo scorso, lo statunitense Leonard Dickson mise in evidenza che tutti i numeri
ciclici costituiscono il periodo delle cifre decimali derivanti dai reciproci di alcuni numeri
primi. In generale, vale la regola seguente: se 1/p (con p intero e primo) produce una sequenza
di cifre decimali con un periodo di p-1 cifre, allora tale periodo costituisce un numero ciclico.
Ad esempio, 142.857, numero di 6 cifre, è esattamente il periodo di 1/7 (1/7 =
0,142857142857…).
Il successivo numero primo che produce un numero ciclico è 17; il rapporto tra 1 e 17, infatti,
dà un risultato che ha come periodo un numero di 16 cifre, 0588235294117647. Chi - novello
San Tommaso - non si fidasse, può fare la verifica moltiplicando tale numero per 2, 3…16.
E’ evidente che, a parte 142.857, qualsiasi numero ciclico deve cominciare con uno o più zeri:
in particolare, all’inizio ci sarà uno zero se il numero primo generatore è di due cifre, ci saranno
due zeri se il generatore ha tre cifre e così via.
I primi inferiori a 100 che producono numeri ciclici sono nove: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97.
Non si conosce alcuna formula che consenta di identificare i generatori di un numero ciclico;
egualmente, non è ancora stato accertato se esistono o meno infiniti numeri ciclici.
Tale ipotesi, però, è molto probabile: è stato verificato che la percentuale di primi generatori
tende a mantenersi costante, intorno al valore di 3/8. In altre parole, ci si può attendere che
esaminando 8.000, 80.000, 800.000 numeri primi consecutivi se ne trovino all’incirca 3.000,
30.000, 300.000 che soddisfano alle regole necessarie per produrre un numero ciclico.
I numeri ciclici hanno altre curiose proprietà; in particolare, si possono sempre ottenere con
infinite addizioni successive. Ad esempio, il numero 142.857 può essere ricavato
semplicemente sommando i successivi multipli di 14 in questo modo:
1 4
2 8
5 6
1 1 2
2 2 4
4 4 8
. . . .
------------------------------1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 . . .
Utilizzando altri coefficienti, si possono ricavare allo stesso modo gli altri numeri ciclici.
Infine, riportiamo una notevole proprietà del numero ciclico generato da 1/19.
25
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Scrivendo in forma di matrice quadrata 18x18 le cifre dei successivi rapporti 1/19, 2/19 …
18/19, si ottiene un quadrato magico26 in cui è costante non solo la somma su righe e colonne
(ciò è vero per qualsiasi primo generatore di un ciclico), ma anche sulle due diagonali
principali. Tale “costante magica” vale 81.
Numeri Automorfi
Si definiscono Numeri Automorfi gli interi tali che tutte le loro potenze terminano con il numero
iniziale. Ad esempio, 25 fa parte di questa famiglia, dato che le sue successive potenze sono
625, 15.625, 390.625 etc.
Basta dare un’occhiata alle tabelline delle scuole elementari per rendersi conto che solo i
numeri che finiscono per 0, 1, 5 o 6 possono rientrare in questo gruppo, ma le prime due
tipologie si possono escludere (a parte i casi banali n=0 e n=1). Inoltre, una volta raggiunta la
“doppia cifra”, devono terminare necessariamente per 25 oppure per 76.
I numeri automorfi si possono costruire con un procedimento estremamente semplice,
utilizzando un’opportuna sequenza numerica. Per numeri fino all’ordine dei miliardi, tale
sequenza è 8212890625: basta prendere le ultime n cifre e calcolare il complemento di tale
numero alla successiva potenza di 10 aumentata di 1; entrambi i numeri trovati sono automorfi.
Conviene riportare un paio di esempi: con 3 cifre si ricavano 625 e 376 (pari a 1.001-625);
prendendo le ultime 5 cifre, invece, si ottengono 90.625 e 9.376 (100.001-90.625).
La sequenza sopra indicata costituisce soltanto la parte terminale di una stringa numerica che si
può prolungare indefinitamente ottenendo, con lo stesso procedimento, numeri sempre più
grandi. Esistono, infatti, infinite coppie di numeri automorfi, ognuna delle quali dà come
somma una potenza di 10 aumentata di 1: 1 (0+1), 11(5+6), 101 (25+76), 1.001 (376+625) e
così via.
26
Il tema dei quadrati magici (e di altre figure magiche) sarà trattato diffusamente nel Capitolo 6.
26
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2.3 - COPPIE, TERNE, GRUPPI DI NUMERI
Fin qui si sono esaminate successioni e famiglie di numeri interi nelle quali i numeri stessi
erano considerati singolarmente, uno a uno. In quest’ultimo paragrafo, invece, si intende
trattare il caso in cui i numeri sono da esaminarsi a coppie, a terne o a gruppi ancora più ampi.
COPPIE, TERNE, GRUPPI DI NUMERI INTERI
Nome
Descrizione
Esempio
Amichevoli
Coppie di numeri in cui ciascuno è la
somma dei divisori dell'altro
220,284
Socievoli
“Catena” di numeri amichevoli
Fidanzati
Coppie di numeri in cui ciascuno è la
140,195
somma dei divisori dell'altro, escluso 1
Terne pitagoriche Misure dei lati di un triangolo
(in generale)
rettangolo
6,8,10
Terne pitagoriche Terne pitagoriche formate da numeri
primitive
privi di divisori comuni
5,12,13
Prime coppie/gruppi
220,284 - 1184,1210 2620,2924
12496,14288,15472,
14536, 14264
48,75 - 140,195 1050,1925
Formula
NO
NO
NO
m2-n2 / 2mn / m2+n2
3,4,5 - 5,12,13 - 6,8,10 (m>n>0 e m,n primi
8,15,17 - 9,12,15
tra loro)
3,4,5 - 5,12,13 - 8,15,17
NO
- 7,24,25 - 20,21,29
Numeri Amichevoli, Socievoli, Fidanzati
Queste tre tipologie di numeri sono strettamente legate ai numeri perfetti, di cui si è parlato in
precedenza; vengono trattate in questo paragrafo poiché rientrano nel caso delle coppie o gruppi
di numeri da considerare congiuntamente.
Numeri Amichevoli
Cominciamo con i Numeri Amichevoli, talora denominati anche “Amicabili”, dall’inglese
“Amicable numbers”. Si tratta delle coppie di numeri tali che la somma dei divisori dell’uno è
uguale all’altro e viceversa.
La più piccola coppia di numeri amichevoli è 220-284, infatti la somma dei divisori di 220 (1,
2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110) è 284 e la somma dei divisori di 284 (1, 2, 4, 71, 142) vale
220; seguono: 1.184-1.210; 2.620-2.924; 5.020-5.564; 6.232-6.368.
Sono stati scoperti finora quasi 37 milioni di coppie di numeri amichevoli.
Vale la pena di segnalare che già nel IX secolo un matematico arabo, Thabit ibn Qurra, scoprì
un metodo per trovare coppie di numeri amichevoli: dato n intero positivo, se i numeri
p = (3x2n-1) - 1
q = (3x2n ) - 1
r = (9x22n-1) - 1
sono tre primi dispari,27 allora 2npq e 2nr costituiscono una coppia di numeri amichevoli.
Ad esempio, ponendo n=3 si ricavano i valori p=11; q=23; r=287, dai quali discende la coppia
di “amici” 2.024-2.296.
Considerando gli strumenti dell’epoca e le dimensioni dei numeri così ricavabili (con n=6 si
arriva già all’ordine dei milioni, 1.161.280 e 1.179.584), si tratta di una scoperta veramente
27
La precisazione che siano dispari è necessaria per il caso n=1, da cui si ottengono i numeri p=2; q=5; r=17 (primi, ma
non tutti dispari), che danno origine alla coppia “non amichevole” 20-34.
27
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rimarchevole. Peraltro - misteri della matematica - tale formula è pressoché sconosciuta, così
come il suo scopritore.
Non si sa se esistano o meno infinite coppie di numeri amichevoli; la stessa cosa si può dire per
le due tipologie che seguono.
Numeri Socievoli
Un’estensione immediata dei numeri amichevoli - ottenuta passando dalla coppia a insiemi più
ampi - è data dai Numeri Socievoli, gruppi di numeri che formano una catena di relazioni tale
per cui il primo è pari alla somma dei divisori del secondo, il secondo è pari alla somma dei
divisori del terzo e così via fino all’ultimo, che chiude il cerchio.
Un ciclo di questo genere è il seguente: 12.496-14.288-15.472-14.536-14.264; fu scoperto nel
1918 ed è anche quello con i numeri socievoli più piccoli.
Ovviamente, il gruppo può anche essere costituito da molti numeri diversi; la “catena” più
lunga conosciuta finora (scoperta nel 2006) conta ben 54 numeri. Per contro, non è stata ancora
trovata una terna di numeri socievoli, per cui 4 rimane al momento il valore minimo per quello
che si potrebbe ribattezzare “indice di socievolezza”.
I numeri socievoli sembrano essere assai più rari rispetto a quelli amichevoli: si conoscono
soltanto 152 gruppi di questo tipo.
Numeri Fidanzati
Infine, applicando la stessa regola dei numeri amichevoli visti poc’anzi, ma non considerando
l’1 nella somma dei divisori, si ottengono i Numeri Fidanzati.
Un esempio è costituito da 140 e 195, dato che la somma dei divisori di 140 (2, 4, 5, 7, 10, 14,
20, 28, 35, 70) vale 195 e la somma dei divisori di 195 (3, 5, 13, 15, 39, 65) corrisponde a 140.
La prima coppia di fidanzati è formata dai numeri 48 e 75 (chiamati anche “promessi sposi”);
seguono 140-195; 1.050-1.575; 1.648-1.925; 2.024-2.295.
Il curioso appellativo dato a questi numeri si deve al fatto che Pitagora distingueva i pari come
femminili e i dispari come maschili, e - per l’appunto - due numeri fidanzati sono sempre uno
pari e l'altro dispari. Al contrario, le coppie di numeri amichevoli e le catene di numeri
socievoli sono sempre formate da numeri o tutti pari o tutti dispari.
Ricordate il film “Harry ti presento Sally”? Sembra che anche nell’ambito matematico venga
sancita l’impossibilità di un’amicizia tra esseri (in questa caso numeri) di sesso maschile e di
sesso femminile!
Terne pitagoriche
Infine, concludiamo questa parte trattando il caso più significativo e ricco di applicazioni
matematiche: le Terne pitagoriche, ossia i gruppi di tre interi che possono rappresentare le
misure di un triangolo rettangolo; la più semplice e nota di queste terne è costituita dai numeri
3, 4 e 5.
28
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Come ben sanno i geometri, spesso questa terna è stata utilizzata in passato - in mancanza degli
strumenti di rilevazione attuali - per tracciare angoli retti con assoluta precisione, ad esempio
per costruire le fondazioni di un edificio.28
Ovviamente, se esiste una terna pitagorica, ne devono esistere infinite, in quanto basta
moltiplicare i tre numeri per una stessa costante ottenendo un nuovo triangolo rettangolo simile
a quello originale. Se si esclude questa possibilità (ossia, se si considerano solo terne in cui non
esistono divisori comuni ai tre numeri), si ottengono le cosiddette Terne pitagoriche primitive.
E’ noto fin dall’antichità che anche queste sono infinite, anzi nei celeberrimi “Elementi” di
Euclide esiste una formula che consente di costruirle: dette A e B le misure dei cateti del
triangolo, e C quella dell’ipotenusa, valgono le relazioni A=m2-n2 / B=2mn / C=m2+n2 (con m,
n interi e tali che m>n>0). Dato che esistono infinite possibili scelte per m e n, ne discende che
le terne pitagoriche primitive sono anch’esse infinite.
Quello appena visto non è il solo sistema per “produrre” terne pitagoriche; al contrario, esistono
molte formule in proposito.29 Senza soffermarci ulteriormente sull’argomento, ne citiamo una a
titolo di esempio: A=4m(m+n-1)-(2n-1) / B=2n(2m+n-1) / C=2n(2m+n-1)+(2m-1)2.
Caratteristiche e curiosità relative alle terne pitagoriche
Tutte le terne pitagoriche - primitive e non - hanno le seguenti proprietà:
- uno tra i numeri A, B e C è divisibile per 3 e un altro per 5;
- il prodotto A×B è divisibile per 12;
- il prodotto A×B×C è divisibile per 60.
Si può verificare quanto detto prendendo alcune terne a caso: 5-12-13; 6-8-10, 16-30-34 etc.
Le terne pitagoriche primitive hanno altre caratteristiche; in particolare, se A è pari, B è dispari
e viceversa, mentre C deve essere necessariamente dispari.
Le terne con il numero minore più piccolo sono: 3-4-5; 5-12-13; 7-24-25; 8-15-17; 9-40-41.
Segnaliamo ancora una curiosità: si possono costruire più terne pitagoriche primitive con lo
stesso intero minore; 20 è il numero più piccolo che entra in due terne diverse: 20-21-29 e 2099-101. Salendo sufficientemente lungo la scala dei numeri interi, però, si possono ottenere
risultati assai più sorprendenti; ad esempio, il gigantesco e pressoché illeggibile
1.229.779.565.176.982.820 (un numero di 19 cifre) è il valore del cateto minore in ben 15.386
terne primitive distinte!
Per brevità, ci fermiamo qui, ma il discorso relativo alle terne pitagoriche non è del tutto
concluso; nel prossimo capitolo, infatti, si accennerà a un altro caso particolare di terne, quelle
che danno origine ai cosiddetti “triangoli zoppi”.
28
Il sistema è oltremodo semplice: partendo da un punto che costituirà uno degli angoli della fondazione, si misurano con
un cordino 3 metri in una direzione e 4 nella direzione approssimativamente ortogonale alla prima, piantando due paletti
nei punti rilevati. Ora basta misurare la distanza tra tali punti e spostare opportunamente il cordino relativo a uno dei due
lati fino ad ottenere una distanza esattamente uguale a 5 metri. A questo punto abbiamo trovato le due direzioni,
perfettamente ortogonali, sulle quali si dovrà procedere con lo scavo.
29
Chi volesse approfondire questo tema può consultare il sito http://digilander.libero.it/salgam/.
29
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3 - NUMERI FIGURATI
In questo terzo capitolo si prosegue la trattazione delle successioni numeriche, esaminando un
caso particolare, quello dei cosiddetti Numeri Figurati, cioè i numeri interi che si possono
rappresentare mediante uno schema geometrico regolare, nel piano o nello spazio.
Queste configurazioni sono note già dall’antichità greca30 e nel corso dei secoli al loro studio si
sono dedicati anche matematici di prima grandezza: basti citare, tra gli altri, i nomi di Eulero,
Gauss, Fermat e Lagrange.
All’interno del vasto mondo dei numeri figurati, i due sottoinsiemi più conosciuti sono
senz’altro quelli comprendenti i numeri poligonali e i numeri piramidali, sui quali esiste
un’ampia letteratura. Nel presente testo, però, saranno trattate anche configurazioni assai meno
note, come i numeri poligonali centrati e i numeri “stella”; inoltre, si prenderanno in esame
diverse proprietà delle sequenze formate da tali numeri, nonché le possibili relazioni che
intercorrono tra le une e le altre.
3.1 - NUMERI POLIGONALI
Per cominciare, dunque, trattiamo i Numeri Poligonali, che costituiscono le disposizioni più
semplici. Si tratta di collocare sul piano N oggetti in modo da formare un poligono regolare di
dimensioni via via maggiori; il numero di oggetti è per l’appunto il numero poligonale cercato.
Come spesso accade in matematica, una figura può chiarire il concetto meglio di tante parole.
Numeri Triangolari, Quadrati, Pentagonali ed Esagonali
http://www.orianapagliarone.it/strani%20numeri/primastraninumeri.htm
Vediamo in rapida successione i numeri che derivano dalle prime quattro figure piane.
30
I matematici della scuola pitagorica furono i primi ad analizzare le proprietà di questi numeri e a definirli triangolari,
quadrati etc. In seguito, Diofanto di Alessandria (III-IV secolo d.C.) - celebre soprattutto per le equazioni in cui si
cerchino soltanto soluzioni intere (dette, per l’appunto, equazioni diofantine o diofantee) - scrisse un intero trattato sui
numeri poligonali.
30
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Numeri Triangolari
La prima tipologia che consideriamo è quella dei Numeri Triangolari, la cui successione inizia
con 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36..., e prevede una costante alternanza di 2 numeri pari e 2 numeri
dispari consecutivi.
Per costruzione, i triangolari equivalgono alla somma dei primi N numeri interi; infatti - come
mostra chiaramente la figura vista poc'anzi - si possono graficamente rappresentare disponendo
sul piano un oggetto, poi due, poi tre e così via.
Egualmente, con un’opportuna raffigurazione, che proponiamo di seguito, si può dedurre
immediatamente la formula per ottenere l’n-esimo numero triangolare: n(n+1)/2.
1
3
6
10
15
21
Come accennato nel precedente capitolo, tutti i numeri perfetti sono triangolari; inoltre, indicati
i termini della sequenza “triangolare” con T1, T2 … Tn, - occupano nella sequenza stessa una
posizione pari a un numero primo di Mersenne: 6 equivale a T3, 28 a T7, 496 a T31 etc.
Vediamo brevemente altre proprietà dei numeri triangolari.
 Il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi n cubi. Ad
esempio, con il sesto triangolare (21) si ottiene 441, che equivale a 1+8+27+64+125+216.31
 C’è un sistema semplicissimo per verificare se un numero è triangolare o meno: basta
calcolare il valore dell’espressione (8n+1); la risposta è “Sì” se tale valore è intero.
 I reciproci dei numeri triangolari formano una serie, detta serie di Mengoli
(1+1/3+1/6+1/10+…), che converge al valore 2.
Numeri Quadrati, Pentagonali, Esagonali
Subito dopo i triangolari troviamo i Numeri Quadrati (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 etc.) sui quali,
peraltro, non vale la pena di soffermarsi più di tanto, visto che non sono nient’altro che le
seconde potenze dei successivi numeri interi.
Aumentando progressivamente il numero di lati di queste raffigurazioni, si possono ottenere i
Numeri Pentagonali (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92 etc.), i Numeri Esagonali (1, 6, 15, 28, 45, 66,
91, 120 etc.) e così via.
Rispetto a questi ultimi, un dato merita di essere segnalato: i numeri esagonali corrispondono
esattamente ai numeri Triangolari di posto dispari (primo, terzo, quinto…).
Osservando i primi numeri delle diverse successioni, si può notare che in quella dei triangolari
e dei pentagonali si hanno due numeri dispari, poi due pari e così via, mentre tra i quadrati e gli
esagonali vi è una costante alternanza tra pari e dispari. Un’identica regola vale in generale per
31
Questo risultato è noto come “Teorema di Nicomaco” (matematico greco di epoca ellenistica).
31
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tutti i numeri poligonali: se il numero di lati del poligono generatore è dispari, la sequenza è
DD PP DD PP…; se il numero di lati è pari, è D P D P…
Numeri S-gonali
Analogamente a quanto appena visto, si possono costruire numeri ettagonali, ottagonali e così
via.
La formula generale che permette - detto S è il numero di lati di un poligono - di ricavare l'Nesimo numero S-gonale è la seguente: (S-2)×N2 - (S-4)×N / 2. Ad esempio, se vogliamo sapere
qual è il quinto numero ottagonale, applichiamo la formula ottenendo: (8-2)×52-(8-4)×5 / 2 =
150-20 / 2 = 65; dunque, il numero cercato è 65.
Prima di passare ad altre tipologie di numeri, vale la pena di parlare del cosiddetto Teorema di
Fermat sui numeri poligonali,32 secondo il quale qualunque numero intero può essere scritto
come somma di al più N numeri poligonali di N lati (eventualmente ripetuti).
Dunque, ogni intero può essere espresso come somma di non più di 3 triangolari, 4 quadrati, 5
pentagonali e così via. Ad esempio, si può scrivere 31 come 15+10+6 (tre numeri triangolari)
oppure come 25+4+1+1 (quattro quadrati).
Il Teorema “dei quattro quadrati”, caso particolare di quello generale di Fermat, compare anche
nella “Arithmetica” del già citato Diofanto di Alessandria.
3.2 - NUMERI POLIGONALI CENTRATI
I numeri poligonali centrati sono numeri figurati assai meno conosciuti rispetto ai poligonali
“normali”, dai quali differiscono in quanto vengono generati a partire dal centro di un poligono
regolare anziché da un vertice. In altre parole, i triangolari centrati cominciano con 4 (i tre
vertici di un triangolo più il centro), quelli quadrati centrati con 5 e così via.
