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Liceo Statale “C. Lorenzini”
Classico, Linguistico, Scientifico,Scienze umane
Pescia (PT)
“LA LUNGA STORIA DELL’ALGEBRA”
Percorso
didattico
finalizzato
allo studiotesto
delle equazioni di
Fate
clic per
aggiungere
1° e 2° grado
classi prime e seconde del liceo scientifico ordinario
docenti: S. Annibali - C. Gonfiotti – G. Michelotti
2
Collocazione del percorso effettuato nel curricolo
verticale
Il percorso viene sviluppato in sequenza, parte
nelle classi prime e parte nelle classi seconde,
valorizzando
gli
elementi
di
continuità
metodologica e concettuale.
3
Obiettivi essenziali di apprendimento
Il percorso è finalizzato
all’apprendimento del
significato concettuale e operativo delle equazioni di 1°
e 2° grado.
Il percorso storico vuole mostrare che la “scrittura
matematica” e le formule e i teoremi sono frutto di
un percorso più o meno lungo e faticoso, costellato di
errori o inesattezze, ma anche di brillanti intuizioni che
conducono, alla fine, all'odierna simbologia e alle
formule oggi note.
La scelta di dare peso alla dimensione storica nasce
dalla convinzione che la storia della matematica , oltre
a costituire di per sé un aspetto significativo
dell’apprendimento consenta, in questo particolare
contesto , una miglior comprensione e acquisizione da
parte degli studenti.
4
Elementi salienti dell’approccio metodologico
Sono stati proposti problemi la cui soluzione è
stata affrontata confrontando e analizzando i
diversi metodi risolutivi
adottati
in varie
epoche, dall’antichità al medioevo.
Alcune lezioni sono state svolte unendo le due
classi seconde che seguivano il percorso sullo
studio delle equazioni.
5
Materiali utilizzati
“Storia delle equazioni” Prof.ssa Laura Citrini,
Dipartimento di Informatica sede di Crema,
Università di Milano
“Storia dell’algebra 1: le equazioni di 1° e 2°
grado” Prof.ssa Livia Giacardi, Dipartimento di
Matematica, Università di Torino
“Pensare e fare matematica”, Edizione Mista,
volumi Algebra 1 , 2 e Geometria, autori M.
Andreini, R.
Manara, F. Prestipino, I.
Saporiti, casa editrice Etas
Fotocopie
LIM
6
Ambienti di lavoro in cui è stato sviluppato il
percorso
aula scolastica
aula LIM
7
Tempo impiegato
per la messa a punto preliminare nel gruppo LSS:
10 h (corso di aggiornamento sul tema “La storia
dell’algebra da al-Kwarizmi a Galois” organizzato
dal Giardino di Archimede, con la collaborazione
della Società Italiana di Storia della Matematica e
con il contributo del Progetto Lauree Scientifiche) +
6 h di organizzazione del percorso
per la progettazione specifica nelle classi: 10 h
per lo sviluppo del percorso a scuola: 14 h +
attività assegnate a casa
per documentazione: 10 h
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Altre informazioni
Nell’anno scolastico in cui è stato attuato, si è
deciso di lavorare contemporaneamente con
classi prime e seconde.
La classe 1a ha lavorato
sulla nascita
dell’algebra con particolare attenzione allo
sviluppo del linguaggio durante tutto il corso
dell’anno.
Le classi 2e, (che non avevano sviluppato il
percorso l’anno precedente) dopo una breve
introduzione
della
prima
parte,
hanno
affrontato la storia delle equazioni
e la
risoluzione delle equazioni di secondo grado.
9
Descrizione sintetica dell’attività
Prima parte :
Nascita dell’algebra con particolare attenzione allo sviluppo del linguaggio:
sistemi di numerazione, interpretazione geometrica di alcuni prodotti
notevoli e risoluzione geometrica delle equazioni di primo grado.
Fasi del percorso:
1) Introduzione allo studio della storia delle equazioni di primo e secondo grado
2) Egizi e Babilonesi
3) Greci
Seconda parte :
Storia delle equazioni.
Risoluzione delle equazioni di secondo grado.
