Il sistema di equazioni che J

CAMPI ELETTROMAGNETICI RAPIDAMENTE 1 VARIABILI
di Antonio Covello
James Clerk Maxwell (1831-1879) nacque
l’anno in cui Faraday scoprì la legge dell’induzione elettromagnetica e morì l’anno in cui nacque Einstein,
quasi a rappresentare anche anagraficamente l’anello
di congiunzione fra le intuizioni e le ricerche sperimentali di Faraday, che Maxwell tradusse in linguaggio matematico, e la Relatività Ristretta di Einstein
che proprio dal lavoro di Maxwell prese origine.
M. Faraday (1791-1867)
J. C. Maxwell
Il sistema di quattro equazioni che Maxwell elaborò dal 1864 al 1873, costituisce l’unificazione fra l’elettricità, il magnetismo
e l’ottica, fino ad allora ritenuti indipendenti. Il legame fra queste equazioni e
l’ottica si può evincere dal fatto che queste equazioni prevedono l’esistenza delle onde elettromagnetiche con una velocità di propagazione pari a quella della
luce. L’importanza della teoria di Maxwell si può comprendere anche considerando che i moderni sistemi di comunicazione si basano sulle suddette equazioni. Possiamo perciò affermare che l’opera di Maxwell gioca nell’elettromagnetismo un ruolo pari a quello dell’opera di Newton in meccanica.
Non sembri strano, ma la teoria di Maxwell nacque da concetti dell’idrodinamica e della fisica dei corpi elastici 2 applicati all’ottica, allora vista come un
fenomeno elastico. Per convincersene basterebbe osservare che la matematica
usata è connessa con quella utilizzata dagli studiosi di elasticità e di idrodinamica (si pensi ad es. al concetto di flusso). Per tale ragione in un primo tempo non
si notò il legame fra la teoria di Maxwell con l’allora nascente tecnologia delle
trasmissioni elettriche (la teoria delle oscillazioni elettriche in un circuito la elaA. Einstein (1879-1955)
borò Kelvin nel 1866). Hertz fu uno dei primi, con Augusto Righi, a cogliere e
fondere questi due aspetti sperimentalmente.
Per concludere, queste quattro equazioni, assieme alle definizioni operative 3 dei campi elettrici
e magnetici, possono essere assunte come postulati da cui ricavare e risolvere, con più o meno complesse elaborazioni matematiche, tutte le proprietà e i problemi dell’elettromagnetismo.
1
Sappiamo che - scolasticamente - si incomincia con lo studio dei fenomeni elettrici e magnetici costanti nel tempo, poi si
trattano quelli non stazionari. Quest’ultimi si suddividono ulteriormente in fenomeni lentamente variabili e rapidamente
variabili. Anche se non può esserci una divisione netta, nei primi le grandezze in gioco variano in intervalli non inferiori a
10-4 s, nei secondi i tempi sono più brevi di 10-4 s.
2 Maxwell era un fautore del progresso della fisica mediante analogie con altre branche di essa stessa.
3 È bene ricordare che queste due definizioni operative sono: ƒ = qE e la forza di Lorentz ƒ = qv×B. Molti testi indicano come forza di Lorentz ƒ = q(E +v×B). Operative nel senso che indicano un modo per determinare E e B misurando la forza
con la quale agiscono su una carica q. (Il neretto indica che stiamo parlando di grandezze fisiche vettoriali).
A. Covello: campi elettromagnetici rapidamente variabili
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
Prima di scrivere brevemente sulle equazioni di Maxwell è bene ricordare che tre
di queste equazioni sono riformulazioni delle ricerche eseguite da Coulomb, Gauss,
Oersted, Ampère, Faraday, Neumann, Lenz, ecc.. La quarta equazione, invece, introduce la felice ipotesi di Maxwell della corrente di spostamento. Riporteremo le equazioni in una
forma matematica ben diversa da quella opportuna per ulteriori sviluppi.
I EQUAZIONE
Il Trattato di
Maxwell
La prima equazione di Maxwell consegue dalla legge di Coulomb ed è formulata ricorrendo alla
formula (o teorema) di Gauss 4:
G
Σq
ΦS E =
ε0
( )
“il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa 5 S è pari alla somma algebrica delle cariche contenute nella
superficie stessa diviso la costante dielettrica”. Questo presupposto reca in sé sia il principio di conservazione
della carica sia la condizione secondo cui le linee di forza del campo elettrostatico debbono iniziare e
terminare su cariche elettriche.