Riportiamo brevemente alcune caratteristiche relative a questi numeri, cominciando analogamente a quanto visto in precedenza - con i Numeri Triangolari centrati (1, 4, 10, 19, 31
etc.), che hanno una proprietà degna di nota: la somma dei primi N numeri di questo tipo dà la
costante di un quadrato magico di lato N.
Ad esempio, 1+4+10+19 vale 34, costante magica del quadrato 4x4.33
L’elenco prosegue con i Numeri Quadrati centrati (1, 5, 13, 25, 41 etc.), i Numeri Pentagonali
centrati (1, 6, 16, 31, 51 etc.) e i Numeri Esagonali centrati (1, 7, 19, 37, 61 etc.).
32
Fermat disse di averlo dimostrato, ma la sua prova non fu mai trovata, così come è avvenuto per l’assai più celebre
congettura riguardante l’impossibilità di soluzioni intere dell’equazione x N yN=zN per N>2. Il caso dei quadrati fu
dimostrato nel 1772 da Lagrange; Gauss provò il caso dei numeri triangolari nel 1796, mentre Cauchy dimostrò il teorema
nella sua interezza nel 1813.
33
Per maggiori dettagli sul tema dei quadrati magici si rimanda al Capitolo 6.
32
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I primi 4 Numeri Esagonali centrati
Si può osservare che i quadrati centrati e gli esagonali centrati sono tutti dispari e le loro cifre
finali seguono una successione che si ripete sempre uguale; è facile verificare che la stessa
proprietà vale per tutti i numeri S-gonali centrati con S pari.
3.3 - NUMERI STELLA
I Numeri Stella si costruiscono allo stesso modo di quelli poligonali centrati, ma partendo da
una stella regolare a 6 punte. A parte il caso banale di N = 1, la prima stella ha 13 punti: 7 per
l’esagono più il suo centro, 6 per le punte della stella stessa.
Tra queste configurazioni se ne trova una universalmente nota: si tratta della scacchiera della
dama cinese, che nella sua versione standard ha complessivamente 121 buchi, disposti nella
forma di una stella a sei punte. 121, per l’appunto, fa parte dei numeri Stella (è il quinto della
sequenza).
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Halma-Spielfeld.jpg
Analogamente a quanto appena osservato per i numeri S-gonali centrati con S pari, tutti i
numeri stella (1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337 etc.) sono dispari e l'ultima cifra ricorre
ciclicamente; in questo caso la successione è 1, 3, 7, 3, 1.
Tutti i numeri stella hanno una radice numerica pari a 1 o 4, il che suggerisce naturalmente la
domanda: “Nella sequenza vi sono infiniti numeri primi?” Come per molte altre successioni
numeriche, la risposta è ignota.
33
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3.4 - NUMERI FIGURATI NELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE
Fino ad ora siamo rimasti nel piano, ma che cosa succede se si amplia il discorso allo spazio
tridimensionale? Questa estensione dà origine a numeri che, per uniformità, definiamo “numeri
poliedrici”.
Evidentemente, la questione a questo punto si complica, considerando la grande varietà di
figure solide esistenti, anche restringendo il campo a quelle che presentano una qualche
regolarità.
Per brevità, in questo studio ci limiteremo a considerare tre tipologie di numeri poliedrici: i
cubici, i piramidali triangolari (che corrispondono esattamente ai tetraedrici) e i piramidali
quadrati, lasciando da parte le forme derivanti dagli altri tre poliedri regolari platonici
(Ottaedro, Dodecaedro, Icosaedro) o da poliedri semiregolari quali i cosiddetti “poliedri
archimedei”.34
Numeri Cubici
Sui Numeri Cubici, evidentemente, non c’è molto da dire, in quanto si tratta semplicemente
delle terze potenze dei successivi numeri interi.
Per uniformità con le altre tipologie sopra descritte, ci limitiamo a riportare i primi numeri della
sequenza: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 ...
Numeri Piramidali
Più interessanti, invece, sono le configurazioni originate da una piramide avente per base un
poligono regolare. Graficamente, si possono rappresentare tali numeri come un mucchio di
sfere (esempio tipico: le palle di cannone) appoggiate l’una sull’altra in modo da formare una
piramide.
La prima disposizione nello spazio genera i Numeri Piramidali Triangolari (o Numeri
Tetraedrici) che possiamo ottenere immaginando di sovrapporre via via triangoli equilateri
sempre più piccoli. La sequenza comincia con 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120… e si può notare che
si susseguono costantemente un numero dispari, poi tre numeri pari consecutivi, poi un altro
dispari e così via.
Vediamo ancora i Numeri Piramidali Quadrati (1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204 etc.), la cui
formula risolutiva35 è N(N+1)×(2N+1) / 6, e che hanno una notevole applicazione pratica: l’Nesimo piramidale quadrato dà esattamente il numero totale di quadrati contenuti in una griglia
NxN. Ad esempio, il numero di quadrati diversi contenuti in una normale scacchiera 8x8 è 204,
ossia l’ottavo numero piramidale quadrato.
Prima di chiudere questo paragrafo, segnaliamo la formula generale relativa ai numeri originati
da una piramide avente per base un poligono di S lati: N×(N+1)×[(S-2)N+5-S] / 6.
34
Un esauriente articolo che tratta il tema dei poliedri regolari e di quelli cosiddetti “semiregolari” è reperibile sul sito
http://www.matematicamente.it/rivista-il-magazine/numero-11-dicembre-2009/
35
Una formula equivalente a questa si trova nel già citato “Liber abaci” di Leonardo da Pisa (Fibonacci).
34
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3.5 - RELAZIONI TRA NUMERI DI TIPOLOGIE DIVERSE
Come è facile immaginare, i numeri figurati dei diversi raggruppamenti hanno molteplici
relazioni tra di loro. Se ne potrebbero citare a decine, mettendo a confronto due a due le
numerose tipologie di cui si è parlato, ma per ovvi motivi se ne evidenzieranno soltanto alcune,
scelte tra quelle più semplici e significative per le loro possibili applicazioni.
Una prima, interessante correlazione è quella che lega tra loro i numeri poligonali e i
corrispondenti numeri piramidali: la somma dei primi N numeri triangolari equivale all’Nesimo numero tetraedrico, la somma dei primi N quadrati dà l’N-esimo numero piramidale
quadrato e così via.
Ad esempio, 1+3+6+10 vale 20 (quarto numero tetraedrico), mentre 1+6+15 dà 22 (terzo
numero piramidale esagonale).
Una rappresentazione grafica può spiegare meglio questa regola, che vale per qualsiasi
piramide regolare.
Il numero Piramidale Quadrato 30 è la somma dei Quadrati 1, 4, 9 e 16
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_pyramidal_number.svg
Altre relazioni che intercorrono tra diverse tipologie di numeri figurati sono le seguenti:
 la somma di due numeri triangolari successivi è un quadrato (es. 6+10 = 16);
 tutti i numeri quadrati centrati sono la somma di 2 quadrati successivi (es. 41 = 16+25);
 tra i numeri esagonali centrati e i numeri stella vale la relazione 2Ec-1=St (es. 37x2-1=73
dove 37 e 73 sono i quarti elementi delle due serie);
 ogni numero esagonale centrato rappresenta la differenza tra due cubi consecutivi (8-1=7;
27-8=19 etc.); da ciò discende che la somma dei primi K numeri esagonali centrati vale K3.
3.6 - NUMERI APPARTENENTI A PIÙ TIPOLOGIE
Viene spontaneo chiedersi se vi siano numeri contemporaneamente appartenenti a due o più
tipologie tra quelle descritte. Il caso più significativo è senza dubbio quello dei Numeri
Triangolari/Quadrati.
Graficamente, si tratta di trovare un numero N di oggetti tale che essi possono essere disposti a
formare sia un triangolo equilatero sia un quadrato; da un punto di vista matematico il problema
equivale a quello di trovare coppie di numeri interi M, N tali che N×(N+1) = 2M2.
E’ immediato verificare che esistono numeri triangolari/quadrati (basta prendere il 36); assai
meno facile è rispondere alla domanda: “tali numeri sono infiniti o la serie si interrompe a un
35
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certo punto?” Il problema fu risolto dal solito, grande, Eulero,36 il quale nel 1730 dimostrò che
essi sono infiniti e indicò un modo per ricavarli.
La formula generatrice - non propriamente agevole - è [(1+√2)2N-(1-√2)2N]2 / 32. Come si può
immaginare dalla presenza degli esponenziali nella formula, i numeri crescono rapidamente: i
primi termini della serie sono infatti 1, 36, 1.225, 41.616 e 1.413.721.
Un’interessante proprietà geometrica dei numeri triangolari/quadrati è che possono dare origine
- tramite un semplice algoritmo37 - ai cosiddetti “triangoli zoppi”, ossia triangoli rettangoli
aventi un cateto più lungo dell’altro esattamente di un’unità.
Il numero 1 produce la terna pitagorica fondamentale 3-4-5; dal numero 36 si ottiene il
triangolo 20-21-29 e così via.
Aggiungiamo una piccola curiosità: il triangolo zoppo derivato dal centesimo tra i numeri
triangolari/quadrati ha cateti talmente grandi che, posto uno di essi equivalente a un anno-luce,
la differenza con l’altro sarebbe migliaia di volte inferiore al diametro di un elettrone!
Tre casi possibili
Ma torniamo al discorso generale sui numeri appartenenti a due diverse categorie. Vi sono tre
situazioni possibili, poiché le coppie di tipologie possono avere in comune:
A) nessun numero (a parte 1, che appartiene a tutti i raggruppamenti);
B) un insieme finito di numeri;
C) infiniti numeri.
Ad esempio, la coppia quadrati/piramidali base 3 rientra nel caso B, in quanto soltanto 1, 4 e
19.600 appartengono contemporaneamente alle due tipologie indicate.
Come per il caso dei triangolari/quadrati, la difficoltà non sta tanto nel trovare numeri
appartenenti a due gruppi diversi (basta confrontare le tabelle dei primi 30 o 40 elementi di ogni
successione e - se ci sono numeri comuni - qualcuno di essi certamente compare), quanto
piuttosto nel verificare se la serie è infinita oppure no.
In altre parole, si tratta di risolvere le equazioni derivanti dalle formule risolutive dei diversi tipi
di numeri in maniera “diofantina”, ossia ricercandone esclusivamente le soluzioni intere, il che
si rivela spesso assai arduo.
Un’analisi approfondita di tali equazioni esula dall’ambito del presente testo; ci limitiamo a
presentare una tabella che riporta i risultati ottenuti mettendo a confronto alcune coppie di
tipologie.
36
Esistono riferimenti ai numeri triangolari/quadrati ancora più antichi: essi compaiono già nell’enigma dei “Buoi del
Sole”, attribuito niente meno che ad Archimede (sito http://www.dm.unito.it/~cerruti/giugno-agosto-03.html#pell1).
37
Per saperne di più su questo algoritmo si veda: Martin Gardner, Time travel and other mathematical bewilderments.
Freeman & Company, 1988.
36
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“QUANTITÀ” DI NUMERI APPARTENENTI A 2 TIPOLOGIE
Coppia di tipologie
Caso
Elenco dei numeri
Triangolari - 3 centrati
C
1 - 10 - 136 - 1.891 - 26.335 … etc.
Quadrati - 4 centrati
C
1 - 25 - 841 - 28.561 … etc.
Pentagonali - 5 centrati
C
1 - 51 - 3.151 - 195.301 … etc.
Esagonali - 6 centrati
C
1 - 91 - 8.911 - 873.181 … etc.
Triangolari - 6 centrati
B
solo 1 - 91- 8.911
Quadrati - 6 centrati
C
1 - 169 - 32.761 … etc.
Triangolari - Stella
C
1 - 253 - 49.141 … etc.
Quadrati - Stella
C
1 - 121 - 11.881 … etc.
6 centrati - Stella
C
1 - 37 - 1.261 - 42.841 … etc.
Triangolari - Piramidali 3
B
solo 1 - 10 - 120 - 1.540 - 7.140
Quadrati - Piramidali 3
B
solo 1 - 4 - 19.600
Triangolari - Piramidali 4
B
solo 1 - 55 - 91 - 208.335
Quadrati - Piramidali 4
B
solo 1 - 4.900
Piramidali 3 - Piramidali 4
A
solo 1
Aggiungiamo ancora una proprietà dei numeri quadrati/stella: l’espressione 3QS+2 produce
tutti i numeri che possono essere espressi come somma di più quadrati consecutivi. Un esempio
può chiarire meglio il discorso: 365 (tre volte il quadrato/stella 121 più 2) equivale a 132+142 e
anche a 102+112+122.
L’analisi potrebbe continuare prendendo in esame i numeri che appartengono a tre o più
tipologie; per brevità, ci limitiamo ad evidenziarne alcuni, escludendo i numeri fino a 50
(troppo “facili”) e tralasciando, altresì, i numeri generati a partire da poligoni con numero di lati
superiore a 12.
NUMERI APPARTENENTI A 3 O 4 TIPOLOGIE DIVERSE
Numero
Appartenenze
Tipologie
91
4
Triangolari - Esagonali - 6 centrati - Piramidali 4
1.891
4
Triangolari - Esagonali - 3 centrati - 5 centrati
64
3
Quadrati - Triangolari centrati - Cubici
120
3
Triangolari - Esagonali - Piramidali 3
181
3
4 centrati - 5 centrati - Stella
276
3
Triangolari - Esagonali - 5 centrati
946
3
Triangolari - Esagonali - Piramidali 6
1.225
3
Triangolari - Quadrati - Esagonali
Dunque, limitandoci a considerare numeri ragionevolmente piccoli (fino a non più di 4 cifre),
quelli più presenti tra le varie tipologie sono 91 e 1.891; curiosamente, entrambi terminano per
91 e la loro radice numerica è 1.
37
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3.7 - ALTRI DATI COMPARATIVI
Un esame comparato può mettere in luce svariate proprietà; nel presente testo esaminiamo due
aspetti: cifre terminali dei numeri e rapporto tra N-esimi numeri di gruppi diversi per N che
tende all’infinito.
Cifre terminali
CIFRE TERMINALI PER ALCUNE TIPOLOGIE DI NUMERI
Tipologia numeri
Cifre finali possibili
Tipologia numeri
Cifre finali possibili
Triangolari
1, 3, 5, 6, 8, 0
Stella
1, 3, 7
Quadrati
1, 4, 5, 6, 9, 0
Cubici
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
Pentagonali
1, 2, 5, 6, 7, 0
Piramidali base 3
1, 4, 5, 6, 9, 0
Esagonali
1, 3, 5, 6, 8, 0
Piramidali base 4
1, 4, 5, 6, 9, 0
Triangolari centrati
1, 4, 5, 6, 9, 0
Piramidali base 5
1, 3, 5, 6, 8, 0
Quadrati centrati
1, 3, 5
Esagonali centrati
1, 7, 9
E’ facile verificare che le cifre terminali dei diversi tipi di numeri figurati seguono regole ben
precise; in particolare, la tabella evidenzia che:
 l’unica cifra con cui può terminare qualunque gruppo di numeri figurati è 1, com’è logico
visto che il numero 1 appartiene a tutte le tipologie;
 come già accennato, i numeri S-gonali centrati con S pari e i numeri stella possono
terminare soltanto con una cifra dispari;
 i numeri cubici sono gli unici che possono terminare con una qualunque delle 10 cifre;
 i piramidali base 3 e base 4 si comportano allo stesso modo (ma ciò non vale in generale per
piramidali di ogni base S).
Rapporto-limite tra numeri delle varie tipologie
Un altro elemento degno di interesse concerne il rapporto tra gli N-esimi numeri delle varie
tipologie; in altre parole, si tratta di prendere in considerazione il limite a cui tende tale rapporto
al crescere di N.
Mettendo in relazione le formule di costruzione, è facile ricavare i vari risultati; li riportiamo
nella tabella seguente, che raggruppa un sottoinsieme ristretto delle numerosissime, possibili
combinazioni.
Precisiamo che le frazioni non sono sempre espresse ai minimi termini al fine di agevolare la
lettura delle regole in relazione ai poligoni origine dei diversi numeri figurati.
38
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Rapporto
RAPPORTO QUANTITATIVO TRA ALCUNE COPPIE DI TIPOLOGIE
Tende a
Rapporto
Tende a
Triangolari - Quadrati
0,5
1/2
3 centrati - 4 centrati
0,75
3/4
Triangolari - Pentagonali
0,333
1/3
3 centrati - 5 centrati
0,6
3/5
Triangolari - Esagonali
0,25
1/4
3 centrati - 6 centrati
0,5
3/6
Quadrati - Pentagonali
0,667
2/3
4 centrati - 5 centrati
0,8
4/5
Quadrati - Esagonali
0,5
2/4
4 centrati - 6 centrati
0,667
4/6
Pentagonali - Esagonali
0,75
3/4
5 centrati - 6 centrati
0,833
5/6
Triangolari - 3 centrati
0,333
1/3
Triangolari - Stella
0,333
1/3
Quadrati - 4 centrati
0,5
2/4
Quadrati - Stella
0,667
2/3
Pentagonali - 5 centrati
0,6
3/5
Pentagonali - Stella
1
3/3
0,667
4/6
Esagonali - Stella
1,333
4/3
Piramidali 3 - Piramidali 4
0,5
1/2
Piramidali 3 - Cubici
0,167
1/6
Piramidali 3 - Piramidali 5
0,333
1/3
Piramidali 4 - Cubici
0,333
2/6
Piramidali 3 - Piramidali 6
0,25
1/4
Piramidali 5 - Cubici
0,5
3/6
Piramidali 4 - Piramidali 5
0,667
2/3
Piramidali 6 - Cubici
0,667
4/6
Piramidali 4 - Piramidali 6
0,5
2/4
Esagonali - 6 centrati
Che cosa ci dice questa tabella?
In primo luogo, si può osservare che il limite dei rapporti tra le tipologie di numeri indicate è
sempre espresso da una frazione molto semplice. Inoltre, esistono regole generali che
permettono di estendere i risultati della tabella a numeri figurati con un numero qualsiasi di lati;
vediamone alcune.
 Il rapporto tra serie diverse di numeri poligonali centrati tende al rapporto tra il numero di
lati dei poligoni di origine. Ad esempio, il rapporto tra triangolari centrati e pentagonali
centrati si avvicina sempre più a 3/5.
 Se chiamiamo L il numero dei lati, il rapporto tra numeri L-gonali e numeri L-gonali centrati
tende a (L-2)/L.
 Il limite del rapporto tra numeri S-gonali e numeri stella è (S-2)/3.
 I valori del rapporto tra le diverse classi di numeri piramidali sono esattamente uguali a
quelli tra numeri poligonali corrispondenti. Ad esempio, il valore limite del rapporto
quadrati-esagonali (0,5 ossia 1/2) è lo stesso che si registra per il rapporto piramidali base 4piramidali base 6. Detti S1 e S2 il numero di lati dei numeri poligonali o piramidali che si
considerano, il limite si ricava con la formula (S1-2)/(S2-2).
 Il rapporto tra numeri piramidali con base S-gonale e numeri cubici si avvicina sempre più al
valore (S-2)/6.
39
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3.8 - NUMERI FIGURATI: RIEPILOGO
A conclusione del capitolo, si riporta una tabella riepilogativa con i primi 10 numeri di diverse
sequenze di numeri figurati e le corrispondenti formule di costruzione. Per maggiore
completezza, si sono aggiunti anche dati relativi ad alcune tipologie che non sono state
esaminate nel testo.
FORMULA DI COSTRUZIONE E PRIMI NUMERI PER ALCUNE TIPOLOGIE DI FIGURATI
Nome
Formula
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
Triangolari
(N2+N) / 2
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
N2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
(3N2-N) / 2
1
5
12
22
35
51
70
92
117
145
Esagonali
2N2-N
1
6
15
28
45
66
91
120
153
190
Ettagonali
(5N2-3N) / 2
1
7
18
34
55
81
112
148
189
235
Ottagonali
3N2-2N
1
8
21
40
65
96
133
176
225
280
Ennagonali
(7N2-5N) / 2
1
9
24
46
75
111
154
204
261
325
Decagonali
4N2-3N
1
10
27
52
85
126
175
232
297
370
Quadrati
Pentagonali
S-gonali
(S-2)N2-(S-4)N/2
3 centrati
(3N2+3N+2) / 2
1
4
10
19
31
46
64
85
109
136
4 centrati
N2+(N-1)2
1
5
13
25
41
61
85
113
145
181
5 centrati
(5N2-5N+2) / 2
1
6
16
31
51
76
106
141
181
226
6 centrati
3N2-3N+1
1
7
19
37
61
91
127
169
217
271
7 centrati
(7N2-7N+2) / 2
1
8
22
43
71
106
148
197
253
316
8 centrati
4N2-4N+1
1
9
25
49
81
121
169
225
289
361
S-gonali centr.
