M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016
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VETTORI GEOMETRICI / ESERCIZI PROPOSTI
Sarà sempre sottinteso che nel piano si è fissato un riferimento cartesiano R = (O; i, j), tramite
il quale ogni vettore u = u1 i + u2 j è identificato con la coppia delle sue componenti, scrivendo
u = (u1 , u2 ). L’insieme dei vettori del piano è quindi identificato con R2 .
Analogamente, nello spazio si sottintenderà fissato un riferimento cartesiano R = (O; i, j, k) e
si scriverà indifferentemente u = u1 i + u2 j + u3 k o u = (u1 , u2 , u3 ), identificando l’insieme dei
vettori dello spazio con R3 .
ESERCIZIO 1. Tra i vettori x ∈ R2 paralleli ad u = (−2, 1), determinare quelli tali che
(x − i) · j = 3.
ESERCIZIO 2. Dati nel piano i vettori u = (3, 1) e v = (1, 2), determinare i vettori x ortogonali a v e tali che il parallelogramma di lati x ed u abbia area 10.
ESERCIZIO 3. Siano u e v due vettori qualsiasi del piano o dello spazio.
(i) Tramite le proprietà del prodotto scalare, provare che vale la seguente formula:
u±v
2
= u
2
+ v
2
± 2u · v.
(ii) Sapendo che u = 4, v = 3 e u · v = 2, calcolare 2u + v .
ESERCIZIO 4. Nello spazio, calcolare l’angolo dei vettori u = j + k e v = i + j + 2k e
determinare i versori ortogonali ad entrambi.
ESERCIZIO 5. Si considerino i vettori u = (1, −2, −1) e v = (−2, 1, −2) dello spazio.
(i) Verificare che u e v non sono paralleli.
(ii) Stabilire se w = (0, −3, −4) è complanare con u e v e, in caso affermativo, scrivere w come
combinazione lineare di u e v.
(iii) Ripetere il punto (ii) con w = (1, 0, 4).
ESERCIZIO 6. Verificare che i quattro punti A = (2, 0, 1), B = (−1, 2, 3), C = (−1, 1, −1),
D = (2, 1, 5) sono complanari ma non allineati.
ESERCIZIO 7. Siano dati i vettori u1 = (a, 2, b), u2 = (1 − b, b, 2) e u3 = (b, b, 2).
(i) Determinare i valori di a, b ∈ R per cui u1 + u2 è parallelo a u3 .
(ii) Posto a = 2, determinare i valori di b ∈ R per cui u1 , u2 , u3 risultano complanari.
ESERCIZIO 8. Tra i vettori x complanari ad u = i − k e v = i + j, determinare quelli
ortogonali a v − u.
ESERCIZIO 9. Calcolare l’area del triangolo con vertici nei punti A = (2, 1, 1), B = (3, 2, 1),
C = (−1, 1, 0) ed il volume del tetraedro di vertici A, B, C e D = (2, 1, 5).
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Risultati esercizio 1. x = (−6, 3).
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Risultati esercizio 2. x = ± (4, −2).
Risultati esercizio 3. (i) u ± v 2 = (u ± v) · (u ± v) = u 2 ± 2u · v + v 2 .
(ii) 2u + v 2 = 2u 2 + v 2 + 2 (2u) · v = (2 u )2 + v 2 + 4u · v = 81 e quindi 2u + v = 9.
Risultati esercizio 4. L’angolo è
π
6
ed i versori cercati sono ± √13 (i + j − k).
Risultati esercizio 5. (i) Non sono paralleli, ad esempio perché
(ii) w = 2u + v. (iii) w non è complanare con u, v.
1
−2
=
−2
1
=
−1
−2 .
−→
−→
−→
Risultati esercizio 6. AB = (−3, 2, 2), AC = (−3, 1, −2), AD = (0, 1, 4) risultano complanari
e non paralleli.
Risultati esercizio 7. (i) (a, b) = (5, 2) oppure (a, b) = (−3, −2). (ii) b = ±2 oppure b = 12 .
Risultati esercizio 8. x = λ (2i + j − k) con λ ∈ R qualsiasi.
Risultati esercizio 9. L’area del triangolo vale
√
11
2 ,
il volume del tetraedro vale 2.
