PLS, 2017, Universita’ di Salerno.
Conoscenza e Logica
March 10, 2017
CONOSCENZA E LOGICA
Meglio
Rappresentazione della conoscenza e Logica
Aspetto cumulativo della conoscenza scientifica e sua
rappresentazione canonica
Vs.
Conoscenza filosofica e conoscenza nelle discipline delle scienze
umane
L’importanza del Metodo
(esempio: La Fisica prima di Galilei e dopo Galilei)
Problema della Canonicita0 della rappresentazione della
conoscenza
Esempio:
Definizione di Principio Fondamentale in Diritto Costituzionale
Definizioni di Principio Fondamentale:
C. Mortati: Istituzioni di diritto pubblico, Padova, CEDAM, 1975,
tomo I, pag. 148 (Emendato)
La classe dei principi fondamentali e’ costituita da affermazioni che
contengono gli elementi sufficienti ad identificare la forma di Stato,
in quanto, insieme al fine fondamentale ad esso attribuito,
tracciano, i criteri essenziali(?) relativi ai rapporti della struttura
organizzativa con gli altri elementi dell’ordinamento.(artt. 1-11
Costituzione)
V. Onida: Manuale di diritto pubblico a cura di
AMATO-BARBERA, Bologna, IL MULINO, 1986, pag. 103-104
I principi fondamentali esprimono le finalita’ e le basi ideali del tipo
di Stato democratico-sociale. (OSSERVAZIONE: Allora
andrebbero esplicitamente posti) (artt. 1-11 Cost., catalogo
aperto).
A. Pizzorusso: Sistema istituzionale del diritto pubblico italiano,
JOVENE, Napoli, 1992, pag. 369
I principi fondamentali sono le regole essenziali dell’organizzazione
dei pubblici poteri.
Dalle citazioni di sopra si intravede il seguente problema di
decisione:
Data una formulazione di una norma giuridica decidere se essa e’
un Principio Fondamentale oppure no.
Allora si pone la questione del METODO di una disciplina, per
esempio delle discipline Economiche e Sociali
Che cosa fare?
Tendere a gradi di formalizzazione
Un aspetto dell’attivita’ conoscitiva e’ l’elaborazione di Teorie
Che cosa e’ una teoria?
E’ un complesso di affermazioni che devono risultare vere rispetto
ad un determinato ambito di esperienze
Complesso di affermazioni
Questo si puo’ intendere come la formulazione di una Teoria
Richiesta di sintassi
Che cosa significa: vero rispetto ad un determinato ambito di
esperienze?
Richiesta di semantica
La Logica vista come una
Teoria
delle
Teorie
Teorie Formali, Logica
1. Assiomi
2. Dimostrazioni
3. Teoremi
4. Semantica (Modelli)
Quando tutto cio’ e’ reso esplicito allora si ha una
Teoria Formale
SINTASSI e SEMANTICA
Sintassi:
1. Linguaggio
2. Apparato deduttivo
Le conclusioni delle deduzioni non hanno significato
questo e’ l’aspetto non contenutistico di questa parte della Logica
Con la Semantica ci si procura un Metodo per dare significato alle
espressioni della sintassi
Si confronta poi cio’ che si dimostra con ci che e’ vero,
considerando i seguenti problemi:
1. cio’ che e’ dimostrabile e’ vero?
2. cio’ che e’ vero e’ dimostrabile?
3. che cosa significa:vero?
Una teoria della verita’
1. Verita’ : Adaequatio intellectus et rei
2. Confronto con la tradizione
3. Prima e dopo Tarski
Quale e’ la morale?
Si conosce meglio e di piu’ se si rappresenta BENE la conoscenza.
Un buon modo e’ avere metodo, meglio ancora
avere metodo scientifico.
Un esempio di Teoria Formale:
La
Teoria
Formale
dei
Numeri
I
1, 2, 3, 4,
I , II , III , IV ,
|, ||, |||, ||||,
NUMERI
Primo Livello di astrazione:
Denotazione/Oggetto : Simboli e Numeri
Secondo Livello di astrazione:
Concetto di numero:
Che cosa e’ un numero?
Leopold Kronecker:
Dio fece i numeri naturali; tutto il resto e’ opera dell’uomo
Domanda :
Dio che cosa ha fatto? (Che cosa ci ha donato?)
Una idea di Peano
• Come la Geometria
• Teorie Assiomatiche
Assiomi + Ragionamento= Teoria di ...
