Bayes
Stato del mondo
Se indichiamo con A uno stato del mondo e B un evento, la probabilità di B dato A indica che B si
manifesta dato che A è lo stato del mondo. Quindi l’evento A può essere pensato anche come uno
“stato del mondo”. La formula di Bayes determina la probabilità a posteriori di uno stato dovuta al
fatto che l’evento e lo stato si manifestino entrambi, diviso la probabilità che l’evento intervenga
senza riguardo degli stati (determinata dalla somma di tutti gli stati possibili).
Generalizzando possiamo scrivere che per un set di stati del mondo 1……N:
Pr ob( Ai / B)
Pr ob( Ai ) Pr ob( B / Ai )
N
i
( Ai ) iN 1
;
Pr ob( Ai ) Pr ob( B / Ai )
1
set deg li stati del mondo
Si consideri la seguente applicazione. La struttura produttiva di un Paese è formata dal 50% di
piccole imprese, dal 30% di imprese di media dimensione e dal 20% di imprese di grande
dimensione. Sappiamo da una precedente statistica che il 20% delle piccole imprese esporta la sua
produzione sui mercati internazionali, questa cifra sale al 50% per le medie imprese e al 80% per le
grandi imprese. Se una impresa scelta casualmente dichiara di non esportare nessun ammontare
della sua produzione che probabilità è che sia una impresa di piccola dimensione? Indichiamo con
P, M e G le imprese di piccola, media e grande dimensione, e con NE il fatto che non esportano. La
regola di Bayes indica che tale probabilità è vicina al 70%:
Pr ob( P / NE )
Pr ob( P) Pr ob( NE / P)
Pr ob( P) Pr ob( NE / P) Pr ob( M ) Pr ob( NE / M ) Pr ob(G ) Pr ob( NE / G )
Pr ob( P / NE )
0.5 0.8
0.5 0.8 0.3 0.5 0.2 0.2
67.8
Si consideri la seguente applicazione. Un sindacato dei consumatori è intenzionato a chiarire
come alcuni prodotti utilizzati nella conservazione di alcuni beni alimentari siano pericolosi per la
salute dei consumatori e sottopone a test chimici un particolare bene alimentare. Questo test
fornisce l’80% delle volte un valore negativo, indicando che il prodotto in questione è pericoloso
per la salute, mentre il 20% delle volte pur indicando che il prodotto è nocivo, in realtà non lo è.
Ipotizziamo che il 30% delle imprese che producano il bene in questione utilizzino prodotti
pericolosi, qual è la probabilità che una impresa scelta a caso il cui prodotto risulti dal test negativo
stia usando veramente del prodotto pericoloso? Indichiamo con P l’ impresa che usa prodotti
pericolosi, e con (-) il fatto che l’impresa sia selezionata come una di quelle che il test indica che
usa prodotti pericolosi.
Pr ob( P / )
Pr ob( P) Pr ob( / P)
Pr ob( P) Pr ob( / P) Pr ob( NP ) Pr ob( / NP )
0.3 0.8
0.3 0.8 0.7 0.2
63 .2
Esiste una probabilità maggiore del 63% che una impresa che risulta dal test negativa (che usa
prodotti dannosi) ha di fatto usato prodotti dannosi.
Si consideri la seguente applicazione. Un investitore ha una credenza (prior belief) riguardante la
probabilità che l’azione Microsoft sia profittevole perché si attende che il suo Ebitda (l'utile prima
degli interessi passivi, imposte e ammortamenti su beni materiali e immateriali) risulti elevato
(potrebbe considerare anche l’Ebit, l’utile netto, i ricavi ecc). Analizzando i dati, una volta noti, lo
conducono ad aggiornare la sua credenza, passando da una prior belief Pr ob(M ) ad una
Pr ob(M / Ebitda ) dove M+ e Ebitda+ indicano la profittabilità del titolo
Microsoft e la crescita dell’Ebitda, rispettivamente. Con la regola di Bayes l’investitore rivede la
sua credenza conoscendo i dati dell’impresa (l’Ebitda):
posterior belief
Pr ob( M
/ Ebitda )
Pr ob( M ) Pr ob( Ebitda / M )
Pr ob( Ebitda )
La probabilità di avere un Ebitda in crescita è una probabilità marginale che tuttavia può essere
constatata sia che si manifesti l’evento atteso (M+) sia che non si manifesti (M-):
Pr ob( Ebitda )
Pr ob(M ) Pr ob( Ebitda / M ) Pr ob(M ) Pr ob( Ebitda / M )
Quindi la credenza sulla redditività di Microsoft aggiornata è:
Pr ob( M
/ Ebitda )
Pr ob( M ) Pr ob( Ebitda / M )
Pr ob( M ) Pr ob( Ebitda / M ) Pr ob( M ) Pr ob( Ebitda / M )
Si consideri la seguente applicazione. In un determinato paese il 60% dei proprietari di immobili
si oppone all’introduzione di una tassa comunale sulla casa, mentre l’80% dei non possessori di
case è favorevole alla sua applicazione. Il 65% dei votanti sono possessori di case. Se con F
indichiamo il votante casualmente scelto favorevole all’introduzione della tassa, e con PC il
possessore di case (NPC non possessore di case), qual’è la percentuale dei votanti favorevoli
all’introduzione della tassa che sono possessori di case?