(SN2-SN+2)/2
Piramidali 3
N(N+1)(N+2) / 6
1
4
10
20
35
56
84
120
165
286
Piramidali 4
N(N+1)(2N+1) / 6
1
5
14
30
55
91
140
204
285
385
Piramidali 5
N(N+1)(3N) / 6
1
6
18
40
75
126
196
288
405
550
Piramidali 6
N(N+1)(4N-1) / 6
1
7
22
50
95
161
252
372
525
715
Piramidali 7
N(N+1)(5N-2) / 6
1
8
26
60
115
186
308
456
645
880
Piramidali 8
N(N+1)(6N-3) / 6
1
9
30
70
135
211
364
540
765
1.045
Piramidali S
N(N+1) [(S-2)N+5-S] / 6
Stella
6N(N-1)+1
1
13
37
73
121
181
253
337
433
541
Cubici
N3
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1.000
40
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4 - FUNZIONI SUI NUMERI INTERI
In questo capitolo vengono esaminate alcune funzioni matematiche che prendono in
considerazione i soli numeri interi. Si tratta di funzioni oltremodo semplici, ma che hanno
importanti applicazioni pratiche in diversi rami della matematica.
Si cercherà di affrontare il tema con un approccio diverso dal consueto: mentre solitamente le
funzioni descritte sono trattate all’interno dei campi della matematica in cui trovano
applicazione, nel presente testo esse sono considerate congiuntamente, in un unico quadro
d’insieme.
Il capitolo è completato da una tabella riepilogativa - relativa ai primi 200 numeri interi - che
riporta per ciascun numero il valore relativo alle diverse funzioni prese in esame.
4.1 - LE FUNZIONI
Cominciamo riportando l’elenco delle 5 funzioni che saranno trattate nel presente capitolo:
 τ(n): Numero di divisori di n
 σ(n): Somma dei divisori di n (compreso n)
 s(n): Somma dei divisori di n (escluso n)
 φ(n) (Funzione di Eulero o Funzione Totiente): Numero di interi minori di n coprimi con n
 π(n) (Funzione enumerativa dei primi): Numero dei primi non superiori ad n
Funzione τ(n) - Numero di divisori di n
Questa funzione associa ad ogni intero positivo il numero dei suoi divisori, inclusi 1 e il numero
stesso.
Sono immediatamente evidenti alcune regole per i valori assunti dalla funzione:
- τ(n) vale 1 per n=1;
- τ(n) vale 2 per tutti gli altri numeri primi;
- τ(n) > 2 per tutti i numeri composti.
Vale la pena di segnalare che τ(n) è una funzione moltiplicativa legata alla fattorizzazione di n:
se n = p1a × p2b × … pkz, vale la formula τ(n)=(a+1)×(b+1)×…(z+1).
Ad esempio, consideriamo il numero 360. Esso è uguale a 23×32×5; dunque, in base alla
formula τ(360) vale (3+1)(2+1)(1+1) = 24, che è per l’appunto il numero di divisori di 360 (1,
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360).
Funzione σ(n) - Somma dei divisori di n (n compreso)
Questa funzione associa ad ogni intero positivo la somma dei suoi divisori, inclusi 1 e il numero
stesso. Da tale definizione, si ricavano immediatamente due conseguenze:
- il valore di σ(n) è sempre maggiore di n, poiché ogni numero è divisore di se stesso;
- σ(n)=n+1 se e solo se n è un numero primo.
Se, invece, n è un numero composto, vale sempre la disuguaglianza σ(n)>n+n. In altre parole,
per quanto pochi divisori abbia un numero n, la loro somma (1 e n compresi) non può essere
inferiore alla somma tra n e la sua radice quadrata.
41
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Nel caso particolare in cui n sia il quadrato di un numero primo (e, dunque, abbia solo 3
divisori), si avrà esattamente σ(n)=n+n+1. Ad esempio, σ(49)=1+7+49 = 57 che equivale a
49+49+1.
La funzione σ (così come la τ appena esaminata) è collegata alla funzione  di Riemann, della
quale si parlerà più avanti.
Funzione s(n) - Somma dei divisori di n (n escluso)
La funzione s(n) è molto simile alla precedente, ma in questo caso nella somma dei divisori del
numero non viene considerato lo stesso n. Analogamente al caso appena visto, la definizione
implica due semplici regole:
- s(n)=1 se e solo se n è un numero primo;
- s(n)=n+1 se n è il quadrato di un numero primo.
Negli altri casi, s (n) può assumere valori sia minori che maggiori di n.
La funzione s(n) ha applicazioni di gran lunga superiori a σ(n); entra, infatti, nella definizione
di molte tipologie di numeri delle quali si è parlato nel secondo capitolo. In particolare, si tratta
di numeri perfetti, numeri amichevoli, numeri socievoli e numeri fidanzati.
Funzione φ(n) - Numero di interi minori di n coprimi con n
Questa funzione - uno degli innumerevoli contributi alla scienza di Eulero - ha una grandissima
importanza pratica, poiché è alla base dei principali sistemi di crittografia oggi utilizzati.
Ma procediamo con ordine, partendo dalla considerazione che per ogni numero primo n, tutti
gli interi minori di n sono coprimi con esso; dunque, per qualsiasi numero primo φ(n) = n-1.
Inoltre, si può facilmente verificare che se n=p×q (con p e q numeri primi), φ(n) = (p-1)×(q-1).
Passando all’aritmetica modulare, esiste un teorema, anch’esso opera di Eulero, per cui se k ed
n sono coprimi vale la seguente relazione: kφ(n) ≡ 1(mod n).
Su questi presupposti si fonda l’algoritmo di cifratura RSA38, il più utilizzato ai giorni nostri per
proteggere codici che devono rimanere segreti, ad esempio i numeri delle carte bancarie. Tale
algoritmo si basa sulle formule appena viste - sempre nel campo dell’aritmetica modulare - e
prevede l’utilizzo di 3 grandi numeri n, p, q con n=p×q e p, q primi.
La difficoltà per chi volesse violare il codice segreto è quella di scomporre in fattori n, ossia
trovare i suoi due unici divisori p e q. Può sembrare a prima vista un problema semplice, ma
basta scegliere i numeri p e q sufficientemente grandi affinché anche il più potente elaboratore
abbia bisogno di anni e anni di lavoro per trovare la soluzione.
Oggi si utilizzano a questo scopo numeri di qualche centinaio di cifre, ma l’infinità dei numeri
primi (già dimostrata da Euclide)39 garantisce di poter sempre trovare numeri tali da rendere
inutile qualsiasi progresso nella velocità e nella potenza dei computer. Almeno finché non sarà
scoperto un nuovo algoritmo per scomporre un numero nei suoi fattori primi di gran lunga più
rapido ed efficiente di quelli attualmente conosciuti.
38
L’algoritmo RSA (dal nome dei suoi inventori Rivers, Shamir e Adleman) è stato elaborato negli anni ’70. Nel presente
testo si danno solo alcuni brevissimi cenni sulla questione della cifratura dei dati, rimandando per maggiori dettagli
all’articolo “Dai numeri primi alla crittografia”, pubblicato sul sito www.matematicamente.it, che tratta
approfonditamente il tema e spiega con estrema chiarezza il funzionamento di questo algoritmo.
39
Euclide provò che i numeri primi sono infiniti grazie a una dimostrazione per assurdo - semplice e geniale al tempo
stesso - rimasta famosa nella storia della matematica. Si può vedere in proposito l’articolo citato nella nota precedente.
42
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Funzione π(n). Numero dei primi non superiori ad n
Nel primo capitolo si è accennato al fatto che uno dei grandi problemi irrisolti della matematica
è quello di capire in che modo si susseguono i numeri primi; generazioni di studiosi hanno
cercato, finora invano, di capire se esista una regola nell’infinita successione di questi numeri.
Un primo passo in questa direzione è l’elaborazione di una formula che fornisca, con la
massima precisione possibile, il numero di primi minori di un determinato numero n; questo è,
per l’appunto, il significato della funzione π(n).
Tra i matematici che si sono occupati di questa questione, vi è il tedesco Carl Friedrich Gauss
(il “principe dei matematici”), a cui si deve una stima assai precisa di π(n), legata al logaritmo
naturale. La formula è: π(n)n/logn, cioè al crescere di n, il valore di π(n) tende ad avvicinarsi
sempre più al rapporto tra n e logn.
La dimostrazione di questa formula, che è di molto successiva all’epoca dello stesso Gauss, fu
facilitata dagli studi del matematico tedesco Bernhard Riemann, celebre per la sua funzione (s)
- estensione al campo complesso della funzione di Eulero (x) = 1/1x+1/2x+1/3x+ … - e,
soprattutto, per la sua ipotesi: Tutte le soluzioni complesse della funzione (s) hanno parte reale
pari a 1/2.40
Allo stesso Riemann si deve una formula che mette in evidenza la dipendenza della funzione
π(n) dagli zeri della funzione .
Vi è uno stretto legame tra la funzione  di Riemann e le funzioni τ(n) e s(n) trattate in
precedenza, ma il dettaglio di queste relazioni conduce a un livello specialistico che esula
dall’ambito del presente testo.
4.2 - TIPOLOGIE DI NUMERI IN BASE ALLE FUNZIONI
Vale la pena di aggiungere ancora qualche considerazione su alcune tipologie di numeri interi
che si possono definire in base alle funzioni appena esaminate, cioè riguardo al loro rapporto
con il numero dei propri divisori o con la somma di essi. Per non appesantire troppo la
trattazione, ci limiteremo a qualche cenno sull’argomento, rimandando a testi più specifici chi
volesse saperne di più.
Le tipologie di numeri interi sono le seguenti.
Numeri Difettivi e Numeri Abbondanti
I Numeri Difettivi sono numeri maggiori della somma dei propri divisori. In altre parole, un
numero n è difettivo se n>s(n).
E’ facile verificare che tutti i numeri primi e le loro potenze sono numeri difettivi. Inoltre, tutti i
divisori propri dei numeri difettivi e dei numeri perfetti sono a loro volta difettivi.
Esempi di numeri difettivi sono - ad esempio - 9, 17, 76, 133.
Al contrario di quanto appena visto, i Numeri Abbondanti sono quelli inferiori alla somma dei
propri divisori, cioè i numeri per cui vale la relazione n<s(n).
40
L’ipotesi di Riemann costituiva uno dei 23 “Problemi per il nuovo secolo” elencati da David Hilbert all’inizio del ‘900
ed è stata poi confermata nel convegno di Parigi (maggio 2000) come uno dei 7 “Millennium problems” posti
all'attenzione della comunità scientifica. È universalmente considerata il più importante problema irrisolto della
matematica. Di questa congettura e del suo legame con la distribuzione dei numeri primi tratta The music of the primes
(tradotto in italiano con il meno significativo titolo L’enigma dei numeri primi) di Marcus Du Sautoy, BUR, 2005.
43
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I primi numeri abbondanti sono: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42; per trovare il primo abbondante
dispari occorre salire fino a 945 (numero che equivale a 35×27, cioè a 33x5x7).
Dunque, si sono visti i due diversi casi, a seconda che n sia maggiore o minore della funzione
s(n). E se, invece, valesse esattamente la relazione n=s(n)? Non è difficile immaginare il
risultato: in questo caso ecco tornare in scena i numeri perfetti (dei quali si è già più volte
parlato in questo testo), che - evidentemente - costituiscono lo “spartiacque” tra numeri difettivi
e numeri abbondanti.
Numeri altamente composti
I Numeri Altamente Composti sono numeri che hanno più divisori di qualsiasi intero positivo
minore.
Riprendendo quanto detto nel paragrafo 4.1 a proposito della fattorizzazione, se
n=p1a×p2b×…pnz, allora la somma dei divisori di n sarà (a+1)×(b+1)×…(z+1).
A partire da questa formula si possono stabilire due precise condizioni che devono verificarsi
affinché n sia un numero altamente composto.
 I k numeri primi pk devono essere esattamente i primi k numeri primi (2, 3, 5...), altrimenti
potremmo sostituirne uno con un primo minore, ottenendo così un numero minore di n con
lo stesso numero di divisori. Ad esempio, 14=2×7, ma cambiando il 7 con il 3 si ha 6=2×3; 6
e 14 hanno lo stesso numero di divisori, dunque 14 non può essere altamente composto.
 La sequenza degli esponenti non deve essere crescente, cioè abc etc., altrimenti,
scambiandone due che non sono in ordine si avrebbe un numero minore di n con lo stesso
numero di divisori. Esempio, 18=21×32 può essere trasformato in 12=22×31: dunque, 18 non
è di sicuro un numero altamente composto.
I primi 10 numeri altamente composti sono: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60 e 120.
Ovviamente, i numeri possono appartenere anche a più di una tipologia ma - partendo dalle
stesse definizioni - è facile ricavare alcune condizioni; in particolare:
- tutti i numeri primi sono anche difettivi (ma non viceversa);
- tutti i numeri altamente composti sono anche abbondanti (ma non viceversa);
- non esistono numeri contemporaneamente difettivi e altamente composti, ad eccezione dei
primi due numeri pari, 2 e 4;
- l’unico numero che appartiene a tre categorie diverse è 2 (primi, difettivi, altamente
composti).
44
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
4.3 - FUNZIONI SUI NUMERI INTERI: RIEPILOGO
Per concludere, riportiamo una tabella che riepiloga i valori delle diverse funzioni esaminate.
FUNZIONI APPLICATE AI NUMERI INTERI DA 1 A 200
τ(n)
σ(n)
π(n) Tipologie cui appartiene n
Elenco dei divisori
1
1
1
1
0
1
0 difettivi, alt.composti
2
1,2
2
3
1
1
1 primi, difettivi, alt.composti
3
1,3
2
4
1
2
2 primi, difettivi
4
1,2,4
3
7
3
2
2 difettivi, alt.composti
5
1,5
2
6
1
4
3 primi, difettivi
6
1,2,3,6
4
12
6
2
3 perfetti, alt.composti
7
1,7
2
8
1
6
4 primi, difettivi
8
1,2,4,8
4
15
7
4
4 difettivi
9
1,3,9
3
13
4
6
4 difettivi
10
1,2,5,10
4
18
8
4
4 difettivi
11
1,11
2
12
1
10
12
1,2,3,4,6,12
6
28
16
4
13
1,13
2
14
1
12
14
1,2,7,14
4
24
10
6
6 difettivi
15
1,3,5,15
4
24
9
8
6 difettivi
16
1,2,4,8,16
5
31
15
8
6 difettivi
17
1,17
2
18
1
16
18
1,2,3,6,9,18
6
39
21
6
19
1,19
2
20
1
18
20
1,2,4,5,10,20
6
42
22
8
21
1,3,7,21
4
32
11
12
8 difettivi
22
1,2,11,22
4
36
14
10
8 difettivi
23
1,23
2
24
1
22
9 primi, difettivi
24
1,2,3,4,6,8,12,24
8
60
36
8
25
1,5,25
3
31
6
20
9 difettivi
26
1,2,13,26
4
42
16
12
9 difettivi
27
1,3,9,27
4
40
13
18
9 difettivi
28
1,2,4,7,14,28
6
56
28
12
9 perfetti
29
1,29
2
30
1
28
30
1,2,3,5,6,10,15,30
8
72
42
8
31
1,31
2
32
1
30
11 primi, difettivi
32
1,2,4,8,16,32
6
63
31
16
11 difettivi
33
1,3,11,33
4
48
15
20
11 difettivi
34
1,2,17,34
4
54
20
16
11 difettivi
35
1,5,7,35
4
48
13
24
11 difettivi
36
1,2,3,4,6,9,12,18,36
9
91
55
12
11 abbondanti, alt.composti
37
1,37
2
38
1
36
12 primi, difettivi
45
s(n)
φ(n)
n
5 primi, difettivi
5 abbondanti, alt.composti
6 primi, difettivi
7 primi, difettivi
7 abbondanti
8 primi, difettivi
8 abbondanti
9 abbondanti, alt.composti
10 primi, difettivi
10 abbondanti
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
38
1,2,19,38
4
60
22
18
12 difettivi
39
1,3,13,39
4
56
17
24
12 difettivi
40
1,2,4,5,8,10,20,40
8
90
50
16
12 abbondanti
41
1,41
2
42
1
40
13 primi, difettivi
42
1,2,3,6,7,14,21,42
8
96
54
12
13 abbondanti,
43
1,43
2
44
1
42
14 primi, difettivi
44
1,2,4,11,22,44
6
84
40
20
14 difettivi
45
1,3,5,9,15,45
6
78
33
24
14 difettivi
46
1,2,23,46
4
72
26
22
14 difettivi
47
1,47
2
48
1
46
15 primi, difettivi
48
1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
10
124
76
16
15 abbondanti, alt.composti
49
1,7,49
3
57
8
42
15 difettivi
50
1,2,5,10,25,50
6
93
43
20
15 difettivi
51
1,3,17,51
4
72
21
32
15 difettivi
52
1,2,4,13,26,52
6
98
46
24
15 difettivi
53
1,53
2
54
1
52
16 primi, difettivi
54
1,2,3,6,9,18,27,54
8
120
66
18
16 abbondanti
55
1,5,11,55
4
72
17
40
16 difettivi
56
1,2,4,7,8,14,28,56
8
120
64
24
16 abbondanti
57
1,3,19,57
4
80
23
36
16 difettivi
58
1,2,29,58
4
90
32
28
16 difettivi
59
1,59
2
60
1
58
17 primi, difettivi
60
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60
12
168
108
16
17 abbondanti, alt.composti
61
1,61
2
62
1
60
18 primi, difettivi
62
1,2,31,62
4
96
34
30
18 difettivi
63
1,3,7,9,21,63
6
104
41
36
18 difettivi
64
1,2,4,8,16,32,64
7
127
63
32
18 difettivi
65
1,5,13,65
4
84
19
48
18 difettivi
66
1,2,3,6,11,22,33,66
8
144
78
20
18 abbondanti
67
1,67
2
68
1
66
19 primi, difettivi
68
1,2,4,17,34,68
6
126
58
32
19 difettivi
69
1,3,23,69
4
96
27
44
19 difettivi
70
1,2,5,7,10,14,35,70
8
144
74
24
19 abbondanti
71
1,71
2
72
1
70
20 primi, difettivi
72
1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72
12
195
123
24
20 abbondanti
73
1,73
2
74
1
72
21 primi, difettivi
74
1,2,37,74
4
114
40
36
21 difettivi
75
1,3,5,15,25,75
6
124
49
40
21 difettivi
76
1,2,4,19,38,76
6
140
64
36
21 difettivi
77
1,7,11,77
4
96
19
60
21 difettivi
78
1,2,3,6,13,26,39,78
8
168
90
24
21 abbondanti
79
1,79
2
80
1
78
22 primi, difettivi
80
1,2,4,5,8,10,16,20,40,80
10
186
106
32
22 abbondanti
46
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
81
1,3,9,27,81
5
121
40
54
22 difettivi
82
1,2,41,82
4
126
44
40
22 difettivi
83
1,83
2
84
1
82
23 primi, difettivi
84
1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84
12
224
140
24
23 abbondanti
85
1,5,17,85
4
108
23
64
23 difettivi
86
1,2,43,86
4
132
46
42
23 difettivi
87
1,3,29,87
4
120
33
56
23 difettivi
88
1,2,4,8,11,22,44,88
8
180
92
40
23 abbondanti
89
1,89
2
90
1
88
24 primi, difettivi
90
1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90
12
234
144
24
24 abbondanti
91
1,7,13,91
4
112
21
72
24 difettivi
92
1,2,4,23,46,92
6
168
76
44
24 difettivi
93
1,3,31,93
4
128
35
60
24 difettivi
94
1,2,47,94
4
144
50
46
24 difettivi
95
1,5,19,95
4
120
25
72
24 difettivi
96
1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96
12
252
156
32
24 abbondanti
97
1,97
2
98
1
96
25 primi, difettivi
98
1,2,7,14,49,98
6
171
73
42
25 difettivi
99
1,3,9,11,33,99
6
156
57
60
25 difettivi
100 1,2,4,5,10,20,25,50,100
9
217
117
40
25 abbondanti
101 1,101
2
102
1
100
102 1,2,3,6,17,34,51,102
8
216
114
32
103 1,103
2
104
1
102
104 1,2,4,8,13,26,52,104
8
210
106
48
27 abbondanti
105 1,3,5,7,15,21,35,105
8
192
87
69
27 difettivi
106 1,2,53,106
4
162
56
52
27 difettivi
107 1,107
2
108
1
106
12
280
172
36
109 1,109
2
110
1
108
110 1,2,5,10,11,22,55,110
8
216
106
40
29 difettivi
111 1,3,37,111
4
152
41
72
29 difettivi
10
248
136
48
29 abbondanti
113 1,113
2
114
1
112
114 1,2,3,6,19,38,57,114
8
240
126
36
30 abbondanti
115 1,5,23,115
4
144
29
88
30 difettivi
116 1,2,4,29,58,116
6
210
94
58
30 difettivi
117 1,3,9,13,39,117
6
182
65
72
30 difettivi
118 1,2,59,118
4
180
62
58
30 difettivi
119 1,7,17,119
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,1
120
20
121 1,11,121
4
144
25
96
30 difettivi
16
360
240
32
30 abbondanti, alt.composti
3
133
12
110
30 difettivi
4
186
64
60
30 difettivi
108 1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108
112 1,2,4,7,8,14,16,28,56,112
122 1,2,61,122
47
26 primi, difettivi
26 abbondanti
27 primi, difettivi
28 primi, difettivi
28 abbondanti
29 primi, difettivi
30 primi, difettivi
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
123 1,3,41,123
4
168
45
80
30 difettivi
124 1,2,4,31,62,124
6
224
100
60
30 difettivi
125 1,5,25,125
4
156
31
100
30 difettivi
12
312
186
36
127 1,127
2
128
1
126
128 1,2,4,8,16,32,64,128
8
255
127
64
31 difettivi
129 1,3,43,129
4
176
47
84
31 difettivi