II EQUAZIONE
La seconda equazione di Maxwell contiene la differenza tra il campo elettrico e magnetico. Infatti, sempre ricorrendo alla formula di Gauss, si ha:
G
ΦS B = 0
( )
“il flusso del campo magnetico uscente da una superficie chiusa S è nullo”. Ciò significa che le linee di forza uscenti
da una superficie chiusa sono pari alle linee di forza entranti nella stessa superficie. In altre parole: non
esistono poli magnetici singoli (monopoli).
III EQUAZIONE
La terza legge di Maxwell scaturisce dalla legge dell’induzione di Faraday-Neumann-Lenz 6:
G
G
∆Φ B
CΓ E = −
∆t
( )
( )
La formula di Gauss è applicabile a qualsiasi campo vettoriale. Applicata al campo elettrico, E, costituisce la prima equazione di Maxwell.
5 Quando si dice superficie chiusa si deve intendere una superficie tridimensionale che divide lo spazio fra un dentro ed un
fuori. Una superficie bidimensionale lo spazio lo divide, ad es., fra destra e sinistra.
6 Tale legge afferma: “un flusso magnetico variabile nel tempo genera una f.e.m. indotta di verso tale da generare effetti che tendono ad opporsi
alla variazione del flusso magnetico variabile che l’ha generata”.
4
2
A. Covello: campi elettromagnetici rapidamente variabili
e stabilisce che “un flusso magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico”. Si ricordi che le linee di forza
di questo campo elettrico sono concentriche e concatenate alle linee di forza del campo magnetico.
IV EQUAZIONE
Se un campo magnetico variabile genera un campo elettrico, per simmetria la variazione di un
campo elettrico dovrebbe generare un campo magnetico. La quarta equazione di Maxwell afferma ciò.
Se un’ipotesi di simmetria suggerisce una possibilità, una considerazione basata sulla legge della
circuitazione di Ampère ci aiuterà a evidenziare una seria incongruenza.
PARADOSSO 7 DELLA LEGGE DI AMPÈRE
Dato il circuito in fig. 1:
Fig. 1
C
I
C condensatore
R resistenza
V d. d. p.
I interruttore
R
V
Consideriamo il tratto di esso in cui si trova il condensatore di capacità C. Applicando la legge di Ampère nel caso della fig. 2 (in cui Γ è il bordo della superficie S’) otteniamo:
G
CΓ B = µ 0i
( )
C
S’
Fig. 2
Γ
C
Fig. 3
Se consideriamo, invece, la superficie S’ interna al condensatore, fig. 3, allora:
G
CΓ B = 0.
( )
7
Paradosso [da pará-accanto e dóxa-opinione]: 1) Giudizio diverso da quello generalmente osservato. 2) Sorprendente deduzione da certe assunzioni. 3) Risultato a prima vista incredibile, ma corretto una volta sottoposto ad analisi più adeguate.
Dal punto di vista etimologico paradosso è ciò che sembra assurdo se ci si ferma ad un livello superficiale di analisi senza
raggiungere il senso profondo: la verità profonda delle cose va al di là, παρά, della opinione comune, δόξα. Non ricordo chi affermò che «un paradosso è una verità che giunge con molti anni di anticipo».
3
A. Covello: campi elettromagnetici rapidamente variabili
Consideriamo ora una figura tridimensionale composta dalla superficie piana S’ e da un’altra non
piana, S”, avente come base S’, ovvero lo stesso bordo Γ, fig. 4, e sistemiamola nel modo rappresentato
in fig. 5, con S” contenente una delle armature del condensatore:
S’
S”
Fig. 4
Γ
Fig. 5
dalla legge di Ampère otteniamo CΓ(B) = 0 considerando Γ contorno di S”; CΓ(B) = µ0i considerando Γ
contorno di S’. Quindi la circuitazione dell’induzione magnetica assume valori diversi pur riferendosi alla concatenazione con uno stesso percorso chiuso, il paradosso è evidente e ciò indica che c’è qualcosa
da rivedere.
CORRENTE DI SPOSTAMENTO
(calcoli facoltativi)
Ritorniamo al circuito di fig. 1. Una volta chiuso, fra le armature del condensatore vi sarà un
campo elettrico:
E =
V
d
V: d.d.p.; d: distanza fra le armature
ovvero sulle armature ci sarà una carica:
q = CV = CEd .
C e d sono costanti, a variare nel tempo sono solo q ed E. Quindi:
∆q
∆E
= Cd
.
