Dal teorema di Noether alla Gruppenpest

Fisica e teoria dei gruppi
Parte 2
Dal teorema di Noether
alla Gruppenpest
Luisa Bonolis
Laboratorio Interdisciplinare per le Scienze Naturali e Umanistiche SISSA - Trieste
[email protected] - www.luisabonolis.it
A.I.F.
Scuola di Storia della Fisica
Piacenza, 18-24 febbraio 2013
I matematici di Göttingen e la teoria
generale della relatività di Einstein
La nozione di invariante è al cuore della presentazione di Minkowski della
relatività speciale. In un riferimento qualsiasi, una particella in moto uniforme
descrive una linea d’universo, il cui elemento infinitesimo è rappresentato
dall’invariante 4-dimensionale: dτ=1/c(c2dt2-dx2-dy2-dz2)1/2
La geometria dei 4-vettori di Minkowski definita sulla superficie dell’iperboloide
dalle trasformazioni del gruppo di Lorentz, può essere vista come una geometria
nel senso del Programma di Erlangen di Klein.
Secondo Klein la relatività speciale poteva infatti essere interpretata come la
Invariantentheorie del gruppo delle trasformazioni di Lorentz.
Nei suoi sforzi di mettere in luce le connessioni tra il suo Programma di Erlangen e
il lavoro di Minkowski, Einstein, Hilbert e gli altri, Klein terrà lezioni sulla teoria
della relatività dall’estate 1916 all’estate 1917.
Klein e Hilbert invitano Einstein a Göttingen
Emmy Noether a Ernst S. Fischer
(novembre 1915):
«La teoria degli invarianti qui va per la
maggiore [...] la prossima settimana
Dal 29 giugno al 7
Hilbert terrà un seminario sugli invarianti luglio 1915 Einstein è
invitato dai matematici
differenziali di Einstein»
Einstein: «Qui avuto la piacevole esperienza di
convincere completamente i matematici [...] Non c’è
paragone tra Berlino e Göttingen quanto a vivacità e
interesse accademico, almeno in questo campo».
a tenere 6 seminari
sullo stato delle sue
ricerche su relatività e
gravitazione.
Sulle spalle dei giganti...
Tra la fine del 1915 e i primi mesi del
1916 Einstein e Hilbert presentano le
equazioni del campo gravitazionale.
Bernhard Riemann
L’idolo di Klein
Gregorio Ricci-Curbastro
(1853-1925)
Tullio Levi-Civita
(1873-1941)
Einstein: “Il fascino di questa
teoria non può che apparire
evidente a chiunque l’abbia
veramente compresa.
Rappresenta un vero e
proprio trionfo del metodo
del calcolo differenziale
assoluto fondato da Gauss,
Riemann, Christoffel, Ricci e
Levi-Civita”.
A. Einstein, Zur allgemeinen
Relativitätstheorie (25 novembre 1915)
D. Hilbert, Die Grundlagen der Physik (20
novembre 1915)
Emmy Noether e la teoria degli invarianti
Nel 1903 le università bavaresi concedono la
possibilità di iscrizione alle donne che hanno
sostenuto la licenza. Nell’autunno 1904 Emmy si
iscrive alla Facoltà di filosofia dell’Università di
Erlangen, frequentando esclusivamente i corsi di
matematica. È l’unica donna insieme a 46 uomini
(2 sole donne su 1000 studenti)
Emmy Noether
1882-1936
Nel 1907 Emmy si laurea summa cum laude. Suo
relatore di tesi è Paul Gordan, il re degli invarianti,
collega e grande amico di suo padre. I suoi lavori
consistevano in venti pagine di formule ininterrotte
e si diceva che le poche righe di testo fossero
aggiunte dagli amici...
Nel complesso, lo stile del lavoro matematico di Gordan era algoritmico
(alla sua morte Hilbert ebbe infatti a dire: «Er war ein Algoritmiker»).
Rifuggiva dal presentare le sue idee in forme letterarie informali. Derivava i
suoi risultati per via computazionale, lavorando in direzione dello scopo
desiderato senza offrire spiegazioni dei concetti che ne motivavano il
lavoro.
Dallo stile algoritmico alla Gordan
all’approccio astratto alla Hilbert
Emmy inizia a lavorare, senza alcun contratto né compenso, presso l’Istituto di Matematica di
Erlangen, collaborando con suo padre e con i due successori di Gordan. Uno di loro in
particolare, Ernst Fischer, ebbe un’influenza notevole sul suo lavoro nel campo dell’algebra.