130 1,2,5,10,13,26,65,130
8
252
122
81
31 difettivi
131 1,131
2
132
1
130
12
336
204
40
133 1,7,19,133
4
160
27
108
32 difettivi
134 1,2,67,134
4
204
70
66
32 difettivi
135 1,3,5,9,15,27,45,135
8
240
105
72
32 difettivi
136 1,2,4,8,17,34,68,136
8
270
134
64
32 difettivi
137 1,137
2
138
1
136
138 1,2,3,6,23,46,69,138
8
288
150
44
139 1,139
2
140
1
138
12
336
196
48
34 abbondanti
141 1,3,47,141
4
192
51
92
34 difettivi
142 1,2,71,142
4
216
74
70
34 difettivi
143 1,11,13,143
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,
144
144
145 1,5,29,145
4
168
25
120
34 difettivi
15
403
259
48
4
180
35
112
34 difettivi
146 1,2,73,146
4
222
76
72
34 difettivi
147 1,3,7,21,49,147
6
228
81
84
34 difettivi
148 1,2,4,37,74,148
6
266
118
72
34 difettivi
149 1,149
2
150
1
148
12
372
222
40
151 1,151
2
152
1
150
152 1,2,4,8,19,38,76,152
8
300
148
72
36 difettivi
153 1,3,9,17,51,153
6
234
81
96
36 difettivi
154 1,2,7,11,14,22,77,154
8
288
134
60
36 difettivi
155 1,5,31,155
4
192
37
120
36 difettivi
12
392
236
48
157 1,157
2
158
1
156
158 1,2,79,158
4
240
82
78
37 difettivi
159 1,3,53,159
4
216
57
104
37 difettivi
12
378
218
64
4
192
31
132
10
363
201
54
163 1,163
2
164
1
162
164 1,2,4,41,82,164
6
294
130
80
126 1,2,3,6,7,9,14,18,21,42,63,126
132 1,2,3,4,6,11,12,22,33,44,66,132
140 1,2,4,5,7,10,14,20,28,35,70,140
150 1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150
156 1,2,3,4,6,12,13,26,39,52,78,156
160 1,2,4,5,8,10,16,20,32,40,80,160
161 1,7,23,161
162 1,2,3,6,9,18,27,54,81,162
48
30 abbondanti
31 primi, difettivi
32 primi, difettivi
32 abbondanti
33 primi, difettivi
33 abbondanti
34 primi, difettivi
34 abbondanti
35 primi, difettivi
35 abbondanti
36 primi, difettivi
36 abbondanti
37 primi, difettivi
37 abbondanti
37 difettivi
37 abbondanti
38 primi, difettivi
38 difettivi
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
165 1,3,5,11,15,33,55,165
8
288
123
80
38 difettivi
166 1,2,83,166
4
252
86
82
38 difettivi
167 1,167
1,2,3,4,6,7,8,12,14,21,24,28,42,56,84,1
168
68
169 1,13,169
2
168
1
166
16
480
312
48
3
183
14
156
39 difettivi
170 1,2,5,10,17,34,85,170
8
324
154
64
39 difettivi
171 1,3,9,19,57,171
6
260
89
108
39 difettivi
172 1,2,4,43,86,172
6
308
136
84
39 difettivi
173 1,173
2
174
1
172
174 1,2,3,6,29,58,87,174
8
360
186
56
175 1,5,7,25,35,175
6
248
73
120
10
372
196
80
177 1,3,59,177
4
240
63
116
40 difettivi
178 1,2,89,178
4
270
92
88
40 difettivi
179 1,179
1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,
180
60, 90,180
181 1,181
2
180
1
178
18
546
366
48
2
182
1
180
182 1,2,7,13,14,26,91,182
8
336
154
72
42 difettivi
183 1,3,61,183
4
248
65
120
42 difettivi
184 1,2,4,8,23,46,92,184
8
360
176
88
42 difettivi
185 1,5,37,185
4
228
43
107
42 difettivi
186 1,2,3,6,31,62,93,186
8
384
198
60
187 1,11,17,187
4
216
29
160
42 difettivi
188 1,2,4,47,94,188
6
336
148
92
42 difettivi
189 1,3,7,9,21,27,63,189
8
320
131
108
42 difettivi
190 1,2,5,10,19,38,95,190
8
360
170
72
42 difettivi
191 1,191
2
192
1
190
14
508
316
64
193 1,193
2
194
1
192
194 1,2,97,194
4
294
100
96
44 difettivi
195 1,3,5,13,15,39,65,195
8
336
141
96
44 difettivi
196 1,2,4,7,14,28,49,98,196
9
399
203
84
44 abbondanti
197 1,197
2
198
1
196
12
468
270
60
2
200
1
198
12
465
265
80
176 1,2,4,8,11,16,22,44,88,176
192 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,64,96,192
198 1,2,3,6,9,11,18,22,33,66,99,198
199 1,199
200 1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200
49
39 primi, difettivi
39 abbondanti
40 primi, difettivi
40 abbondanti
40 difettivi
40 abbondanti
41 primi, difettivi
41 abbondanti, alt.composti
42 primi, difettivi
42 abbondanti
43 primi, difettivi
43 abbondanti
44 primi, difettivi
45 primi, difettivi
45 abbondanti
46 primi, difettivi
46 abbondanti
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
5 - DISPOSIZIONI INFINITE DI NUMERI
Fin qui si sono considerati numeri interi presi singolarmente o a gruppi, o ancora in sequenze
infinite, ma sempre di tipo “lineare”; in termini geometrici, si potrebbe dire che siamo rimasti
sulla retta unidimensionale.
In questo capitolo si intende, invece, ampliare l’orizzonte al piano bidimensionale, esaminando
alcune disposizioni infinite di numeri interi che si possono rappresentare con la classica
struttura ortogonale della matrice (righe/colonne) o con altre forme geometriche.
Saranno trattate disposizioni molto note e altre sconosciute o quasi, ma tutte con una
caratteristica comune, quella di essere definite da regole di costruzione estremamente semplici.
5.1 - IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA
Cominciamo questa trattazione con quella che, probabilmente, è la disposizione infinita di
numeri interi più celebre in assoluto: il Triangolo di Tartaglia41 o Triangolo di Pascal.
In Francia e nei paesi anglosassoni si parla di "Triangolo di Pascal", poiché il grande
matematico e filosofo francese dedicò a questa disposizione un testo specifico (Traité du
triangle arithmétique, 1653), che ebbe notevole successo, ma in realtà il matematico italiano
l’aveva già descritta un secolo prima nel suo General trattato di numeri et misure (1556).
Dunque, per semplici ragioni cronologiche, scevre da qualsiasi campanilismo, in questo testo lo
definiremo Triangolo di Tartaglia.
Comunque lo si voglia chiamare, l’origine di questo triangolo si perde nella proverbiale “notte
dei tempi”: lo conosceva già il matematico, poeta e filosofo persiano Omar Khayyam (vissuto
intorno al 1100), che - a sua volta - ne aveva avuto notizia da fonti indiane o cinesi ancora
precedenti.
Il triangolo ha tante e tali proprietà che ci vorrebbero più volumi per descriverle tutte e per
approfondire i collegamenti - talora insospettabili - con le principali successioni numeriche,
nonché le possibili applicazioni nei più svariati campi della matematica. E tutto ciò a fronte di
una regola di costruzione semplicissima, comprensibile anche per un bambino delle scuole
elementari.
Ecco le prime righe del Triangolo di Tartaglia.
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
10 10 5
1
1
6 15 20 15 6
1
1
7 21 35 35 21 7
1
1
8 28 56 70 56 28 8
1
1
9 36 84 126 126 84 36 9
1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
41
5
Dal nome del matematico bresciano Niccolò Fontana (1499-1557), detto Tartaglia per le sue difficoltà ad articolare le
parole, dovute a una ferita alla mandibola occorsagli da bambino.
50
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Vediamo ora alcune delle principali proprietà di questa disposizione infinita, tenendo presente
che le righe orizzontali sono numerate a partire da r0 (quella contenente un solo “1”) e le
diagonali a partire da d0 (quella composta da tutti “1”).
Per esempio, la riga orizzontale contenente i numeri 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 sarà
identificata con r8, e la diagonale che comprende 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120 con d3.
Potenze di un binomio
Cominciamo con una proprietà assai nota del nostro triangolo: il suo legame con le successive
potenze di un generico binomio a±b.
Tra le tante formule matematiche apprese nel corso del liceo, una che normalmente tutti gli
studenti ricordano è quella del quadrato del binomio: (a±b)2=a2±2ab+b2. I coefficienti numerici
del polinomio risultante sono 1-2-1, e coincidono esattamente con i numeri che compongono la
riga r2 del Triangolo di Tartaglia.
Ciò vale anche per tutte le successive potenze del binomio (a±b)n. Ad esempio, r4 comprende i
numeri 1-4-6-4-1 e, in effetti - ordinando il polinomio risultante per potenze decrescenti di a e
crescenti di b - si verifica facilmente che (a±b)4 = a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4.
Triangolo di Tartaglia e calcolo combinatorio
Il Triangolo di Tartaglia ha molti e significativi collegamenti con il calcolo combinatorio; per
brevità, ne segnaliamo solo un paio.
In quanti modi diversi si possono scegliere k elementi in un insieme di n? Come è noto, la
risposta è data dal cosiddetto coefficiente binomiale:
Ma si può ottenere lo stesso risultato in maniera assai più semplice, senza bisogno di calcolare i
fattoriali di n e di k: è sufficiente prendere il numero all’intersezione tra n-esima riga e k-esima
diagonale del Triangolo.
Per esempio, per sapere in quanti modi diversi posso scegliere 4 oggetti all’interno di un gruppo
di 7, non è necessario applicare la formula (7! / 4!×3! = 5.040 / 24×6 = 35); basta guardare il
numero posto all’incrocio tra r7 e d4, e il gioco è fatto! (questa volta il punto esclamativo non
c’entra niente con il fattoriale…).
Un’altra applicazione simile è la seguente: dato un reticolo di punti collegati tra loro
orizzontalmente e verticalmente come nella figura che segue, quanti sono i percorsi diversi di
distanza minima42 che collegano due di tali punti?
42
In questo caso il concetto di “distanza” è quello della cosiddetta “Geometria del taxi” (“Taxicab geometry” in inglese),
in cui si immagina una città suddivisa in isolati quadrati e la distanza tra due punti equivale al percorso più breve che deve
fare un’auto per passare da uno all’altro, muovendosi - ovviamente - per linee orizzontali o verticali.
51
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
In questo caso i possibili percorsi diversi che collegano il punto (0,0) con il punto (4,4) sono 70.
Ebbene, tale risultato si può agevolmente ricavare dal Triangolo di Tartaglia tramite un
semplice accorgimento grafico: basta ruotare il triangolo di 45 gradi in modo da trasformarlo in
una matrice ortogonale e considerare ogni numero come uno dei punti del reticolo.
Si ottiene così un rettangolo, nel quale il numero posto nel vertice opposto all’1 iniziale dà il
risultato cercato.
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1
1
1
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1
1
2
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4
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3
6
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4
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10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1
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1
1
1
1
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8
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2
3
4
5
6
5
28 56 70 56 28
1
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21
56
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Triangolo di Tartaglia e successioni numeriche
All’inizio del capitolo si diceva degli stretti collegamenti esistenti tra il Triangolo di Tartaglia e
svariate successioni numeriche; riportiamo ora alcuni esempi.
 La diagonale d1 è formata dai numeri naturali, d2 esprime i numeri triangolari (1, 3, 6, 10…),
d3 quelli tetraedrici (1, 4, 10, 20…) e così via: le successive diagonali d4, d5 … dk, infatti,
indicano l’equivalente dei numeri triangolari nello spazio a 4, 5 … k dimensioni.
 Se consideriamo le diagonali meno inclinate del triangolo (nell’ordine, quelle composte da
1; 1; 1-1; 1-2; 1-3-1; 1-4-3; 1-5-6-1 etc.), la somma dei numeri che le compongono fornisce
la successione di Fibonacci! Questa proprietà - messa in luce solo nella seconda metà del
XIX secolo - è davvero notevole, poiché collega tra di loro due strutture numeriche
fondamentali, che condividono la caratteristica di essere tanto semplici quanto ricche di
applicazioni in tutti i campi della matematica (e oltre).43
 Partendo dal vertice e scendendo in verticale, invece, si ha una sequenza di valori (1, 2, 6,
20, 70…) che - divisi successivamente per 1, 2, 3, 4, 5… - producono i numeri di Catalan di
cui si è parlato nel Capitolo 2.
Altre proprietà numeriche
Segnaliamo ancora altre tre proprietà numeriche del Triangolo di Tartaglia sulle quali - per
brevità - non ci soffermiamo in questa sede:
 La somma dei numeri compresi nella riga rn equivale a 2n. Ad esempio, la somma dei valori
della riga r5 (1-5-10-10-5-1) vale 32, ossia 25.
 La riga rn comprende esclusivamente numeri dispari se e solo se n=2k-1. Ad esempio, 7
equivale a 23-1 e r7 è costituita dai numeri 1-7-21-35-35-21-7-1.
 A parte i due “1” agli estremi, la riga rn è composta da numeri tutti divisibili per n se e solo
se n è un numero primo. Ad esempio, la riga r11 è formata dai numeri 1-11-55-165-330-462462-330-165-55-11-1, numeri che - come è facile verificare - sono tutti divisibili per 11.
Sottotriangoli
Passiamo adesso a esaminare un’altra notevole proprietà del Triangolo di Tartaglia, che risulta
evidente utilizzando i colori o altri accorgimenti grafici. Allargando sufficientemente il
triangolo e identificando in modo differente i numeri pari e quelli dispari, si possono osservare
diverse forme triangolari di dimensioni sempre maggiori.
Riportiamo una parte del triangolo in cui, per chiarezza, sarà applicato un fondino colorato ai
numeri pari.
43
Una breve considerazione “metamatematica”, che non approfondiamo: questo stretto rapporto tra semplicità e ricchezza
di proprietà e di applicazioni si ritrova spesso in matematica e fa pensare alla ben nota teoria del “Rasoio di Occam”.
53
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11
1
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1
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1
1
14
15
36
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45
55
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78
91
28
9
1
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56
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35
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120 210 252 210 120
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165 330 462 462 330 165
1
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55
220 495 792 924 792 495 220
1
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286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
1
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364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
1
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1
14
105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105
1
15
1
Ma c’è di più: la stessa proprietà vale anche se si prendono in considerazione non i numeri pari
o dispari, ma quelli che sono multipli o meno di un qualsiasi numero primo.
Si propone il caso del numero 3, per il quale - anche con un numero relativamente limitato di
righe - si riescono a distinguere i triangoli “capovolti” di cui si è detto; disponendo di più
spazio, si potrebbe faro lo stesso con 5, 7, 11 o un altro numero primo di qualunque
dimensione.
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3
1
1
7
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9
1
1
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15
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28
210
165 330
220 495
792
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462
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330 165
792
1
1
10
55
495 220
1
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66
286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
1
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364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
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120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120
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Un gioco di magia
Tra le numerose applicazioni del Triangolo di Tartaglia in ambito non strettamente matematico,
ne citiamo ancora una nella quale questa disposizione numerica viene utilizzata per un gioco di
magia tutt’altro che banale.
Il gioco si sviluppa attraverso i seguenti passi:
- dite a qualcuno di scrivere cinque numeri di una cifra44 in sequenza;
- osservate i numeri per un tempo sufficiente e con un calcolo mentale scrivete un numero su
un foglietto che metterete in tasca;
- dite di sommare i primi due numeri, poi il secondo e il terzo e così via, calcolare le radici
numeriche dei risultati ottenuti (es. 6+7 = 13  radice numerica = 4) e scriverle al di sotto
della coppia di partenza;
- fate ripetere più volte il procedimento fino a quando rimane un solo numero.
A questo punto, tirate fuori il foglietto, in cui sarà scritto esattamente lo stesso numero.
Come avete fatto? Basta moltiplicare i cinque numeri iniziali rispettivamente per 1, 4, 6, 4 e 1 (i
coefficienti della riga r4 del Triangolo di Tartaglia), fare la somma e calcolare la radice
numerica; si tratta di un calcolo mentale che per una/un appassionata/o di matematica non
dovrebbe essere troppo complicato. Facciamo un esempio con cinque numeri a caso:
2
3
5
5
8
4
7
3
2
6
4

21+34+56+74+41 = 2+3+3+1+4 = 4
2
5
7
4
Il gioco appare ancora più sbalorditivo (anche se è più laborioso per chi scrive) se si parte con
10 numeri. In tal caso, infatti, i coefficienti da utilizzare sono quelli della riga r9 del triangolo,
ossia 1-9-36-84-126-126-84-36-9-1, ma ben sei di questi - multipli di 9 - hanno la radice
numerica pari a 0, dunque si possono ignorare nel calcolo mentale di cui si è detto.
A questo punto rimangono soltanto 4 coefficienti (1°, 4°, 7° e 10°), che hanno radice numerica
pari rispettivamente a 1, 3, 3, 1. Basta, allora, considerare il primo e l’ultimo dei 10 numeri
iniziali, sommarli al triplo del 4° e del 7°, trovare la radice numerica e, voilà, il gioco è fatto!
Esempio:
2
3
5
5
8
4
4
0
8
3
8
3
3
2
5
0
3
5
1
7
6
7
7
1
6
7
5
1
8
0
2
1
4
6
7
7
2
3
1
4
3
2
6
3
1
4
1
8
1
8
0
2
6
0
0
44
Il gioco funziona con numeri di qualsiasi dimensione, ma - per semplicità - conviene limitarsi a quelli più piccoli.
55
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Con poche semplici operazioni - operando come sopra indicato - si può agevolmente pervenire
allo stesso risultato: 2 + 4 + 43 + 33 = 2+4+3+0 = 0.
5.2 - TRIANGOLO DI BELL
Vediamo ora un triangolo assai meno celebre, ma non certo privo di interesse; si tratta del
cosiddetto Triangolo di Bell, che si costruisce in maniera simile al Triangolo di Tartaglia, con
un procedimento additivo che - di fatto - è più complicato da spiegare che da mettere in pratica.
Si scrive 1 nella prima riga. La seconda riga inizia con l'ultimo numero della riga precedente,
poi si aggiunge come secondo numero la somma tra il numero precedente e quello posizionato
al di sopra.
1
1
2 (1+1)
La terza riga inizia con l'ultimo numero della seconda; poi si scrive il numero ottenuto
sommando il numero precedente con il numero che gli sta sopra e si ripete due volte lo stessa
operazione:
1
1
2
2
3 (2+1)
5 (3+2)
Procedendo più volte con le stesse modalità, si ottiene un triangolo del quale riportiamo le
prime righe.