∆t
∆t
Ricordando che C = ε0(S/d) [S area delle armature] e che ∆q/∆t è una corrente i, otteniamo:
i = ε 0S
∆E
;
∆t
che diventa, essendo S∆E = ∆ΦS(E) 8:
G
∆ΦS (E)
i = ε0
.
∆t
8
ΦS(E)=E · S, se E e S sono perpendicolari ΦS(E)=ES.
4
A. Covello: campi elettromagnetici rapidamente variabili
Supponendo che quando varia E una corrente pari a i = ε0∆ΦS(E)/∆t attraversa il condensatore avremo
un flusso continuo9 di corrente che circola nell’intero circuito. Si comprende perché una corrente alternata percorre un circuito contenente un conduttore: fra le armature E cambia continuamente e ciò produce una corrente fluente attraverso esse.
Maxwell chiamò ε0∆ΦS(E)/∆t corrente di spostamento: is . Egli introdusse questa corrente come un
“artificio matematico” affinché, comunque scelta la superficie concatenata col circuito, il risultato del
calcolo della circuitazione lungo un percorso concatenato fosse univoco. Infatti, se invece della sola
corrente di conduzione che attraversa il circuito si introduce questa corrente addizionale di spostamento, numericamente is è uguale a i, si ottiene la IV equazione di Maxwell:
G
G
∆ΦS (E)
CΓ B = µ 0i + µ 0ε 0
∆t
o anche:
G
CΓ B = µ 0 ( i + is ) .
( )
( )
La IV legge di Maxwell può essere anche enunciata così: “un campo elettrico variabile è equivalente ad
una corrente elettrica - la corrente di spostamento - la quale come tutte le correnti produce un campo magnetico” 10.
Si badi che i esiste solo nel circuito, ma non nel condensatore. Viceversa is. Aggiungere is non significa che nel circuito circola una corrente maggiore, ma solo che lì, dove il circuito è interrotto da un
condensatore, la corrente prosegue in un’altra natura. Fu proprio il porsi la domanda su quale fosse
questa natura che fece prevedere e capire la propagazione delle onde elettromagnetiche.
LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Le considerazioni seguenti si deducono tutte dalle equazioni di Maxwell mediante opportune elaborazioni matematiche:
• Se un campo elettrico variabile muovendosi nello spazio genera un campo magnetico anch’esso variabile, a sua volta questo genererà un campo elettrico variabile che a sua volta genererà un campo
magnetico variabile e così via. Quindi anche in regioni senza cariche elettriche o senza una corrente
di conduzione può esserci un’onda elettromagnetica.
Propagazione di un’onda elettromagnetica.
• Le onde elettromagnetiche trasportano l’energia dei campi elettrici e magnetici 11 attraverso lo spazio.
Non una corrente continua.
Questo nuovo effetto d’induzione per essere visto ha bisogno di campi rapidamente variabili (cfr. l’esperimento di Hertz e
la nota 3): i cambiamenti devono avvenire in tempi confrontabili con quello impiegato dalla luce ad attraversare l’apparato.
Altrimenti uno sperimentatore attento come Faraday si sarebbe accorto di questo nuovo genere d’induzione.
11 Densità di energia del campo elettrico: ε E2/2. Del campo magnetico: B2/2µ .
0
0
9
10
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A. Covello: campi elettromagnetici rapidamente variabili
• Le onde elettromagnetiche nel vuoto sono trasversali 12.
• I campi elettrici e magnetici sono perpendicolari fra loro ed entrambi sono perpendicolari alla direzione di propagazione.
y
E
x
z
c
B
λ
• Le onde elettromagnetiche nel vuoto si propagano con una velocità 13 c =
1
km
= 299. 792
.
s
µ0 ε 0
• Le onde elettromagnetiche sono distinte in base alla frequenza, ν, ed alla lunghezza d’onda 14 , λ . Esiste la relazione: λ·ν = c.
ESPERIMENTO DI HERTZ
Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), dopo dieci anni di continue ricerche, riuscì nel 1887 a confermare l’esistenza delle onde elettromagnetiche.
È noto che fra le armature di un conduttore vi è un campo elettrico. Ma tale
campo è limitato allo spazio fra le armature. Immaginiamo di divaricare sempre più le
armature come descritto nella fig. 6.
H. R. Hertz
Fig. 6
~
~
~
~
Si desume che lo spazio in cui esiste il campo elettrico aumenta al crescere della distanza fra le armature. Quando il condensatore è diventato completamente aperto siamo nelle condizioni di massima irradiazione nello spazio circostante. Se questo campo oscilla, ovvero la corrente è alternata 15, e le equazioni di Maxwell sono giuste, tale oscillazione si propagherà in tutto lo spazio.
