Risoluzione dei triangoli rettangoli

 LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Consideriamo il seguente triangolo rettangolo:
Dove con 𝛼, 𝛽, 𝛾 abbiamo indicato rispettivamente gli angoli di vertici A, B, C e con a, b, c
rispettivamente le lunghezze dei lati BC (opposto all’angolo di vertice A), AC (opposto all’angolo di
vertice B) e AB (opposto all’angolo di vertice C). Trattandosi di un triangolo rettangolo a e b saranno
ovviamente le misure dei cateti e c la misura dell’ipotenusa e inoltre 𝛾 = 90°.
1. In un triangolo rettangolo, si definisce seno* (si abbrevia con sen oppure sin) di un angolo il
rapporto tra la lunghezza del cateto opposto all’angolo e la lunghezza dell’ipotenusa. In formule:
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑎
𝑏
, 𝑠𝑒𝑛𝛽 =
𝑐
𝑐
2. In un triangolo rettangolo, si definisce coseno (si abbrevia con cos) di un angolo il rapporto tra la
lunghezza del cateto adiacente all’angolo e la lunghezza dell’ipotenusa. In formule:
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑏
𝑎
, 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑐
𝑐
Da considerazioni di goniometria che ora omettiamo si ha che 𝑠𝑒𝑛90° = 1, 𝑐𝑜𝑠90° = 0; inoltre
essendo un cateto sempre minore dell’ipotenusa avremo che il seno e il coseno di un angolo acuto sono
sempre quantità comprese tra 0 e 1 (estremi ovviamente esclusi).
Dalle formule precedenti si può osservare che 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 e in maniera analoga 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 e
questo succede perché gli angoli 𝛼 𝑒 𝛽 sono complementari 𝛼 + 𝛽 = 90°.
3. In un triangolo rettangolo, si definisce tangente (si abbrevia con tan o tg) di un angolo il rapporto
tra la lunghezza del cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente. In formule:
𝑡𝑔𝛼 =
𝑎
𝑏
, 𝑡𝑔𝛽 =
𝑏
𝑎
Dalle formule dei punti 1 e 2 ricaviamo 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ⇒ 𝑡𝑔𝛼 =
tangente di un angolo è data dal rapporto tra il seno e il coseno di quest’angolo.
!∙!"#$
!∙!"!"
=
!"#$
!"#$
quindi la
3. In un triangolo rettangolo, si definisce cotangente (si abbrevia con cotan o ctg) di un angolo il
rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all’angolo e il cateto opposto. In formule:
𝑐𝑡𝑔𝛼 =
𝑏
𝑎
, 𝑐𝑡𝑔𝛽 =
𝑎
𝑏
2 !∙!"#!
Dalle formule del punto 1 e 2 ricaviamo ad esempio 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽, 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ⇒ 𝑡𝑔𝛽 = !∙!"#! =
!"#!
!"#!
quindi la cotangente di un angolo è data dal rapporto tra il coseno e il seno di quest’angolo.
Anche in questo caso avremo 𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽, 𝑡𝑔𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼.
* OSS: 𝑠𝑒𝑛𝛼 non si deve leggere come sen moltiplicato 𝛼 ma è un operatore matematico “compatto”.
LA CALCOLATRICE SCIENTIFICA
Con la calcolatrice, una volta noti il seno, coseno o la tangente di un angolo non è difficile risalire
all’angolo stesso. Tutte le calcolatrici scientifiche sono dotate di un tasto funzione inversa. Sopra il tasto
sin potrai trovare sin-1 e in maniera analoga per il coseno e la tangente; questo tasto ti permette di
calcolare la misura di un angolo noto il suo seno (attenzione! La notazione della calcolatrice non è la stessa che si
usa in matematica: sin-1 è la funzione inversa del seno secondo la notazione della calcolatrice mentre in matematica
intendiamo il reciproco del seno!).
Esempi
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𝑠𝑒𝑛𝛼=0,5 dopo aver digitato 0,5 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) sin ottieni
𝛼 = 30°;
𝑐𝑜𝑠𝛼=0,5 dopo aver digitato 0,5 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) cos ottieni
𝛼 = 60°;
𝑡𝑔𝛼=1 dopo aver digitato 1 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) tg ottieni 𝛼 =
45°;
𝑠𝑒𝑛𝛼=0,425 dopo aver digitato 0,425 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) sin
ottieni 𝛼 = 25,15°;
𝑐𝑜𝑠𝛼=0,83 dopo aver digitato 0,83 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) cos ottieni
𝛼 = 33,90°;
𝑡𝑔𝛼=3,17 dopo aver digitato 3,17 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) tg ottieni
𝛼 = 72,50°.
OSS. 1: In alcune calcolatrici con la scrittura “naturale” per calcolare, ad esempio, l’angolo per il quale 𝑡𝑔𝛼=3,17
dovrai prima digitare 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) e poi 3,17.
OSS. 2: nei calcoli con i decimali arrotonderemo sempre a due cifre dopo la virgola (25,46=25,50; 43,34=43,34 ecc.).
RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Risolvere un triangolo rettangolo significa determinare la misura di tutti gli angoli e di tutti i lati che lo
compongono; per fare questo occorre avere due informazioni (oltre all’angolo retto) di cui una almeno
dovrà essere un lato.
Per tutti gli esempi farò riferimento alla figura:
3 1. Sono noti due cateti: a=40, b=110
!"
𝑡𝑔𝛼 = !!" = 0, 36 → 𝛼 ≈ 19,98° → 𝛼 ≈ 19°58! 59!!
𝛽 = 90° − 19°58! 59!! = 70°1′1′′
𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎: 𝑐 = 𝑎! + 𝑏 ! = 13700 = 117,05
2. Sono noti un cateto e l’ipotenusa: a=21,13, c=50
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
!",!"
!"
= 0,42 → 𝛼 ≈ 25°
𝛽 = 90° − 25 = 65°
𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎: 𝑏 = 𝑐 ! − 𝑎! =
2053,52 = 45,31
Oppure anche in questo modo 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 50 ∙ 𝑐𝑜𝑠25° = 50 ∙ 𝑠𝑒𝑛65°
3. Sono noti un cateto e un angolo acuto: a=8, 𝜶 = 𝟐𝟖°
𝛽 = 90° − 28° = 62° → 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑔𝛽 = 8 ∙ 𝑡𝑔62° ≈ 15,04
𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎: 𝑐 = 𝑎! + 𝑏 ! = 290,38 = 17,04
4. Sono noti l’ipotenusa e un angolo acuto: c=28,3, 𝜶 = 𝟓𝟖°
𝛽 = 90° − 58° = 32 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛂 = 28,3 ∙ 𝑠𝑒𝑛58° ≈ 24
𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 28,3 ∙ 𝑠𝑒𝑛32° ≈ 15
ESERCIZI
Risolvi i seguenti esercizi (qualora gli angoli fossero “particolari” ossia 30°, 60°, 45° dei quali sappiamo quanto
valgono seno, coseno e tangente, non usate la calcolatrice e lasciate i risultati indicati, ad esempio 3 2).
1. In un triangolo rettangolo ABC i cateti sono AB e AC rispettivamente lunghi c e b, l’ipotenusa
è lunga a. Risolvilo sapendo che:
b=15 𝛾 = 30°
a=24 𝛽 = 60°
b=8
𝑐=8 3
a=48 c=24
c=10 𝛾 = 60°
b=22 𝛾 = 45°
b=46 𝛽 = 30°
a=84 𝑐 = 42 3
a=28 𝛾 = 45°
4 2. In un triangolo rettangolo conosciamo l’ipotenusa lunga 10 cm e un cateto lungo 5 3 cm.
3. In un triangolo rettangolo conosciamo un cateto lungo 8 cm e il seno dell’angolo opposto
uguale a 3/5.
4. In un triangolo rettangolo conosciamo l’ipotenusa lunga 15 cm e il coseno di un angolo acuto
uguale a 1/4.
5. In un triangolo rettangolo conosciamo un cateto lungo 8 cm e il coseno di un angolo acuto
uguale a 4/5.
PROBLEMI
1. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 10 cm e l’angolo opposto ad esso è di 40°. Trova il
perimetro del triangolo.
2. In un triangolo rettangolo il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa è 5/13 e l’altro cateto è lungo
48 cm. Determina l’areaa del triangolo e le misure degli angoli.
3. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, un cateto è lungo 20 cm e il coseno dell’angolo acuto ad
esso adiacente è 0,7. Determina l’area e il perimetro del triangolo.
4. Nel triangolo rettangolo ABC la lunghezza dell’ipotenusa BC è 41 cm e la tangente dell’angolo
𝐵 è 40/9. Determina perimetro e area del triangolo.
5. Nel triangolo rettangolo ABC le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa BC sono BH=25 cm e
CH=49 cm. Determina i cateti e gli angoli acuti.
6. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 75 cm e il seno del suo angolo opposto è 15/17.
Determina il perimetro del triangolo e l’altezza relativa all’ipotenusa.
7. In un triangolo isoscele la base è lunga 24 cm e il coseno dell’angolo al vertice è 7/25.
Determina le altezze del triangolo.
8. Nel trapezio isoscele ABCD di base AB è AD=DC=82 cm e 𝑡𝑔𝐴 = 9/40 . Determina
perimetro e area del trapezio.
9. In un triangolo ABC, 𝐴 = 30°, 𝐵 = 45°. Essendo AC=20 cm e CB=10 2 cm, calcola la
lunghezza del lato AB.
10. In un triangolo rettangolo la differenza tra i cateti è 6 cm e la tangente dell’angolo opposto al
cateto maggiore è 21/20. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
11. Una funivia collega due località, A e B, distanti 1200 m ed è inclinata di 42° sul piano
orizzontale. A che altezza, rispetto ad A, si trova la stazione B?
12. La rampa di un parcheggio sotterraneo è lunga 8,4 m e forma un angolo di 21° con il piano
orizzontale. A che profondità si trova il parcheggio?
13. Su un cartello stradale si legge: “pendenza del 14%”. Percorrendo un tratto di 280 m, quanto si
sale in altezza? Che angolo forma la strada con il piano orizzonale?