MODELLI MECCANICI ELEMENTARI PER LA FISICA QUANTISTICA

Laboratorio estivo di fisica moderna:
MODELLI MECCANICI ELEMENTARI
PER LA FISICA QUANTISTICA
15 gennaio 2007
Sommario
In questa esperienza studieremo il comportamento di sistemi macroscopici oscillanti e in analogia con le osservazioni compiute cercheremo di costruire dei modelli atomici, ripercorrendo le idee fondamentali
della vecchia teoria dei quanti. E’ possibile infatti collegare concettualmente tra loro fenomeni molto diversi, come ad esempio l’oscillazione
in risonanza di un carrello in moto armonico forzato e l’emissione di
energia da parte di un elettrone in uno stato eccitato.
I sistemi macroscopici studiati sono due:
• Carrello oscillante libero, smorzato, forzato;
• Corda vibrante.
Si cercherá di evidenziare le caratteristiche proprie del sistema come i
gradi di libertá, la linearitá delle soluzioni delle equazioni del moto e
le particolari condizioni di risonanza.
Dopo aver compiuto gli esperimenti e raccolto i dati verrá richiesta
una semplice analisi dei valori misurati e degli errori ad essi connessi,
in modo da non trascurare la fase di esposizione dei risultati ottenuti.
Lo sforzo concettuale di trovare punti comuni tra fenomeni diversi é
un elemento indispensabile per l’osservazione scientifica. Cercheremo di ottenere infatti dalle osservazioni precedenti alcune indicazioni
per la costruzione dei modelli atomici. Come modelli di riferimento considereremo comunque quelli formulati nella vecchia teoria dei
quanti:
• Modelli atomici di Thomson, Rutherford, Bohr, De Broglie.
1
Indice
1 Un’introduzione al lavoro
1.1 I modelli atomici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le idee guida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
2 Le esperienze in laboratorio
2.1 Oscillatore libero con e senza smorzamento . . . . . . . . . .
2.1.1 Oscillatore libero senza smorzamento . . . . . . . . .
2.1.2 Oscillatore libero con smorzamento . . . . . . . . . .
2.1.3 Modello: il panettone di Thomson (1902) . . . . . . .
2.2 Oscillatore forzato con smorzamento . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Modello: dai pianeti di Rutherford alle orbite di Bohr
(1913) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Una considerazione sullo smorzamento . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Modello: vita media di uno stato eccitato . . . . . . .
2.4 Sonometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Modello: le onde di materia di De Broglie (1924) . .
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5
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3 Considerazioni finali e prospettive
3.1 Siamo soddisfatti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Oscillatori accoppiati: due o piú carrelli . . . . . . . . . . . . .
3.3 Oscillatore anarmonico: dal carrello al pendolo . . . . . . . . .
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4 Informazioni sull’iniziativa
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2
1
Un’introduzione al lavoro
Il modello meccanico dell’oscillatore armonico presenta un’immensa
vastitá di applicazioni in diversi ambiti della fisica: dalla traiettoria di corpi
macroscopici quali un carrello vincolato a una molla, alla propagazione di
fononi in un solido oppure alla quantizzazione del campo elettromagnetico,
per dare qualche esempio.
Nel corso di queste 4 esperienze cercheremo di sottolineare l’unitá concettuale
che le attraversa, e cioé la stretta analogia che esiste tra questi fenomeni e i
modelli microscopici dell’atomo.
1.1
I modelli atomici
Potrebbe sembrare strano il tentativo di comprendere le leggi fisiche del mondo microscopico a partire da osservazioni macroscopiche di sistemi meccanici
oscillanti. Sarebbe forse ancora piú audace tentare di costruire un modello
dell’atomo a partire da queste osservazioni.
Tuttavia l’enorme quantitá di dati sperimentali ottenibili da misure dirette
di spettroscopia atomica puó essere compresa in modo organico e con formule
elementari grazie alla costruzione di semplici modelli atomici, quale puó essere il modello di Thomson, o quello di Rutherford e Bohr.