Sotto la guida di Fischer Emmy Noether si avvicinerà all’approccio astratto di
Hilbert, abbandonando lo stile formale che aveva caratterizzato la sua tesi. Lei
stessa definirà il suo lavoro «una giungla di formule, una pura faccenda di
conti».
Ernst S. Fischer
1875-1954
Nel 1908 viene eletta membro del Circolo
Matematico di Palermo.
Nel 1909 viene invitata a far parte della Deutsche
Mathematiker Vereinigung. È la prima donna a
partecipare alla riunione annuale della Società.
«Ricordo chiaramente una persona in visita che, sebbene una donna, mi sembrò simile a un cappellano cattolico
di una parrocchia di campagna.Vestita con un indescrivibile pastrano nero che le sfiorava la caviglia, un cappello
da uomo da cui spuntavano capelli corti (ancora una rarità all’epoca) e con una borsa a tracolla sistemata di
traverso simile a quella dei ferrovieri all’epoca dell’impero. Era una ben strana figura...»
(Ricordo di un nipote del matematico Franz Mertens, 1913)
Il divino Felix
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A Hermann Weyl, arrivato a Göttingen nel
1903, Hilbert apparve come il Pifferaio
magico, che con l’irresistibile richiamo del
suo dolce flauto lo attirava nel profondo
fiume della matematica
Nel 1893 arriva Sommerfeld, (allievo di
Hilbert a Königsberg) che subisce la
forte influenza di Klein. Tredici anni
dopo cominciò a insegnare fisica teorica
a Monaco.
Max Born: «Appresi che Göttingen
era la mecca della matematica
tedesca e che vi abitavano tre
profeti: Felix Klein, David Hilbert e
Hermann Minkowski».
1903-1904
Emmy Noether frequenta l’Università di
Göttingen come uditrice e segue i corsi
di Felix Klein, David Hilbert e Karl
Schwarzschield
Nel 1904 il giovane Max Born arriva a Göttingen da Breslau:
«La mia vita scientifica fu affascinante e piena di ispirazione fin dall’inizio…Mi
concentrai sulla matematica e sulla fisica, rappresentate da Hilbert e Voigt…I
corsi di Hilbert conducevano sempre in un nuovo mondo. Uno di questi
riguardava la meccanica avanzata, fondata sui metodi di Hamilton-Jacobi e l’idea
di trasformazioni canoniche. Ciò che imparai là mi fu più tardi di enorme aiuto
per lo sviluppo della meccanica atomica, nel periodo 1920-25 che precedette la
nascita della meccanica quantistica».
Nel 1905 Born divenne l’assistente di Hilbert e in questa veste gli preparava le
trascrizioni delle lezioni destinate alla sala di lettura. Born non si separò mai da
questi manoscritti che lo accompagnarono nel corso delle sue vicissitudini, dal
suo abbandono della Germania fino al suo ritorno in patria dopo la guerra.
Invitata da Hilbert e Klein come una esperta della teoria degli invarianti,
Emmy Noether si stabilisce a Göttingen fin dall’aprile 1915.
Il 20 luglio 1915 Noether fa richiesta per l’abilitazione all’insegnamento, che
nessuna donna aveva ancora ottenuto in Germania. Nonostante i loro sforzi
il Ministero dopo due anni rispose: «Non si possono concedere eccezioni,
anche in un caso così particolare in cui l’eccezione è innegabile».
Hilbert risolse il problema a modo suo. Nel semestre invernale 1916-1917
la Noether tenne lezioni sulla teoria degli invarianti, annunciate con il nome
del prof. Hilbert.
L’interesse di Klein per simmetrie e
leggi di conservazione
Stimolato dall’approccio di Minkowski, basato sulle proprietà di invarianza del gruppo di Lorentz
che si combinavano con la sua grande ammirazione per Riemann che aveva fornito l’apparato
matematico dove Einstein aveva inquadrato le sue idee fisiche. Klein nutriva un forte interesse
per questi argomenti che scaturiva dall’individuare una correlazione fra le idee alla base della
teoria speciale e generale della relatività e il suo Programma di Erlangen, vero e proprio
manifesto sull’importanza dei gruppi di trasformazioni e dei loro invarianti per la geometria. Il
tutto si integrava con la sua grande ammirazione per Riemann, che Klein vedeva così
sorprendentemente giustificata dalla teoria di Einstein sulla gravitazione.