Fasi del percorso:
4) Arabi
5) Medioevo
6) Classificazione fasi dell’algebra
10
Sintesi degli argomenti proposti e discussi in
classe
Classi prime
Sistemi di numerazione
presso la civiltà antiche.
Riflessione
sull'interpretazione
algebrica della geometria
nell'antica Grecia.
Risoluzione geometrica
delle equazioni di primo
grado ed interpretazione
geometrica delle
soluzioni.
Sviluppo del simbolismo
(algebra retorica,
sincopata e simbolica).
Classi seconde
Sistemi di numerazione
presso la civiltà antiche.
Risoluzione di semplici
equazioni di primo grado
con il metodo della “falsa
posizione” e con il
metodo grafico.
Risoluzione delle
equazioni di secondo
grado mediante
“completamento al
quadrato” e
dimostrazione per via
geometrica.
11
Argomenti proposti e discussi in classe
I
primi
testi
egizi,
elaborati intorno al 1800
a.C., rivelano un utilizzo
di
un
sistema
di
numerazione
decimale,
basato su simboli distinti
per indicare le potenze di
10 (cioè 1, 10, 100 ecc.),
simile al sistema adottato
in seguito dai Romani.
12
Argomenti proposti e discussi in classe
13
Argomenti proposti e discussi in classe
Nelle tavolette babilonesi e
nei papiri egiziani si trovano
numerosi esempi di equazioni
con enunciati e soluzioni
completamente
privi
di
simbolismo algebrico.
Ad esempio il papiro di Rhind
(risalente
al
1650
a.C.,
conservato al British Museum
di Londra), noto anche come
papiro Ahmes (nome del suo
autore), contiene una tavola
per esprimere le frazioni con
numeratore 2 e denominatore
da 5 a 101 come somma di
frazioni con numeratore 1 o
frazioni unitarie.
14
Argomenti proposti e discussi in classe
Consideriamo il problema 24 in esso riportato:
“Trova il valore del mucchio (così era
detta l’incognita) se il mucchio e un
settimo del mucchio sono uguali a 19”
Noi scriveremmo subito:
x + 1/7 x = 19 da cui 8x = 133
x = 133/8 = 16 + 5/8 (= 16 + 1/2 + 1/8).
15
Argomenti proposti e discussi in classe
Invece la risoluzione è indicata così:
“ Conta con 7. Allora (1 + 1/7) di 7 è 8.
Quante volte 8 deve essere moltiplicato per
dare 19, lo stesso numero di volte deve essere
moltiplicato 7 per dare il numero esatto.
Allora dividi 19 con 8. Fa 2 + 1/4 + 1/8.
Ora moltiplica 2 + 1/4 + 1/8 per 7.
Fa 16 + 1/2 + 1/8.
Hai fatto come occorre:
la quantità è
16 + 1/2 + 1/8;
il suo settimo è 2 + 1/4 + 1/8;
la loro somma è 19”.
16
Argomenti proposti e discussi in classe
Il matematico egiziano ottiene il risultato
utilizzando un procedimento molto diffuso
nell’antichità, detto della “falsa posizione”, un
metodo di risoluzione puramente aritmetico.
Anziché indicare il valore da trovare con x, lo si
pone uguale ad un numero vero e proprio (7
nel nostro caso).
Questo
procedimento
è
legato
alla
proporzionalità diretta tra i numeri di partenza
e i risultati ottenuti (x : 7 = 19 : 8) ed è valido
solo per particolari problemi di primo grado.
17
Argomenti proposti e discussi in classe
Se operando su di esso, come vuole l’enunciato, si
perviene proprio al risultato richiesto (19), allora si è già
risolto il problema. In caso contrario, si stabilisce in che
rapporto stanno:
il risultato richiesto (19)
e quello ottenuto [(1 + 1/7)7 = 8];
tale rapporto (19/8) deve sussistere anche tra il numero
cercato e quello posto.
Per cui il numero cercato è uguale al prodotto del citato
rapporto per il numero posto (19/8 = 16 + 5/8).
18
Esercitazione in classe
Tradurre con il simbolismo moderno i passaggi indicati dallo
scriba ed eseguire le operazioni alla maniera degli Egizi.
PROBLEMA 25 DEL PAPIRO DI RHIND
“Una quantità sommata con la sua metà diventa 16”.
