somma dei reciproci di numeri famosi

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SOMMA DEI RECIPROCI DI NUMERI
FAMOSI
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Sommario:
In questo documento si calcolano le somme dei reciproci di numeri famosi.
La somma dei reciproci dà delle informazioni veramente basilari sui
numeri.
Più è elevato questo numero e più numeri ci sono nella serie e viceversa.
Inoltre si capisce anche quale sia il fattore di crescita della serie.
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Index:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
SERIE DI KEMPNER ..................................................................................................................................................... 3
NUMERI PRIMI SEXY .................................................................................................................................................. 5
NUMERI PRIMI GEMELLI ........................................................................................................................................... 6
NUMERI PRIMI CUGINI............................................................................................................................................... 7
NUMERI PALINDROMI ................................................................................................................................................ 8
NUMERI PALINDROMI PRIMI .................................................................................................................................. 10
POTENZA PERFETTA CON DUPLICAZIONI ........................................................................................................... 11
POTENZA PERFETTA P-1 SENZA DUPLICAZIONI ................................................................................................ 12
POTENZA PERFETTA SENZA DUPLICAZIONI....................................................................................................... 13
QUADRATI PERFETTI (PROBLEMA DI BASILEA) ........................................................................................... 14
CUBI PERFETTI (COSTANTE DI APERY)........................................................................................................... 15
NUMERI DI FIBONACCI ....................................................................................................................................... 16
NUMERI POLIGONALI.......................................................................................................................................... 17
POTENZE DI 2 ........................................................................................................................................................ 18
FATTORIALE........................................................................................................................................................... 19
PRIMORIALE .......................................................................................................................................................... 20
NUMERI PRIMI DI FIBONACCI ........................................................................................................................... 21
NUMERI DI FERMAT............................................................................................................................................. 23
FATTORIALE ESPONENZIALE ............................................................................................................................ 25
NUMERI FIBONORIALI ........................................................................................................................................ 26
FIBONACCI SEQUENZA DELLE MUCCHE - LA SEZIONE SUPERAUREA................................................... 27
PARTIZIONI DI UN NUMERO .............................................................................................................................. 29
NUMERI PRONICI.................................................................................................................................................. 30
SEQUENZA DI SOMMA-LIBERA......................................................................................................................... 31
NUMERI PRIMI DI RAMANUJAN ....................................................................................................................... 33
NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN ............................................................................................................... 35
TABELLA ORDINATA IN MODO CRESCENTE SECONDO L’ELEMENTO 10000° ........................................ 36
RIFERIMENTI ......................................................................................................................................................... 39
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1.
SERIE DI KEMPNER
La serie di Kempner “serie 9” è una modifica della serie armonica, formata omettendo
tutti quei denominatori che contengono la cifra uguale a “9”:
S=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/1
8+1/20 +…= 22,9206766192641
Tale numero diviso 34, che è un numero di Fibonacci, fornisce come valore 0,674137
valore molto vicino allo spin del buco nero finale prodotto dalla collisione di due buchi
neri e calcolato dalle osservazioni delle onde gravitazionali
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 9
LOG(x)
=9
ln x
ln 10
N(100) = 81
N(1000) = 729
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
ln N
x = 10lg9(N) = 10 ln 9
x(10000) = 15553
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Pe la precisione a seconda della cifra che viene omessa abbiamo le seguenti somme di
reciproci:
TAB. 1
sum
0 23.10344
1 16.17696
2 19.25735
3 20.56987
4 21.32746
5 21.83460
6 22.20559
7 22.49347
8 22.72636
9 22.92067
In generale quando si esclude stringhe di lunghezza n dai reciproci la somma è data
approssimativamente dalla seguente formula:
S = 10n ln10
Infatti per una singola cifra la somma S è data da:
S = 10ln10 = 23,0258509299
che corrisponde circa ai valori di TAB. 1
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2.
NUMERI PRIMI SEXY
Due numeri primi si dicono sexy quando la loro differenza è pari a sei, ovvero formano
coppie del tipo
(p, p+6)
La somma dei reciproci è data da:
S=1/5+1/11+1/7+1/13+1/11+1/17+1/13+1/19+1/17+1/23+1/23+1/29+1/31+1/37+1/37+
1/43+1/41+1/47+1/47+1/53+1/53+1/59+1/61+1/67+1/67+1/73+1/73+1/79+1/83+1/89+
1/97+1/103 +…= 1,77337685333434 (per le prime 150 coppie di numeri primi sexy)
Tale numero diviso 2 fornisce il valore 0,886685 molto vicino alla dimensione del
protone
Si stima che il valore dovrebbe essere superiore di poco a 2, S > 2
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 4*C2
x
x
= 2,6406
2
(ln x )
(ln x ) 2
Dove C2 è la costante dei numeri primi gemelli = 0,6601611815
N(100) = 15 (calcolato ≈ 12,45)
N(1000) = 74 (calcolato ≈ 55,34)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x ≈ 0,66016 N(ln N)2
x(10000) = 554893 (calcolato ≈ 560016,169)
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3.