1
1
2
5
15
52
203
2
3
7
20
67
255
5
10
27
87
322
15
37
114
409
52
151
523
203
674
877
Tra le proprietà di questa disposizione vale la pena di segnalarne una: sommando i termini che
compongono ciascuna linea si ottengono, in sequenza, i numeri della seconda diagonale infinita
(partendo dall’estrema destra).
Ad esempio, sommando i numeri presenti nella 4° linea (5, 7, 10, 15) si ottiene 37, che è
proprio il quarto numero della diagonale suddetta.
Invece, ruotando il triangolo appena visto, si può ricavare una sorta di Triangolo di Tartaglia
rovesciato:
56
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1
2
1
5
3
2
15
52
10
7
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37
27
151
114
20
15
203
87
67
409
255
203
674
523
322
52
877
…
…
…
…
…
…
…
…
Ebbene, questo triangolo ha una notevole proprietà: ogni numero equivale alla differenza tra i 2
numeri che stanno sopra di esso, rispettivamente a destra e a sinistra. In altre parole, lo
potremmo definire un Triangolo di Tartaglia “sottrattivo” (ammesso che tale parola esista),
anziché additivo.
Concludiamo ricordando che i numeri evidenziati in grassetto costituiscono una successione - i
numeri di Bell, per l’appunto - di cui si è parlato nel Capitolo 2, e che ha una notevole
importanza nel calcolo combinatorio.
5.3 - MATRICI DI WYTHOFF E DI STOLARSKY
Facciamo ancora un breve accenno a due disposizioni di numeri assai poco conosciute: la
Matrice di Wythoff e la Matrice di Stolarsky.
Anche in questo caso ci troviamo di fronte a una disposizione infinita di numeri interi, stavolta
nella più consueta forma ortogonale anziché in quella triangolare.
Per cominciare, vediamo le prime 10 righe e 12 colonne di entrambe le matrici.
MATRICE DI WYTHOFF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
2
4
7
11
18
29
47
76
123
199
322
521
843
3
6
10
16
26
42
68
110
178
288
466
754
1.220
4
9
15
24
39
63
102
165
267
432
699
1.131
1.830
5
12
20
32
52
84
136
220
356
576
932
1.508
2.440
6
14
23
37
60
97
157
254
411
665
1.076
1.741
2.817
7
17
28
45
73
118
191
309
500
809
1.309
2.118
3.427
8
19
31
50
81
131
212
343
555
898
1.453
2.351
3.804
9
22
36
58
94
152
246
398
644
1.042
1.686
2.728
4.414
10
25
41
66
107
173
280
453
733
1.186
1.919
3.105
5.024
57
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MATRICE DI STOLARSKY
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
2
4
6
10
16
26
42
68
110
178
288
466
754
3
7
11
18
29
47
76
123
199
322
521
843
1.364
4
9
15
24
39
63
102
165
267
432
699
1.131
1.830
5
12
19
31
50
81
131
212
343
555
898
1.453
2.351
6
14
23
37
60
97
157
254
411
665
1.076
1.741
2.817
7
17
28
45
73
118
191
309
500
809
1.309
2.118
3.427
8
20
32
52
84
136
220
356
576
932
1.508
2.440
3.948
9
22
36
58
94
152
246
398
644
1.042
1.686
2.728
4.414
10
25
40
65
105
170
275
445
720
1.165
1.885
3.050
4.935
Che cosa hanno di interessante queste due matrici? Esaminandole in dettaglio, si può osservare
che:
- la prima riga (uguale per entrambe) è formata dai numeri di Fibonacci;
- ogni riga - non solo la prima - osserva la regola di costruzione delle successioni di Fibonacci
generalizzate;
- ogni numero intero appare una e una sola volta nella matrice;
- il primo termine di ogni riga è il più piccolo intero non presente nelle righe precedenti.
In alcuni casi le righe delle due matrici sono esattamente uguali; ad esempio - prendendo in
esame le prime righe - si riscontra una coincidenza assoluta per r1, r4, r6, r7, r9.
Non si sa se esista una regola per stabilire in che modo si susseguano le righe identiche
all’interno delle due matrici. Egualmente, non è noto se le righe coincidenti siano infinite,
anche se tale ipotesi sembra assai probabile.
Infine, segnaliamo una curiosità riguardante l’ottava riga della matrice di Wythoff: i suoi valori
corrispondono alla somma di numeri appartenenti alle due sequenze additive fondamentali,
quella di Fibonacci e quella di Lucas.
In particolare, i numeri di questa particolare riga sono esprimibili nella forma Fn+1+Ln, a partire
da n=5: 19 è pari alla somma tra F6 (8) e L5 (11), 31 equivale a F7 (13) e L6 (18) e così via.
Non è semplice raccapezzarsi con tutti questi indici; dunque, per maggiore chiarezza, conviene
riportare in una tabella quanto appena detto.
CONFRONTO TRA NUMERI DI FIBONACCI, DI LUCAS E MATRICE DI WYTHOFF
Numeri di Fibonacci (da F6)
8
13
21
34
55
89
144
233
…
Numeri di Lucas (da L5)
11
18
29
47
76
123
199
322
…
Matrice di Wythoff - Riga 8
19
31
50
81
131
212
343
555
…
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6 - QUADRATI E ALTRE FIGURE MAGICHE
Facciamo un passo indietro: dopo aver trattato nel capitolo precedente alcune disposizioni
infinite di numeri, come il ben noto Triangolo di Tartaglia, torniamo con questo capitolo a
occuparci di strutture finite.
In particolare, si prenderanno in esame disposizioni di forme diverse che hanno in comune la
proprietà di essere in qualche modo “magiche”, nel significato che verrà spiegato più avanti.
Anche se una particolare attenzione sarà riservata ai quadrati magici (comprese alcune varianti
sul tema principale), si tratteranno anche figure magiche diverse - e assai meno conosciute - che
presentano proprietà molto interessanti e talora sorprendenti.
6.1 - QUADRATI MAGICI
Quadrati magici “normali”
I Quadrati Magici sono matrici quadrate NxN di numeri interi consecutivi (da 1 a N2) costruite
in modo tale che rimanga sempre costante la somma di ogni riga, colonna o diagonale
principale. Tale somma, detta anche “costante magica”, è facilmente ricavabile; la formula è:
(N3+N)/2.
QUADRATI MAGICI FINO ALL’ORDINE 12 - COSTANTI MAGICHE
Ordine
Costante magica
Ordine
Costante magica
Ordine
Costante magica
1
1
5
65
9
369
2
impossibile
6
111
10
505
3
15
7
175
11
671
4
34
8
260
12
870
I quadrati magici sono noti fin dai tempi più antichi: basti citare il seguente quadrato 3x3, noto
come “Lo Shu”, di origine cinese e con costante magica 15:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Il Lo Shu è legato a una leggenda che parla di una disastrosa piena del fiume Lo. La gente
offriva, invano, sacrifici al dio del fiume; dopo ognuno di essi compariva una tartaruga.
Finalmente, un bambino si accorse che essa portava raffigurato sul guscio un quadrato magico
3x3, a indicare che il dio voleva un sacrificio di 15 (costante magica) animali. Accolta la
richiesta, la piena del fiume cessò.
Il Lo Shu è stato interpretato anche come simbolo dell'armonia universale, poiché comprende i
numeri da 1 (inizio di tutte le cose) a 9 (completamento).
59
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Alcune proprietà dei quadrati magici
I quadrati magici rimangono tali anche operando alcune trasformazioni; ad esempio:
- simmetria rispetto alla mediana (orizzontale o verticale);
- simmetria rispetto a una diagonale;
- sostituzione di ogni numero col suo complementare rispetto a N2+1.
Esiste un’altra proprietà - semisconosciuta, ma decisamente notevole - che, però, vale soltanto
per il quadrato 3x3. Sommando i quadrati dei 3 numeri costruiti con le cifre poste sulle righe
(492, 357, 816) si ottiene lo stesso risultato derivante dalla somma degli stessi numeri presi al
contrario: 4922+3572+8162 = 2942+7532+6182 = 1.035.369. La stessa proprietà vale anche per i
3 numeri costruibili lungo le colonne e, addirittura, per quelli che si possono ricavare dalle
diagonali (intere o spezzate) del quadrato!
Quadrati magici dei diversi ordini
Il quadrato magico di ordine 1 è banale. E’ immediato verificare che quello di ordine 2 non è
possibile, mentre per tutti gli altri ordini N vi sono quadrati magici diversi in una quantità che
cresce al crescere di N, diventando ben presto esorbitante. E’ stato calcolato, infatti, che - senza
contare le rotazioni e le riflessioni - esistono:
- Ordine 3: 1 quadrato magico
- Ordine 4: 880 quadrati magici
- Ordine 5: 275.305.224 quadrati magici
- Ordine 6: si stimano oltre 17 miliardi di miliardi di quadrati magici
Resta da risolvere il problema più generale: esiste una regola per determinare il numero di
quadrati magici per un dato ordine N?
Concludiamo questa parte ricordando che i quadrati magici sono citati anche nell’arte e nella
letteratura: l’esempio più famoso è quello del dipinto di Dürer “Melancolia I”, in cui è ben
visibile un quadrato magico nel quale le celle centrali dell’ultima riga indicano la data di
composizione dell’opera, il 1514.
Quadrati diabolici
I Quadrati Diabolici sono quadrati magici che, oltre a righe, colonne e diagonali principali,
mantengono la somma costante anche sulle diagonali “spezzate”. Di fatto, i quadrati diabolici
forniscono lo stesso risultato anche se si opera in altri modi (ad esempio, spostando una riga
dalla posizione più alta a quella più bassa o una colonna da un lato all’altro).
60
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Il loro nome deriva proprio dal fatto che la costante magica sembra avere la capacità diabolica
di saltar fuori comunque si rigiri il quadrato iniziale.
Esistono quadrati diabolici per qualsiasi ordine N>3, purché N sia dispari oppure sia pari ma
divisibile per 4; non è possibile, ad esempio, costruire i quadrati diabolici 6x6 o 10x10.
Un celebre quadrato diabolico è quello trovato in un’iscrizione del XII secolo in India,
denominato “Quadrato di Nasik”, dal nome della località in cui venne scoperto.
7
12
1
14
2
13
8
11
16
3
10
5
9
6
15
4
In questo quadrato la costante magica 34 si può ottenere in ben 86 modi diversi tra cui se ne
indicano solo alcuni:
- somma dei 4 numeri centrali;
- somma dei 4 numeri d’angolo;
- somma dei numeri centrali di prima e ultima riga;
- somma dei numeri centrali di prima e ultima colonna;
- somma dei numeri dei 4 quadrati 2x2 ottenuti tagliando a metà la figura in verticale e in
orizzontale.

Quadrati Eteromagici e Antimagici
I Quadrati Eteromagici si comportano esattamente al contrario rispetto a quelli magici: la
somma di righe, colonne e diagonali deve essere sempre diversa.
Esistono quadrati eteromagici per ogni ordine N>2.
Più interessanti sono, indubbiamente, i Quadrati Antimagici, che rispetto ai precedenti hanno
un importante vincolo in più: la somma costruita su righe, colonne e diagonali deve dare una
sequenza di numeri consecutivi.
Ecco un esempio di quadrato antimagico:
34
2
15
5
13
35
16
3
7
12
38
9
8
14
1
32
6
4
11
10
31
33
30
37
36
29
I più piccoli quadrati antimagici sono di ordine 4 e, come nell’esempio appena visto, le diverse
somme (per righe, colonne e diagonali principali) danno i numeri da 29 a 38.
Non si sa se esistano quadrati antimagici per ogni ordine N>3.
61
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Costruzione di quadrati magici
A prima vista costruire un quadrato magico potrebbe sembrare complicato; in realtà, non è così,
anzi in alcuni casi il procedimento è ridicolmente semplice.
Per ogni ordine N con N pari e divisibile per 4, basta scrivere i numeri in ordine da 1 a N2…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16
2
3
4
5
11
7
8
9
10
6
12
13
14
15
1
poi invertire la prima diagonale…
poi invertire la seconda diagonale, ottenendo il quadrato desiderato:
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1
Vi è anche un procedimento, leggermente più complicato, per costruire un quadrato magico di
ordine dispari. Si comincia scrivendo 1 nella cella centrale della prima riga…
1
poi si prosegue nella colonna seguente salendo di una fila. Se si è nella 1° fila, si riparte da
quella più bassa; se si è nell'ultima colonna, si riparte dalla 1° a sinistra…
1
5
4
3
2
62
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
se il posto è già occupato, si scrive il numero immediatamente sotto all’ultimo immesso…
1
5
4
8
7
6
3
2
e così via fino a completare il quadro:
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
Anche la costruzione di quadrati eteromagici è estremamente semplice.
Per i quadrati di ordine dispari basta scrivere i numeri a spirale partendo dalla prima cella; per
quelli di ordine pari, il procedimento è ancora più banale: basta scrivere in sequenza, a partire
dalla cella in alto a sinistra, tutti i numeri da 1 a N2 e poi cambiare di posto l’1 e il 2:
34
2
1
3
4
10
5
6
7
8
26
9
10
11
12
42
13
14
15
16
58
29
31
36
40
35
Non si conosce un procedimento semplice per costruire quadrati diabolici o quadrati
antimagici; d’altro canto, queste figure hanno un grado di complessità assai più alto rispetto a
quelle precedenti.
Altre varianti sul tema
Eliminando il vincolo che i numeri contenuti nel quadrato siano consecutivi e partano da 1, si
possono elaborare diverse varianti sul tema dei quadrati magici; eccone alcune.
Quadrati magici moltiplicativi
Come è facile intuire, questi quadrati sono magici rispetto alla moltiplicazione anziché rispetto
all’addizione. Il più piccolo quadrato moltiplicativo è di ordine 3 e ha costante magica 216:
12
1
18
9
6
4
2
36
3
63
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Quadrati magici additivi-moltiplicativi
Esistono anche quadrati che sono magici sia rispetto all’addizione che alla moltiplicazione. Il
più piccolo ha ordine 8, la costante additiva è 600 e quella moltiplicativa 67.463.283.888.000
(poco meno di 70.000 miliardi).
Quadrati Bimagici
Si è pensato anche a quadrati magici che rimangono tali se tutti i numeri che li compongono
vengono elevati alla seconda. Il più piccolo ha ordine 8 e somme magiche 260 e 11.180,
rispettivamente per i numeri e per la loro seconda potenza:
16
41
36
5
27
62
55
18
26
63
54
19
13
44
33
8
1
40
45
12
22
51
58
31
23
50
59
30
4
37
48
9
38
3
10
47
49
24
29
60
52
21
32
57
39
2
11
46
43
14
7
34
64
25
20
53
61
28
17
56
42
15
6
35
Quadrati Trimagici
Per completezza d’informazione, aggiungiamo che qualcuno si è preso la briga di lavorare
anche sui quadrati che rimangono magici se i numeri vengono elevati alla seconda e alla terza
potenza. Il più piccolo di questi quadrati ha ordine 12 e costanti magiche rispettivamente pari a
870, 83.810 e 9.082.800.
Quadrati magici di numeri primi
La fantasia non ha limiti: sono stati studiati anche quadrati magici composti esclusivamente da
numeri primi; il più piccolo - di ordine 3 e somma magica 111 - è il seguente:
67
1
43
13
37
61
31
73
7
Quadrati magici di numeri non interi
Infine, uscendo per un momento dal campo dei nostri amati numeri interi, segnaliamo che vi è
un modo molto semplice per costruire un quadrato magico 3x3 contenente qualsiasi numero si
desideri (razionale o anche reale). Per farlo è sufficiente utilizzare il seguente schema:
a-c
a-b+c
a+b
a+b+c
a
a-b-c
a-b
a+b-c
a+c
64
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Se si vuole, ad esempio, costruire un quadrato magico contenente , basta inserire tale valore
nella casella centrale e poi seguire le indicazioni, usando due numeri qualsiasi al posto di b e c.
Il quadrato magico del “Sator”
Non si può concludere la trattazione sui quadrati magici senza accennare - sia pure in modo
estremamente sintetico, visto che si esula dall’ambito strettamente numerico - al celeberrimo
quadrato detto del “Sator”, un quadrato di lettere che riporta una scritta doppiamente
palindroma, ossia leggibile indifferentemente da sinistra, da destra, dall’alto e dal basso.
Il quadrato del “Sator” presente su un lato del Duomo di Siena
Questo quadrato è visibile su un numero sorprendentemente vasto di monumenti sparsi in tutta
Europa, da Le-Puy (Francia) a Santiago di Compostela (Spagna). In Italia il quadrato “del
Sator” si trova, tra l’altro, su un lato del Duomo di Siena e nella Certosa di Trisulti (FR).
Ma quello più celebre - e più antico - fu rivenuto nel 1925, inciso su una colonna degli scavi di
Pompei; da qui il nome di “latercolo pompeiano” con cui spesso è citato.
La frase "SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS" riportata dal quadrato è di dubbia
interpretazione, anche perché non si tratta di latino puro; sembra chiaro, però, che il seminatore
di cui si parla sia Dio. Una traduzione potrebbe essere “Il seminatore con il suo carro - arepo dirige le ruote (nel senso di sfere celesti)”.
E chiudano un occhio, se non tutti e due, i cultori della lingua di Virgilio e di Cicerone!
E’ stata suggerita anche l’ipotesi di un riferimento segreto all’Apocalisse, osservando che le
lettere del quadrato possono comporre una croce con la scritta “PATERNOSTER” che si
incrocia sulla lettera N. Avanzano 2 “A” e 2 “O” che - poste ai quattro estremi della croce indicherebbero l’alfa e l’omega, ossia il principio e la fine.
Secondo questa interpretazione, che è certamente suggestiva anche se appare un po’ forzata, il
quadrato sarebbe in realtà una croce dissimulata, un sigillo nascosto in uso tra i primi cristiani
ai tempi delle persecuzioni romane.
65
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6.2 - TRIANGOLI MAGICI?
Anche se ne costituiscono il caso più noto, i quadrati non esauriscono il campo dei poligoni
magici; altre figure si prestano a costruire disposizioni di numeri in forma tale che la somma
rimanga sempre costante lungo tutti gli allineamenti possibili, dipendenti dalle caratteristiche
delle figure stesse.
Di primo acchito, si potrebbe pensare che non sia difficile costruire figure magiche similari
utilizzando altri tipi di poligoni regolari. In realtà, è vero esattamente il contrario: non è
possibile in alcun modo rendere magici pentagoni, ettagoni, ottagoni o poligoni qualsiasi con un
numero di lati superiore.
La dimostrazione si basa su semplici considerazioni geometriche.
Per costruire una figura magica con tanti poligoni regolari uguali tra loro occorre che i poligoni
stessi possano essere accostati l’uno all’altro lungo un lato in modo da riempire il piano senza
lasciare alcuno spazio.45 Ma la misura degli angoli interni di ogni “cella” deve essere un
divisore intero di 360 - i gradi dell’angolo giro - per cui gli unici poligoni regolari che possono
andar bene sono il triangolo equilatero (che ha angoli interni di 60°), il quadrato (angoli interni
di 90°) o l'esagono regolare (angoli interni di 120°).
La conclusione è che con qualsiasi altro poligono regolare si può, al più, costruire una banale
figura magica costituita da una sola cella in cui si inserisce il numero 1.
Esaminiamo, allora, il caso del triangolo equilatero, a partire da un’immagine che, nella
fattispecie, raffigura la struttura di un eventuale triangolo magico di ordine 4.
Basta uno sguardo alla figura per rendersi conto che non c’è nessuna possibilità di far sì che
essa diventi magica, inserendo i numeri nei vari triangolini.
Infatti, le celle poste ai vertici costituiscono esse stesse una delle linee su cui calcolare la
somma, per cui dovrebbero contenere tutte e tre lo stesso numero, pari alla costante magica. Ma
se anche si volesse - data la particolare configurazione - eliminare il vincolo che tutti i numeri
siano diversi tra loro, non otterremmo egualmente alcun miglioramento, in quanto le tre celle
suddette costituiscono ciascuna una riga, ma nello stesso tempo sono parte di un’altra riga, in
un’altra direzione. Dunque, dovrebbero contenere un numero che equivale alla costante magica,
ma contemporaneamente è soltanto una parte di essa.
45
In matematica si esprime questo concetto dicendo che una determinata figura ha la proprietà di “tassellare” il piano.
Segnaliamo un interessante articolo in proposito: Carlo Sintini, La tassellatura del piano, Matematicamente.it (ottobre
2012).
66
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6.3 - ESAGONI MAGICI
Escluso il triangolo, non rimane che provare a vedere che cosa succede nel caso dell’esagono
regolare.