La connessione tra le 10 leggi di conservazione della meccanica classica - energia, impulso e del
momento angolare, conservazione del moto del centro di massa - e le corrispondenti
simmetrie dello spazio-tempo - traslazioni nello spazio e nel tempo, rotazioni - erano da diversi
anni al centro degli interessi di Klein, come si deduce anche dal testo delle conferenze da lui
tenute negli anni 1915-1917 sugli sviluppi della matematica nel XIX secolo.
Nel frattempo Hilbert continuava ad occuparsi di relatività generale e in particolare
dell’apparente venir meno delle leggi di conservazione dell’energia-impulso nella teoria.
Entrambi chiesero a Emmy Noether di assisterli in questa questione.
I teoremi di Noether
24 maggio 1918, Einstein a Hilbert:
Ieri ho ricevuto dalla signorina Noether un lavoro molto interessante
sugli invarianti. Mi impressiona molto il fatto che qualcuno riesca a
comprendere questioni di questo tipo da un punto di vista così generale.
Non sarebbe stato male mandare la vecchia guardia di Göttingen a scuola
da Fräulein Noether. Di sicuro conosce bene il suo mestiere.
2 luglio 1918: Felix Klein presenta
all’Accademia Reale delle Scienze di
Göttingen il lavoro di Noether
Invariante Variationsprobleme.Vi si
presentavano due teoremi e i loro
inversi che rivelavano nel modo più
generale la connessione tra simmetrie
e leggi di conservazione in fisica,
generalizzando una serie di risultati
ottenuti in epoche diverse a tutti i
gruppi continui finiti e infiniti. Questo
lavoro rappresentava la sua tesi di
abilitazione.
Legame tra contenuto delle leggi fisiche e struttura dello spazio-tempo
Ciascun principio di conservazione di una quantità fisica si basa sull’invarianza formale delle
leggi. Per ciascuna simmetria continua o discreta della funzione di Lagrange che rappresenta il
sistema fisico, esiste una quantità che si conserva nel corso dell’evoluzione del sistema. Nel caso
delle trasformazioni euclidee il teorema fornisce la conservazione dell’energia totale,
dell’impulso e del momento angolare in corrispondenza dell’invarianza della lagrangiana per
traslazione temporale, spaziale, rotazione. I tre grandi principi di conservazione della fisica si
basano ciascuno su una ben precisa simmetria dello spazio-tempo.
Il primo teorema di Noether contiene la derivazione delle 10 leggi classiche di conservazione
della meccanica già scoperte da Joseph Louis Lagrange (1736-1813), William Rowan Hamilton
(1805-1865) e Carl Gustav Jacobi (1804-1851).
Nel 1890 Poincaré aveva messo in evidenza, senza dimostrarla esplicitamente, la connessione fra
invarianza delle equazioni de moto sotto traslazioni spaziali e temporali, rotazioni e
trasformazioni di Galilei, la conservazione dell’energia, dell’impulso, del momento angolare e del
moto uniforme del centro di massa. Nel 1911 Klein si era reso conto che la connessione fra
proprietà di simmetria di un sistema e le sue leggi di conservazione è correlata al lavoro di Lie
sulla teoria dei gruppi applicata alle equazioni differenziali.
Su suggerimento di Lie, Friedrich Engel (studente e collaboratore di Lie) aveva mostrato nel
1916 la connessione fra gruppo di invarianza della meccanica classica e le leggi di conservazione
della quantità di moto, del momento angolare e della velocità del baricentro in un caso
particolare e nell’ambito della teoria di Lie.
Queste ricerche estendevano alla meccanica galileiana e relativistica il punto di vista che Klein
aveva già applicato con successo alla geometria.
Il potere della matematica
«I principi della meccanica hanno un’origine gruppale»
Sophus Lie
Il Teorema I riguarda le simmetrie
descritte da gruppi di Lie finitodimensionali, come il gruppo delle
rotazioni, il gruppo di Lorentz. Se il
sistema è invariante rispetto al gruppo,
esiste una quantità conservata
corrispondente a ciascun elemento
dell’algebra di Lie che ha come elementi i
generatori del gruppo. Per una teoria di
campo il teorema I afferma che esiste una
corrente localmente conservata per
ciascun elemento dell’algebra. Questo
risultato molto generale è valido per
sistemi discreti, continui, classici e
quantistici.