Ma che legame c’é tra un carrello vincolato a una molla e l’elettrone presente
nell’atomo di idrogeno?
A questo tipo di domande vorremmo dare una risposta soddisfacente. Prima
di tutto studieremo i fenomeni oscillatori relativi a carrelli macroscopici vincolati con molle, e poi cercheremo di trovare analogie tra i risultati ottenuti
e i modelli formulati dai padri della vecchia teoria dei quanti.
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1.2
Le idee guida
Prima di iniziare la descrizione delle singole esperienze é importante sottolineare alcuni concetti fondamentali relativi ai fenomeni oscillatori:
• Linearitá: le soluzioni del moto armonico soddisfano il principio di
sovrapposizione: date due soluzioni ψ1 e ψ2 , allora é soluzione anche
una loro combinazione lineare αψ1 + βψ1 (α, β ∈ ℜ).
• Numero di gradi di libertá: esprime il numero di modi normali di oscillazione, cioé il numero di variabili indipendenti che bisogna determinare
per conoscere la configurazione di un sistema, come ad esempio la posizione del carrello (un grado di libertá) o l’ampiezza di oscillazione
della corda vibrante in ogni punto di essa (infiniti gradi di libertá).
Ogni grado di libertá presenta una pulsazione propria ω0 dipendente
da parametri strutturali del sistema, come la massa del carrello o la
costante elastica della molla.
• Risonanza: amplificazione spontanea dell’ampiezza di oscillazione per
un moto oscillante guidato da una forzante esterna, quando la pulsazione ω della forzante si avvicina alla pulsazione propria di risonanza
ωr .
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2
Le esperienze in laboratorio
2.1
2.1.1
Oscillatore libero con e senza smorzamento
Oscillatore libero senza smorzamento
Sia dato un carrello in moto su di una rotaia liscia orizzontale e vincolato
con due molle ai ponti della rotaia. Quali grandezze si possono misurare?
• Scopo dell’esperienza
Misurare il periodo di oscillazione del sistema e confrontarlo con il valore teorico.
• Teoria
In accordo con la legge di Hooke la forza di richiamo esercitata da una
molla - che per noi é la molla equivalente al sistema di due molle - su
di un corpo di massa m é
F~ = −k~x
con k costante elastica della molla.
La traiettoria del corpo é una sinusoide di ampiezza massima A e fase
iniziale φ
x (t) = Acos(ω0 t + φ)
e con pulsazione1 propria ω0
2π
ω0 =
=
T
r
k
m
• Procedura e apparato
Si veda in merito la copia da tavolo allegata.
• Analisi dei dati
Per il calcolo della costante elastica bisogna preparare un grafico della
forza di richiamo - o delle masse di sospensione scelte - in funzione dell’allungamento ottenuto e calcolarne il coefficiente angolare per mezzo
di una regressione lineare. Qualunque programma di calcolo elettronico2 puó facilmente risolvere il problema.
1
Al posto di ω possiamo scrivere il periodo T = 2π/ω o la frequenza di oscillazione
ν = 1/T .
2
Come ad esempio Excel.
5
Per il confronto é utile calcolare la differenza percentuale tra i valori misurati e quelli attesi del periodo di oscillazione. Che stima dare
dell’errore sul periodo misurato?
2.1.2
Oscillatore libero con smorzamento
E’ possibile osservare qualitativamente lo smorzamento dovuto agli attriti tra
le ruote del carrello e la rotaia e per la presenza dell’aria.
Infatti se si lascia oscillare il carrello fino a fermarsi, allora con un sensore
di moto si puó ricavare un grafico dell’ampiezza di oscillazione nel tempo.
L’ampiezza massima decade esponenzialmente nel tempo
A (t) = e−αt
con α costante di smorzamento. Qui di seguito viene mostrato un esempio
di raccolta dati.