“Conta con 2. Allora (1 + 1/2) di 2 è 3.
Quante volte 3 deve essere moltiplicato per dare 16, lo stesso
numero di volte deve essere moltiplicato 2 per dare il numero
esatto.
Allora dividi 16 con 3. Fa 5 + 1/3.
Ora moltiplica 5 + 1/3 per 2. Fa 10 + 2/3.
Hai fatto come occorre: la quantità è 10 + 2/3; la sua metà è 5
+ 1/3; la loro somma è 16”.
19
Esempio di elaborato degli studenti (1)
20
Esempio di elaborato degli studenti (2)
21
Argomenti proposti e discussi in classe
Gli Egizi applicavano il metodo della falsa posizione
anche per trovare la soluzione di equazioni quadratiche
semplici, il che comportava estesi e complicati calcoli con
le frazioni.
Ciò che mancava essenzialmente a questa algebra era la
possibilità di indicare in qualche modo il numero
incognito.
I primi metodi di risoluzione di equazioni di secondo
grado complete, si trovano in testi matematici babilonesi
intorno al 2000 a. C. Per quanto i Babilonesi scartassero
l'esistenza di radici negative o complesse, il metodo che
essi utilizzavano per determinare le soluzioni reali e
positive era esattamente quello tuttora applicato.
22
Argomenti proposti e discussi in classe
23
Argomenti proposti e discussi in classe
Come indicato nella tabella, con questi soli
simboli, attraverso un procedimento additivo
simile a quello impiegato dagli egizi, era
possibile scrivere i numeri compresi tra 1 e 59.
Il numero 60 tornava a essere rappresentato
con lo stesso simbolo usato per l’unità, e per i
numeri successivi si ricorreva a una notazione
posizionale, in cui il valore di uno dei primi 59
simboli dipendeva dalla posizione che esso
occupava all’interno del numero stesso.
24
Argomenti proposti e discussi in classe
Ad esempio, una cifra formata da un simbolo
per il 2, seguita da uno per il 27 e da uno per il
10, stava a significare il numero dato da
2×602 + 27×60 + 10.
Lo stesso principio era adottato anche per la
rappresentazione delle frazioni, cosicché la
sequenza di numeri del precedente esempio
poteva rappresentare:
sia 2×60 + 27 + 10×(1/60),
sia 2 + 27×(1/60) + 10×(1/60)-2.
25
Argomenti proposti e discussi in classe
26
Argomenti proposti e discussi in classe
27
Argomenti proposti e discussi in classe
28
Esercitazione in classe
29
Esempio di elaborato degli studenti (3)
30
Esercitazione in classe
31
Esempio di elaborato degli studenti (4)
32
Argomenti proposti e discussi in classe
33
Argomenti proposti e discussi in classe
34
Argomenti proposti e discussi in classe
Nella matematica greca si era affermata la
teoria pitagorica, secondo la quale ogni cosa
poteva essere rappresentata da numeri naturali
o da rapporti fra numeri naturali.
Ma il rapporto fra la diagonale e il lato di un
quadrato non può essere espresso da un
numero intero né da un quoziente tra due
numeri interi.
A questi “inquietanti” rapporti i matematici
greci associarono i termini alfa, lambda,
omega, gamma,omicron, sigma, ecc...
35
Argomenti proposti e discussi in classe
I termini letterali non erano usati dai Greci; fu Diofanto
di Alessandria, matematico greco (150 ca. d.C. – 250 ca.
d.C.), a introdurre alcuni simboli per rappresentare gli
operatori aritmetici più comuni, prendendoli a prestito
dall’alfabeto greco.
Ciò favorì la separazione dell’aritmetica dalla geometria,
alla quale venne riservata la trattazione delle grandezze
incommensurabili, e fece della geometria la base di quasi
tutta la matematica rigorosa per circa duemila anni.
Nella cultura greca, infatti, i problemi numerici non erano
ritenuti importanti poiché di natura applicativa: la vera
Matematica era la Geometria.