In sostanza, si tratta di accostare tante cellette esagonali, unite lungo uno dei lati, fino a formare
la classica struttura dell’alveare. A questo punto, si deve prendere in considerazione un esagono
composto da un numero eguale di celle lungo i suoi tre lati esterni e, successivamente, inserire
in ogni cella un numero intero, cercando di far sì che la somma delle righe nelle tre direzioni sia
sempre la stessa.
Si può evidenziare una prima, significativa differenza (che, peraltro, non costituisce un
problema) rispetto al quadrato magico: mentre quest’ultimo ha lo stesso numero di celle lungo
le sue due direzioni - righe e colonne - nel caso dell’esagono non è così. Ad esempio, l’esagono
di ordine 4 è composto da 37 celle, ripartite in sette file che hanno 4, 5, 6, 7, 6, 5 e 4 celle
ciascuna.
Il primo esagono non banale, quello di ordine 2, è costituito da sette celle, ma non può mai
diventare magico: le righe da considerare - infatti - sono tre, ma la somma dei primi 7 numeri
interi equivale a 28, che non è divisibile per 3.
Esagoni magici ”puri”
Occorre, dunque, passare al successivo esagono, che ha ordine 3 ed è composto da 19 celle
ripartite su 5 file. La somma dei primi 19 numeri interi vale 190; dunque, stavolta la costante
magica (38) è un numero intero, per cui un esagono magico è teoricamente possibile.
E tale esagono esiste effettivamente, come si vede nella seguente figura.
Gli Esagoni magici di ordine 3 sono un “prodotto” piuttosto recente: il primo a trattarli fu
l’architetto tedesco Ernst von Haselberg, nel 1887; successivamente, si è accennato ad essi più
volte in diverse opere dedicate alla matematica ricreativa.
Ma come mai non esiste alcun riferimento agli esagoni magici prima di fine ‘800, mentre i
quadrati magici sono noti sin dall’antichità? Ciò si deve al fatto che le due figure si comportano
in modo diametralmente opposto: mentre - come si è visto - non è difficile trovare una
soluzione al problema del quadrato magico, almeno per alcuni ordini, costruire un esagono
magico costituisce un quesito estremamente complicato da risolvere.
67
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Il già citato Martin Gardner, "guru" della matematica ricreativa, riporta in proposito il curioso
aneddoto di un ferroviere che - dopo oltre 40 anni di tentativi - aveva trovato la soluzione
dell’esagono magico di ordine 3, poi l’aveva persa e ritrovata nuovamente.46
Non considerando le possibili disposizioni simmetriche rispetto agli assi, per l’esagono di
ordine tre esiste soltanto la soluzione riportata nella precedente figura. Ma c’è di più:
espandendo l’esagono il numero di soluzioni non aumenta, come si potrebbe immaginare; al
contrario, non esiste nessun esagono magico per nessun ordine superiore a tre.
La dimostrazione non richiede particolari conoscenze matematiche: basta calcolare la costante
magica in funzione del numero di righe dell’esagono, poi - con pochi passaggi - si ottiene una
formula polinomiale nella quale il termine noto vale 5/(2n-1). Ovviamente, gli unici valori per
cui tale quantità è intera sono 1 e 3, che conducono al banale esagono di una sola casella oppure
a quello visto nella figura precedente.
La stupefacente conclusione è che - per usare le parole di Martin Gardner - mentre esistono
innumerevoli quadrati magici di qualsiasi ordine (2 escluso), tra le infinite, possibili
disposizioni di numeri in una forma esagonale, una ed una sola è “magica”!
Esagoni “quasi magici”
Se non esistono esagoni magici puri di ordine maggiore di 3, è però possibile costruire degli
Esagoni “quasi magici” eliminando qualcuno dei vincoli; in particolare, quello per cui gli n
numeri consecutivi debbano iniziare da 1.
Ne sono un esempio due esagoni di ordine 4 e 5 scoperti una decina d’anni fa dall’ucraino
Arsen Zahray; si tratta degli esagoni “quasi magici” con i numeri più piccoli possibili.
L’esagono di ordine 4 inizia con il numero 3, termina con 39 e la sua costante magica è 111;
quello di ordine 5 contiene i numeri da 6 a 66 e la sua costante magica vale 244.
Prima di concludere il paragrafo, segnaliamo un altro tipo di esagono “quasi magico” scoperto
da Louis Hoelbling sempre nel 2006 (evidentemente, un anno assai favorevole per gli
appassionati del tema!); questa volta vengono presi in considerazione anche i numeri negativi.
46
Vedi: Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici - Volume 1-5, SuperBUR, 2001.
68
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In particolare, si tratta di un esagono di ordine 8 formato da 169 celle contenenti tutti gli interi
da -84 a +84; come è facile immaginare, la sua costante magica vale 0.
https://it.wikipedia.org/wiki/File:Order_8_Magic_hexagon.png
T-esagoni magici
Un’altra variante sul tema è costituita dai cosiddetti T-esagoni magici; anch’essi - come gli
esagoni “quasi magici” visti in precedenza - costituiscono una novità nel panorama della
matematica ricreativa: sono stati studiati, infatti, soltanto nei primi anni del nuovo millennio.47
I T-esagoni magici sono esagoni suddivisi al loro interno in tanti triangolini; i numeri - sempre
interi e consecutivi a partire da 1 - devono essere inseriti nei triangolini suddetti in modo da
dare la stessa somma per ogni linea.
Il caso più semplice (ordine 1) è quello di un normale esagono regolare suddiviso in 6 triangoli
equilateri; evidentemente, questa figura non può mai essere magica.
Le cose cambiano passando all’ordine successivo. Il T-esagono raffigurato nell’immagine che
segue contiene i numeri da 1 a 24 (somma totale 300) e la sua costante magica vale 75.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thex4.jpg
47
Il primo T-esagono di ordine 2 fu ideato nel 2003; successivamente, è stato dimostrato che esistono esattamente
59.674.527 T-esagoni diversi di ordine 2.
69
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Più in generale, un T-esagono di ordine n ha 2n righe, è formato da 6n2 triangolini e la somma
di tutti i suoi numeri è data dalla formula S=6n2×(6n2+1) / 2. Da qui si ricava facilmente la
costante magica, che è S/2n, ossia 3n2×(6n2+1) / 2n.
Vediamo brevemente alcune proprietà dei T-esagoni magici:
- il suo ordine deve essere pari, come si evince dalla formula per la costante magica appena
vista;
- la somma dei numeri contenuti nei triangoli rivolti verso l'alto è sempre uguale alla somma
di quelli contenuti nei triangoli rivolti verso il basso. Nella figura, ad esempio, si ha:
17+20+22+21+2+6+10+14+3+16+12+7 = 5+11+19+9+8+13+4+1+24+15+18 = 150.
Per concludere, ecco una tabella con i dati relativi ai primi T-esagoni magici fino all’ordine 12.
CARATTERISTICHE DEI “T-ESAGONI” MAGICI
Ordine
Numero di triangolini
Somma totale
Numero di file
Costante magica
2
24
300
4
75
4
96
4.656
8
582
6
216
23.436
12
1.953
8
384
73.920
16
4.620
10
600
180.300
20
9.015
12
864
373.680
24
n
2
6n
2
2
6n ×(6n +1) / 2
2n
15.570
2
3n ×(6n2+1) / 2n
6.4 - STELLE MAGICHE
Come si è visto, non è possibile ottenere figure magiche con poligoni regolari diversi dal
quadrato e dall’esagono. Esiste, però, un’altra tipologia di figure che ben si prestano per giochi
di “magia” e che vale la pena di esaminare: i poligoni regolari stellati o Stelle magiche.
Evidentemente, in questo caso non si può parlare di celle: i numeri - che devono essere sempre
interi e consecutivi, a partire da 1 - vanno collocati nei vertici e nei punti di intersezione tra i
lati della stella.
Le figure proposte nel prosieguo della trattazione chiariranno le regole di costruzione della
stella magica meglio di qualsiasi spiegazione teorica.
Stelle “quasi magiche”
Il primo poligono stellato possibile è quello a 5 punte, il ben noto “pentagramma” o “pentalfa”,
le cui caratteristiche geometriche furono studiate già dagli antichi greci.48
Tenendo conto che vi sono in tutto 10 punti su cui scrivere i numeri (dunque, la somma totale è
pari a 55), che le linee sono 5 e che ogni numero appartiene a due linee diverse, si deduce che la
costante magica della stella è (55/5)×2 = 22.
Più in generale, la costante magica di una stella a n punte è data dalla formula 4n+2.
Ma l’esistenza di una costante magica non assicura la certezza di poter costruire una stella
magica; proprio questo è il caso del pentagramma, che non è possibile rendere magico in alcun
48
Il pentagramma fu studiato approfonditamente dalla scuola pitagorica, per i suoi significati simbolici e per le sue
molteplici relazioni con il numero aureo .
70
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modo. Il “massimo” che si riesce a ottenere è una stella che utilizza i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,
9, 10, 12, saltando il 7 e l’11.
Nella figura seguente si vede, per l’appunto, questo pentagramma “quasi magico”, in cui la
somma delle righe è costante e vale 24.
Stelle magiche ”pure”
Stelle magiche a 6 e 7 punte
E’ sufficiente, però, aumentare di 1 il numero delle punte affinché la costruzione di un poligono
stellato magico “puro” diventi possibile: si tratta della cosiddetta “Stella di Davide”, formata da
due triangoli equilateri sovrapposti e intrecciati. Tale stella è composta da tutti i numeri interi
da 1 a 12 e la sua costante magica equivale a 26.
http://www.magic-squares.net/magicstar_x.htm
L’esempio riportato ha una peculiarità degna di nota, che potremmo paragonare alla somma
lungo le diagonali spezzate dei quadrati magici: la somma dei numeri indicati sui 6 vertici della
stella dà anch’essa la costante magica, 26.
L’esagramma magico ha complessivamente 80 soluzioni distinte.
Dalle 6 punte in poi è sempre possibile costruire stelle magiche, e il numero delle soluzioni com’è facile immaginare - tende ad aumentare al crescere del numero di punte.49
49
Vi sono due eccezioni: le stelle a 6 e 10 punte hanno rispettivamente più soluzioni di quelle con 7 e 11 punte (si veda in
proposito la tabella alla fine del capitolo).
71
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A questo punto, però, la questione diventa più complessa rispetto al caso dei poligoni regolari,
in quanto mentre il quadrato o l’esagono magico sono rappresentabili in un’unica maniera, la
stella magica può assumere diverse configurazioni.
In particolare, se esistono un solo tipo di pentagramma e un solo tipo di esagramma (quelli visti
nelle figure precedenti), già a partire dalle 7 punte le stelle possono assumere più forme diverse:
ecco, ad esempio, le due configurazioni possibili per l’eptagramma.
http://www.magic-squares.net/magicstar_x.htm
Cammini e punti di intersezione
Prima di proseguire con l’analisi di stelle con un numero ancora maggiore di punte, conviene
fermarsi per segnalare due elementi importanti da tenere in considerazione nell’analisi stessa.
Il primo elemento è l’esistenza o meno di un cammino continuo, tale - cioè - che partendo da
uno qualsiasi dei vertici si possa tracciare l’intera stella e tornare al vertice di partenza senza
staccare la matita dal foglio. Se il numero di punte della stella è primo, tutte le configurazioni
possibili hanno cammini continui, mentre se il numero è composto esistono cammini sia
continui sia non continui.50
Ovviamente, visto che 7 è un numero primo, nel caso dell’ettagramma entrambe le tipologie di
stelle prevedono un cammino continuo. Inoltre, per tutti e due i modelli vi sono esattamente 72
soluzioni distinte che rendono magica la stella.
Il secondo elemento - che è già percepibile nello schema 7b appena visto e che acquista sempre
maggior rilievo per gli ordini superiori - è il seguente: aumentano i punti di intersezione tra le
diverse linee della stella, per cui sarebbe possibile collocare altri numeri su ogni linea,
ridefinendo conseguentemente la somma totale dei numeri stessi e la relativa costante magica.
In particolare, nello schema 7b si potrebbero inserire altri 7 numeri negli incroci “liberi” (quelli
più interni); la somma totale diventerebbe allora 231 e la costante magica (231/7)×2 = 66.
A questo punto, si aprirebbe tutto un “mondo nuovo”, data la possibilità di costruire altre stelle
magiche sommando 6 numeri per ogni linea (come nel caso appena visto) oppure 8 o 10 o 12 e
così via al crescere dell’ordine della stella.
E’ evidente, però, che proseguendo su questa strada le tipologie possibili di stelle magiche
aumenterebbero a dismisura, per cui segnaliamo questo possibile sviluppo senza approfondirlo,
50
Fa eccezione la stella a 6 punte, per la quale il cammino dell’unica configurazione possibile non è continuo.
72
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mentre nel presente testo si continueranno a prendere in considerazione soltanto le soluzioni
“canoniche”, relative al caso standard di 4 punti di intersezione su ogni linea della stella.
Stelle magiche con 8 punte e più
Esaurita questa digressione, riprendiamo l’analisi generale con la stella a 8 punte, che può
presentarsi in due diverse tipologie, una delle quali con un cammino non continuo. Tale
situazione si verifica quando la stella è costruita sovrapponendo e intrecciando tra loro due
quadrati, come nella figura 8a.
La stella 8a ha anche una particolarità interessante: la somma dei numeri indicati nei vertici dei
due quadrati sovrapposti equivale in entrambi i casi alla costante magica.51
http://www.magic-squares.net/magicstar_x.htm
Con la stella magica a 9 punte si sale di un’unità nel numero delle possibili configurazioni, che
sono adesso tre, due delle quali prevedono un cammino continuo.
http://www.magic-squares.net/magicstar_x.htm
51
In qualunque disposizione che prevede due poligoni regolari sovrapposti e intrecciati la somma dei numeri indicati nei
vertici dell’uno e dell’altro è la stessa, ma generalmente non equivale alla costante magica, come in questo esempio.
73
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http://www.magic-squares.net/magicstar_x.htm
Mentre gli schemi 9a e 9c non presentano particolari novità rispetto a quanto visto finora, il 9b
è assai più significativo, poiché raffigura la prima stella magica che si ottiene sovrapponendo e
intrecciando tre poligoni regolari, in questo caso tre triangoli equilateri.
Ma non finisce qui; passando all’ordine 10 c’è un’ulteriore novità: la possibilità di costruire una
stella magica sovrapponendo non più poligoni regolari, ma poligoni regolari stellati. Il modello
10c, che qui riportiamo,52 è costruito, per l’appunto, sovrapponendo e intrecciando tra loro due
pentagrammi.
http://www.magic-squares.net/magicstar_x.htm
Come si vede, aumentando il numero delle punte, le stelle magiche presentano un numero di
possibili varianti che cresce sempre più: cammini continui e non continui, sovrapposizioni di
due o più poligoni regolari, sovrapposizioni di due o più stelle di ordine inferiore…
Ad esempio - sulla falsariga di quanto visto in precedenza - si può determinare che tra le quattro
possibili configurazioni della stella magica di ordine 12 una prevede un cammino continuo,
mentre le altre tre sono costituite da figure sovrapposte e intrecciate; in particolare: 4 triangoli
equilateri; 3 quadrati oppure 2 stelle regolari di ordine 6.
L’analisi potrebbe continuare, ma per non appesantire troppo la trattazione conviene fermarsi
qui.53
52
Tralasciamo i modelli 10a e 10b, che non aggiungono niente di nuovo all’analisi.
Chi fosse interessato alle stelle magiche può consultare il sito http://www.reocities.com/~harveyh/magicstar.htm, curato
dal californiano Harvey Heinz.
74
53
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Vale la pena, però, di concludere il discorso con una tabella che riassume le principali
caratteristiche delle stelle magiche fino all’ordine 12, compreso il numero di soluzioni distinte
(accertato o stimato).
STELLE MAGICHE - CARATTERISTICHE
Cammini
Cammini non
Totale tipologie
continui
continui
diverse
Punte
Costante
magica
5
22
6
26
7
30
2
8
34
1
9
38
10
1
Soluzioni
distinte54
1
Nessuna
1
80
2
72
1
2
112
2
1
3
1.676 - 3.014
42
2
1
3
10.882 - 115.552
11
46
4
4
53.528 - 75.940
12
50
1
3
4
oltre 800.000
n
4n+2
...
...
 (n-3)/2 
...
1
6.5 - FIGURE MAGICHE NELLO SPAZIO
Per maggiore completezza, trattiamo - sia pure in estrema sintesi - anche il caso delle figure
magiche nello spazio tridimensionale.
Cubi magici
Riprendendo la forma magica più “classica”, il quadrato, viene naturale chiedersi che cosa
succede passando da 2 a 3 dimensioni. Sono stati, così, considerati i Cubi magici, ossia i cubi
NxNxN con somma costante per tutte le righe, le colonne e le diagonali.
A proposito di diagonali, è opportuno ricordare che il cubo ne prevede due tipi diversi: quelle
sullo stesso piano, orizzontale o verticale, e quelle nello spazio. In particolare, si parla di Cubi
magici semi-perfetti se la somma costante vale solo sul piano e di Cubi magici perfetti se, al
contrario, la “magia” riguarda anche le 4 diagonali interne.
Come è facile immaginare, i cubi magici perfetti costituiscono un problema assai più complesso
rispetto ai quadrati: un cubo di questo tipo è stato cercato per secoli - ma invano - da
matematici di ogni Paese, tanto che molti nutrivano dubbi sulla possibilità che ne esistesse uno.
Finalmente, nel 1866, Andrew Frost, missionario inglese docente di matematica, scoprì il primo
cubo magico perfetto, di ordine 7; pochi anni dopo furono trovati anche i cubi di ordine 8 e 11.
Invece, se si resta su piccoli ordini di grandezza, è possibile costruire soltanto cubi semi-perfetti
oppure altre figure “quasi magiche” nelle quali c’è sempre qualche tripletta di numeri la cui
somma non corrisponde alla costante magica. Un esempio è riportato nella figura seguente.
54
L’ultima colonna può riportare due valori: in tal caso si tratta del numero minimo e massimo di soluzioni distinte
esistenti per le diverse tipologie di stella possibili per quel determinato ordine.
75
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Un cubo 3x3x3 in cui non è costante la somma delle diagonali delle 6 facce
https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_magic_cube
Ma, infine, qual è il più piccolo cubo perfetto possibile? Il quesito è rimasto insoluto fino al
2003, quando è stato stabilito con certezza che ha ordine 5, è composto dai numeri interi da 1 a
125 e la sua costante magica vale 315.55
In generale, la costante di un cubo magico perfetto è data da una formula assai simile a quella
valida per i quadrati: (N4+N) / 2. Riportiamo in una tabella i dati relativi a cubi magici perfetti
fino all’ordine 12.
CUBI MAGICI PERFETTI FINO ALL’ORDINE 12 - COSTANTI MAGICHE
Ordine
Costante magica
Ordine
Costante magica
Ordine
Costante magica
1
1
5
315
9
3.285
2
impossibile
6
651
10
???
3
impossibile
7
1.204
11
7.326
4
impossibile
8
2.052
12
10.374
Si potrebbe ragionevolmente immaginare che - superati gli ordini più piccoli - sia sempre
possibile trovare cubi magici perfetti, anzi la loro quantità tenda ad aumentare sempre più al
crescere delle dimensioni. Invece, non è così: anche in questo caso - così come avviene in
geometria, se si passa dai poligoni ai poliedri - lo spazio a tre dimensioni presenta una
situazione assai difforme rispetto a quella del piano bidimensionale.
In particolare, non è ancora stato scoperto un cubo magico di ordine 10, né è stata provata
l’impossibilità di costruirlo. Egualmente, non vi sono certezze assolute per quanto riguarda gli
ordini superiori, per i quali il conteggio degli eventuali cubi magici si fa estremamente
complicato.
55
Questo risultato è stato ottenuto dal matematico tedesco Walter Trump, e dall'informatico francese Christian Boyer,
grazie a un particolare algoritmo matematico applicato a 5 computer che hanno lavorato in parallelo, a tempo pieno, per
diverse settimane.
76
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Alcune varianti sul tema
Sulla falsariga di quanto visto nel caso dei quadrati magici, anche per quanto riguarda i cubi
esistono numerose varianti, sviluppate negli ultimi anni grazie alla possibilità di servirsi di
elaboratori elettronici sempre più potenti.
