Introduzione allo spazio R^n

Spazi Rn : concetti di base
Riccarda Rossi
Università di Brescia
Analisi Matematica B
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Spazi Rn : concetti topologici di base
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Spazi Rn
Elementi di Rn : x = (x1 , x2 , . . . , xn ),
xj ∈ R, j ∈ {1, . . . , n}
Rn è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto
per uno scalare: dati x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ) si definisce
la somma
x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
(x + y ) ∈ Rn
e il prodotto per uno scalare λ ∈ R:
λ x := (λx1 , . . . , λxn ),
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λx ∈ Rn .
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Interpretazione geometrica in R2
Dati p, q ∈ R2
p + q è vettore della
diagonale del
parallelogramma
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Interpretazione geometrica in R2
Dati p ∈ R2 e a ∈ R
ap
dilatazione/contrazione di p
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Definizione (Prodotto scalare)
Dati x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ) chiamiamo prodotto
scalare di x e y il numero
x · y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn .
Definizione (Norma)
Dato x = (x1 , x2 , . . . , xn ) chiamiamo norma di x la quantità
q
√
kxk = x · x = x12 + x22 + · · · + xn2 .
Definizione (Distanza euclidea)
Dati x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ) chiamiamo la distanza
euclidea tra x e y la quantità
d(x, y ) = kx − y k.
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Rileggiamo queste definizioni in R..
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Lemma (Disuguaglianza di Schwarz)
Per ogni x, y ∈ Rn vale
|x · y | ≤ kxk ky k.
Dimostrazione:
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Nel caso n = 2, 3 è possibile interpretare la norma di x come la
lunghezza del vettore determinato da x.
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Lemma (Proprietà della norma)
Per ogni x, y ∈ Rn e λ ∈ R valgono le seguenti affermazioni:
1
kxk ≥ 0 e kxk = 0 se e solo se x = 0.
2
kλxk = |λ| kxk.
3
Disuguaglianza triangolare: kx + y k ≤ kxk + ky k.
Dimostrazione: Le proprietà 1 e 2 seguono facilmente dalla definizione di
norma (esercizio a casa). Per dimostrare la disuguaglianza triangolare,
usiamo la disuguaglianza di Schwarz e notiamo che
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In R2 la disuguaglianza di Schwarz (e quindi anche la disuguaglianza
triangolare) è immediata conseguenza della formula
x · y = kxk ky k cos ϕ
dove ϕ indica l’angolo fra i due vettori x e y . Si nota che x · y = 0 se e
solo se i due vettori sono ortogonali.
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Definizione (Applicazioni lineari)
Un’applicazione L : Rn → Rm si dice lineare se per ogni x, y ∈ Rn e ogni
a, b ∈ R si ha
L(ax + by ) = a L(x) + b L(y ).
Ad ogni applicazione lineare si può associare una matrice A = (aij ) con
m righe e n colonne tale che se
L(x) = y
con x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ), allora
yk = ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn ,
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∀ k ∈ {1, . . . , m}.
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Esempio
L : R2 → R3 data da
L(x, y ) = (y , 2x + y , x − 3y )
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Definizione (Norma delle applicazioni lineari)
Sia L : Rn → Rm un’applicazione lineare. Chiamiamo norma di L la
quantità
kL(x)k
kLk = sup
kxk
x6=0
Quindi per ogni x ∈ Rn si ha
kL(x)k ≤ kLk kxk.
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Elementi di topologia in Rn
Definizione (Palla di centro x e raggio ε)
Dati x ∈ Rn e ε > 0 si dice palla di centro x e a raggio ε l’insieme
Bε (x) = {y ∈ Rn : d(x, y ) = kx − y k < ε}
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Definizione (Intorno di un punto)
Siano x ∈ Rn e U ⊆ Rn . Diciamo che U è intorno di x se esiste ε > 0 tale
che
Bε (x) ⊆ U.
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Elementi di topologia in Rn
Siano E ⊆ Rn e x ∈ Rn . Analogamente come nel caso n = 1 si definiscono
i seguenti concetti.
Definizione
1
Diciamo che x è interno ad E se esiste ε > 0 tale che Bε (x) ⊆ E .
2
Diciamo che x è di accumulazione per E se per ogni ε > 0 si ha
Bε (x) ∩ (E \ {x}) 6= ∅.
3
Diciamo che x è punto isolato di E se esiste ε > 0 tale che
Bε (x) ∩ E = {x}.
4
Diciamo che x è aderente ad E se x è un punto di accumulazione
per E oppure se x è un punto isolato di E .
Un punto di accumulazione per E non deve necessariamente appartenere
ad E !
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Esempio
Sia E = {x ∈ R2 : kxk < 1} ∪ {(2, 0)}.
ogni x ∈ R2 con kxk = 1 è un punto di accumulazione per E anche se
x 6∈ E .
invece (2, 0) ∈ E , ma non è un punto di accumulazione per E (è un
punto isolato).
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Elementi di topologia in Rn
Definizione
Sia E ⊆ Rn .
1
Chiamiamo parte interna di E l’insieme
◦
E = {x ∈ E : x è interno ad E }.
2
Chiamiamo la chiusura di E l’insieme
E = {x ∈ E : x è aderente ad E }.
◦
3
Chiamiamo la frontiera di E l’insieme ∂E = E \ E .
Dalla definizione segue immediatamente che
◦
E ⊆ E ⊆ E.
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Elementi di topologia in Rn
Esempio
Sia E ⊂ R2 dato da
E = {x ∈ R2 : kxk < 1} ∪ {(2, t) : 0 < t < 1} ∪ {(2, 2)}
Si ha
◦
2
E = {x ∈ R : kxk < 1},
∂E = {x ∈ R2 : kxk = 1} ∪ {(2, t) : 0 ≤ t ≤ 1} ∪ {(2, 2)}
E = {x ∈ R2 : kxk ≤ 1} ∪ {(2, t) : 0 ≤ t ≤ 1} ∪ {(2, 2)}
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Elementi di topologia in Rn
Definizione (Insiemi aperti e insiemi chiusi)
Sia E ⊆ Rn .
◦
1
Diciamo che E è aperto se E = E .
2
Diciamo che E è chiuso se E = E .
L’insieme E dell’esempio precedente non è né chiuso né aperto.
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Elementi di topologia in Rn
Lemma (Proprietà degli aperti)
1
Un insieme è aperto se e solo se il complementare è chiuso.
2
L’insiemi Rn e ∅ sono aperti.
3
L’unione di una famiglia di insiemi aperti è un insieme aperto.
4
L’intersezione di una famiglia finita di insiemi aperti è un insieme
aperto.
Notiamo che l’insieme Rn e ∅ sono contemporaneamente aperti e chiusi.
Lemma (Proprietà degli chiusi)
1
L’intersezione di una famiglia di insiemi chiusi è un insieme chiuso.
2
L’unione di una famiglia finita di insieme chiusi è un insieme chiuso.
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Elementi di topologia in Rn
Definizione (Insiemi limitati e insiemi compatti)
1
Diciamo che E ⊆ Rn è limitato se esiste un R > 0 tale che
E ⊆ BR (0).
2
Diciamo che E ⊆ Rn è compatto se è chiuso e limitato.
L’insieme {x ∈ R2 : kxk < 1} è limitato, ma non è compatto.
L’insieme {x ∈ R2 : kxk ≤ 1} è limitato e chiuso e quindi compatto.
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