Anno scolastico 2005-06
Istituto Statale “Sandro Pertini”
Esperienze capacitive
Gruppo di lavoro:
Angela Berto
Enrica Butini
Emma De Matteis
Maria Vittoria Giaume
Gabriella Sanguineti
Esperienze capacitive
Sommario
Sommario .................................................................................................................................1
Premesse...................................................................................................................................2
La teoria ...................................................................................................................................4
La pratica con il cronometro ....................................................................................................9
La pratica con un sistema di acquisizione on line..................................................................24
Una variante alle precedenti esperienze.................................................................................27
La carica e la scarica del condensatore in sequenza ..............................................................30
Una semplice analogia ...........................................................................................................37
Considerazioni energetiche in un circuito R-C ......................................................................39
Bibliografia e sitografia .........................................................................................................45
1
Esperienze capacitive
Premesse
Se si guarda indietro nella Storia della Fisica si scopre che lo studio di questa disciplina nasce
essenzialmente in risposta ad esigenze pratiche, dal bisogno di comprendere perché succedano le
cose, perché gli oggetti cadano, perché il cielo sia azzurro, perché il fuoco bruci, ecc. Nel tempo
questa disciplina ha, a tal punto, ampliato il suo ambito di studio da investire campi che, a prima
vista, nulla hanno in comune fra loro (si pensi, per esempio, alle applicazioni in Astrofisica, da un
lato, e in Fisica Medica, dall’altro), ma che si intrecciano sulla base di principi comuni, capaci di
offrire innumerevoli spunti di discussione e di approfondimento.
In corrispondenza all’ampliamento dei campi di interesse della Fisica, anche le funzioni educative
di questa disciplina hanno conosciuto una forte crescita e, attualmente, si esplicano in vari ambiti,
da quello più strettamente culturale a quello sociale e relazionale. Non è possibile descrivere in
poche righe tutte le funzioni educative della fisica, ma è bene richiamarne alcune legate all’utilizzo
del laboratorio.
Prima di tutto è importante stimolare nello studente la capacità di cogliere i collegamenti fra le leggi
o gli esperimenti che studia in classe e la realtà quotidiana di ogni giorno e, quindi, in senso molto
più generale, il nesso profondo fra scuola e vita. In effetti, non c’è argomento di Fisica classica che,
in una forma o nell’altra, non tocchi o non abbia toccato gli studenti da vicino, per esempio, quando
osservano il tramonto, quando guardano una sorgente di luce, quando ascoltano musica. La Fisica
permette loro di inserirsi meglio negli eventi di ogni giorno, arricchendo il piacere della
contemplazione estetica con quello della comprensione intellettuale.
Un compito fondamentale dell’insegnante è appunto quello di fare in modo che lo studente prenda
contatto concretamente con i problemi e i temi tipici della disciplina, per evitare il pericolo sempre
presente che una trattazione teorica sviluppata solo sui libri di testo perda, nella mente degli
studenti, il contatto col mondo reale che quella teoria cerca di interpretare. Gli studenti hanno
bisogno di sperimentare con gli oggetti del mondo di tutti i giorni. E’, quindi, molto importante
agevolare la costruzione di quello che Bruner chiamava “ponte fra scuola e vita”.
Il laboratorio di Fisica ha un ruolo fondamentale per lo sviluppo del connubio tra sapere e saper fare
in quanto, attraverso gli esperimenti, gli studenti imparano a concretizzare i principi teorici studiati.
Inoltre, l’utilizzo del laboratorio di Fisica aiuta la classe a costituirsi come gruppo perché promuove
la capacità di relazione fra gli studenti e stimola lo sviluppo di atteggiamenti di solidarietà, di
confronto e di collaborazione fra i membri dello stesso gruppo o fra un gruppo di lavoro e l’altro.
In laboratorio gli studenti imparano a riflettere criticamente su ciò che osservano, ad interpretare e a
problematizzare ciò che vedono, a dialogare e a discutere con gli altri, a mettersi in discussione
avanzando ipotesi, a confrontarsi con i compagni e con l’insegnante, ad accogliere o a respingere i
suggerimenti degli altri motivando di volta in volta le loro scelte, ad esporre con coraggio le loro
perplessità senza timore di essere presi in giro. Il laboratorio educa, quindi, all’ascolto e all’apertura
mentale, sviluppa la capacità di concentrarsi, di analizzare i problemi sotto più punti di vista;
insegna a prendere l’iniziativa, ad imparare a rischiare, ad imparare a fare a meno del docente e,
quindi, a lavorare in maniera autonoma. La realizzazione pratica degli esperimenti promuove negli
studenti la capacità di operare in maniera ordinata e precisa, prestando la dovuta attenzione ai
dettagli; l’interpretazione dei risultati sviluppa la capacità di ragionare e il senso logico; la
presentazione dell’esperienza ai compagni insegna ad utilizzare un linguaggio rigoroso.
