Le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell
Il campo elettrico indotto
Abbiamo visto nel capitolo precedente che un campo magnetico variabile genera in un circuito una
forza elettromotrice indotta.
Riconsideriamo questa proprietà nella seguente esperienza: poniamo un anello conduttore
all'interno di un campo magnetico per il quale facciamo aumentare il valore dell’intensità B.
L’anello conduttore è sottoposto ad variazione di flusso di campo magnetico e pertanto si genera in
esso una corrente indotta. In particolare gli elettroni che prima avevano una velocità media nulla,
ora si muovono all’interno della struttura metallica.
Se consideriamo la situazione descritta dal punto di vista del campo elettrico una carica q che
accelera,per la legge di Coulomb F =
E=
1
Qq
, è tale per cui su di essa agisce un campo elettrico
4πε 0 d 2
F
1 Q
=
. Quindi, sugli elettroni dell'anello metallico agisce un campo elettrico.
q 4πε 0 d 2
Però questo campo elettrico non è generato, come al solito, da cariche elettriche ma da una corrente
indotta, quindi da un campo magnetico variabile.
Pertanto possiamo concludere che:
Il campo elettrico generato da una corrente indotta e detto campo elettrico indotto ed è generato da
un campo magnetico che varia nel tempo.
In questo capitolo vogliamo dimostrare che vale anche la relazione inversa,cioè un campo elettrico
variabile genera un campo magnetico indotto. La legge che descrive questo effetto di induzione dei
campi elettrici fu formulata da James Clerk .Maxwell, che riuscì ad unificare lo studio delle leggi
dell'elettricità e del magnetismo: Da qui le equazioni che descrivono questa mutua interazione
vengono dette equazioni di Maxwell.
Inoltre la reciproca induzione di campi elettrici e di campi magnetici dà origine al fenomeno
dell'oscillazione elettromagnetica autosostenuta nel vuoto. Se, inizialmente, esiste un campo
elettrico oscillante, esso indurrà un campo magnetico, e questo indurrà un nuovo campo elettrico, e
questo indurrà un nuovo campo magnetico. Pertanto questi campi si possono propagare
mutuamente. E’ necessaria una carica o una corrente oscillante per iniziare uno dei due campi ma,
dopo questo inizio, essi continuano a propagarsi e ad autosostenersi autonomamente.
La corrente di spostamento
Per introdurre tale corrente analizziamo risultato seguente, detto anche
Il paradosso del teorema di Ampere.
Ricordiamo che una corrente si dice concatenata ad una linea chiusa se essa taglia la superficie
delimitata dalle curva stessa.
Ricordiamo il teorema di Ampere sula circuitazione del campo magnetico:
“la circuitazione del campo magnetico lungo una qualsiasi linea chiusa con la quale risulti
concatenata una corrente che genera il campo magnetico è sempre uguale al prodotto della
permeabilità magnetica del vuoto per l’intensità di corrente”, cioè:
r
C B = µ 0i
()
Primo caso: filo continuo percorso da corrente
Consideriamo prima questa situazione:
Per il teorema di Ampere abbiamo
r
C B = µ0i
()
Immaginiamo di “stirare” la circonferenza:
La circonferenza iniziale (che facciamo coincidere con il bordo sinistro del cilindro) risulta essere
ancora concatenata al filo conduttore e sempre per il teorema di Ampere abbiamo ancora che la
circuitazione vale:
r
C B = µ 0i
()
Immaginiamo di “stirare” ulteriormente la superficie sino a chiuderla:
Possiamo affermare, come in precedenza, che la circonferenza iniziale (quella che coincide con il
bordo sinistro del cilindro) risulta essere ancora concatenata al filo conduttore e sempre per il
teorema di Ampere abbiamo ancora che la circuitazione vale:
r
C B = µ 0i
()
Secondo caso: filo non continuo percorso da corrente
Consideriamo ora la seguente sezione di un circuito, composta da un filo conduttore non continuo
interrotto da un condensatore piano. Lungo il filo scorre corrente dovuta ad un generatore:
Consideriamo per esso una circonferenza concatenata al filo percorso dalla corrente di intensità i .