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2.1.3
Modello: il panettone di Thomson (1902)
Dallo studio dei raggi catodici nei gas si comprende che l’atomo, elettricamente neutro in condizioni normali, é composto da particelle elementari con
carica negativa e, gli elettroni. Ma come é distribuita la massa positiva?
Inoltre esperimenti di spettroscopia come la separazione con un prisma
della luce emessa da un gas mostrano la presenza su lastre fotografiche di
spettri a righe associati a ben definite frequenze di radiazione. Dunque l’atomo emette radiazione a certe frequenze. Ma per quali frequenze?
Nel modello di Thomson l’elettrone é un corpo di massa m e carica e
che oscilla lungo il diametro 2r di una massa uniforme sferica carica positivamente. La frequenza di emissione della radiazione ν0 = 1/T0 = ω0 /2π é
analoga a quella del moto armonico libero del carrello, ma dipendente da
grandezze fisiche diverse. Infatti vale
r
e2
ω0 =
mr3
7
2.2
Oscillatore forzato con smorzamento
Se il carrello vincolato alle due molle viene sollecitato da una forzante esterna
sinusoidale il moto del sistema cambia e diviene forzato.
• Scopo dell’esperienza
Studiare la variazioni di ampiezza nel moto di un carrello vincolato a
una molla in funzione della frequenza angolare della forzante sinusoidale
esterna; evidenziare il fenomeno della risonanza.
• Teoria
Se un carrello di massa m, soggetto ad una forza di smorzamento
Fa = −γ v, viene sollecitato da una forza esterna sinusoidale:
F = F0 cos (ωt)
allora dopo una fase transitoria esso oscilla di moto sinusoidale
x (t) = Acos (ωt + φ)
con frequenza uguale alla frequenza ω della forzante, ampiezza di oscillazione A e fase iniziale φ date dalle formule
F0 /m
A (ω) = q
2
(ω 2 − ω02 ) + 4γ 2 ω 2
∧
8
tg (φ (ω)) =
ω 2 − ω02
2γω
• Procedura e apparato
Si veda in merito la copia da tavolo allegata.
• Analisi dei dati
Riportiamo in un grafico l’andamento di A (ω) cercando di evidenziarne
l’ampiezza massima di risonanza e - approssimativamente - la larghezza
della curva che meglio interpola i dati. Se a causa del limite sperimentale dovuto alla lunghezza finita della rotaia ci sono più valori di ampiezza
massima, quale bisogna scegliere?
Inseriamo un grafico di esempio qui di seguito.
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2.2.1
Modello: dai pianeti di Rutherford alle orbite di Bohr (1913)
Due evidenze sperimentali fanno crollare il modello di Thomson:
• Esperimento di Rutherford: cariche dello stesso segno di respingono,
ma bombardando con particelle positive una lastra sottile di materiale
si osserva che queste non vengono deflesse quasi mai, tranne per certi
casi in cui vengono respinte completamente. Inspiegabile per il modello
di Thomson.
• Spettroscopia: il modello di Thomson descrive l’emissione di radiazione a una singola frequenza ν0 , mentre gli spettri sono composti da
numerosissime righe spettrali, riordinabili peraltro in varie serie.
Rutherford ipotizzó la presenza di un nucleo carico positivamente, il protone, attorno al quale gli elettroni ruotavano come microscopici pianeti di
un sistema solare. Tuttavia dall’elettrodinamica un corpo carico che ruota
- e dunque accelera - emette radiazione e perde energia fino a cadere a spirale verso il centro dell’orbita. Nel caso dell’idrogeno ad esempio i tempi di
caduta sono brevissimi. Dunque il modello planetario di Rutherford risolve
il primo problema ma ne genera un altro: é fortemente instabile.
Il modello di Bohr con l’assunzione di due ipotesi ad hoc risolve ogni problema
finora esposto:
• L’elettrone é una particella che ruota attorno al nucleo su orbite stazionarie circolari definite da un numero naturale n e quando si trova
su una di queste orbite non emette radiazione, in contrasto con le leggi
dell’elettrodinamica.