In questo lavoro, sono descritte delle esperienze realizzate in laboratorio con l’utilizzo di
condensatori. Diversamente dagli esperimenti in corrente continua o in corrente alternata con
componenti solo resistivi, che sostanzialmente si riducono a banali applicazioni della legge di Ohm,
gli esperimenti con condensatori non sono sempre di semplice esecuzione.
Per esempio, nel caso dei processi di carica e scarica di un condensatore in un circuito R-C, se si
sceglie una coppia resistenza-capacità con una costante di tempo abbastanza lunga (alcuni secondi),
tale da poter essere agevolmente misurata leggendo manualmente la tensione durante il processo,
sorgono difficoltà o per il fatto che i condensatori di grande capacità (decine o centinaia di µF) sono
2
Esperienze capacitive
elettrolitici (e quindi sensibili al valore della tensione di polarizzazione e richiedono attenzione con
il segno della polarità), o per il fatto che valori troppo elevati della resistenza (centinaia di kΩ)
rendono non sempre trascurabile l’impedenza di ingresso del voltmetro utilizzato.
Se, invece, la costante di tempo è piccola, il processo di carica/scarica avviene assai rapidamente e
lo strumento che, tradizionalmente, si deve usare è l’oscilloscopio. Purtroppo, a meno di usare un
costoso oscilloscopio digitale, in questo modo non si possono analizzare i dati con comodità anche
in tempi successivi all’ esecuzione dell’esperimento.
Il sistema on line della “Pasco Scientific” risolve il problema: infatti, risulta particolarmente utile
proprio quando i fenomeni da analizzare sono rapidi, in quanto consente di acquisire dati a
frequenza di campionamento relativamente alta (qualche kHz) per brevi intervalli di tempo a partire
da un istante che può essere opportunamente scelto mediante l’uso di un trigger. Queste
caratteristiche possono semplificare la scelta dei componenti e dell’apparato sperimentale,
permettendo agli studenti un’analisi dei dati più attenta e rigorosa.
3
Esperienze capacitive
La teoria
Finché si considerano circuiti comprendenti un generatore di forza elettromotrice costante ed una o
più resistenze, l’intensità di corrente che percorre tali circuiti non muta nel tempo. Nel momento in
cui, però, si introduce anche la capacità come elemento di circuito, l’intensità di corrente diventa
variabile nel tempo.
Da un punto di vista qualitativo, si può osservare che, collegando le armature di un condensatore ai
poli di un generatore, si produce un movimento di cariche dal generatore verso le armature e,
quindi, anche una corrente variabile nel tempo, in quanto con il moto delle cariche si genera una
differenza di potenziale tra le armature che ostacola il successivo afflusso di cariche. Allorché il
condensatore è carico, escludendo il generatore, si genera una corrente in senso inverso in quanto le
cariche si spostano da una faccia all’altra del condensatore che si scarica, diminuendo così via via
la differenza di potenziale, finché le due facce si trovano allo stesso potenziale. A questo punto la
corrente cessa di fluire.
Prima di procedere a delle misure, il fatto che il condensatore sia in grado di immagazzinare carica
e, di conseguenza, energia può essere visto facilmente con la seguente breve esperienza, realizzabile
procurandosi una pila da 4,5 V, un condensatore elettrolitico da circa 1000 µF ed un led cui si
aggiunge in serie una resistenza da 100 Ω.
Ecco la descrizione dell’esperienza:
1) Il condensatore viene collegato alla pila, facendo attenzione alla polarità (il segno "+" del
condensatore deve corrispondere al segno "+" della pila); dopo pochi secondi il condensatore è
carico.
2) Il condensatore carico viene staccato dalla pila ed è collegato al led, facendo attenzione alla
giusta polarità dei terminali ed interponendo la resistenza da 100 Ω: per qualche istante il led si
illumina, come se lo si avesse collegato alla pila, spegnendosi gradualmente man mano che il
condensatore si scarica. La resistenza serve per far scorrere la corrente più lentamente durante la
scarica, altrimenti il led farebbe solo un rapido lampo di luce, rischiando anche di bruciarsi.