Per il teorema di Ampere la circuitazione del campo magnetico lungo la circonferenza alla quale è
concatenata al corrente vale:
r
C B = µ 0i
()
Supponiamo come nel caso precedente di “stirare la circonferenza”, abbiamo quindi la seguente
situazione
La circonferenza (cioè il bordo sinistro del cilindro, unitamente alla sua parte “stirata”) taglia
ancora il filo conduttore, pertanto la corrente risulta essere ancora concatenata alla circonferenza,
r
quindi per il teorema di Ampere abbiamo ancora C B = µ 0 i .
()
Proseguiamo nel procedimento di “stiramento” della circonferenza, come nel caso precedente
abbiamo:, abbiamo quindi la seguente situazione
In questo caso la circonferenza (cioè il bordo sinistro del cilindro, unitamente alla sua parte
“stirata”) non taglia il filo conduttore, infatti è possibile estrarre la superficie dal circuito senza che
questa intersechi il filo percorso da corrente.
Dal teorema di Ampere allora risulta che la circuitazione è nulla:
r
C B =0
()
Osservazione
Per tutte le correnti che fluiscono lungo circuiti continui ed ininterrotti, la forma della superficie
usata per intercettare la corrente non influisce sulla validità del teorema di Ampere. Nel primo caso
la superficie illustrata al terzo passaggio intercetta la stessa corrente che è intercettata dalla
superficie circolare al primo passaggio (che non è altro che il bordo della superficie tridimensionale
risultante dopo lo stiramento completo).
La differenza tra le due distribuzioni consiste nel fatto che nel primo caso il filo è continuo e quindi
esso genera un campo magnetico (che si determina con legge di Biot-Savart), nel secondo caso
invece il circuito è interrotto, allora il campo magnetico generato dal filo in questo caso è uguale a
primo dove il conduttore è continuo, mentre dove il filo si interrompe, in corrispondenza del
condensatore, cosa accade?
Perché la corrente scorra nel circuito interrotto, tra le armature del condensatore ci deve essere un
flusso elettrico, altrimenti la corrente dovrebbe interrompersi e non scorrerebbe oltre le armature
del condensatore. Tra queste ultime, infatti, ricordando le linee di campo elettrico, abbiamo:
+
-
+
-
Tra le armature accade che la corrente passa ugualmente, per poter circolare nel circuito (infatti
basta guardare l’intensità della corrente nella carica di un circuito RC, se la corrente non passasse
tra le armature del condensatore, avremo sempre intensità di corrente nulla per tale tipo di circuito).
Allora nel secondo caso:
la superficie non intercetta corrente tradizionale ma un flusso elettrico che permette alla corrente di
attraversare l’ostacolo rappresentato dell’interruzione presente tra le armature del condensatore.
Tale flusso elettrico che permette alla corrente di proseguire in cammino lungo il circuito è
chiamata corrente di spostamento.
Il teorema di Ampere generalizzato da Maxwell allora diventa:
r
→
∆Φ( E )
C ( B ) = µ 0 i + µ 0ε 0
∆t
r
∆Φ ( E )
Dove il termine la corrente di spostamento è data dal termine i s = ε 0
.
∆t
Osservazione
L’intensità della corrente di spostamento dipende dalla variazione di flusso di campo
elettrico. Questa grandezza, naturalmente, non è una vera intensità di corrente, ma, nel teorema di
Ampere generalizzato da Maxwell, ha lo stesso effetto che avrebbe se lo fosse.