Il Teorema II afferma che quando l’azione è
invariante rispetto a un gruppo di Lie
infinito-dimensionale valgono certe
identità, o “dipendenze” come le chiamava
la Noether, tra le funzioni di Lagrange della
teoria e le loro derivate. Nel caso
particolare della relatività generale queste
non sono altro che le “identità di Bianchi”
che forniscono la legge di conservazione
del tensore energia-impulso a partire dalle
equazioni del campo.
Tullio Levi-Civita, che conosceva queste
identità già trovate dal suo maestro RicciCurbastro (derivate indipendentemente da
Bianchi nel 1902) aveva dimostrato questa
legge di conservazione nel 1917 (Sulla
espressione analitica spettante al tensore
gravitazionale nella teoria di Einstein).
Il lavoro della Noether incorporava in modo inedito
differenti campi della matematica e della fisica
matematica:
1) La teoria degli invarianti algebrici e differenziali
2) La geometria di Riemann e il calcolo delle
variazioni nel contesto della relatività generale, della
meccanica e della teoria dei campi
3) La teoria dei gruppi, in particolare la teoria dei
gruppi di Lie per risolvere le equazioni differenziali
per mezzo dei loro gruppi di invarianza.
Proprietà
Invarianza delle equazioni
Omogeneità del tempo
Invarianza per traslazione temporale
Omogeneità dello spazio Invarianza per traslazione spaziale
Isotropia dello spazio
Invarianza per rotazione Quantità conservata
Energia
Impulso
Momento angolare
Tardiva affermazione del lavoro di Noether
I teoremi di noether si applicano alle lagrangiane e alle densità di lagrangiane
dipendenti da un numero arbitrario di campi con un numero arbitrario di
derivate. Per molto tempo il teorema non viene menzionato, nemmeno da
Weyl, che ben doveva conoscere questi risultati.
Il ritorno in auge delle formulazioni lagrangiane riporta all’attenzione il
teorema, soprattutto dopo il 1958, quando Feynman e Gell-Mann pubblicano il
lavoro sulla teoria V-A delle interazioni deboli. Pur non facendo riferimento al
teorema mettono in evidenza la connessione tra correnti conservate e
simmetrie. Anche Schwinger usa il teorema nel 1957, pur non facendo
riferimento alla Noether.
Nina Beyers mette in evidenza come con l’approccio hamiltoniano non sia stata
favorita la connessione che invece viene fuori quando si comincia a pensare alle
teorie delle interazioni forti e deboli come a teorie di campo lagrangiane
governate da un principio di azione. Quando la teoria lagrangiana di campo
diventa il punto di partenza per una teoria delle particelle elementari, quando i
teorici cominciarono ad utilizzare gli integrali sui cammini, i gruppi di Lie e le
simmetrie di gauge, il teorema di Noether divenne uno strumento di base nel
loro arsenale.
Nel 1932, quando Emmy Noether prese la parola al Congresso Internazionale dei Matematici
di Zurigo, i suoi contributi allo studio dell’algebra erano riconosciuti come fondamentali: basti
pensare che due anni prima uno dei suoi migliori allievi, Bartel Leender van der Waerden, dava
alle stampe il volume Moderne Algebra, in gran parte basato sulle idee innovative di Emmy, oggi
divenuto un classico e che può essere considerato come l’atto d’inizio dell’algebra moderna.
“I ragazzi della Noether”
«All of us like to rely on figures and formulas.
For her, these tools were worthless - in fact,
obstructing. She was concerned with concepts
only, not with visualization or calculation»
(van der Waerden, necrologio di E.Noether)
Emmy Noether e M. L. Du
primavera del 193
Il triumvirato di Göttingen:
Hilbert, Born e Franck
Max Born si spostò a Göttingen nel 1921 come successore di
Peter Debye. Heisenberg arrivò a Göttingen verso la fine
dell’ottobre 1922, per l’inizio del semestre invernale.
IL FESTIVAL DI BOHR.
Nel giugno 1922, Bohr, che quello stesso anno
avrebbe ricevuto il premio Nobel, tenne una serie di
conferenze generali sulla fisica atomica quantistica a
teorici tedeschi e a loro studenti riuniti a Göttingen.