Usando condensatori di maggiore capacità, il led rimane acceso più a lungo.
Punto 1)
Punto 2)
Figura 1. Punto 1): il condensatore è caricato, collegandolo alla pila; punto 2): il condensatore carico fa
accendere il led, che si spegne gradualmente, man mano che il condensatore si scarica.
Fonte: http://digilander.libero.it/nick47/index.htm
Per un esame quantitativo delle proprietà del circuito suddetto è necessario distinguere, invece, tra
processo di carica e processo di scarica.
4
Esperienze capacitive
Figura 2. Portando il commutatore sulla posizione A, si ottiene il circuito relativo al processo di carica, mentre se
si porta il commutatore sulla posizione B, si ottiene quello relativo al processo di scarica.
a) Il processo di carica
Collegando un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, attraverso una resistenza R ai poli
di una batteria di accumulatori di forza elettromotrice f e resistenza interna Ri, la carica q sulle
armature, inizialmente nulla, tende a raggiungere il valore nominale fC con un certo ritardo, che
dipende dalla capacità del condensatore e dalla resistenza R del circuito. (La resistenza interna del
generatore Ri è supposta trascurabile).
L’equazione del circuito è data da
q
f − = Ri
C
dq
dove i =
.
dt
Per mezzo del calcolo integrale si trova che
dq
dt
=−
q − Cf
RC
q
t
dq
1
∫0 q − Cf = − RC ∫0 dt
q − Cf
t
)=−
− Cf
RC
Pertanto, la carica q sulle armature del condensatore è espressa in funzione del tempo dalla
relazione:
ln(
−
t
q = Cf (1 − e τ )
con τ = RC nota come costante di tempo.
Analogamente, la differenza di potenziale tra le armature aumenta dal valore iniziale zero al valore
nominale f secondo la formula
−
t
V = f (1 − e )
La misura della differenza di potenziale può essere eseguita per mezzo di un voltmetro inserito in
parallelo con il condensatore.
L’intensità di corrente, invece, è massima per t=0 e uguale a f/R, mentre, successivamente, tende ad
annullarsi; la relazione matematica è data da
t
f −
i= e τ
R
La sua misura può essere eseguita inserendo un milliamperometro in serie con il condensatore.
5
τ
Esperienze capacitive
Dalle relazioni precedenti segue che, per t tendente all’infinito, la carica sulle armature del
condensatore, la differenza di potenziale tra le armature e l’intensità di corrente hanno un
andamento esponenziale verso Cf, f e 0 rispettivamente. In pratica, però, dopo un tempo di alcuni τ
tutte le variazioni tendono ad annullarsi.
Figura 3. Curve attese ai capi del condensatore durante il processo di carica.
b) Il processo di scarica
Se, dopo aver caricato un condensatore per mezzo di un generatore, si disinserisce dal circuito il
generatore, il condensatore si scarica sulla resistenza R, dando origine per un intervallo di tempo la
cui durata dipende dai valori di R e C inseriti nel circuito, ad una corrente di intensità i variabile nel
tempo. Contemporaneamente la carica sulle armature e la differenza di potenziale tra le stesse
diminuiscono dai valori massimi iniziali, Cf ed f rispettivamente, a zero.
L’equazione del circuito è data da
q
= Ri
C
dq
dove i = − .
dt
Utilizzando il calcolo integrale come nel processo di carica, si trova che
dq
dt
=−
q
RC
q
t
1
dq
∫q q = − RC ∫0 dt con q0 = Cf
0
q
t
)=−
Cf
RC
Pertanto, la carica sulle armature del condensatore è espressa in funzione del tempo dalla relazione:
ln(
−
t
q = Cfe τ
con τ = RC; la differenza di potenziale tra le armature è data da:
V = fe
−
t
τ
mentre l’intensità di corrente è data da
t
f −
i= e τ
R
Ne segue che tutte e tre le grandezze q, V e i decrescono esponenzialmente col tempo. In pratica,
però, dopo un tempo di alcuni τ sono pressoché nulle.
È interessante notare che l’andamento dell’intensità di corrente in funzione del tempo, a parte il
verso che nel processo di scarica è opposto, è identico a quello per il processo di carica.