NUMERI PRIMI GEMELLI
Due numeri primi si dicono gemelli quando la loro differenza è pari a due, ovvero
formano coppie del tipo
(p, p+2)
La somma dei reciproci è data da:
S=1/3+1/5+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+1/71+1/
73+1/101+1/103 +… = 1,902160583104
Tale numero diviso per 3 fornisce 0,634 anche questo valore molto vicino allo spin del
buco nero finale prodotto dalla collisione di due buchi neri e calcolato dalle
osservazioni delle onde gravitazionali
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 2*C2
x
x
= 1,3203
2
(ln x )
(ln x ) 2
Dove C2 è la costante dei numeri primi gemelli = 0,6601611815
N(100) = 8 (calcolato ≈ 6,225)
N(1000) = 35 (calcolato ≈ 27,67)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x ≈ 1,3203 N(ln N)2
x(10000) = 1260989 (calcolato ≈ 1120015,37)
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4.
NUMERI PRIMI CUGINI
Due numeri primi si dicono cugini quando la loro differenza è pari a quattro, ovvero
formano coppie del tipo
(p, p+4)
La somma dei reciproci è data da:
S=1/3+1/7+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/23+1/37+1/41+1/43+1/47+1/67+1/71+1/79+1
/83+1/97+1/101 + …= 1,67323537619
Questo numero diviso 2 fornisce il valore 0,8366175 molto vicino alla dimensione del
protone. Tale numero è anche vicino al rapporto aureo 1,618…
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 2*C2
x
x
= 1,3203
2
(ln x )
(ln x ) 2
Dove C2 è la costante dei numeri primi gemelli = 0,6601611815
N(100) = 8 (calcolato ≈ 6,225)
N(1000) = 41 (calcolato ≈ 27,67)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x ≈ 1,3203 N(ln N)2
x(10000) = 1266487 (calcolato ≈ 1120015,37)
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5.
NUMERI PALINDROMI
Un numero è palindromo quando le sue cifre rappresentano lo stesso valore sia che
siano lette da destra che da sinistra.
Un esempio di numero palindromo può essere:
12345654321
si può notare infatti che esso è simmetrico rispetto al suo centro:
12345 6 54321
quindi vale la definizione.
La somma dei reciproci è data da:
S=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/11+1/22+1/33+1/44+1/55+1/66+1/77+1/88
+1/99+1/101+1/111 +…= 3,37028325949737
Questo numero diviso 4 fornisce il valore 0,84257 molto vicino alla dimensione del
protone
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 2 ( x − 1 ) per esponenti pari di 10x
N(x) ≤ 11
x
x
− 2 per esponenti dispari di 10
10
N(100) = 18
N(1000) = 108
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L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
2
N + 2
x
x≈ 
 per esponenti pari di 10
 2 
2
N + 2
x
x≈10 
 per esponenti dispari di 10
 11 
x(10000) = 8999998 (calcolato ≈ 8267768,92)
In questo caso si è utilizzata la seconda formula perché il valore del 10000° elemento è
più vicino a 107
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6.
NUMERI PALINDROMI PRIMI
Un primo palindromo è un numero primo che è anche un numero palindromo, ossia
rimane invariato leggendolo da destra a sinistra.
Considerando il test di divisibilità per 11, si può facilmente dedurre che tutti i numeri
palindromi con un numero pari di cifre sono divisibili per 11 e, quindi, non sono primi
quindi solo quelli con un numero di cifre dispari sono primi palindromi.
La somma dei reciproci è data da:
S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/101+1/131+1/151+1/181+1/191+1/313+1/353+1/373+1/38
3+1/727+1/757+1/787+1/797+1/919+1/929+1/10301+1/10501+1/10601+1/11311+1/11
411+1/12421+…= 1,32398214680585
Questo numero diviso 2 fornisce il valore 0,6615 molto vicino allo spin del buco nero
finale prodotto dalla collisione di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni delle
onde gravitazionali
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ P(x) (
ln ln ln x
) con P(x) numero di numeri palindromi
ln ln x
N(100) = 5 (calcolato ≈ 4,99)
N(1000) = 20 (calcolato ≈ 36,82)
L’elemento 10000° è il seguente:
x(10000) = 13649694631
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7.
POTENZA PERFETTA CON DUPLICAZIONI
Una potenza perfetta è un intero positivo che può essere espresso come una potenza di
un altro numero intero positivo.
Più formalmente n è una potenza perfetta se esistono numeri naturali m > 1 e k > 1 tali
che n = mk .