Bohr era contrario al clima di boicottaggio culturale
internazionale contro la Germania.
Primo incontro con Heisenberg.
L’evento rappresenta l’inaugurazione non ufficiale di
Göttingen come centro di fisica atomica teorica e
terzo punto del triangolo quantistico con Monaco e
Copenhagen.
David Hilbert e Richard Courant,
Methoden der mathematischen Physik
(1924). Due volumi di circa 1000 pagine
a cui collaborarono in molti (tra cui in
particolare Pasqual Jordan). Il secondo
volume è dedicato alla teoria delle
equazioni differenziali alle derivate
parziali. La formulazione di Schrödinger
della meccanica quantistica rese
evidente la rilevanza delle tecniche di
Hilbert e Courant per la meccanica
ondulatoria.
Il seminario di fisica tenuto a
Göttingen, che era stato
frequentato da Poincaré,
Lorentz, Planck, Nernst, Bohr,
ora con Max Born, diveniva
il luogo di richiamo per una
nuova generazione di fisici
come Dirac, Heisenberg,
Fermi, Pauli, Oppenheimer.
Pascual Jordan
(1903-1957)
Una nuova generazione
a Göttingen
Le ultime lezioni di Hilbert sugli
sviluppi della meccanica
quantistica tenute nel 1926-1927
furono raccolte nel volume Über
die Grundlagen der
Quantenmechanik (1927) a cui
collaborò von Neumann.
John von Neumann
(1903-1957)
Nel periodo 1926-1932 von Neumann elaborò il formalismo dello spazio di
Hilbert della meccanica quantistica in maniera sistematica e
matematicamente rigorosa. I risultati di questo lavoro furono pubblicati nei
Matematische Grundlagen der Quantenmechanik (1932)
La meccanica quantistica fa ampio uso dei
teoremi più avanzati dell'algebra lineare. Il
modello matematico, formalizzato
principalmente da Paul Dirac e John Von
Neumann, descrive i possibili stati di un
sistema quantistico come elementi di un
particolare spazio di Hilbert uno spazio
vettoriale che generalizza la nozione di spazio
euclideo; e le grandezze osservabili (quali
posizione, velocità, etc.) come operatori
hermitiani. I valori che possono assumere
queste grandezze quando vengono
effettivamente misurate sono gli autovalori
dell'operatore. In meccanica quantistica uno
stato fisico può essere rappresentato da un
elemento (vettore o ket) o da una opportuna
combinazione lineare di elementi dello spazio
di Hilbert.
Le funzioni d'onda associate
agli stati di un elettrone in
un atomo di idrogeno sono
gli autovettori di alcuni
particolari operatori usati in
meccanica quantistica.
In matematica, in particolare in algebra lineare, un autovettore di una
trasformazione lineare tra spazi vettoriali è un vettore la cui immagine è il vettore
In meccanica classica gli autovettori delle equazioni che descrivono un sistema
fisico corrispondono spesso ai modi di vibrazione di un corpo, e gli autovalori alle
loro frequenze. In meccanica quantistica gli operatori corrispondono a variabili
osservabili, gli autovettori sono chiamati anche autostati e gli autovalori di un
operatore rappresentano quei valori della variabile corrispondente che hanno
probabilità non nulla di essere misurati.
Il termine autovettore è stato tradotto dalla parola tedesca Eigenvektor, coniata da
Hilbert nel 1904. Eigen significa proprio caratteristico.
In questa trasformazione lineare della Gioconda
l'immagine è modificata ma l'asse centrale
verticale rimane fisso. Il vettore blu ha cambiato
lievemente direzione, mentre quello rosso no.
Quindi il vettore rosso è un autovettore della
trasformazione e quello blu no. Inoltre, poiché il
vettore rosso non è stato né allungato, né
compresso, né ribaltato, il suo autovalore è 1.
Tutti i vettori sull'asse verticale sono multipli
scalari del vettore rosso, e sono tutti
autovettori: assieme all'origine formano
l'autospazio relativo all'autovalore 1.
Il nuovo ruolo delle simmetrie nella meccanica quantistica
I fisici erano abituati alle simmetrie tipiche della meccanica classica, ma ora si
trovavano a riconoscere che un sistema di particelle identiche, come gli
elettroni in un atomo, è caratterizzato da una simmetria nuova: il sistema
rimane invariato per permutazione degli stati quantici delle n particelle.