6
Esperienze capacitive
Figura 4. Curve attese ai capi del condensatore durante il processo di scarica.
Osservazione
¾ La carica e la scarica del condensatore avvengono in un tempo che può essere previsto e che
dipende dal valore (in Ohm) della resistenza in serie al condensatore e dal valore della
capacità (in Farad) del condensatore stesso.
Sperimentalmente è stato appurato che il tempo necessario affinché il condensatore si
carichi al 63% della tensione che gli viene applicata è uguale al risultato del prodotto della
resistenza per la capacità. Il risultato di tale prodotto viene chiamato "costante di tempo" e
viene indicato con la lettera greca τ (tau), e quindi:
τ=R*C
dove R è espresso in Ohm e C in Farad ed il risultato in secondi.
Sempre sperimentalmente è stato verificato che il condensatore può essere considerato
carico dopo un tempo T = (4 ÷ 5) τ perchè dopo il primo τ si carica del 63% della tensione
applicata e dopo ogni altra costante di tempo τ si carica sempre di un ulteriore 63%, ma
della differenza restante.
La carica rispetta, all'incirca, la seguente tabella:
Tabella 1
Tempo % di carica
1° τ
63 %
2° τ
86 %
3° τ
95 %
4° τ
97 %
5° τ
99 %
Dopo il quinto τ il condensatore si può considerare carico.
Per la scarica avviene il processo inverso: che dopo il primo τ il condensatore si scarica del
63 % e, quindi, ai suoi capi si ha una tensione pari al 37 % del valore della tensione a cui si
era caricato.
Dopo il quinto τ il processo di scarica si può considerare esaurito ed il condensatore può,
praticamente, considerarsi scarico.
La scarica rispetta, dunque, all’incirca la seguente tabella:
7
Esperienze capacitive
Tabella 2
Tempo % di scarica Vc in % rispetto al valore di carica
1° τ
63 %
37 %
2° τ
86 %
14 %
3° τ
95 %
5%
4° τ
97 %
3%
5° τ
99 %
1%
8
Esperienze capacitive
La pratica con il cronometro
Negli esperimenti che seguono, in laboratorio, è costruito il circuito di figura 2, attraverso il quale
avvengono i fenomeni di carica e di scarica del condensatore. Tali esperimenti richiedono i seguenti
prerequisiti:
• Prerequisiti disciplinari: circuiti in corrente continua; legge di Ohm; legge di Kirchoff;
elementi di base del calcolo integrale;
• Prerequisiti metodologici e operativi: lettura di grafici dell’evoluzione temporale di diverse
grandezze misurate, loro trasformazione in grafici di dispersione con scelta qualificata delle
variabili rappresentate, utilizzo del foglio elettronico, del software ScienceWorkshop e/o del
software DataStudio.
a) Obiettivi
• Verificare che la differenza di potenziale agli estremi di un condensatore, quando viene
collegato ad un generatore elettrico attraverso una resistenza, aumenta esponenzialmente
verso il valore della forza elettromotrice del generatore stesso.
• Verificare che nella scarica la differenza di potenziale tra le armature del condensatore si
porta a zero con andamento esponenziale.
• Verificare la diretta proporzionalità tra la capacità e la costante di tempo.
• Verificare che la costante di tempo, per la carica e la scarica, ha lo stesso valore.
Sono, inoltre, obiettivi formativi trasversali delle modalità proposte per una cultura scientifica di
base:
• l’analisi e la discussione dei grafici;
• la correlazione tra la forma tabulare e quella grafica di rappresentazione dei dati;
• la gestione di ipotesi per le misure e di informazioni sperimentali per un confronto con il
modello interpretativo.
b) Destinatari
L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli
del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico.
c) Tempi di esecuzione
• Per la preparazione: 20 min.
• Per l’esecuzione: 30 min.
• Per l’eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: 2h
d) Materiale occorrente
• resistenza elettrica dell’ordine di 200 KΩ;
• condensatore dell’ordine di qualche centinaio di microfarad;
• generatore di tensione continua da 10 V;
• interruttore;
• basetta per il circuito;
• fili elettrici per i collegamenti.
9
Esperienze capacitive
Figura 5. Da sinistra,un generatore di corrente, un condensatore elettrolitico, dei fili elettrici per i collegamenti,
una basetta (bread board).