Nel caso in cui k=2 si hanno i quadrati perfetti nel caso di k=3 si hanno i cubi perfetti.
Il numero 1 in genere non viene considerato (perché 1k = 1 per qualsiasi k).
La somma dei reciproci con duplicazioni è data da:
S=1/4+1/8+1/9+1/16+1/16+1/25+1/27+1/32+1/36+1/49+1/64+1/64+1/64+1/81+1/81+1
/100 +…= 1
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 1.01 x
N(100) = 16 (calcolato ≈ 10,1)
N(1000) = 49 (calcolato ≈ 31,94)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
N 
x ≈ 

 1,01 
2
x(9999) = 87403801 (calcolato ≈ 98010000)
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8.
POTENZA PERFETTA P-1 SENZA DUPLICAZIONI
Eulero e Goldbach hanno dimostrato che la somma dei reciproci di
1
escludendo il
p −1
valore 1 e senza duplicazioni è data da:
S=1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+1/48+1/63+1/80+1/99+…= 1
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ x
N(100) = 12 (calcolato ≈ 10)
N(1000) = 40 (calcolato ≈ 31,62)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x ≈ N2
x(9999) = 90706575 (calcolato ≈ 99980001)
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9.
POTENZA PERFETTA SENZA DUPLICAZIONI
La somma dei reciproci delle potenze perfette senza duplicazioni è data da:
S=1/4+1/8+1/9+1/16+1/25+1/27+1/32+1/36+1/49+1/64+1/81+1/100+…= 0,874464368
Questo valore è molto vicino a quello della dimensione del protone
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ x
N(100) = 12 (calcolato ≈ 10)
N(1000) = 40 (calcolato ≈ 31,62)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x ≈ N2
x(9999) = 90706576 (calcolato ≈ 99980001)
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10.
QUADRATI PERFETTI (PROBLEMA DI BASILEA)
Il problema di Basilea chiede di scoprire la formula a cui tende la somma degli inversi
di tutti i quadrati dei numeri naturali, cioè la somma precisa della serie infinita:
Eulero dimostrò che la somma esatta è
π2
6
e annunciò questa scoperta nel 1735.
S=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+1/49+1/64+1/81+1/100+…= 1,644934066848 =
π2
6
Questo numero diviso due fornisce il valore 0,8224 molto vicino alla dimensione del
protone ed è anche vicino al valore del rapporto aureo 1,618…
Il valore è anche uguale alla funzione zeta di Riemann Z(2).
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ x
N(100) = 10 (calcolato = 10)
N(1000) = 31 (calcolato ≈ 31,62)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x ≈ N2
x(10000) = 100000000 (calcolato = 100000000)
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11.
CUBI PERFETTI (COSTANTE DI APERY)
La somma dei reciproci dei cubi perfetti è data da:
S=1+1/8+1/27+1/64+1/125+1/216+1/343+1/512+1/729+1/1000+…=
1,20205690315959
Tale numero diviso la radice di 2 fornisce come valore circa 0,85 valore molto vicino
alla dimensione del protone
Il valore è anche uguale alla funzione zeta di Riemann Z(3) e viene definita costante di
Apery, che nel 1977 ha dimostrato che essa è un numero irrazionale..
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 3 x
N(100) = 4 (calcolato ≈ 4,64)
N(1000) = 10 (calcolato = 10)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x ≈ N3
x(10000) = 1000000000000 (calcolato = 1000000000000)
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12.
NUMERI DI FIBONACCI
La successione di Fibonacci, indicata con Fn , è una successione di numeri interi
positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della
successione sono per definizione F1=1 e F2=1. Tale successione ha quindi una
definizione ricorsiva secondo la seguente regola:
F1=1
F2=1
Fn= Fn-1 + Fn-1 (per ogni n>2
La somma dei reciproci è data da:
S= 1+1+1/2+1/3+1/5+1/8+1/13+1/21+1/34+1/55+1/89+…= 3,359885666243
Questo numero diviso 4 fornisce 0,83997 circa la dimensione del protone
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤
1
ln( x 5 ) = 2,078 ln( x 5 )
ln ϕ
dove φ =
1+ 5
= 1,618033988749 (sezione aurea)
2
N(100) = 11 (calcolato ≈ 11,24)
N(1000) = 16 (calcolato ≈ 16,02)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
N
1 2,078
x≈
e
5
x(10000) = 4*102089 (calcolato = 4*102089)
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13.
NUMERI POLIGONALI
Un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un
poligono regolare.
La formula generale per la somma dei reciproci è data da:
S=
2 ln 2 + ψ (
1
k
) +ψ (
) + 2γ
k−2
2k − 2
k −2
dove
ψ è la funzione digamma che è la funzione speciale definita come derivata logaritmica
della funzione gamma.