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• L’atomo emette radiazione solo quando l’elettrone salta da un’orbita
stazionaria all’altra.
Nel modello di Thomson l’elettrone oscillava in una dimensione. Nel caso di
due dimensioni la traiettoria piú semplice che possiamo generare partendo
dalla riflessione di Thomson é data dalla composizione3 di due moti armonici
perpendicolari sfasati di 90◦ : tale traiettoria é una circonferenza.
Infine la considerazione piú importante. L’emissione e l’assorbimento di energia da parte dell’atomo avviene per salti dell’elettrone da un’orbita stazio′
naria con energia En ad un’altra En′ , con n, n numeri naturali. L’elettrone
puó assumere un insieme discreto di valori, dunque la differenza di energia
tra due orbite é un multiplo intero di un quanto di energia
∆E = En+1 − En = hν
con ν frequenza della radiazione emessa o assorbita e h costante di Planck4 .
Ogni sistema analizzato con la spettroscopia risponde ad una ben
definita frequenza di radiazione, in analogia alla risposta del carrello
in condizioni di risonanza, cioé quando la frequenza della forzante diventa
νr = ωr /2π.
3
La legge di composizione dei moti risale a Galileo ed é valida sia per oggetti
macroscopici che microscopici.
4
La costante di Planck é una costante universale che Max Planck misuró con lo studio
dell’emissione di radiazione da corpo nero.
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2.3
2.3.1
Una considerazione sullo smorzamento
Modello: vita media di uno stato eccitato
Per quanto riguarda il modello di Bohr, l’elettrone in condizioni normali si
trova nell’orbita stazionaria con energia più bassa, cioè nello stato fondamentale. Quando in seguito ad assorbimento di energia l’elettrone salta su di
un’orbita stazionaria con energia maggiore, allora si dice che l’atomo si trova
in uno stato eccitato. Quanto tempo resta nello stato eccitato?
Per un singolo atomo l’emissione di energia per diseccitazione avviene in
modo casuale, dunque non possiamo saperlo. Tuttavia se abbiamo un insieme
di molti atomi e indichiamo con N il numero di atomi eccitati, allora vale la
legge
N (t) = N0 e−2βt
dove N0 é il numero di atomi eccitati al tempo 0 e β é detta larghezza naturale
di riga. Infatti la diseccitazione per molti atomi non avviene con l’emissione
di radiazione ad una sola frequenza, il che produrrebbe una riga netta nello spettro di emissione, ma secondo una distribuzione5 di piú frequenze che
produce una riga con una certa larghezza.
C’é un legame tra β e la vita media dello stato eccitato, per cui tm = 1/2β.
Dopo un tempo tm il numero di atomi eccitati si é ridotto di N0 /e, praticamente piú che dimezzato6 .
Infine un’osservazione: piú é larga la riga, maggiore é l’imprecisione sulla
frequenza e dunque sull’energia dello stato eccitato. Si puó ricavare infatti
la relazione di indeterminazione di energia e tempo: la precisione che
possiamo raggiungere sull’energia dello stato eccitato é inversamente proporzionale al tempo di decadimento dello stato stesso.
La legge che abbiamo formulato sopra per il numero di atomi eccitati é molto
simile alla legge che regola lo smorzamento dell’ampiezza massima di un moto oscillatorio in presenza di attrito.
Possiamo fare dunque un’analogia: un elettrone non resta in uno stato eccitato per un tempo infinito proprio come un carrello in presenza di attrito
non oscilla per un tempo infinito.
5
6
Tale distribuzione é una lorentziana.
Ricordiamo che la base esponenziale e, numero di Nepero, vale circa 2,7.
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2.4
Sonometro
Il sonometro é uno strumento in grado di misurare la frequenza delle oscillazioni di una corda vibrante con estremi fissi.