Osservazioni
¾ L’interruttore può essere realizzato semplicemente con due fili che vanno messi a contatto,
purché il contatto sia stabile. Tutti i collegamenti fra i vari componenti devono essere fatti in
modo da non aprirsi accidentalmente nel corso della misura.
¾ La rapidità con cui un condensatore si carica e si scarica dipende, tra l’altro, dalla sua
capacità. Poiché è necessario che la carica avvenga lentamente per poterla studiare con
comodo, è opportuno usare un condensatore di capacità molto alta, realizzato mediante
deposizione di un isolante per via elettrolitica e, pertanto, con un polo negativo ed uno
positivo (altrimenti, dovrebbe avere dimensioni esagerate!). È assolutamente indispensabile
collegarlo in modo che il polo positivo sia a tensione maggiore del polo negativo, cioè dal
lato positivo della batteria. Bisogna fare la massima attenzione a non invertirne la polarità, a
scanso di inconvenienti spiacevoli.
Di un condensatore, infatti, oltre al valore della capacità (intesa come l'attitudine ad
immagazzinare energia elettrica) è importante conoscere anche la tensione di lavoro ( VL ).
La tensione di lavoro dipende dal tipo e dallo spessore del dielettrico e rappresenta il valore
di tensione massima a cui può essere sottoposto il condensatore per funzionare
correttamente. Se si supera la tensione di lavoro il dielettrico può forarsi determinando
perdite o cortocircuito tra le armature. Molto importante, poi, è il valore di tolleranza,
generalmente espressa in percentuale sul valore nominale della capacità.
Tra i condensatori fissi un posto di grande importanza è occupato dai condensatori
elettrolitici; essi sono condensatori che, rispetto agli altri, hanno un elevatissimo valore di
capacità per unità di volume. In questi condensatori le armature sono di alluminio o di
tantalio.
Su una delle armature, che poi dovrà essere sempre collegata al potenziale positivo, viene
provocata (per dissociazione elettrolitica) la formazione di uno strato di ossido isolante dello
stesso materiale e che, quindi, si comporterà come dielettrico.
Tra l'armatura positiva (anodo) e l'armatura negativa (catodo) viene interposto un elettrolita
molto denso con il compito di assicurare la permanenza dello strato di ossido sull'armatura
positiva.
I condensatori elettrolitici sono polarizzati e, quindi, possono essere usati solo in corrente
continua facendo attenzione a rispettare sempre la polarità che è indicata sul condensatore
stesso.
Se un condensatore elettrolitico viene collegato al circuito con le polarità invertite può
esplodere e rappresentare, quindi, un pericolo. E' necessario, pertanto, fare sempre molta
attenzione nel collegare i condensatori elettrolitici.
10
Esperienze capacitive
¾ La basetta (bread board) contiene molte strisce metalliche nel supporto di plastica che
connettono i buchi (sockets) in cui possono essere inseriti i componenti. Le connessioni tra
due componenti si ottengono connettendo due piedini alla stessa striscia metallica (stessa
riga o colonna di buchi nella matrice). Due strisce (in genere quella superiore e quella
inferiore) si possono connettere all’alimentatore.
¾ La figura 6 mette in evidenza come leggere i valori di una resistenza o di un condensatore.
Resistenza
Codice dei colori per le
resistenze
Codice di lettura per i
condensatori
Figura 6. Una resistenza, il codice dei colori per le resistenze e il codice di lettura dei valori dei condensatori.
c) Strumenti di misura
• cronometro (sensibilità di 1/1000 s);
• voltmetro con resistenza interna molto elevata.
Osservazione
¾ Un voltmetro contiene un circuito con una certa resistenza elettrica, attraverso cui fluisce
corrente quando viene collegato alla tensione che si vuole misurare. È bene tenere presente,
quindi, che la sua presenza in un circuito altera le caratteristiche del circuito, e, per questo,
va usato con precauzione.
d) Esecuzione
É stato realizzato un circuito come in figura 7.
Figura 7. Un voltmetro è posto in parallelo con il condensatore al fine di misurare la differenza di potenziale.
11
Esperienze capacitive
Collegando inizialmente il commutatore con A, il condensatore è caricato da un generatore di
corrente continua attraverso una resistenza. Utilizzando valori adeguati per il condensatore e per la
resistenza, la carica avviene molto lentamente ed è possibile determinare il grafico della differenza
di potenziale ai capi del condensatore in funzione del tempo. L’interruttore inserito ha la funzione
di collegare durante la carica (o scollegare durante la scarica) il condensatore al generatore di
corrente.