Una simmetria che fornisce la chiave al principio di esclusione e alle statistiche
quantiche.
Heisenberg esamina il problema dei due elettroni nell’atomo di elio e trova
che esistono due insiemi di livelli energetici che non si combinano tra di loro.
Questa separazione discende dalla simmetria dell’Hamiltoniana del sistema
sotto permutazione delle particelle.
La separazione dello spettro dell’elio in due stati (orto-elio e para-elio) porta
a comprendere come il dover restringere la funzione d’onda ad essere
antisimmetrica è ciò che porta al principio di esclusione di Pauli.
Heisenberg si trova ora ad affrontare il problema dello spettro di un sistema
atomico con due o più elettroni. Ma i calcoli appaiono proibitivi. Il problema
attira l’attenzione di un giovane ungherese appena laureato in ingegneria
chimica.
Jenö Pál Wigner
1921 - Si iscrive alla Technische Hochschule a Berlino
1924 - Per il suo Diplomarbeit fa un lavoro sulla
struttura cristallina dello zolfo rombico nel quale utilizza
i gruppi spaziali classici
1925 - Si laurea in ingegneria chimica con Michael
Polanyi con una tesi dal titolo Bildung und Zerfall von
Molekülen
1926 - Tornato a Budapest riceve la lettera di un
cristallografo del Kaiser Willhelm Institut di Berlino che
voleva un assistente «per scoprire perché nei cristalli gli
atomi occupano posizioni che corrispondono ad assi di
simmetria…Mi disse anche che questo aveva a che fare
con la teoria dei gruppi».
Wigner studia il classico Lehrbuch der Algebra di H.
Weber.
La teoria dei gruppi, che serve a classificare i cristalli in
base ai loro gruppi di simmetria, può aiutare i fisici a
“classificare” gli stati di un sistema atomico in base alle
simmetrie tipiche di questi sistemi?
Wigner legge il lavoro di Heisenberg in cui risolve il problema dello
spettro dell’elio che rappresenta la prima applicazione del principio di
Pauli : le autofunzioni atomiche devono essere antisimmetriche sotto
permutazione degli elettroni) e lo estende al caso n = 3 nel lavoro
presentato a “Zeitschrift für Physik” il 12 novembre: Über nicht
kombinierende Terme in der neueren Quantentheorie. Erster Teil
Ma il 26 novembre presenta un secondo lavoro: Über nicht
kombinierende Terme in der neueren Quantentheorie. Zweiter Teil:
«È chiaro che questi metodi elementari sono a malapena applicabili già ad un
atomo con quattro elettroni, perché le difficoltà di calcolo divengono troppo
elevate. Tuttavia esiste una teoria matematica del tutto formalizzata che si può
applicare in questo caso: la teoria dei gruppi di trasformazioni che è isomorfa
al gruppo simmetrico (il gruppo delle permutazioni) fondata e sviluppata alla
fine del secolo scorso [...] Queste indicazioni mi sono state amichevolmente
fornite dal sig. J. von Neumann [...]»
1928 - Wigner scrive tre articoli con von Neumann in cui viene fornita una
base più rigorosa generalizzando l’intera teoria al caso di elettroni dotati di
spin
Hermann Weyl
1908 - Si laurea con Hilbert con una tesi sugli
invarianti integrali e rimane a Göttingen
come suo assistente
1913 /1930 - Cattedra di matematica alla
Technische Hochschule di Zurigo
1930 /1933- Cattedra di matematica a
Göttingen
1930 / 1952 - Princeton, Institute for
Advanced Studies
1918 - Nel tentativo di una teoria unificata di
gravitazione e elettro-magnetismo mostra
che la gauge invariance determina la
conservazione della carica. Impressionato
dalla relatività generale scrive Raum, Zeit,
Materie
Hermann Weyl
1923/ 1938 - Crea una teoria generale della rappresentazione dei gruppi
continui mediante matrici
1925 - Mostra che esiste una corrispondenza biunivoca fra le
rappresentazioni irriducibili del gruppo delle permutazioni sullo spazio a
2N dimensioni delle variabili di spin di N elettroni e quelle del gruppo U
(2)
1928 - Pubblica Gruppentheorie und Quantenmechanik. Il libro nasce dal
corso tenuto nell’anno accademico 1927 /1928 a Zurigo. Nel 1930 esce
l’edizione inglese rielaborata in base alle lezioni tenute a Princeton nel
1928/1929: «Tutti i numeri quantici, ad eccezione del numero quantico
principale, sono indici che caratterizzano le rappresentazioni di gruppi».