Pr ob( PC / F )
Pr ob( PC) Pr ob( F / PC)
Pr ob( PC) Pr ob( F / PC) Pr ob( NPC) Pr ob( F / NPC)
0.65 0.4
0.65 0.4 0.35 0.8
48.2
Nella teoria dei giochi questi eventi sono le strategie (o i tipi) degli altri giocatori e le mosse
osservate: ogni giocatore ha una distribuzione di probabilità iniziale sulle strategie degli altri
giocatori che riflette le sue credenze su cosa questi giocatori faranno. Questa distribuzione è spesso
data esogenamente data da Natura. Ogni strategia definisce una probabilità per ogni mossa in ogni
nodo (attenzione anche le strategie pure forniscono una probabilità 0 o 1 per ogni azione). Dopo
aver osservato una mossa di un altro giocatore, il giocatore usa le sue prior beliefs, il set delle
possibili strategie e la regola di Bayes per calcolarsi le nuove probabilità per ogni strategia del
giocatore che dovrà muovere nel gioco.
Ipotizziamo che il tipo B di un giocatore abbia di fronte due tipi (tipo A e tipo C) di un giocatore
opponente (come spesso accade nei giochi di segnalazione). Indichiamo con Pr ob(t A / t B ) la
probabilità che il tipo che si ha di fronte è il tipo A condizionata sul fatto che il soggetto che cerca
di aggiornare le sue credenze sia il tipo B. Questa probabilità è la credenza del giocatore B relativa
al tipo del giocatore opponente. Utilizzando la regola di Bayes avremo:
Pr ob(t A / t B )
Pr ob(t A , t B )
Pr ob(t B )
Pr ob(t A ) Pr ob(t B / t A )
Pr ob(t A ) Pr ob(t B / t A ) Pr ob(t C ) Pr ob(t B / t C )
Questa è la credenza a posteriori del tipo B relativa ai tipi del giocatore opponente. In generale, la
credenza del tipo B rispetto a tutti i possibili tipi dei suoi opponenti è definita come:
Pr ob(t i / t B )
Pr ob(t i , t B )
Pr ob(t B )
Pr ob(t i , t B )
Pr ob(t i , t B )
t T
i
i
Con n-1 giocatori, ed un insieme di possibili tipi T i ,e dato il tipo del presente giocatore B, indicato
con t B , la regola definisce la credenza del tipo B relativa ai possibili tipi degli altri giocatori.
Nei giochi di segnalazione. Il mittente invia dei segnali e il destinatario deve sviluppare una
credenza relativa ai possibili tipi che potrebbero aver inviato tali segnali. Tale credenza è sempre
una distribuzione di probabilità la cui sommatoria deve essere pari a 1. Tuttavia non è condizionata
sul tipo del destinatario, ma è una probabilità condizionata sul tipo di messaggio:
Pr ob(t i / m j )
Pr ob(t i )
Pr ob(t i )
t T
i
i
Quindi i tipi tra loro sono indipendenti e, in quanto tale, la credenza sul tipo che ci sta di fronte non
è condizionata dal fatto che io sono un certo tipo di giocatore. Se abbiamo una probabilità fornita
esogenamente da Natura (prior beliefs) all’inizio del gioco, dopo che il mittente ha inviato i
messaggi, il destinatario non potrà aggiornare queste prior beliefs.
Si consideri la seguente applicazione. Questo è una forma estesa piuttosto comune dei giochi con
informazione incompleta che permette sentieri informativi sul sentiero di equilibrio e fuori dal
sentiero di equilibrio.
A
I
2
4
C
B
II
p
L
R
3
2
1
1
q
L
R
1
4
1
2
Ovviamente (p+q)=1. L’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi (C,L) la credenza del giocatore
II è p=1, data la strategia di equilibrio che i due giocatori adottano (C e L). Quindi dato il profilo di
strategia (C,L), la probabilità di trovarsi sul nodo a sinistra di questa figura è 1, se i requisiti di
sequenzialità razionale e consistenza delle credenze sono soddisfatti. Si noti che il giocatore I ha tre
azioni da intraprendere. Ipotizziamo che possa randomizzare tra queste tre e giochi queste tre azioni
con una certa probabilità. Per iniziare, poniamo, che giocatore I assuma con probabilità uguale ad 1
di giocare A (e quindi con probabilità uguale a 0 di giocare sia C che B), allora il requisito di
consistenza delle credenze non porrebbe nessuna restrizione sulle credenze del giocatore II,
semplicemente perché quest’ultimo non verrebbe chiamato a giocare.
Poniamo ora che il giocatore I attribuisca delle probabilità positive di giocare C o B. In questo caso
il criterio di consistenza delle credenze pone una restrizione importante. Impone al giocatore II di
pensare che il giocatore I giochi Prob(C, dato b)=p, con Prob(B, dato b)=q e con Prob(A, dato
b)=1-p-q, dove abbiamo chiamato con b è il profilo di strategia. La formula di Bayes implica che le
credenze del giocatore II attribuiscano una probabilità di giocare C pari a:
Pr ob(C / b)
p
1
p q
1 0
1
Analogamente, la formula implica che le credenze del giocatore II attribuiscano una probabilità di
giocare B pari a:
Pr ob( B / b)
q
q
0
p
0 1
0
Ed è, ovviamente, zero anche la probabilità di giocare A se il requisito di consistenza delle credenze
deve essere vero.