Per l’esecuzione della prova si è usato un condensatore di capacità teorica C = 470 µF (errore
percentuale del 30%) e una resistenza R = 220 KΩ (errore percentuale dell’ 1%); la forza
elettromotrice del generatore di corrente era al massimo di 10 V. Prima di alimentare il circuito si
sono collegati tra loro i capi del condensatore mediante un filo per eliminare eventuali cariche
residue. Si è fatta anche attenzione a collegare il condensatore secondo le polarità indicate su di
esso.
Nel momento in cui è stato chiuso il circuito, si è fatto scattare contemporaneamente il cronometro.
A intervalli regolari, di 10 secondi, l’operatore che seguiva il contasecondi avvisava colui che
seguiva il voltmetro, il quale prontamente leggeva il valore sulla scala dello strumento; un terzo
operatore aveva il compito di trascrivere le letture.
La prova realizzata ha, dunque, un carattere indicativo, senza pretese di eccessiva precisione, in
quanto le letture effettuate sugli strumenti di misura sono state piuttosto approssimate, dato che
sono state effettuate a vista, cioè senza l'uso di strumenti registratori e mentre i valori cambiavano.
È stata così compilata la seguente tabella di dati:
Tabella 3
Tempo (s)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
Potenziale (V)
0,092
0,896
1,658
2,279
2,867
3,470
3,870
4,240
4,660
5,030
5,340
5,630
5,900
6,150
6,350
6,560
6,770
6,950
7,150
7,310
7,460
7,600
7,730
7,850
7,970
12
Esperienze capacitive
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
8,080
8,170
8,270
8,350
8,430
8,510
8,580
8,650
8,710
8,770
8,820
8,870
8,850
8,810
8,790
8,800
8,820
8,830
8,840
8,860
8,890
Figura 8. Il circuito realizzato in laboratorio.
Riportando i dati sugli assi cartesiani si è ottenuto il grafico di figura 9 relativo alla differenza di
potenziale ai capi del condensatore in funzione del tempo:
13
Esperienze capacitive
10,000
9,000
8,000
Differenza di potenziale (V)
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo (s)
Figura 9. Il grafico della differenza di potenziale in funzione del tempo durante la carica del condensatore.
(Realizzazione con Microsoft Excel).
Il grafico mette in evidenza che la differenza di potenziale ai capi del condensatore, inizialmente
nulla, cresce dapprima molto rapidamente per aumentare, poi, con molta lentezza. Il valore
massimo raggiunto è appena inferiore a 9V: pertanto, dal momento che il generatore ha erogato una
tensione di 10 V, c’è stata dispersione dovuta alla resistenza interna del generatore e, soprattutto,
all’inserimento del voltmetro.
Teoricamente il processo avrebbe potuto durare un tempo infinito, ma la lettura dei dati è stata
cessata quando questi hanno terminato di variare sensibilmente. Conducendo, a partire dall’asse
delle ordinate, la retta tangente al grafico fino ad incontrare la retta di equazione V = f (ossia
V=10) come in figura 10, è interessante confrontare il valore del tempo τ così individuato sull’asse
dei tempi con la quantità RC.
La pendenza della tangente alla curva calcolata nell’origine è data da
dVC (t )
f
=
.
dt t =0 RC
Pertanto, l’equazione della retta tangente è data da
f
V =
t.
RC
Nel caso in cui V = f, si ottiene che t = RC.
14
Esperienze capacitive
10,000
9,000
8,000
Differenza di potenziale (V)
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo (s)
Figura 10. La tangente alla curva V = V(t) nell’origine. (Realizzazione con Microsoft Excel).
Dal punto di vista teorico, essendo
C = 470 µF (errore percentuale del 30%)
R = 220 KΩ (errore percentuale dell’1%)
si trova
τ = RC = (220 KΩ * 470 µF) = 103,4 s con errore percentuale del 31%.
Dal punto di vista reale, si può leggere approssimativamente sul grafico che τ = 125 s: tale valore
discosta da quello trovato per via teorica del 20,9%.
Si può osservare, inoltre, che dopo un tempo inferiore a 5τ tutte le variazioni tendono ad annullarsi.
Con l’ausilio del foglio elettronico, si può notare che la curva che interpola meglio i dati trovati ha
equazione:
−
t
103, 4
V = 9,87(1 − e
verificando, così, l’andamento esponenziale della curva.