Assiomi per l’Aritmetica + Ragionamento = Teoria dei Numeri
IL
SISTEMA
DEI
NUMERI
1. x, variabili
2. 0, lo zero
3. +, la somma
4. s, la funzione successore
5. =, l’uguaglianza
6. le totalita’ delle proprieta’ dei numeri
Esempi di proprieta’ dei numeri:
I pari sono infiniti
Esistono numeri primi
Esiste solo un numero finito di numeri primi (falso)
Se x = y allora x + z = y + z
ASSIOMI
DI
PEANO
(P1) Esiste un numero (zero)
(P2) Esiste una funzione (chiamata ”successore”)
(P3) numeri diversi hanno successori diversi
(P4) zero non e’ successore di nessun numero
(P5) se una proprieta’ U dei numeri vale per zero e se quando U
vale per un numero allora vale anche per il succesore,
allora U vale per tutti i numeri
• Il mostruosamente grande mondo di tutte le proprieta’ dei numeri
Terzo Livello di astrazione:
1 Fissare un linguaggio
2 Delimitare un sottomondo del mondo di: tutte le proprieta’
dei numeri.
Vale a dire ci limitiamo a tutte le proprieta’ che si possono
esprimere in un fissato linguaggio
3 Scrivere gli assiomi
4 Fissare le regole del ragionamento
5 Avviare la macchina deduttiva
Tutte le espressioni ottenute mediante questa procedura sono
I
TEOREMI
FORMALI
DELLA
TEORIA
SCOPERTE
(A) Esistono ”numeri” che non sono ”numeri”(Naturali
Non − standard)
Esempio di numeri non standard: certe classi di equivalenza di
successioni di numeri soddisfano tutti gli assiomi del nostro
sistema, esattamente come fanno i ”numeri” che abbiamo
conosciuto nella nostra infanzia.
(B) Possiamo scrivere una proprieta’ dei numeri
D
(diabolica)
che non puo’ essere dimostrata ne’ puo’ essere refutata
(C) Se aggiungiamo D come nuovo assioma allora esistera’
un’altra proprieta’ D∗ che si comportera’ come D, nel nuovo
sistema.
NON
C 0E
SPERANZA
DI
COMPLETEZZA
COMMENTI :
• Queste sono cose nuove che conosciamo sui numeri
Vale a dire:
• Se delimitiamo un classe di affermazioni valide per i numeri
• Se fissiamo regole di ragionamento (naturali)
• Se esprimiamo tutto cio’ in un linguaggio formale
Allora: possiamo esprimere una proprieta’ che riguarda i
numeri che non possiamo provare ne’ disprovare
I
Polinomi
Trattare i concetti astratti come oggetti concreti
Livelli di astrazione
vs.
Trattare gli oggetti concreti come concetti astratti:
Esempi:
-punto concreto → punto geometrico
-linea concreta → curva geometrica
Un’ Algebra: che cosa e’ ?
Algebra: A = (A, F ), F = {...fγ , ...}
A: un insieme non vuoto
F : un insieme di operazioni di varia arita’.
Se fγ ∈ F allora nγ e’ l’arita’ di fγ .
La sequenza delle arita’ forma il TIPO dell’algebra
Ordinarie generalizzazioni dei concetti di:
omomorfismo,
quoziente,
sottoalgebra,
congruenza.
I
POLINOMI
(•) Sia A = (A, F ) un’algebra
(•) I polinomi n-ari sono delle mappe
An → A
cosi’ definite:
(1) Le proiezioni ein sono polinomi n-ari
(2) Se p1 , ..., pnγ sono polinomi, allora anche la mappa
fγ (p1 , ..., pnγ )
cosi’ definita:
fγ (p1 , ..., pnγ )(x) = fγ (p1 (x), ..., pnγ (x))
e’ un polinomio.
(3) Tutti i polinomi si ottengo con l’applicazione di un numero
finito di volte della (1) e della (2).
(•) Sia A = (A, F ) un’algebra:
allora la collezione dei polinomi n-ari su A costituiscono un’algebra:
Pn (A)
dello stesso tipo di A. Le operazioni sono definite dalla (2)
(•) Se consideriamo due algebre dello stesso tipo:
A1 = (A1 , F1 )
A2 = (A2 , F2 )
allora avremo due algebre di polinomi n-ari:
Pn (A1 )
Pn (A2 )
(•) Se consideriamo le costruzioni precedenti osserviamo che esse
differiscono solo per i valori assegnati alla variabile x e per i valori
che i polinomi assumono in x,
mentre
dal punto di vista formale, sintattico, le due costruzioni sono
identiche.