Grazie a questi strumenti - sempre nel 2003 e sempre ad opera di Boyer - è stato scoperto un
Cubo bimagico perfetto, ossia un cubo che rimane magico anche elevando tutti numeri alla
seconda potenza: è di ordine 32 ed è l’unico di cui si abbia notizia fino ad oggi.56
Aggiungiamo, a titolo di curiosità, che il “solito” Boyer ha trovato il cubo plurimagico perfetto
più grande che si conosca: un incredibile mostro di ordine 8.192, che resta magico anche
quando si elevano i suoi numeri al quadrato, al cubo o alla quarta potenza.57
Che cos’altro si potrebbe inventare? C’è chi ha provato a salire dalla terza alla quarta
dimensione, alla ricerca del più piccolo Tessaratto magico possibile. E’ stato dimostrato che
occorre arrivare fino all’ordine 16, ottenendo un ipercubo nello spazio quadridimensionale che
ha somma magica pari a 524.296.
E qui ci fermiamo!
56
Sono stati scoperti anche cubi bimagici di ordine 16, che però non sono perfetti in quanto i numeri elevati al quadrato
producono “soltanto” un cubo magico semi-perfetto.
57
Consigliamo a chi volesse saperne di più il sito http://www.multimagie.com/fr.htm, curato da Christian Boyer. Si tratta
di una vera chicca per gli appassionati di figure magiche.
77
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7 - BASI NUMERICHE NON DECIMALI
Fino ad adesso si sono esaminate varie tipologie di numeri interi: singoli e in gruppo, in
successioni e in disposizioni geometriche, o ancora nell’ambito di strutture con caratteristiche
magiche, ma si è sempre lavorato nella normale base decimale a cui siamo abituati.
In questo capitolo finale si intende, invece, allargare il discorso cercando di scoprire che cosa
succede quando si passa ad altre basi numeriche diverse da 10.
Naturalmente, se ne tratteranno solo alcune; in particolare - per motivi che saranno chiariti più
avanti - sarà approfondita la base 12.
Prima di affrontare l’argomento, sono necessarie due precisazioni.
 Per limitare le ambiguità insite nel tema trattato (“25” indica il numero decimale venticinque
o il numero composto dalle cifre “2” e “5” in un’altra notazione?), si userà il carattere
corsivo per i numeri scritti in una base non decimale, tralasciando soluzioni - come l’uso del
pedice - che rischiano di appesantire troppo il testo.
 Come normalmente si fa in ambito informatico, per rappresentare le cifre maggiori di 9 nelle
basi superiori a quella decimale saranno utilizzate le lettere dell’alfabeto: A, B, C e così via.
7.1 - SISTEMI DI NUMERAZIONE
Un sistema di numerazione è un sistema utilizzato per rappresentare i numeri e le operazioni
che si possono effettuare su di essi. Presso tutte le culture con qualche forma di organizzazione
sono state sviluppate notazioni numerali, talora assai rudimentali, fino ad arrivare al sistema
oggi più diffuso, quello posizionale decimale.
Vale la pena di ricordare la differenza fondamentale tra un sistema additivo, come quello usato
dai romani, in cui un simbolo rappresenta sempre la stessa quantità, e un sistema posizionale in
cui, al contrario, ogni simbolo assume un diverso valore a seconda della posizione in cui si
trova.
Così, ad esempio, mentre nel numero romano XXX le tre cifre X valgono tutte 10 e, dunque, il
numero corrisponde al nostro 30, nel sistema decimale il valore effettivo di 444 non è la somma
4+4+4, ma 4x102+4x101+4+100.
Il sistema decimale
Com’è noto, l’affermarsi della base 10 tra i sistemi posizionali si deve al fatto che le mani
umane hanno 5 dita ciascuna. Anche il sistema numerico dell’antico popolo Maya - che era in
base 20 - ha la stessa origine, ma in questo caso venivano contate anche le dita dei piedi.
Nella storia sono state utilizzate anche basi diverse, delle quali restano ancora oggi tracce
evidenti nella vita quotidiana, come il sistema sessagesimale dei babilonesi, usato nel calcolo
del tempo (minuti, secondi) e degli angoli, ma la base 10 ha finito per prevalere ovunque.
Oggi il sistema decimale è considerato talmente “ovvio” che spesso non si pensa nemmeno alla
possibilità di eseguire calcoli con un sistema diverso. Ma come sarebbe la matematica se gli
uomini avessero 4 dita per mano, oppure 6, oppure avessero 3 mani composte da 3 dita
ciascuna?
78
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7.2 - BASI NUMERICHE “VICINE” A 10
Operando in una base b diversa da 10, l’ordine di grandezza dei numeri - l’equivalente delle
nostre unità, decine, centinaia etc. - viene definito dalle successive potenze di b. Ad esempio, il
valore del numero 234 in base 8 è dato da: 2x82+3x81+4x80 = 128+24+4 = 156 (in notazione
decimale).
Esaminiamo più in dettaglio proprio la base 8 e altre basi nelle quali il numero di cifre
necessario per rappresentare un numero è simile a quello a cui siamo abituati.
Il sistema ottale
Immaginiamo un mondo in cui l’uomo abbia solo 4 dita oppure gli esseri pensanti siano simili
ai polipi con i loro 8 tentacoli. La numerazione, allora, seguirebbe con ogni probabilità il
sistema ottale, comprendente appunto otto cifre, da 0 a 7.
Ecco la tavola pitagorica completa relativa alla numerazione in base 8.
NUMERI IN BASE 8 - TAVOLA PITAGORICA
1
2
3
4
5
6
7
10
2
4
6
10
12
14
16
20
3
6
11
14
17
22
25
30
4
10
14
20
24
30
34
40
5
12
17
24
31
36
43
50
6
14
22
30
36
44
52
60
7
16
25
34
43
52
61
70
10
20
30
40
50
60
70 100
Si può notare, tra l’altro, che le cifre terminali dei multipli di 2 e 6 si ripetono seguendo le
successioni 6-4-2-0 e 2-4-6-0. Si tratta di una regola che vale per qualsiasi base pari: le cifre
terminali dei multipli dei numeri pari che non dividono esattamente la base, si ripetono due
volte con uno 0 a metà della tavola.
La base 9
Utilizzare come base di un sistema posizionale un numero dispari crea una situazione
decisamente strana, poiché siamo talmente abituati al concetto di pari e dispari che ci appare
innaturale un sistema numerico privo di questa fondamentale bipartizione dei numeri.
Si possono, però, verificare due situazioni molto diverse, a seconda che il numero scelto come
base sia primo o composto. Esaminiamo dapprima la base 9 che, ovviamente, rientra nel
secondo caso.
79
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NUMERI IN BASE 9 - TAVOLA PITAGORICA
1
2
3
4
5
6
7
8
10
2
4
6
8
11
13
15
17
20
3
6
10
13
16
20
23
26
30
4
8
13
17
22
26
31
35
40
5
11
16
22
27
33
38
44
50
6
13
20
26
33
40
46
53
60
7
15
23
31
38
46
54
62
70
8
17
26
35
44
53
62
71
80
10
20
30
40
50
60
70
80 100
Visto che 9 è divisibile per 3, in questa base i numeri possono essere ripartiti - anziché nei due
classici insiemi, pari e dispari - in tre gruppi “alfa”, “beta” e “gamma”, corrispondenti ai numeri
1, 2 e 0 (modulo 3).
Senza addentrarci troppo nell’analisi, vediamo soltanto come potrebbe presentarsi la tabella con
i risultati del prodotto tra numeri dei tre diversi gruppi, raffrontata con quella tra pari e dispari
che conosciamo.
MOLTIPLICAZIONE IN BASE 10 E IN BASE 9
Base 10
Base 9
Pari x Pari
Pari
Alfa x Alfa
Alfa
Pari x Dispari
Pari
Alfa x Beta
Beta
Dispari x Dispari
Dispari
Alfa x Gamma
Gamma
Beta x Beta
Alfa
Beta x Gamma
Gamma
Gamma x Gamma
Gamma
Vale la pena di notare che, se sostituiamo rispettivamente “alfa”, “beta” e “gamma” con “+1”,
“-1” e “0”, i risultati della tabella collimano perfettamente con quelli che otterremmo
utilizzando la moltiplicazione nel nostro abituale sistema numerico (+1x-1=-1; -1x-1=+1;
+1x0=0 etc.)
Un’ultima annotazione riguarda i numeri 3 e 6: le cifre terminali di tutti i loro multipli si
ripetono per tre volte nella tavola pitagorica in base 9, secondo le successioni 3-6-0 e 6-3-0.
80
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La base 11
Come detto, ben diverso è il caso di un’altra base dispari vicina a quella decimale, cioè la base
11, che si fonda su un numero primo.
Vediamo innanzitutto la tavola pitagorica relativa, per poi fare alcune considerazioni.
NUMERI IN BASE 11 - TAVOLA PITAGORICA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
10
2
4
6
8
A
11
13
15
17
19
20
3
6
9
11
14
17
1A
22
25
28
30
4
8
11
15
19
22
26
2A
33
37
40
5
A
14
19
23
28
32
37
41
46
50
6
11
17
22
28
33
39
44
4A
55
60
7
13
1A
26
32
39
45
51
58
64
70
8
15
22
2A
37
44
51
59
66
73
80
9
17
25
33
41
4A
58
66
74
82
90
A
19
28
37
46
55
64
73
82
91
A0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
A0 100
Si può notare come in questa tavola non vi sia alcuna ricorrenza simile a quelle viste in
precedenza. Avviene esattamente il contrario: in base 11 i multipli delle cifre da 1 ad A
terminano una e una sola volta con ciascuna cifra.
Anche se esula dal campo dei numeri interi in senso stretto, vale la pena di segnalare un altro
dato importante: tutte le frazioni espresse in base 11, nessuna esclusa, producono numeri
illimitati periodici. Ad esempio, la frazione 1/2 equivale in base 11 a 0,555…; 1/3 è 0,3737… e
così via. Naturalmente, la stessa regola vale per qualunque base b, se b è un numero primo.
7.3 - ALTRE BASI NUMERICHE
Le basi “informatiche”: 2 e 16
Con la nascita dei primi elaboratori elettronici, il sistema binario ha assunto una grande
importanza, dovuta alla possibilità di rappresentare le due cifre 1 e 0 con lo stato dei circuiti
elettrici o elettronici (acceso/spento; on/off; passaggio/non passaggio di corrente) e di fare
calcoli o codificare informazioni a partire da questa bipartizione fondamentale.
Il sistema binario, ovviamente, non è utilizzabile nella vita quotidiana, visto che anche numeri
relativamente piccoli sarebbero composti da un gran numero di cifre: ad esempio, il numero
decimale 1.024 in base 2 sarebbe 10.000.000.000 (1 seguito da 10 zeri).
Per ovviare a questo inconveniente, in informatica si usa anche il sistema esadecimale. Infatti,
16 è la quarta potenza di 2, per cui i numeri binari possono essere raggruppati in blocchi di 4
cifre - partendo da destra - e ciascun blocco può essere riscritto con una cifra esadecimale, da 1
a F.
Ad esempio, il numero binario 1011100 (92 nel sistema decimale) si può esprimere in base 16
come 5C, poiché i numeri binari 1100 e 101 equivalgono rispettivamente a C e a 5.
81
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NUMERI IN BASE 16 - TAVOLA PITAGORICA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
4
6
8
A
C
E
10
12
14
16
18
1A 1C
1E
20
3
6
9
C
F
12
15
18
1B
1E
21
24
27
2A 2D
30
4
8
C
10
14
18
1C
20
24
28
2C
30
34
38
3C
40
5
A
F
14
19
1E
23
28
2D
32
37
3C
41
46
4B
50
6
C
12
18
1E
24
2A
30
36
3C
42
48
4E
54
5A
60
7
E
15
1C
23
2A
31
38
3F
46
4D
54
5B
62
69
70
8
10
18
20
28
30
38
40
48
50
58
60
68
70
78
80
9
12
1B
24
2D
36
3F
48
51
5A
63
6C
75
7E
87
90
A
14
1E
28
32
3C
46
50
5A
64
6E
78
82
8C
96
A0
B
16
21
2C
37
42
4D
58
63
6E
79
84
8F
9A
A5
B0
C
18
24
30
3C
48
54
60
6C
78
84
90
9C A8
D
1A
27
34
41
4E
5B
68
75
82
8F 9C
E
1C
2A
38
46
54
62
70
7E 8C 9A
A8
F
1E 2D 3C 4B
5A
69
78
87
96
A5
B4 C3 D2 E1
10
20
60
70
80
90
A0
B0 C0 D0 E0
30
40
50
A9
B4 C0
B6 C3 D0
B6 C4 D2 E0
F0
F0 100
Per completezza, aggiungiamo che nell’informatica di base viene talvolta utilizzata anche la
base 8 (della quale si è parlato in precedenza), in quanto 8 è la terza potenza di 2, per cui vale
un ragionamento simile a quello svolto per la base 16, ossia la possibilità di raggruppare le cifre
a blocchi di 3.
Basi “grandi”
All’estremo opposto rispetto al sistema binario, si collocano le basi “grandi” (per fissare un
limite, diciamo da 20 in su).
Ovviamente, usando tali basi si potrebbero esprimere i numeri in maniera molto più compatta
rispetto al sistema decimale. Inoltre, si avrebbero diversi vantaggi scegliendo come base un
numero con molti divisori58; ad esempio, 24 o addirittura 60, che è il minimo comune multiplo
dei primi sei numeri interi e veniva utilizzato - come si è detto - dagli antichi babilonesi.
Il rovescio della medaglia è piuttosto evidente: la necessità di utilizzare un gran numero di cifre
graficamente distinte tra loro, oppure combinazioni di pochi simboli che, però, diventano
sempre più complicate e difficilmente leggibili al crescere dei numeri che intendiamo
rappresentare.
Per chiarire meglio il concetto, facciamo un esempio con i numeri Maya.
58
Questo aspetto sarà ripreso tra poco, nel paragrafo dedicato alla base 12.
82
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
I numeri Maya da 0 a 19
https://raaavin.wordpress.com/base/
E’ evidente che fino a che si maneggiano numeri piccoli non ci sono grossi problemi, ma
proviamo a immaginare, ad esempio, di avere a che fare con un numero composto da 6 o 7
simboli Maya equivalenti ai nostri 18 o 19…
7.4 - LA BASE 12
Veniamo, infine, alla base 12, che potrebbe essere nella vita quotidiana una valida alternativa al
sistema decimale.
Non sarebbe una novità, visto che i segni di un largo uso della base 12 nel passato sono ancora
presenti in molti campi diversi; basti pensare al calcolo del tempo (i 12 mesi, le 12+12 ore del
giorno) o all’uso abituale della dozzina per alcuni generi alimentari, come ostriche e uova.
Che dire, poi, delle misure di lunghezza, peso o moneta tuttora usate nei paesi britannici (1
piede=12 pollici; 1 libbra=12 once; 1 scellino=12 pence)? Alcune tracce restano anche a livello
lessicale: in inglese e in tedesco 11 e 12 hanno nomi specifici ("eleven/elf"; "twelve/zwölf”),
mentre il suffisso "teen/zehn" si usa solo a partire dal numero 13.
Conclusa questa breve digressione, torniamo al discorso prettamente matematico.
La base 12 è stata studiata da matematici di diverse epoche, tanto che a più riprese c’è stato chi
proponeva di convertire completamente il nostro sistema numerico da decimale a duodecimale.
I motivi sono chiari: da un lato la base 12 non ha gli inconvenienti delle basi troppo grandi,
dall’altro 12 è un numero con molti divisori: mentre 10 è divisibile soltanto per 2 e per 5, 12
divide esattamente 2, 3, 4 e 6 e - di conseguenza - anche 8, 9 e 10 (A nella notazione
duodecimale) non sono primi rispetto ad esso.
Il 12 appartiene, infatti, all’insieme dei cosiddetti numeri “altamente composti” 59, quelli che
hanno più divisori di qualsiasi intero minore; per trovare un numero che ne abbia di più
bisognerebbe salire fino a 24.
59
Di questi numeri - così come di altre tipologie di numeri definite dalla quantità di divisori che hanno - si è ampiamente
parlato nel Capitolo 4.
83
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Di seguito, riportiamo la tavola pitagorica relativa alla base 12. Sono evidenti gli effetti delle
molteplici possibilità di suddivisione offerte da questo numero; basta osservare la quantità di
numeri con cifra finale uguale a “0”.
NUMERI IN BASE 12 - TAVOLA PITAGORICA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
2
4
6
8
A
10
12
14
16
18
1A
20
3
6
9
10
13
16
19
20
23
26
29
30
4
8
10
14
18
20
24
28
30
34
38
40
5
A
13
18
21
26
2B
34
39
42
47
50
6
10
16
20
26
30
36
40
46
50
56
60
7
12
19
24
2B
36
41
48
53
5A
65
70
8
14
20
28
34
40
48
54
60
68
74
80
9
16
23
30
39
46
53
60
69
76
83
90
A
18
26
34
42
50
5A
68
76
84
92
A0
B
1A
29
38
47
56
65
74
83
92
A1
B0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
A0
B0 100
In particolare, si può notare che - oltre alle abituali ricorrenze delle basi pari di cui si è detto anche le cifre finali dei multipli di 3 e 9 si ripetono con regolarità per tre volte all’interno della
tabella, seguendo le successioni 3-6-9-0 e 9-6-3-0.
Operazioni in base 12
Ma come si potrebbe operare concretamente in base 12?
Con l’aiuto della tavola pitagorica appena vista e considerando che vi sono solo due cifre in più
rispetto al sistema decimale, non risulta troppo faticoso eseguire qualche operazione, almeno
per numeri relativamente piccoli.
Per esempio, ecco una moltiplicazione tra due numeri a due cifre.
3A x
18
----268
3A
----648
2 | 9
7 | 7
(3+A=112; 1+8=9; 2x9=167; 6+4+8=167)
Si può verificare la correttezza dell’operazione trasformando tutto in decimale: 3A = 3x12+10 =
46; 18 = 1x12+8 = 20; 648 = 6x122+4x12+8 = 864+48+8 = 920.
84
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Si è riportato a fianco della moltiplicazione anche lo schemino relativo alla cara, vecchia (e
sempre utile!) “prova del nove”.60 Siamo, però, nel sistema duodecimale; dunque, si deve
utilizzare non il numero 9, ma B, quello immediatamente inferiore alla base.
Naturalmente, ciò non vale solo per la base 12; al contrario, per qualsiasi base k esiste una
“prova del k-1” esattamente equivalente alla prova del nove del sistema decimale.
Potenze in base 12
Passiamo adesso a un’altra tabella riguardante le potenze dei numeri di una cifra nel sistema
duodecimale.
NUMERI IN BASE 12. POTENZE DI 2-3-4-5-6-7-8-9-A-B
Potenze
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
2
4
9
14
21
30
41
54
69
84
A1
3
8
23
54
A5
160
247
368
609
6B4
92B
4
14
69
194
441
900
1.481
2.454
3969
5954
8581
5
28
183
714
1.985
4.600
9.887
16.B68
2A.209
49.A54
79.24B
6
54
509
2.454
9.061
23.000
58.101
107.854
7
A8
1.323
9.594
39.265
116.000
338.707
851.768
8
194
3.969
31.B14
La tabella dà una chiara idea del fatto che in base 12 le potenze seguirebbero una regolarità
assai maggiore che nel sistema decimale. In particolare, riguardo alle cifre con cui terminano i
diversi numeri, valgono - tra le altre - le regole seguenti:
 potenze di 3: le ultime due cifre sono ciclicamente 09-23-69-83
 potenze di 4: le ultime due cifre sono ciclicamente 14-54-94
 potenze di 5/7/B: l’ultima cifra è alternativamente 1 e 5/7/B
 potenze di 6: terminano con un numero crescente di zeri, sempre preceduti da 3, 6 o 9
 potenze di A: terminano tutte per 54 (tranne la seconda, che termina per B4)
Come curiosità, vediamo ancora come si presenterebbero alcune note successioni numeriche se
si utilizzasse la base 12:
 Quadrati: 1-4-9-14-21-30-41-54-69-84-A1-100… (tutti i quadrati terminano per 1-4-9-0).
 Cubi: 1-8-23-54-A5-160-247-368-509-6B4-92B-1.000…
 Quarte potenze: 1-14-69-194-441-900... (tutte le quarte potenze terminano per 1-4-9-0).
 Altre potenze pari: come per le potenze 2 e 4, i numeri terminano sempre per 1-4-9-0.
 Fattoriale: 1-2-6-20-A0-500-2.B00-1B.400-156.000-1.270.000... Si nota la presenza di un
numero “tondo” come 500 (equivalente al numero decimale 720).