λ = 0,57721 56649 (costante di Eulero-Mascheroni)
Ad esempio la somma dei reciproci per i numeri ettagonali è data da:
S=1+1/7+1/18+1/34+1/55+1/81+1/112+1/148+1/189+1/235+1/286+1/342+1/403+1/46
9+1/540+1/616+1/697+1/783+1/874+1/970+1/1071+1/1177 +…= 1,30476318377875
Tale numero diviso due è uguale a 0,65235 valore molto vicino allo spin del buco nero
finale prodotto dalla collisione di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni delle
onde gravitazionali
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤
8( k − 2) x + ( k − 4) 2 + k − 4
2( k − 2)
Per i numeri ettagonali si ha:
N(x) ≤
40 x + 9 + 3
10
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N(100) = 6 (calcolato ≈ 6,63)
N(1000) = 20 (calcolato ≈ 20,3)
L’elemento ennesimo si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x=
N 2( k − 2) − N ( k − 4)
2
L’elemento ennesimo per i numeri ettagonali si trova dalla formula inversa che è la
seguente:
x=
5 N 2−3N
2
x(10000) = 249985000 (calcolato = 249985000)
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14.
POTENZE DI 2
Una potenza di due è ogni numero intero potenza del numero due, ovvero che si può
ottenere moltiplicando due per sé stesso un certo numero di volte. Una potenza di due è
anche 1, in quanto 20=1.
La somma dei reciproci è data da:
S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512+1/1024 +…= 2
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤
ln x
+1 = 1,442695 ln(x) +1
ln 2
N(100) = 7 (calcolato ≈ 7,64)
N(1000) = 10 (calcolato ≈ 10,96)
L’elemento ennesimo si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x≈ e
N −1
1, 442695
x(10000) = 9,975315584403*103009 (calcolato = 9,975315584403*103009)
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15.
FATTORIALE
Si definisce fattoriale di un numero naturale n, indicato con n!, il prodotto dei numeri
interi positivi minori o uguali a tale numero. In formula:
n! = 1*2*3*….. (n-1)*n
per la convenzione del prodotto vuoto si definisce inoltre 0!=1
La somma dei reciproci è data da:
S=1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720+1/5040+1/40320+1/362880+1/3628800
=2,718281828459
+…=
e
Tale numero diviso π = 3,14 fornisce come valore 0,8656 molto vicino alla dimensione
del protone
La somma è uguale al numero trascendentale ed irrazionale neperiano e
N(100) = 5
N(1000) = 7
Per l’elemento ennesimo si usa l'approssimazione di Stirling:
n
e
x! ≈ 2πn ( ) n
x(10000) ≈ 1035659 (calcolato ≈ 1035659)
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16.
PRIMORIALE
Per n ≥ 2, il primoriale di n, indicato con n#, è il prodotto di tutti i numeri primi minori
o uguali ad n. Per esempio, 210 è un primoriale, essendo il prodotto dei primi 4 numeri
primi (2 × 3 × 5 × 7).
La somma dei reciproci è data da:
S=1/2+1/6+1/30+1/210+1/2310+1/30030+1/510510+1/9699690+1/223092870+1/6469
693230+1/200560490130+1/742073813 +…= 0,7052301717918
Tale valore è abbastanza vicino allo spin del buco nero finale prodotto dalla collisione
di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni delle onde gravitazionali
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤
ln x
+1
ln ln x
N(100) = 3 (calcolato ≈ 3,01)
N(1000) = 4 (calcolato ≈ 3,57)
Per l’elemento ennesimo si usa la seguente approssimazione:
x# ≈ n1,01n
10000# ≈ calcolato ≈ 1000010100 = 1040400
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17.
NUMERI PRIMI DI FIBONACCI
Dato che Fnm è divisibile per Fn e Fm, se un numero Fk è primo, anche k è primo, fatta
eccezione per F4=3.
Non è vero il contrario. Infatti ad esempio 19 è primo, mentre F19 = 113*37 = 4181 non
è primo.
La somma dei primi 14 reciproci è data da:
S= 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/13 + 1/89 + 1/233 + 1/1597 + 1/28657 + 1/514229 +
1/433494437
+
1/2971215073
+
1/99194853094755497
+
1/1066340417491710595814572169 + 1/19134702400093278081449423917 +…=
1,126447227672
Tale numero diviso 1,618 fornisce come valore 0,69619 molto vicino allo spin del buco
nero finale prodotto dalla collisione di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni
delle onde gravitazionali
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 2φ ln (ln (x 5 )) = 3,236 ln (ln (x 5 ))
dove φ =
1+ 5
= 1,618033988749 (sezione aurea)
2
N(100) = 5 (calcolato ≈ 5,46)
N(1000) = 6 (calcolato ≈ 6,61)
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L’elemento ennesimo si trova dalla formula inversa che è la seguente:
N
1 e 2ϕ
x≈
e
5
1341
x(10000) ≈ calcolato ≈ 10 10
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18.