La corrente di spostamento rappresenta quindi la modalità con cui la corrente ordinaria riesce a
superare l’interruzione dovuta alla presenza delle armature di un condensatore.
r
∆Φ ( E )
Se consideriamo la corrente di spostamento i s = ε 0
, il teorema di Ampère generalizzato da
∆t
Maxwell, assume un significato analogo a quello formulato dalla legge di Faraday-Neumann
espressa dall'equazione, infatti quest’ultima mette in relazione l'intensità della corrente indotta con
la rapidità di variazione del flusso magnetico. La formula ottenuta in questo paragrafo invece mette
in relazione il campo magnetico (nel nostro caso la circuitazione) con la rapidità di variazione del
flusso elettrico. Quindi, queste leggi indicano una certa simmetria negli effetti mutui dei campi
elettrici e dei campi magnetici.
Pertanto possiamo affermare che:
Come un campo magnetico dipendente dal tempo è capace di indurre un campo elettrico, così un
campo elettrico dipendente dal tempo è capace di indurre un campo magnetico
Le equazioni di Maxwell
Con l’equazione precedente abbiamo ottenuto quindi una simmetria tra fenomeni elettrici e
magnetici. Tale proprietà è espressa dalle equazioni di Maxwell che sintetizzano La struttura della
teoria classica dei fenomeni elettromagnetici.
Prima equazione di Maxwell: teorema di Gauss per il campo elettrico
il flusso del vettore campo elettrico attraverso una superficie chiusa S, è dato dalla relazione
→
Φ S (E) =
∑Q
i
i
ε0
Dove Qi sono le cariche elettriche contenute all’interno della superficie chiusa S.
Seconda equazione di Maxwell: teorema di Gauss per il campo magnetico
il flusso del vettore campo magnetico attraverso una superficie chiusa S, è sempre nullo
→
Φ S ( B) = 0
Terza equazione di Maxwell: teorema di Ampere per il campo elettrico
la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa è nulla
→
C(E) = 0
Osservazione
Questa equazione equivale alla legge di Faraday Neumann con l’osservazione di Lenz.
Quarta equazione di Maxwell: teorema di Ampere generalizzato per il campo magnetico
la circuitazione del campo magnetico prodotto da u campo elettrico è data dalla seguente relazione:
r
r
∆Φ ( E )
C B = µ 0 I + µ 0ε 0
∆t
()
Alle quattro equazioni di Maxwell aggiungiamo la legge che esprime l’equazione di Lorenz:
r
r
r r
F = qE + qv × B
Che descrive l’azione dei campi elettrici e magnetici su una particella carica in moto.
Essa è una sintesi delle formule:
F = qE , legge che esprime la forza che agisce su una carica q dovuta all’azione di campo
elettrico E
F = qvB , forza di Lorenz che esprime la forza che un campo magnetico B esercita su una
carica in moto
Osservazione
Queste leggi descrivono una simmetria negli effetti mutui dei campi elettrici e dei campi magnetici,
infatti come un campo magnetico variabile nel tempo è capace di indurre un campo elettrico, così
un campo elettrico dipendente dal tempo è capace di indurre un campo magnetico.
Considerate nel loro insieme le equazioni di Maxwell costituiscono il punto di sintesi e unificazione
fra il campo magnetico e il campo elettrico.
Il sistema assiomatico delle equazioni di Maxwell
Diamo qualche definizione per chiarire meglio il significato di ciò che vogliamo descrivere.
Definizione: si definisce assioma una proposizione che viene assunta vera senza bisogno di
dimostrazione.
Definizione: si definisce sistema assiomatico un insieme di assiomi che possono essere usati per
dimostrare teoremi. Una teoria consiste quindi di un sistema assiomatico e di tutti i
teoremi che ne derivano.
Osservazione
Un sistema assiomatico è coerente se non presenta contraddizioni, cioè se non è possibile
dimostrare a partire da questi assiomi sia un teorema sia il suo contrario.
In un sistema assiomatico un assioma è detto indipendente se non può essere dedotto dagli altri
assiomi. Un sistema è indipendente se ogni suo assioma è indipendente.
Un sistema assiomatico è completo se è possibile dimostrare (a partire da questi assiomi) la verità o
falsità di ogni proposizione.