36
Esercitazione a casa
In un epigramma della “Antologia Palatina”, attribuito a
Metrodoro di Bisanzio, grammatico e aritmetico vissuto nel VI
secolo d.C., si legge una curiosa indicazione dalla quale è
possibile trarre l’età del grande matematico greco Diofanto
“Ecco la tomba che racchiude Diofanto; una meraviglia da
contemplare! Con artificio aritmetico la pietra insegna la sua
età: Dio gli concesse di rimanere fanciullo un sesto della sua
vita, dopo un altro dodicesimo le sue guance germogliarono;
dopo un settimo egli accese la fiaccola del matrimonio;e dopo
cinque anni gli nacque un figlio. Ma questi, giovane e
disgraziato e pur tanto amato,aveva appena raggiunto la metà
dell’età cui doveva arrivare suo padre, quando morì. Quattro
anni ancora mitigando il proprio dolore con l’occuparsi della
scienza dei numeri, attese Diofanto prima di raggiungere il
termine della sua esistenza”.
Quanto visse Diofanto?
Cosa sono le equazioni diofantee?
37
Esempio di elaborato degli studenti (5)
38
Argomenti proposti e discussi in classe
Presso i Greci sia il calcolo letterale, sia
l’algebra erano vincolati all’interpretazione
geometrica.
Un’equazione di primo grado quale : a·b = q·x
veniva espressa nel modo seguente:
“Dato il rettangolo di dimensioni a e b,
determinare un rettangolo ad esso equivalente
avente un lato pari a q”.
La risoluzione era affidata ad una costruzione
geometrica:
39
Argomenti proposti e discussi in classe
Dato il rettangolo ABCD di
dimensioni a e b, si prolunga
AB di un segmento BE pari a
q. Costruito il rettangolo
BEFC, si individua il punto G
come
intersezione
dei
prolungamenti di FB e di DA.
Completando il rettangolo
FDGH
si
determina
il
rettangolo LHEB avente un
lato pari a q e l’altro che
risolve l’equazione, dato che,
come è evidente dalla figura,
i rettangoli ABCD e LHEB
sono
equivalenti
(si
ottengono
sottraendo
dai
triangoli uguali GDF e GHF le
coppie di triangoli uguali BCF
e BEF, GAB e GLB).
40
Argomenti proposti e discussi in classe
L’algebra classica”, nasce e si sviluppa nel mondo arabo,
poiché i babilonesi erano molto lontani dal concetto di
“equazione”.
Colui che si puo chiamare il padre dell'algebra è alKhwarizmi, la cui opera piu importante, “al-kitab almukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabalah”, ha fornito
alle lingue moderne un termine d'uso molto popolare:
algebra.
E’ probabile che si sia ispirato alle opere indiane,
assieme a quelle persiane e babilonesi: la sua opera
appare più un punto d’arrivo, la sistemazione di una
materia già esistente, che una creazione originale.
41
Argomenti proposti e discussi in classe
L’Algebra di al-Khwarizmi era divisa in sei capitoli:
(nello schema che segue, a sinistra, corrispondono, in notazioni
moderne, le equazioni scritte a destra, in cui a, b,c indicano
numeri interi positivi)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
quadrati uguali a radici Es. ax2 =bx
quadrati uguali a numeri Es. ax2 = c
radici uguali a numeri Es. ax = c
quadrati e radici uguali a numeri Es. ax2 + bx = c
quadrati e numeri uguali a radici Es. ax2 + c = bx
radici e numeri uguali a quadrati Es. bx + c = ax2
42
Argomenti proposti e discussi in classe
Al-Khwarizmi dà a parole le regole per la
risoluzione delle equazioni di secondo grado e
le giustifica mediante costruzioni geometriche
che sembrano prese direttamente dalle
soluzioni babilonesi. Per la prima volta a noi
nota, osserva che particolari equazioni di
secondo grado possono anche avere due radici
(positive).
“Un quadrato e dieci radici dello stesso hanno
per somma trentanove dirham (“dirham”,unità
semplici, termine noto diremmo noi, derivato
forse dal greco “dracma” o dal sanscrito
“rupa”).
43
Argomenti proposti e discussi in classe
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
In altre parole si tratta dell’equazione:
x2 + 10x = 39
al- Khwarizmi afferma: "La soluzione è:
dividi a metà il numero delle radici (il coefficiente del
termine di primo grado), che in questo caso dà 5.