NUMERI DI FERMAT
Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un
numero intero esprimibile come:
Fn = 2 2 +1
n
con n intero non negativo.
Sono tutti numeri dispari coprimi tra di loro.
La somma dei reciproci è data da:
S=1/3+1/5+1/17+1/257+1/65537+1/4294967297+1/18446744073709551617+1/340282
366920938463463374607431768211457+…= 0,596063172117821
La radice di 2 sottratta a tale valore fornisce 0,82421 valore molto vicino alla
dimensione del protone
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 2 ln (ln x) +1
N(100) = 3 (calcolato ≈ 3,159)
N(1000) = 4 (calcolato ≈ 3,73)
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L’elemento ennesimo si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x≈
1 e N −1
e
2
x(10000) ≈ calcolato ≈ 10 10
4341
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19.
FATTORIALE ESPONENZIALE
Un fattoriale esponenziale è un intero positivo n che è elevato a potenza di n-1, che a
sua volta è elevato a potenza di n-2 e così via:
n ( n −1)
( n − 2 ) (...)
Il fattoriale esponenziale può anche espresso con una relazione ricorsiva:
a1=1, an=n a −1
n
a1=1
a2=21
a3=32
2.1
a1=4 3 =49
La somma dei reciproci è data da:
S=1+1/2+1/9+1/262144 +…= 1,611114925808
E’ un numero trascendentale ed è molto vicino a 1,618 quindi al rapporto aureo.
N(100) = 4
N(1000) = 4
x(10000) ≈ 10000 9999
1
9998....
3010
(calcolato ≈ 10 10 )
E’ il valore più alto che si possa trovare in questo documento.
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20.
NUMERI FIBONORIALI
Il numero Fibonoriale n!F , chiamato anche come fattoriale di Fibonacci, dove n è un
numero intero non negativo, è definito come il prodotto dei primi n numeri di
Fibonacci:
n!F = Π Fi, n ≥ 1 e 0!F = 1
dove Fi è l’i-esimo numero di Fibonacci.
La somma dei primi 18 reciproci è data da:
S= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/30 + 1/240 + 1/3120 + 1/65520 + 1/2227680 + 1/122522400 +
1/10904493600 + 1/1570247078400 + 1/365867569267200 + 1/137932073613734400
+
1/84138564904377984000
+
1/83044763560621070208000
+
1/132622487406311849122176000 + 1/342696507457909818131702784000 +…=
2,70450289915406
Si stima che il valore tenda a 2,704502899154067487197548966182
Tale numero diviso per π = 3,14 fornisce come valore 0,8613 molto vicino alla
dimensione del protone
L’elemento ennesimo si trova dalla seguente formula:
x ≈ 1,2267420107
ϕ
n ( n +1)
2
n
52
dove φ =
1+ 5
= 1,618033988749 (sezione aurea)
2
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x(10000) ≈ calcolato ≈ 1010446932
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21. FIBONACCI
SUPERAUREA
SEQUENZA
DELLE
MUCCHE
-
LA
SEZIONE
E’ associata a un problema (simile a quello dei conigli) riguardante la popolazione di
una mandria di bovini.
A differenza della coppia di coniglietti (che diveniva adulta e si riproduceva dopo il
trascorrere di un singolo mese), in questo differente caso il processo di crescita presenta
uno stadio intermedio: le coppie di cuccioli si trasformano prima in coppie adulte ma
non ancora fertili, e poi in coppie fertili, capaci di riprodursi.
La successione concernente la popolazione dei bovini sarà:
1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60
a(0) = a(1) = a(2) = 1; thereafter a(n) = a(n-1) + a(n-3).
In tal caso, la generazione salta un valore.
Per esempio, 41 = 28 + 13, mentre 60 = 41 + 19.
Se, come nel caso della successione di Fibonacci, eseguiamo il rapporto tra ciascun
termine della successione e l'antecedente, allora tale rapporto, portato al limite, tende a
una certa quantità:
Ψ = 1,46557123187676802665...
a(n+1)/a(n) tende a x = 1.46557123187676802665... quando n → ∞.
Questa è la soluzione reale x^3 - x^2 -1 = 0.
Questa quantità indicata con la lettera greca psi (ψ) rappresenta la cosiddetta
"sezione superaurea".