Onde la cui oscillazione avviene in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione; in quelle longitudinali l’oscillazione è parallela alla direzione di propagazione e sono quindi onde di compressione: le onde elettromagnetiche potendosi
propagare nel vuoto non hanno nulla da poter comprimere quindi…
Si ricordi che le onde in generale non sono uno spostamento definitivo della materia da un punto precedentemente occupato ad un altro, ma costituiscono un trasporto di energia; sulla materia che attraversano provocano solo un’oscillazione.
13 Si usa universalmente c per indicare la velocità delle onde elettromagnetiche dalla lettera iniziale della parola latina celeritas.
14 Frequenza: numero di oscillazioni di B ed E in un secondo. Lunghezza d’onda: distanza fra due creste dell’onda.
15 Una carica possiede un campo elettrico, se questa carica accelera il suo campo elettrico varierà. Se questa carica è sottoposta a continue oscillazioni è pacifico che il suo campo elettrico varierà continuamente e quindi dovrà seguire la IV equazione di Maxwell. È proprio questo continuo “andirivieni” che genera le onde elettromagnetiche.
12
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A. Covello: campi elettromagnetici rapidamente variabili
Hertz costruì un apparato - oscillatore di Hertz, riprodotto in basso - che amplifica tale effetto:
A
L
a
b
L
B
•
•
•
•
P1
A e B sfere in ottone di 30 cm i cui centri distano 150 cm.
a e b sferette in ottone di 3 cm a distanza di pochi mm.
L aste metalliche spesse 5 mm.
P1 e P2 poli del secondario di un rocchetto di Ruhmkorff, R.
Il rocchetto di Ruhmkorff (fig. in basso) è un trasformatore.
Esso è composto da due circuiti in mutua induzione, un principale (ad es. connesso alla rete) ed un secondario che fornisce impulsi ad alta tensione.
P2
R
H. D. Ruhmkorff
(1803-1877)
Quando tale apparecchio si carica ad una tensione elevata scoccano scintille fra a e b. Secondo la
teoria di Maxwell l’alternarsi di positivo e negativo fra a e b (ovvero fra A e B) è comunicato allo spazio
circostante, come indicato nella fig. 6 e schematizzato in fig. 7 con le linee rosse poste a rappresentare il
campo elettrico e quelle blu il campo magnetico. Un apparato con le caratteristiche summenzionate avrebbe generato onde con una lunghezza d’onda λ di circa 3m (radioonde o onde hertziane).
A
B
Fig.7 Le frecce cambiano continuamente verso, sincronicamente col
segno di carica delle sfere A e B.
Se questa propagazione ondosa delle oscillazioni esiste dev’essere possibile rivelarla. Per far ciò
Hertz costruì un risonatore (fig. 8 nella pagina seguente). Ovvero un circuito capace di essere stimolato
dalle onde elettromagnetiche che lo irradiano. Il risonatore di Hertz è un conduttore di rame forgiato ad
anello aperto, ha una circonferenza di 150 cm con alle estremità due palline di qualche millimetro a distanza minore del millimetro.
7
A. Covello: campi elettromagnetici rapidamente variabili
L’apparato
sperimentale
di Hertz
conservato
presso il
Deutsches
Museum
München
Fig. 8 Risonatore di Hertz
Esplorando, col risonatore, lo spazio intorno all’oscillatore, fig. 9, Hertz osservò lo scoccare di
scintille fra le sferette del risonatore - contemporaneamente e con la stessa frequenza delle scintille fra a
e b - ed in particolare notò come l’intensità delle scintille del risonatore dipendesse dalla posizione e
dall’orientazione del risonatore. Proprio come ci si aspettava da una propagazione ondosa.
A
B
C
D
Fig. 9 Per come si combinano nello spazio il campo elettrico e magnetico, il risonatore nella disposizione A riprodurrà
una scintilla d’intensità massima, media in B e C non si osserverà in D.
Quindi - possiamo concludere - come le correnti elettriche sono energia elettrica che si propaga attraverso i conduttori così le radioonde sono energia elettrica che si diffonde nello spazio sotto forma di
onde elettromagnetiche.
B
A
D
C
Veduta d’assieme della strumentazione per l’esperienza di Hertz: A Risonatore,
B Oscillatore, C Rocchetto di Rumhkorff, D generatore di tensione continua.
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