• Scopo dell’esperienza
Studiare il comportamento di una corda vibrante con estremi fissi per
diversi valori di lunghezza, densitá lineare e tensione della corda stessa.
Valutare le frequenze di risonanza di un’onda stazionaria con l’utilizzo
di un generatore di funzioni, un rivelatore di onde e un oscilloscopio.
• Teoria
L’equazione dell’ampiezza di oscillazione y di un’onda stazionaria é
¶
µ
³ x´
t
y (x, t) = 2ym sin 2π
cos 2π
λ
λ
con x posizione lungo la corda, t tempo, λ lunghezza d’onda di oscillazione.
Questa equazione descrive per un tempo fissato t0 un’onda sinusoidale
con ampiezza massima 2ym cos (2πt0 /λ) e per una posizione fissata x0
un moto armonico con ampiezza di 2ym sin (2πx0 /λ).
Quest’onda é detta onda stazionaria perché non si propaga lungo la
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corda. L’a forma di un’onda siffatta presenta dei nodi, dove l’ampiezza y é nulla, e degli antinodi, dove l’ampiezza y é massima.
Per certe frequenze di oscillazione della corda le onde riflesse agli estremi di essa si trovano in fase, producendo un’amplificazione spontanea
dell’ampiezza di oscillazione y. La condizione di risonanza si ha
quando la lunghezza L della corda è́ un multiplo intero n di una semi
lunghezza d’onda λ, per cui
λ=
2L
n
∧
n = 1, 2, 3, . . .
Per n = 1 si ha l’armonica fondamentale, per n = 2 la secondaria e cosí
via.
• Procedura e apparato
Si veda in merito la copia da tavolo allegata.
• Analisi dei dati
Per ogni lunghezza della corda scelta, scrivere in una tabella le frequenze di risonanza osservate per le diverse armoniche e per ognuna di esse
le posizioni dei nodi e degli antinodi misurate. Che errore dare sulle
posizioni dei nodi e degli antinodi? E per le frequenze?
Dal confronto delle due frequenze - del generatore e del rivelatore - per
mezzo dell’oscilloscopio, la frequenza data dal generatore di funzioni é
uguale a quella reale della corda? Oppure é un suo multiplo? Perché?
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2.4.1
Modello: le onde di materia di De Broglie (1924)
Il modello di Bohr si basa su ipotesi ad hoc che limitano la validitá delle
leggi dell’elettrodinamica. In particolare si assume che sulle orbite stazionarie
l’elettrone non emetta energia, pur essendo una particella carica.
Tuttavia ci sono esperimenti, come l’effetto Ramsauer (1922) e l’esperimento
di Davisson e Germer (1919) - interferenza di elettroni lenti riflessi da parte
di un cristallo - i quali sembrano verificare l’ipotesi che l’elettrone abbia in
certe circostanze un carattere ondulatorio, per cui é possibile associare alla
velocitá v dell’elettrone una lunghezza d’onda λ:
mv =
h
λ
con h costante di Planck.
Louis De Broglie, oltre a proporre per primo la formula precedente relativa al
dualismo onda-particella, contribuí a una variazione del modello di Bohr,
introducendo il concetto - molto discusso - di onde di materia:
• Gli elettroni sulle orbite di Bohr sono onde stazionarie di materia
oscillanti con frequenze associate alla loro energia. Siccome le onde
stazionarie non propagano energia, le leggi dell’elettrodinamica sono
valide anche sulle orbite di Bohr.
• Gli elettroni possono assorbire o emettere solo ben definiti valori di
energia associati alle frequenze di risonanza delle onde di materia.
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Possiamo quindi affermare che un elettrone sull’orbita di Bohr secondo il
modello di De Broglie é un sistema confinato che si comporta - per analogia
- come una corda vibrante con estremi fissi. Entrambi infatti presentano
fenomeni di risonanza.
3
3.1
Considerazioni finali e prospettive
Siamo soddisfatti?