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La somma dei primi 44 reciproci è data da:
S=1+1+1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/9+1/13+1/19+1/28+1/41+1/60+1/88+1/129+1/189+1/27
7+1/406+1/595+1/872+1/1278+1/1873+1/2745+1/4023+1/5896+1/8641+1/12664+1/18
560+1/27201+1/39865+1/58425+1/85626+1/125491+1/183916+1/269542+1/395033+1
/578949+1/848491+1/1243524+1/1822473+1/2670964+1/3914488+1/5736961+1/8407
925 +…= 4,60320706057253
Si stima che il valore tenda a 4,6033
Tale valore diviso 7 fornisce 0,6576 molto vicino allo spin del buco nero finale prodotto
dalla collisione di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni delle onde gravitazionali
N(x) ≤
1
ln( x 5 ) = 2,6161 ln( x 5 )
lnψ
dove
Ψ = 1,46557123187676802665... (sezione superaurea)
N(100) = 14 (calcolato ≈ 14,15)
N(1000) = 20 (calcolato ≈ 20,18)
L’elemento ennesimo si trova dalla formula inversa che è la seguente:
N
x≈
1 2,6161
e
5
x(10000) = 5*101659 (calcolato = 5*101659)
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22.
PARTIZIONI DI UN NUMERO
Una partizione di un intero positivo è un modo di scrivere
positivi, senza tener conto dell'ordine degli addendi.
come somma di interi
Ad esempio le partizioni di 4 sono le seguenti:
1.
2.
3.
4.
5.
4
3+1
2+2
2+1+1
1+1+1+1
La somma dei primi 50 reciproci è data da:
S=1+1+1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/15+1/22+1/30+1/42+1/56+1/77+1/101+1/135+1/176
+1/231+1/297+1/385+1/490+1/627+1/792+1/1002+1/1255+1/1575+1/1958+1/2436+1/
3010+1/3718+1/4565+1/5604+1/6842+1/8349+1/10143+1/12310+1/14883+1/17977+1/
21637+1/26015+1/31185+1/37338+1/44583+1/53174+1/63261+1/75175+1/89134+1/1
05558+1/124754+1/147273+1/173525 +…= 3,51056310463079
Si stima che il valore tenda a 3,51061
Tale valore diviso 4 fornisce 0,8776 valore molto vicino alla dimensione del protone
L’elemento x(n) ennesimo si trova dalla seguente formula approssimata:
x(n) ≈
1 π
e
4n 3
2n
3
per n → ∞
x(10000) ≈ 3,61673*10106 (calcolato ≈ 3,6328058*10106)
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23.
NUMERI PRONICI
Un numero pronico (o numero oblungo o anche numero eteromecico) è un numero
che è il prodotto di due numeri consecutivi, cioè un numero nella forma n(n+1).
Tutti i numeri pronici sono pari (essendo il prodotto di due numeri consecutivi, di cui
almeno uno è pari); inoltre 2 è l'unico numero primo di questa sequenza, nonché l'unico
che è anche un numero di Fibonacci.
La somma dei reciproci è data da:
S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132+1/156+1/182+1/210+
1/240+1/272+1/306 +…= 1
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤
4x + 1 − 1
2
N(100) = 9 (calcolato ≈ 9,51)
N(1000) = 31 (calcolato ≈ 31,126)
L’elemento ennesimo si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x = n(n+1)
x(10000) = 100010000 (calcolato = 100010000)
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24.
SEQUENZA DI SOMMA-LIBERA
Una sequenza di somma-libera è una sequenza crescente di interi positivi
{nk}kεN
tali che per ogni k, nk non può essere rappresentato come una somma di qualsiasi
sottoinsieme degli elementi precedenti la stessa sequenza.
Un esempio classico sono le potenze di 2:
1, 2, 4, 8, 16, ….
Essa forma una sequenza di somma libera perchè ogni elemento della sequenza è “1” in
più della somma di tutti gli elementi precedenti, e quindi non possono rappresentare la
somma degli elementi precedenti.
Sappiamo che in questo caso la somma dei reciproci è dato da 2.
Se R è il valore massimo di una sequenza di somme di reciproci di una qualsiasi
sequenza di somma libera, allora è stato dimostrato che il valore di R è sempre inferiore
a:
R < 3.0752
Ad esempio la somma libera di {1, 2, 3, …., n} è data da
1, 2, 3, 6, 9, 16, 24, 42, 61, 108, 151, 253, 369, 607, 847, 1400, 1954, 3139, 4398, 6976,
9583, 15456, 20982, 32816, 45417, 70109, 94499, 148234, 200768, 308213, 415543,
634270, 849877, 1311244, 1739022, 2630061, 3540355, 5344961, 7051789, 10747207,
14158720, 21295570, 28188520, 42283059, 55560183, 83902379…....