Moltiplica questo per se stesso: il prodotto è 25.
Aggiungilo a 39, ottenendo 64.
Ora prendi la radice di questo, che è 8 ;
sottrai da questo la metà del numero delle radici, 5;
il resto (la differenza) è 3.
Questa è la radice del quadrato che cercavi e il suo
quadrato è 9.
44
Argomenti proposti e discussi in classe
Dimostrazione geometrica
Si costruisce il quadrato di
lato x
Sui suoi lati si costruiscono 4
rettangoli
che
hanno
la
seconda dimensione uguale a
10/4
La figura cosi ottenuta ha
area x2+10x, quindi, in base
a quello che sappiamo, l'area
è 39.
Si completa poi la figura con
quattro quadratini di lato
10/4
45
Esercitazione in classe
46
Argomenti proposti e discussi in classe
L'Algebra di al-Khwarizmi ebbe una grossa
influenza sui matematici europei del Medioevo.
Basandosi sulle cifre arabe, Fibonacci introduce
in Europa la notazione posizionale Il suo “Liber
Abaci” è uno dei più importanti libri di
matematica scritti nel Medioevo,
in cui si
spiegano i metodi di falsa posizione e doppia
falsa posizione:
il primo era già utilizzato dagli Egizi,
il secondo, introdotto dagli arabi e richiamato
da Fibonacci, veniva utilizzato per la risoluzione
di equazioni lineari del tipo ax + b = c.
47
Argomenti proposti e discussi in classe
Da ax + b = c, si danno ad x due valori qualsiasi h1 e h2
e si trovano i valori k1e k2 dei due primi membri:
a h1 + b = k1 e a h2 + b = k2 (*)
sottraendo membro a membro si ricava:
a(h1 – h2) = k1 – k2
moltiplicando la prima delle (*) per h2 e la seconda per
h1, si ha:
a h1 h2 + b h 2 = k1 h 2 e a h2 h1 + b h 1 = k2 h1
sottraendo membro si ricava:
b kh
hk
b(h2 – h1) = k1 h2 – k2 h1
1 2 1 2
a k
k
da cui, dividendo membro a membro si ha:
1
2
poiché
abbiamo determinato il valore di x.
b
a
x
48
Argomenti proposti e discussi in classe
49
Argomenti proposti e discussi in classe
L’ultimo capitolo del “Liber Abaci” è dedicato
all’algebra
50
Argomenti proposti e discussi in classe
51
Esercitazione in classe
52
Argomenti proposti e discussi in classe
Nel 1494 Luca Pacioli (Borgo San Sepolcro 1445 ca. – Roma 19
giugno 1517), pubblica la” Summa de arithmetica, geometria,
proportioni e proporzionalità” .
Nella soluzione canonica delle equazioni di primo e di secondo
grado si usano forme abbreviate proprie dell'algebra sincopata. Le
lettere p e m erano già in uso come abbreviazioni di somma e
sottrazione e Pacioli introdusse l'uso di R per radice, co per cosa
(incognita), ce per censo (il quadrato dell'incognita) e ae per aequalis.
Per indicare la quarta potenza dell'incognita usava cece.
la sequenza:
1)
1.co
mRv.1.ce.
m36
2)
6
3)
1.co
pRv.1.ce
m36
2co.p6
216
2.co
2
valor
rei
105
In notazione moderna diventa:
1
)
2
x
x
36 2) 6
2
3) x
x
36 2x
6
216
2x
210 x
105
53
Argomenti proposti e discussi in classe
Classificazione fasi dell'algebra
Fase retorica: si ricorre soltanto al linguaggio naturale,
senza l’uso di simboli
Fase sincopata: i calcoli sono ancora eseguiti nel
linguaggio naturale, ma si ha l’introduzione di
abbreviazioni per l’incognita e le sue potenze
Fase simbolica: si usano le lettere per tutte le quantità,
i segni per le operazioni e il linguaggio simbolico viene
anche utilizzato per provare regole generali.
Esercitazione in classe
Riconoscere, nei vari “periodi e matematici” studiati, a quale
fase algebrica ci si può riferire.
54