 Numeri di Fibonacci: 1-1-2-3-5-8-11-19-2A-47-75-100... In questo caso troviamo un
numero ancora più “tondo”: 100 (144 nel sistema decimale).
60
Ci permettiamo di spezzare una lancia in favore di questo strumento di controllo, semplice ma potente, che un tempo si
insegnava abitualmente, mentre sembra essere quasi totalmente sconosciuto ai ragazzi di oggi.
85
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Frazioni in base 12
Infine - come si è fatto in precedenza parlando della base 11 - ci concediamo una piccola
digressione che esula dall’ambito dei numeri interi in senso stretto: vediamo che cosa succede
con le frazioni, tramite una tabella che - mettendo a confronto la notazione decimale e quella
duodecimale - mostra in maniera immediata i vantaggi del sistema in base 12.
FRAZIONI: CONFRONTO TRA BASE 10 E BASE 12
Numero decimale
Fraz. decimale
Fraz. duodecimale
Numero in base 12
0,5
1/2
1/ 2
0,6
0,333…
1/3
1/3
0,4
0,25
1/ 4
1/ 4
0,3
0,2
1/5
1/5
0,244…
0,166…
1/6
1/6
0,2
0,125
1/8
1/8
0,16
0,111…
1/9
1/9
0,14
0,1
1/10
1/A
0,122…
0,666…
2/3
2/3
0,8
0,75
3/ 4
2/ 4
0,9
1,333…
4/3
4/3
1,4
1,5
3/2
3/2
1,6
Come si vede, usando la base 12 scomparirebbero tutti i numeri periodici nelle frazioni aventi
come denominatore 3 o un suo multiplo. In altre parole, sarebbe sempre possibile dividere
esattamente una quantità (ad esempio, una somma in denaro) in tre, quattro o sei parti uguali.
Il contrario avviene, ovviamente, per le frazioni con 5 (o un suo multiplo) al denominatore, ma
è chiaro che nella pratica sono molto più comuni frazioni come 1/4, 1/3, 2/3 e 3/4 rispetto a 1/5
o 2/5. In base 12 le quattro frazioni elencate sarebbero esprimibili con numeri aventi una sola
cifra dopo la virgola (0,3; 0,4; 0,8; 0,9 rispettivamente), laddove nel sistema decimale troviamo
- invece - due numeri con doppia cifra dopo la virgola e due numeri periodici.
In conclusione, la base 10 è ormai talmente radicata che l’ipotesi di cambiare sistema di
numerazione appare del tutto remota. Ma se ciò dovesse avvenire, la base 12 sarebbe
indubbiamente la naturale candidata alla “successione”.
86
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CONCLUSIONI
Al termine di questa lunga carrellata sul mondo dei numeri interi, proviamo a trarre qualche
conclusione, partendo da quanto detto nell’introduzione: “I diversi temi possono apparire a
prima vista slegati tra loro; di fatto, però le connessioni sono numerose e vi sono
costantemente intrecci e rimandi, talvolta inaspettati, da un capitolo all’altro”.
In altre parole, l’approfondimento dei temi trattati in un certo capitolo fornisce spesso e
volentieri spunti utili anche per gli altri.
Facciamo qualche esempio.
Si è visto come i numeri figurati (in particolare, quelli triangolari) siano collegati ai numeri
perfetti ed entrino nella costruzione dei cosiddetti “triangoli zoppi”. Sempre rimanendo nel
campo dei numeri figurati - ma considerando stavolta i numeri triangolari centrati - si scopre
una sorprendente connessione con i quadrati magici. Ancora, si può ricordare il Teorema di
Wilson, che segnala una relazione tra Fattoriale e numeri primi.
Citiamo come ultimo esempio quello, ancora più significativo, del Triangolo di Tartaglia,
all’interno del quale si possono agevolmente ritrovare i numeri di Fibonacci (una tipologia di
numeri che, come il prezzemolo, tende a fare capolino nei campi61 più impensati, non solo in
ambito matematico) e i numeri di Catalan.
E questi sono solo alcuni esempi dei legami esistenti tra una famiglia e l’altra, tra un gruppo di
numeri e/o strutture matematiche e l’altro.
Ma c’è di più.
Il presente studio si limita ad esaminare un campo limitato, come quello dei numeri interi, ma i
legami e i collegamenti non riguardano solo tale ambito; al contrario, si tratta soltanto di un
esempio - in piccolo - di ciò che avviene su scala assai più ampia tra le diverse branche della
matematica.
A questo proposito, ricordiamo la già citata Formula di Stirling (n!=nne-n√2πn), che riunisce in
sé tre operazioni fondamentali (moltiplicazione, elevamento a potenza, estrazione di radice) e i
due più importanti numeri trascendenti, e e π.
Ampliando ulteriormente il discorso, non si può non ricordare una delle relazioni più
spettacolari e stupefacenti della matematica, la Formula di Eulero eiπ+1=0, che raccoglie in
un'estrema sintesi le costanti più importanti della matematica, costanti che - a parte 0 e 1 - si
utilizzano prevalentemente in rami lontanissimi tra loro: geometria; calcolo combinatorio e
finanziario; campo complesso.
Infine, pensiamo al più classico dei “misteri” (ma ormai si tratta di un ex-mistero…) legati ai
numeri interi, il cosiddetto Ultimo Teorema di Fermat (“L’equazione xN+yN=zN non ha
soluzioni intere per N>2”), che ha fatto ammattire per secoli schiere di matematici di ogni
Paese. L’enigma è stato definitivamente risolto dal britannico Andrew Wiles nel 1995, ma per
dimostrare una proposizione di una semplicità disarmante, è stato necessario fare ricorso a una
quantità di strutture matematiche del tutto sconosciute ai tempi di Fermat e apparentemente
lontane anni-luce dall’enunciato del teorema stesso.62
61
Prezzemolo … campi: le metafore appaiono quanto mai calzanti viste le strette relazioni tra i numeri di Fibonacci e il
mondo vegetale, cui si è accennato nel Capitolo 2.
62
Il processo che, dopo anni e anni di studio, ha consentito a Andrew Wiles di dimostrare il teorema è spiegato
dettagliatamente nel libro di Simon Singh, L’ultimo teorema di Fermat, BUR, 1999.
87
Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
Tutto ciò suggerisce che un approccio integrato al mondo dei numeri e il tentativo (che non
deve mai, ovviamente, diventare una forzatura) di cercare collegamenti, legami, intrecci
possano ampliare la conoscenza e incrementare le possibilità di scoprire qualcosa di nuovo.
Del resto, non mancano di certo le congetture da dimostrare e le ipotesi in attesa di essere
trasformate in certezze matematiche. Senza bisogno di scomodare “stelle di prima grandezza”
come l’Ipotesi di Riemann, ogni matematico avrebbe certamente un buon numero di casi-studio
degni di interesse, molti dei quali citati anche nel presente testo.
Ma la questione non è tanto quella dei risultati in senso stretto. Ciò che ci interessa è soprattutto
sostenere un approccio di tipo olistico ai problemi come possibile strada maestra per aprire
nuovi orizzonti, non solo nella matematica, bensì nelle scienze in generale.
Si tratta della scoperta dell’acqua calda? In parte sì, non c’è dubbio, ma in un’epoca in cui la
specializzazione estrema - tipica, ad esempio, dei paesi anglosassoni - sembra prendere il
sopravvento, riteniamo che valga la pena di spezzare una lancia a favore di un approccio
opposto, sostenendo la visione globale piuttosto che quella parcellizzata, il quadro complessivo
piuttosto che i dettagli minuti (sia pure analizzati con straordinaria precisione).
In questo approccio globale, aperto e multidisciplinare - non settoriale e specialistico - anche la
storia sembra darci ragione: ci sarà un motivo se tutti i grandi matematici sono stati anche
“altro”: filosofi, medici e persino letterati o artisti!
Allargare lo sguardo, cercare intrecci e relazioni anche in campi assai distanti tra loro
costituisce una strada certamente più complicata e che comporta sempre il rischio di imbattersi
in un vicolo cieco. Ma non importa: nella matematica, come in qualsiasi altra scienza, è
fondamentale provare strade nuove, senza sapere dove porteranno, ma con la consapevolezza
che già solo il percorrerle - anche se alla fine risultassero senza uscita - è uno sforzo che vale la
pena di compiere.
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Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA
Libri
- Balzarotti-Lava, Le sequenze di numeri interi, Hoepli, 2008
- Conway J.H., Guy R.K., The Book of Numbers, Springer-Verlag, 1996
- Cresci L., I numeri celebri, Bollati-Boringhieri, 2000
- Danesi M., Labirinti, quadrati magici e paradossi logici, Dedalo, 2006
- Devlin K., Dove va la matematica, Bollati-Boringhieri, 1994
- Devlin K., I numeri magici di Fibonacci, Rizzoli, 2012
- Devlin K., I problemi del millennio: i sette enigmi matematici irrisolti del nostro tempo,
Longanesi, 2004
- Dudeney H., Gli enigmi di Canterbury, RBA Italia, 2008
- Du Sautoy M., L’enigma dei numeri primi, BUR, 2005
- Eastaway-Wyndham, Probabilità, numeri e code. La matematica nascosta nella vita
quotidiana, Dedalo, 2003
- Eastaway-Wyndham, Coppie, numeri e frattali. Altra matematica nascosta nella vita
quotidiana, Dedalo, 2005
- Gardner M., Enigmi e giochi matematici 1-5, SuperBUR, 2001
- Gardner M., Mathematical Circus, Penguin Books, 1990
- Gardner M., Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Penguin
Mathematics, 1986
- Gardner M., Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, Freeman, 1989
- Gardner M., Time travel and other mathematical bewilderments, Freeman & Company,
1988
- Ghersi I., Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli, 1988
- Jones G.A., Jones J.M., Elementary Number Theory, Springer, 2005
- Livio M., La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni,
BUR, 2007
- Lopardi M., Il quadrato magico del Sator, Hoepli, 2006
- Loyd S., Passatempi matematici vol. 1-2, Sansoni, 1980
- Masini G., Storia della matematica, SEI, 1997
- Peano G., Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Sansoni, 1983
- Singh S., L'ultimo teorema di Fermat, BUR, 1999
- Steinhaus H., Cento problemi di matematica elementare, Boringhieri, 1987
Articoli
- Cipriani M., Quadrati magici in Antiqua historia, sito: http://www.antiqua.altervista.org/
quadrati.html
- De Cecco G., La regolarità per i poliedri e i dadi da gioco, sul sito:
www.matematicamente.it, Magazine n.9, Maggio 2009
- Salvalaggio G., Dai numeri primi alla crittografia, sul sito: www.matematicamente.it,
Magazine n.15, Maggio 2011
- Sintini C., La tassellatura del piano, sul sito: www.matematicamente.it, Ottobre 2012
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Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
- Trump W., The Successful Search for the Smallest Perfect Magic Cube, sito:
http://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html)
- Zucco A., Poligoni, poliedri e politopi regolari, sul sito: www.matematicamente.it,
Magazine n.11, Dicembre 2009
Siti internet di riferimento
- OEIS (On-line Encyclopedia of Integer Sequences): https://oeis.org/
- http://www.mathstat.dal.ca/fibonacci/
- http://www.fq.math.ca/
- http://www.dm.unito.it/~cerruti/giugno-agosto-03.html#pell1
- http://digilander.libero.it/salgam/
- http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/
- http://utenti.quipo.it/base5/numeri/stelmagiche.htm
- http://www.reocities.com/~harveyh/magicstar.htm
- http://www.multimagie.com/fr.htm
- http://www.trump.de/magic-squares/magic-series/index.html
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Copia personale di Mario Rossi - [email protected] - Lecce
CITAZIONI: Matematici, filosofi, scienziati
Adleman, Leonard Max (USA, vivente) ...................................... pag. 42
Aitken, Alexander Craig (Nuova Zelanda, 1895-1967) ............... pag. 21
Alhazen [Ibn-al-Haytham] (mondo arabo, 965-1039) ................. pag. 14
Archimede (antica Grecia, 287 a.C.-212 a.C.) ............................. pag. 36
Bell, Eric Temple (Gran Bretagna, 1883-1960) ........................... pag. 21, 56
Bernoulli, Nicolaus (Svizzera, 1687-1759) .................................. pag. 16
Binet, Jacques Philippe Marie (Francia, 1786-1856) ................... pag. 18
Boyer, Christian (Francia, vivente) .............................................. pag. 76
Brocard, Henri (Francia, 1845-1922) ........................................... pag. 14
Brun, Viggo (Norvegia, 1882-1978) ............................................ pag. 11
Cartesio [René Descartes] (Francia, 1596-1650) ......................... pag. 23
Catalan, Eugène Charles (Belgio, 1814-1894) ............................. pag. 20, 23
Cauchy, Augustin-Louis (Francia, 1789-1857) ............................ pag. 32
Dickson, Leonard (USA, 1874-1954) .......................................... pag. 25
Diofanto (antica Grecia, III-IV secolo) ........................................ pag. 30, 32
Euclide (antica Grecia, 323 a.C.-286 a.C.) ................................... pag. 22, 29, 43
Eulero [Leonhard Euler] (Svizzera, 1707-1783) .......................... pag. 16, 20, 22, 36, 41, 43, 87
Feinberg, Mark (USA, 1948-1967) .............................................. pag. 19
Fermat, Pierre de (Francia, 1601-1665) ....................................... pag. 23, 32, 87
Fibonacci [Leonardo Pisano] (Italia, 1170-1240) ........................ pag. 16, 34
Frost, Andrew H. (Gran Bretagna, 1819-1907) ........................... pag. 76
Gardner, Martin (USA, 1914-2010) ............................................. pag. 15, 36, 68
Gauss, Johann Carl Friedrich (Germania, 1777-1855) ................ pag. 2, 32, 43
Heinz, Harvey (USA, vivente) ..................................................... pag. 75
Hilbert, David (Germania, 1862-1943) ........................................ pag. 43
Hoelbling, Louis (USA, vivente) .................................................. pag. 68
Khayyam, Omar (antica Persia, 1048-1131) ................................ pag. 50
Kramp, Christian (Francia, 1760-1826) ....................................... pag. 14
Kronecker, Christian (Germania, 1823-1891) .............................. pag. 3
Lagrange, Joseph-Louis [G.L. Lagrangia] (Italia, 1736-1813) .... pag. 30, 32
Lionnet, Francois-Joseph (Francia, 1805-1884) ........................... pag. 24
Lucas, Édouard (Francia, 1842-1891) .......................................... pag. 17
Mengoli, Pietro (Italia, 1626-1686) .............................................. pag. 31
Mersenne, Marin (Francia, 1588-1648) ....................................... pag. 23
Minggatu (Mongolia, 1692-1763) ................................................ pag. 20
Montmort, Pierre Rémond de (Francia 1678-1719)...................... pag. 16
Nicomaco di Gerasa (antica Grecia, 60-120) ............................... pag. 31
Occam, Guglielmo di (Gran Bretagna, 1285-1347)...................... pag. 53
Pascal, Blaise (Francia, 1623-1662).............................................. pag. 50
Pitagora (antica Grecia, 570 a.C.-495 a.C.)................................... pag. 22, 28
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Platone (antica Grecia, 428 a.C.-328 a.C.) ................................... pag. 14
Polignac, Alphonse de (Francia, 1826-1863) ............................... pag. 11
Riemann, Bernhard (Germania, 1826-1866) ................................ pag. 43, 88
Rivest, Ronald (USA, vivente) ..................................................... pag. 42
Shamir, Adi (Israele, vivente) ...................................................... pag. 42
Stirling, James (Gran Bretagna, 1692-1770) ................................ pag. 14
Stolarsky, Kenneth (USA, vivente) .............................................. pag. 57
Tartaglia [Niccolò Fontana] (Italia, 1499-1557) .......................... pag. 50
Thabit ibn Qurra, Al Sabi (mondo arabo, 826-901) ..................... pag. 27
Trump, Walter (Germania, vivente) ............................................. pag. 76
von Haselberg, Ernst (Germania, 1827-1905) .............................. pag. 67
Waring, Edward (Gran Bretagna, 1736-1798) ............................. pag. 14
Wiles, Andrew (Gran Bretagna, vivente) ..................................... pag. 87
Wilson, John (Gran Bretagna, 1741-1793) .................................. pag. 14
Wythoff, Abraham (Olanda, vivente) ........................................... pag. 57
Zahray, Arsen (Ucraina, vivente) ................................................. pag. 68
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CITAZIONI: Tipologie, Successioni, Famiglie di Numeri
Cubi Bimagici Perfetti ......................................................................................................
Cubi Magici .......................................................................................................................
Cubi Magici Perfetti .........................................................................................................
Cubi Magici Semi-perfetti ................................................................................................
Esagoni Magici .................................................................................................................
Esagoni quasi Magici ........................................................................................................
Fattoriale ...........................................................................................................................
Fattoriale Doppio ..............................................................................................................
Fattoriale Triplo ................................................................................................................
Matrice di Stolarsky ..........................................................................................................
Matrice di Wythoff ...........................................................................................................
Numeri “Derangement”.....................................................................................................
Numeri Abbondanti ..........................................................................................................
Numeri Altamente composti .............................................................................................
Numeri di Achille .............................................................................................................
Numeri Amichevoli ..........................................................................................................
Numeri Automorfi ............................................................................................................
Numeri di Bell ..................................................................................................................
Numeri di Catalan .............................................................................................................
Numeri Ciclici ..................................................................................................................
Numeri Cubici ..................................................................................................................
Numeri Difettivi ...............................................................................................................
Numeri Esagonali .............................................................................................................
Numeri Esagonali Centrati ...............................................................................................
Numeri di Fibonacci .........................................................................................................
Numeri Fidanzati ..............................................................................................................
Numeri Figurati ................................................................................................................
Numeri di Lucas ...............................................................................................................
Numeri Multiperfetti .........................................................................................................
Numeri Pentagonali ..........................................................................................................
Numeri Pentagonali Centrati ............................................................................................
Numeri Perfetti .................................................................................................................
Numeri Perfetti di 2° specie .............................................................................................
Numeri Piramidali ............................................................................................................
Numeri Piramidali triangolari ...........................................................................................
Numeri Piramidali quadrati ..............................................................................................
Numeri Poligonali .............................................................................................................
Numeri Poligonali centrati ................................................................................................
Numeri Potenti ..................................................................................................................
Numeri Primi ....................................................................................................................
Numeri Primi Additivi ......................................................................................................
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pag. 77
pag. 75
pag. 76
pag. 76
pag. 67
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pag. 14
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pag. 44
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pag. 25
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pag. 31
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pag. 5
pag. 5
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Numeri Primi Cugini ........................................................................................................
Numeri Primi "Disparissimi" ............................................................................................
Numeri Primi Gemelli ......................................................................................................
Numeri Primi "Imirp" .......................................................................................................
Numeri Primi di Mersenne ...............................................................................................
Numeri Primi Monocifra ..................................................................................................
Numeri Primi Palindromi .................................................................................................
Numeri Primi Permutabili ................................................................................................
Numeri Primi Sexy ...........................................................................................................
Numeri Quadrati ...............................................................................................................
Numeri Quadrati Centrati .................................................................................................
Numeri Socievoli ..............................................................................................................
Numeri Stella ....................................................................................................................
Numeri Tetraedrici ...........................................................................................................
Numeri “Tetranacci” .........................................................................................................
Numeri Triangolari ...........................................................................................................
Numeri Triangolari Centrati .............................................................................................
Numeri Triangolari-Quadrati ............................................................................................
Numeri “Tribonacci” ........................................................................................................
Quadrati Antimagici ..........................................................................................................
Quadrati Bimagici .............................................................................................................
Quadrati Diabolici ............................................................................................................
Quadrati Eteromagici ........................................................................................................
Quadrati Magici ................................................................................................................
Quadrati Magici Additivi-Moltiplicativi ..........................................................................
Quadrati Magici Moltiplicativi .........................................................................................
Quadrati Magici di Numeri non Interi...............................................................................
Quadrati Magici di Numeri Primi .....................................................................................
Quadrati Trimagici ...........................................................................................................
Quadrato del “Sator” ........................................................................................................
Quaterne di Numeri Primi ................................................................................................
Stelle Magiche ..................................................................................................................
Superfattoriale ..................................................................................................................
Terne di Numeri Primi ......................................................................................................
Terne Pitagoriche ..............................................................................................................
Terne Pitagoriche Primitive ..............................................................................................
T-esagoni magici ..............................................................................................................
Tessaratti Magici ..............................................................................................................
Triangoli Magici ...............................................................................................................
Triangolo di Bell ...............................................................................................................
Triangolo di Tartaglia (di Pascal) .....................................................................................
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