Alla luce di queste precisazioni possiamo affermare che le equazioni di Maxwell rappresentano per
i fenomeni elettromagnetici u sistema assiomatico completo.
Cioè dalle equazioni di Maxwell forniscono una descrizione completa delle interazioni fra cariche,
correnti, campi elettrici e campi magnetici. Tutte le proprietà dei campi si possono dedurre
utilizzando queste equazioni, infatti data la distribuzione di cariche e correnti, queste equazioni
determinano univocamente i campi corrispondenti. Inoltre le equazioni di Maxwell determinano
univocamente l'evoluzione temporale dei campi elettromagnetici, a partire da una data condizione
iniziale di questi campi. Perciò, queste equazioni svolgono per la dinamica dei campi
elettromagnetici ciò che le equazioni del moto di Newton svolgono per la dinamica dei punti
materiali.
Esempio
Diamo un breve esempio di come dalle equazioni di Maxwell sia possibile ottenere alcuni risultati
noti.
Dalla prima equazione di Maxwell (il teorema di Gauss per il campo elettrico) si ottiene legge di
Coulomb che descrive le forze di attrazione e di repulsione fra cariche in quiete.
Dalla seconda equazione di Maxwell (il teorema di Gauss per il campo magnetico) si deduce che
non esistono monopoli magnetici.
Dalla terza equazione di Maxwell (legge di Faraday-Neumann) si ottiene che un campo magnetico
variabile nel tempo induce un campo elettrico.
Le onde elettromagnetiche nelle equazioni di Maxwell
Dalle equazioni di Maxwell è possibile dedurre un nuovo fenomeno che insorgere per effetto delle
reciproche interazioni (e induzioni) tra campi elettrici e magnetici variabili. Illustriamo con un
semplice esempio l’affermazione precedente: supponiamo che in una certa regione di spazio ad un
certo istante si determini una variazione del campo elettrico, originato, per esempio, da un moto
accelerato di cariche elettriche. Nei punti immediatamente vicini si produce allora, per la quarta
equazione di Maxwell, un campo magnetico anch'esso variabile nel tempo. La variazione del campo
magnetico, per la terza equazione di Maxwell, origina nei punti immediatamente vicini un campo
elettrico anch'esso variabile, e così via. Nasce in tal modo una perturbazione elettromagnetica che si
propaga nello spazio.
Il fatto che una variazione del campo magnetico in un punto produce un campo elettrico variabile
era noto già prima di Maxwell, in quanto era previsto dalla legge di Faraday-Neumann, tuttavia si
riteneva che nel momento in cui il campo magnetico si annullasse anche il campo elettrico indotto
dovesse azzerarsi con la conseguenza che il tutto cessasse dopo un piccolo intervallo di tempo
dall'istante in cui si era annullato il campo magnetico.
La quarta equazione di Maxwell invece ci assicura che il campo elettrico variabile nel tempo genera
un campo magnetico, anch’esso variabile nel tempo, pertanto il procedimento può riprendere e
ripetersi (all’infinito)
Pertanto:considerato un campo elettrico oppure un campo magnetico generati dalla variazione nel
tempo di uno dei due, essi poi sono in grado di autosostenersi, cioè di propagarsi anche se
la variazione iniziale che li ha prodotti è venuta meno.
Conclusione: da una variazione del un campo elettrico o del campo magnetico nel tempo, ha
origine la propagazione di un impulso elettromagnetico, cioè di un’onda, chiamata
per l'appunto onda elettromagnetica.
La velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica
Analizzando il campo elettrico di una carica accelerata è possibile dedurre la velocità c con cui
essa si propaga:
c=
1
ε 0 µ0
Velocità di
propagazione di un’onda
elettromagnetica
Che corrisponde, circa, al valore c = 3 ⋅ 10 8 m .
s
Poiché la luce è un’onda elettromagnetica, avremo che tale valore corrisponde alla velocità di
propagazione della luce nel vuoto.