Si direbbe di sì, in quanto abbiamo compreso che diversi fenomeni possono
essere messi in collegamento tra loro per analogia e visti secondo
uno schema di ragionamento unitario e panoramico.
Nel nostro contesto abbiamo compiuto l’audace tentativo di costruire dei
modelli atomici senza fare esperimenti diretti sull’atomo.
Tuttavia dobbiamo stare molto attenti.
Il tentativo di collegare per analogia fenomeni diversi tra loro non completa per nulla la formulazione di una teoria scientifica, ma indica solamente
alcune strade possibili per l’effettiva ricerca sul campo. I modelli costruiti
per analogia sono utili strumenti per fissare le idee, ma devono comunque
superare la prova diretta degli esperimenti e della consistenza interna
delle ipotesi della teoria.
La vecchia teoria dei quanti qui enunciata ci ha proposto un assaggio di alcuni
concetti presenti nella più corretta teoria della meccanica quantistica,
sviluppatasi successivamente alla prima. A voi la curiositá e la soddisfazione
di continuare questa avventura.
Nelle foto: Schroedinger, Heisenberg e Dirac.
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Per quanto riguarda le prospettive future di ampliamento dell’esperienza, si
potrebbe provare ad introdurre due sistemi nuovi come gli oscillatori accoppiati e l’oscillatore anarmonico. Qui di seguito ne diamo alcune indicazioni.
3.2
Oscillatori accoppiati: due o piú carrelli
Abbiamo studiato un carrello oscillante e la corda vibrante, e siamo passati
da un sistema a un solo grado di libertá ad uno con infiniti gradi di libertá.
Sarebbe interessante inserire lo studio di sistemi a due gradi di libertá, come
possono essere due carrelli oscillanti vincolati tra loro da una molla. In queste
condizioni si puó definire l’importante concetto di modi normali e si possono
anche evidenziare fenomeni come i battimenti.
3.3
Oscillatore anarmonico: dal carrello al pendolo
Lo studio del moto libero dei pendoli permette di osservare come anche in assenza di molle si possono avere fenomeni oscillatori, grazie alla combinazione
di forze differenti. Infatti nel caso del pendolo la combinazione della forza
peso - uniforme e in direzione sempre verticale - e della tensione del filo
permettono di trattare il moto libero di un pendolo come un oscillatore armonico semplice, nell’approssimazione di piccoli angoli di inclinazione del filo.
E’ possibile infine studiare, almeno qualitativamente, il moto di un pendolo
anarmonico, dove non vale piú l’approssimazione di piccoli angoli e l’ampiezza
di oscillazione dipende dalla frequenza.
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4
Informazioni sull’iniziativa
Questa iniziativa rientra nel PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE ed é
rivolta a studenti di scuole secondarie superiori. I laboratori si trovano presso
l’Universitá Cattolica del Sacro Cuore (Dipartimento di Matematica e Fisica)
in via dei Musei n. 41 (Brescia).
• Direzione Scientifica: Dr. Luigi Sangaletti;
• Coordinamento Didattico: Dr. Gianluca Galimberti, Dr. Gabriele
Ferrini;
• Docenti Responsabili dell’attivitá nei laboratori: Dr. Antonio Cavalli,
Dr.ssa Stefania Pagliara, Dr. Ernesto Tonni;
• Organizzazione: Servizio Orientamento-Placement.
Per ulteriori informazioni si veda:
http://www.dmf.unicatt.it/fisica/fis-team/labestivi.html.
Questa dispensa é stata realizzata da Marco Rizzinelli ([email protected])
in seguito alla collaborazione - come esame per i crediti di tipo f - durante il
II turno della VI edizione del laboratorio estivo, anno 2006.
Alcuni testi bibliografici utilizzati, oltre alle presentazioni degli scorsi anni,
sono:
• Fisica atomica e quantistica (Haken, Wolf);
• Fisica, volume 1 (Mazzoldi, Nigro, Voci).
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