15
)
Esperienze capacitive
10,000
9,000
8,000
Differenza di potenziale (V)
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo (s)
Curva reale
Curva di tendenza
Figura 11. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con Microsoft Excel).
Figura 12. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con DataStudio).
16
Esperienze capacitive
Figura 13. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva teorica. (Realizzazione con DataStudio).
L’esperienza è stata ripetuta introducendo un condensatore in parallelo al precedente in modo da
raddoppiare la capacità. Si è ottenuta la seguente tabella 2:
Tabella 4
Tempo (s)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
Potenziale (V)
0,000
0,804
1,608
2,412
3,216
4,020
4,824
5,628
6,432
7,236
8,040
8,844
9,648
10,452
11,256
12,060
12,864
17
Esperienze capacitive
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
13,668
14,472
15,276
16,080
16,884
17,688
18,492
19,296
20,100
20,904
21,708
22,512
23,316
24,120
24,924
25,728
26,532
27,336
28,140
28,944
29,748
30,552
31,356
32,160
32,964
33,768
34,572
35,376
36,180
Riportando i dati su un grafico si è potuto confrontare i risultati ottenuti con quelli precedenti:
18
Esperienze capacitive
10,000
9,000
8,000
Differenza di potenziale (V)
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo (s)
Figura 14. Confronto delle curve e relative tangenti ottenute con condensatori di capacità l’uno il doppio
dell’altro. (Realizzazione con Microsoft Excel).
Il confronto mette in evidenza che, al raddoppiare della capacità, anche il tempo τ raddoppia;
infatti, sul grafico si legge approssimativamente τ = 250 s.
Si è montato, quindi, il circuito come in figura 7, con il commutatore collegato in B e il
condensatore carico. La grandissima resistenza del voltmetro ha fatto sì che il condensatore si
scaricasse lentamente. È stata compilata una tabella tensione tempo in cui si sono raccolti i valori di
V ai capi del condensatore, rilevati sul voltmetro, ogni 10 s durante la scarica:
Tabella 5
Tempo (s) Potenziale (V)
0
8,798
10
7,994
20
7,232
30
6,611
40
6,023
50
5,420
60
5,020
70
4,650
80
4,230
90
3,860
100
3,550
110
3,260
120
2,990
130
2,740
140
2,540
150
2,330
19
Esperienze capacitive
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
2,120
1,940
1,740
1,580
1,430
1,290
1,160
1,040
0,920
0,810
0,720
0,620
0,540
0,460
0,380
0,310
0,240
0,180
0,120
0,070
0,020
0,040
0,080
0,100
0,090
0,070
0,060
0,050
0,030
0,000
È stato costruito il grafico V = f(t) e si è giudicato, con l’ausilio del foglio elettronico, quale
potesse essere la funzione matematica che lo rappresentava meglio.
Si può valutare graficamente la costante di tempo del circuito τ = RC che rappresenta
approssimativamente il tempo di scarica del condensatore, misurando il segmento staccato sull’asse
dei tempi dalla tangente al grafico nel punto iniziale sull’asse V.
Dal grafico si legge approssimativamente che τ = 110 s, con errore percentuale del 6,4%.
20
Esperienze capacitive
10,000
9,000
8,000
Differenza di potenziale (V)
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-1,000
Tempo (s)
Figura 15. Il grafico relativo alla scarica e la tangente al grafico nel punto iniziale. (Realizzazione con Microsoft
Excel).
Con l’ausilio del foglio elettronico si trova pure che, nella scarica del condensatore, l’equazione
della curva V = V(t) che interpola meglio i valori trovati è data da
V = 8,798e
−
t
110
10,000
9,000
8,000
Differenza di potenziale (V)
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo (s)
Curva reale
Curva di tendenza
Figura 16. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con Microsoft Excel).
21
Esperienze capacitive
Figura 17. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con DataStudio).
Figura 18. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva teorica. (Realizzazione con DataStudio).
22
Esperienze capacitive
10,000
9,000
8,000
Differenza di potenziale (V)
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-1,000
Tempo (s)
Figura 19. Confronto tra il processo di carica e quello di scarica di un condensatore. (Realizzazione con
Microsoft Excel).
Osservazioni conclusive
¾ Collegando un condensatore ad una sorgente di tensione, le sue armature si caricano
attraverso un impulso di tensione.