1929 - Mostra che l’origine delle interazioni elettromagnetiche risiede
nell’invarianza rispetto a trasformazione di gauge.
1928 - Dirac fa un seminario a Princeton intitolato Quantum Mechanics without group
theory in cui mostra le connessioni dell’energia di scambio con le variabili di spin. Nel
corso della discussione Weyl fa notare a Dirac che tutti gli argomenti da lui usati non sono
altro che applicazioni della teoria dei gruppi, contrariamente a quanto “pubblicizzato” nel
titolo. Risposta di Dirac: «Quello che ho affermato è che avrei ottenuto i risultati senza
presupporre la conoscenza della teoria dei gruppi».
1929 - J.C. Slater pubblica The Theory of Complex Spectra in cui ottiene le energie dei
termini spettroscopici con metodi elementari:
«It was a frustrating experience, worthy of the name of a pest. I had what I can only
describe as a feeling of outrage at the turn which the subject had taken…as soon as this
paper became known, it was obvious that a great many other physicists were as disgusted
as I had been with the group-theoretical approach to the problem. As I heard later, there
were remarks made such as “Slater has slain the ‘Gruppenpest’”». ( J.C. Slater, autobiografia)
Heisenberg: «There was first the helium problem where one saw the two term systems.
And then I tried to do a similar thing for molecules with three equal nuclei. There I realized
that I had to do with a new group property. But I could’nt do it well, and then the paper of
Wigner appeared, who really did the things well… and then I realized that the group theory
was a very important part. So for some time then everybody learned group theory and
representations -- the papers of Schur, the books of Schur. But then there came the paper
of Slater, who succeded, more or less, to reduce everything to the Pauli principle. So one
didn’t need too much this detailed work of Schur …» (Heisenberg intervistato da T. Kuhn il
19 febbraio 1963)
1935 - Nella prefazione al volume The Theory of atomic Spectra ecco cosa scrivono E. U.
Condon e G. H. Shortley a proposito di teoria dei gruppi: «The reader will have heard that
this mathematical discipline is of great importance for the subject. We manage to get along
without it…why add this additional burden to the load? »
La Gruppenpest
Nel 1931 - Scoppia ufficialmente
la “Gruppenpest”.
I risultati elaborati da Wigner in
una serie di articoli vengono
presentati in forma sistematica e
didattica nel volume
Gruppentheorie und ihre Anwendung
in der Theorie der Atomspektren.
Nella prefazione Max von Laue
scrive: «Quasi tutte le regole della
spettroscopia discendono dalla
simmetria del problema».
Il “drago dei gruppi” ucciso
da Slater.
Disegno eseguito da George
Gamow
Fa riferimento al lavoro di
Slater The Theory of Complex
Spectra in cui ottiene le
energie dei termini
spettroscopici con metodi
elementari
Allievo di Emmi Noether, van der Waerden diviene il più autorevole seguace
e continuatore della sua linea di ricerca nel campo dell’algebra astratta. Nel
1931 ottiene la cattedra di matematica a Lipsia dove lavora a stretto
contatto con Heisenberg e Hund.
Nel 1932 pubblica Die Gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanick
1933
Epilogo
Emmy Noether alla stazione
di Göttingen nell’ottobre
1933, al momento della sua
emigrazione negli Stati Uniti.
Morirà di cancro nel giro di
pochi anni.
The New York Times - November 11, 1938
An estimated 2,000 - 2,500 Jews died as a result of
Kristallnacht (murdered during the pogroms or death
in transit to concentration camps); some were beaten
to death.
30,000 Jews were abducted to concentration camps.
8,000 Jewish shops, windows smashed with
sledgehammers leaving the streets covered with glass.
1,668 synagogues were ransacked; 267 were
destroyed by fire.
The Jews were fined 1 billion reichsmarks to repair
the property damage and restore cleanliness to the
German streets.
Hilbert al ministro dell’educazione: «...Matematica? A Göttingen non esiste più!...»