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La somma dei primi 46 reciproci è data da:
S=1+1/2+1/3+1/6+1/9+1/16+1/24+1/42+1/61+1/108+1/151+1/253+1/369+1/607+1/847
+1/1400+1/1954+1/3139+1/4398+1/6976+1/9583+1/15456+1/20982+1/32816+1/45417
+1/70109+1/94499+1/148234+1/200768+1/308213+1/415543+1/634270+1/849877+1/
1311244+1/1739022+1/2630061+1/3540355+1/5344961+1/7051789+1/10747207+1/14
158720+1/21295570+1/28188520+1/42283059+1/55560183+1/83902379…=
2,283085362281
Si stima che il valore tenda a
2,28308541
Tale valore sottratto a 1,618 fornisce 0,665 valore molto vicino allo spin del buco nero
finale prodotto dalla collisione di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni delle
onde gravitazionali
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25.
NUMERI PRIMI DI RAMANUJAN
Nel 1919, Ramanujan, matematico indiano, pubblicò una nuova dimostrazione del
postulato di Bertrand – che afferma che tra un numero n > 1 ed il suo doppio esiste
almeno un numero primo. Il risultato di Ramanujan è la seguente formula:
x
2
π(x) - π( ) ≥ 1, 2, 3, 4, 5, …. per tutti gli x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ….
dove π(x) è la funzione di conteggio dei primi, pari al numero di primi minore o uguale
a x.
x
2
Il caso π(x) - π( ) ≥ 1 per tutti gli x ≥ 2 è il postulato di Bertrand.
Abbiamo così che l’ennesimo numero primo di Ramanujan è il più piccolo numero
x
2
Rn tale che π(x) - π( ) ≥ n per tutti gli x ≥ Rn.
La serie è data dai seguenti numeri primi:
2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229,
233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433,
439, 461, 487, 491, 503, 569, 571, 587, 593, 599, 601, 607, 641, 643, 647, 653, 659
La somma dei primi 73 reciproci è data da:
S=1/2+1/11+1/17+1/29+1/41+1/47+1/59+1/67+1/71+1/97+1/101++1/107+1/127+1/149
+1/151+1/167+1/179+1/181+1/227+1/229+1/233+1/239+1/241+1/263+1/269+1/281+1
/307+1/311+1/347+1/349+1/367+1/373+1/401+1/409+1/419+1/431+1/433+1/439+1/46
1+1/487+1/491+1/503+1/569+1/571+1/587+1/593+1/599+1/601+1/607+1/641+1/643+
1/647+1/653+1/659+1/677+1/719+1/727+1/739+1/751+1/769+1/809+1/821+1/823+1/8
27+1/853+1/857+1/881+1/937+1/941+1/947+1/967+1/983+1/1009…=
0,9586854078704516312243865479188
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Si stima che il valore tenda a 1,6 valore molto vicino al rapporto aureo 1,618
x(10000) = 242057
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26.
NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN
Un numero primo di Sophie Germain, matematica francese, è un numero primo p tale
che 2p+1 è anch'esso un numero primo.
La serie è data dai seguenti numeri primi:
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359,
419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013,
1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559
Ovviamente nessun primo di Sophie Germain può avere come ultima cifra il “7”.
La somma dei primi 61 reciproci è data da:
S=1/2+1/3+1/5+1/11+1/23+1/29+1/41+1/53+1/83+1/89+1/113+1/131+1/173+1/179+1/
191+1/233+1/239+1/251+1/281+1/293+1/359+1/419+1/431+1/443+1/491+1/509+1/59
3+1/641+1/653+1/659+1/683+1/719+1/743+1/761+1/809+1/911+1/953+1/1013+1/101
9+1/1031+1/1049+1/1103+1/1223+1/1229+1/1289+1/1409+1/1439+1/1451+1/1481+1/
1499+1/1511+1/1559+1/1583+1/1601+1/1733+1/1811+1/1889+1/1901+1/1931+1/1973
+1/2003…= 1,3671171856607302530684755842884
Il valore 1,367… diviso 2 fornisce 0,6835 valore molto vicino allo spin del buco nero
finale prodotto dalla collisione di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni delle
onde gravitazionali
Si stima che il valore tenda a 1,54
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) ≤ 2*C2
x
x
= 1,3203
2
(ln x )
(ln x ) 2
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Dove C2 è la costante dei numeri primi gemelli = 0,6601611815
N(100) = 10 (calcolato ≈ 6,225)
N(1000) = 37 (calcolato ≈ 27,67)
L’elemento ennesimo invece si trova dalla formula inversa che è la seguente:
x ≈ 1,3203 N(ln N)2
x(10000) = 1349363 (calcolato ≈ 1120015,37)
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27. TABELLA ORDINATA
L’ELEMENTO 10000°
IN
MODO
CRESCENTE
TAB. 1
NUMBERS
VALUE
10000° Element
Kempner series of 9
modified harmonic series,
formed by omitting 9
22,920676619264
15553
Ramanujan prime
π(x)
- π(x/2 ) ≥ 1, 2, 3, 4, 5, ….
per tutti gli x ≥ 2, 11, 17, 29,
41, ….