(•) Questo suggerisce di considerare solo l’aspetto sintattico e
tentare di cogliere il senso algebrico della costruzione sintattica.
Polinomi
Simbolici
Partiamo da due algebre dello stesso tipo
A = (A, F )
B = (B, F )
(•) Se consideriamo:
i polinomi n-ari su A
i polinomi n-ari su B
(•) Vediamo che essi sono costruiti nello stesso modo e che usiamo
gli stessi simboli.
ESEMPIO:
ESEMPIO:
fγ (e1n , ..., ennγ )
denota un polinomio n-ario di A, ma
anche di B.
(•) Questo accade perche’ abbiamo i simboli di operazione fγ che
denotano operazioni su entrambe le algebre A e B
Procediamo
con
un
nuovo
livello
di
Definizione dei:
Polinomi
Simbolici n − ari
astrazione
(1) x1 , ..., xn sono polinomi simbolici n-ari
(2) Se p1 , ..., pn sono polinomi simbolici allora
fγ (p1 , ..., pn )
e’ un polinomio simbolico.
(3) chiusura con l’applicazione di un numero finito di (1) e di (2).
(•) Mostriamo che i polinomi simbolici
sono
(•) simboli per polinomi
Definizione:
Il polinomio p, n-ario, sull’algebra A, associato al polinomio
simbolico n-ario p e’ definito cosi’:
(1) ein e’ associato a xi
(2) Se p = fγ (p1 , ..., pn ) e pi e’ associato a pi , allora
fγ (p1 , ..., p : n) e’ associato a p.
(Trattare i concetti astratti come oggetti concreti):
Costruzione
dell 0 algebra
dei
polinomi
formali
1. Sia τ un tipo
2. P(n) (τ ) denota l’insieme di tutti i polinomi simbolici n-ari
3. Le operazioni sono definite cosi’:
fγ (p1 , ..., pnγ ) := fγ (p1 , ..., pnγ )
(-) dove:p1 e’ un polinomio formale,...,
(-) pnγ e’ un polinomio formale
(-) fγ (p1 , ..., pnγ ) e’ un polinomio formale
(•) Allora otteniamo un’algebra di tipo τ :
Sn (τ ) = (P(n) , F )
F e’ di tipo τ .
Uguaglianza
su
Sn (τ )
(•) Siano p, q ∈ Sn (τ )
se p, q inducono polinomi uguali su ogni algebra di tipo τ , allora
p=q
Congruenze
su
Sn (τ )
(•) Sia A un’algebra di tipo τ
(•) definiamo la relazione binaria Θa su P(n) (τ ):
p ≡ q(mod.Θa ) Se e slo se p(a) = q(a)
(i polinomi indotti coincidono sul punto a ∈ An )
(•) Θa e’ una CONGRUENZA di Sn (τ )
La
CONGRUENZA ΘK
(•) Sia K la classe delle algebre di tipo τ
(•) allora la seguente relazione binaria su P(n) (τ ):
p ≡ q(mod.ΘK )
sse
p ≡ q(mod.Θa ), ∀a ∈ An , ∀A ∈ K
(•) ΘK e’ una congruenza di Sn (τ )
(•) Cosi’ possiamo considerare l’algebra quoziente:
Sn (τ )/ΘK
Algebre
Libere
(•) In un certo senso le algebre libere sono le algebre piu’ generali
possibili in una data classe di algebre, (quando esistono)
(•) Se K e’ una classe di algebre e se Free(n) e’ un’algebra libera
di K , allora ogni altra algebra n generata A di K e’ immagine
omomorfa di Free(n).
(•) Cioe’ esiste una congruenza ≡ di Free(n) tale che
A∼
= Free(n)/ ≡
(•) Osservazione: A meno di isomorfismi, quando esiste Free(n),
essa e’ unica.
Esempio
Il semigruppo ciclico libero
di
algebra
libera
TEOREMA: Sia K una classe di algebre e sia K tale che esiste
Free(n). Allora
Free(n) ∼
= Sn (τ )/ ≡ΘK
• Analoghe costruzioni e analoghe considerazioni si possono fare
per altre strutture matematiche
• Per esempio si puo’ costruire un linguaggio L che puo’ essere
adeguatamente interpretato (per esempio) negli Spazi di Banach
• In generale si puo’ approdare alla applicazione dei metodi della
Teoria dei Modelli e dell’Algebra Universale all’Analisi Funzionale.
C 0e 0
un
(sara0
ulteriore
per
la
livello
di
prossima
Grazie.
astrazione
volta)