1,6
242057
Sexy primes
2
554893
Twin primes
1,902160583104
1260989
Cousin primes
1,673235376190
1266487
Sophie Germain
prime p and 2p+1 are both
primes
1,54
1349363
Palindromic number
3,370283259497
8999998
Perfect power with
duplications
1
87403801
Perfect power p - 1 without
duplications
1
90706575
SECONDO
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Perfect power without
duplications
0,874464368
90706576
Square numbers
(the Basel problem)
1,644934066848
100000000
Pronic number
1
100010000
Heptagonal numbers
1,304763183779
249985000
Palindromic prime
1,323982146806
13649694631
Cubes of positive integers
1,202056903160
1E+12
Partition number
(a way of writing n as a sum
of positive integers)
3,51061
1E+106
Fibonacci cows sequence
4,6033
1E+1659
Fibonacci numbers
3,359885666243
1E+2089
Powers of two 2^n
2
1E+3009
Factorial
2,718281828459
1E+35659
Primorial Factorial
0,705230171792
1E+40400
Fibonorial or Fibonacci
factorial
n!F = Π Fi
2,704502899154
1E+10446932
Number of sum-free subsets
of {1, 2, 3, ..., n}
2,28308541
?
Fibonacci primes
1,126447227672
1E+(1E+1341)
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Fermat number
F(n) = 2^(2^n) + 1 tutti
dispari coprimi
0,596063172118
1E+(1E+4341)
Exponential factorial
a(1)=1, a(n+1) = (n+1)^a(n)
x^(x-1)^(x-2)^…
1,611114925808
10000^9999^9998^….^1
Conclusioni
È interessante notare come quasi tutti i numeri analizzati forniscano i valori 0,67 e 0,84
quindi valori molto vicini rispettivamente allo spin del buco nero finale prodotto dalla
collisione di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni delle onde gravitazionali e alla
dimensione di un protone. Questa potrebbe essere una prova ulteriore che le costanti
matematiche sono sempre presenti in Natura. Non a caso il valore della costante dei
numeri primi gemelli = 0,6601611815 è praticamente vicinissimo allo spin del buco
nero prima menzionato
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28.
RIFERIMENTI
1)
2)
Wikipedia
Mathworld
3)
I NUMERI FIBONORIALI F!(n), 2° PARTE - In this paper we show other
connections between fibonorial numbers factors, their exponents, and other
4)
TEORIA MATEMATICA DEI NODI, FISICA QUANTISTICA, TEORIA DI
STRINGA
(connessioni con i numeri di Fibonacci, di Lie e i numeri di partizione) Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero - In questo lavoro
mostriamo qualche possibile relazione tra la teoria di stringa e teoria
matematica dei nodi, tramite la comune connessione con i numeri di Fibonacci,di
Lie e i numeri di partizione.
5) Properties of the binary black hole merger GW150914 - The LIGO Scientific
Collaboration and The Virgo Collaboration (compiled 11 February 2016)
Abstract
On September 14, 2015, the Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory
(LIGO) detected a
gravitational-wave transient (GW150914); we characterise the properties of the source
and its parameters. The data around the time of the event were analysed coherently
across the LIGO network using a suite of accurate waveform models that describe
gravitational waves from a compact binary system in general relativity. GW150914 was
produced by a nearly equal mass binary black hole of masses 36 +−54 M and 29 +−44 M (for
each parameter we report the median value and the range of the 90% credible interval).
The dimensionless spin magnitude of the more massive black hole is bound to be < 0.7
160
(at 90% probability). The luminosity distance to the source is 410 +−180
Mpc
corresponding to a redshift 0.09 +−00..0304 assuming standard cosmology. The source location
is constrained to an annulus section of 590 deg2, primarily in the southern hemisphere.
The binary merges into a black hole of mass 62 +−44 M and spin 0.67 +−00..0507 . This black hole is
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significantly more massive than any other known in the stellar-mass regime.
6) The size of the proton - Vol 466|8 July 2010| doi:10.1038/nature09250
Abstract:
On the basis of present calculations of fine and hyperfine splittings and QED terms, we
find rp = 0.84184(67) fm, which differs by 5.0 standard deviations from the CODATA
value of 0.8768(69) fm. This value is based mainly on precision spectroscopy of atomic
hydrogen and calculations of bound-state quantum electrodynamics (QED; refs 8, 9).
The accuracy of rp as deduced from electron–proton scattering limits the testing of
bound-state QED in atomic hydrogen as well as the determination of the Rydberg
constant (currently the most accurately measured fundamental physical constant).