¾ La carica si conserva anche dopo l’esclusione della tensione V del generatore.
¾ Stabilendo un collegamento fra le armature di un condensatore, ha luogo la scarica che porta
ad una compensazione delle cariche sulle armature attraverso la resistenza del circuito
(resistenza del voltmetro) e ad una diminuzione progressiva di tensione fra le armature del
condensatore. L’impulso di tensione di carica è una funzione crescente del tempo, quella di
scarica è una funzione decrescente.
¾ Confrontando i risultati raggiunti per la carica e per la scarica del condensatore, si osserva
che i dati ottenuti non sono del tutto soddisfacenti. Infatti, l’esperienza è stata realizzata con
notevole approssimazione e con un margine di errore decisamente troppo elevato. Per
ovviare a questi inconvenienti, l’esperienza è stata ripetuta usando una strumentazione on
line.
23
Esperienze capacitive
La pratica con un sistema di acquisizione on line
L’analisi di un fenomeno transitorio, quale quello della carica/scarica di un condensatore, è
effettuata più facilmente con un sistema di misura on line piuttosto che con metodi tradizionali. Tale
sistema, infatti, permette di acquisire i dati rapidamente e accuratamente, offre la possibilità di
registrarli in formato duplicabile e trasferibile, consente di rappresentarli graficamente in modo
immediato e dà facoltà di poterli poi manipolare con semplicità. Per questo motivo l’esperienza è
stata realizzata con il sistema on line della ditta “Pasco Scientific” che non richiede particolari
abilità sperimentali.
Gli esperimenti richiedono, oltre ai requisiti elencati in precedenza, di saper utilizzare il sistema di
acquisizione per misure on line precedentemente citato e il software allegato ScienceWorkshop.
a) Obiettivi
• Usare il sensore di tensione per misurare la differenza di potenziale ai capi di un
condensatore durante il processo di carica e quello di scarica;
• Calcolare la capacità del condensatore;
• Confrontare la misura di capacità trovata con quella teorica.
b) Destinatari
L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli
del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico.
c) Tempi di esecuzione
• Per la preparazione: 20 min.
• Per l’esecuzione: 30 min.
• Per l’eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: 1h
d) Materiale occorrente
• Sonda di tensione;
• Sensore di tensione – corrente;
• Interruttore;
• Basetta per componenti;
• Resistenza;
• Condensatore elettrolitico;
• Cavetti per le connessioni;
• Alimentatore;
• Interfaccia;
• Computer;
• Software ScienceWorkshop;
• Stampante.
e) Esecuzione
L'apparato sperimentale si monta in questo modo:
• si realizza il circuito di figura 20: è usata una resistenza nominale di 100 Ω e un
condensatore di capacità nominale di 330 µF, al 20 % di accuratezza ;
24
Esperienze capacitive
Figura 20. Il circuito per lo studio del processo di carica del condensatore
•
si connette l’interfaccia Pasco 750 al computer attraverso dei connettori a banana;
Figura 21. L’interfaccia Pasco 750
•
•
si connette il sensore di tensione ad un canale analogico dell’interfaccia e alle estremità del
condensatore;
si attiva il software ScienceWorkshop per preparare il computer a ricevere i dati,
selezionando un range di valori per la tensione e per il tempo di durata dell'esperimento.
Osservazioni
¾ È molto importante la calibrazione dei componenti. In particolare, per quanto riguarda il
condensatore, sono applicabili al massimo 5 V con onda quadra solo positiva.
¾ Il sensore di tensione è costituito da due cavi elettrici, lunghi circa 1 m, uno rosso e uno
nero. Ogni cavetto monta ad un capo un connettore a banana da 4 mm, mentre l’altro capo
termina in un connettore DIN, comune ad entrambi. Bisogna fare attenzione a non inserire
assolutamente i terminali del sensore in una presa di rete (220 V) in quanto il sensore non
deve misurare differenze di potenziale maggiori di 10 V. Qualche Volt in più potrebbe
danneggiare l’interfaccia.
A questo punto:
• si imposta il generatore di segnale in modo che ci sia in uscita una tensione di 4 V con onda
quadra solo positiva e frequenza di 0,40 Hz;
25
Esperienze capacitive
•
•
si fa partire la rilevazione dei dati, che si fa fermare automaticamente dopo 4s;
si osserva il grafico che appare sullo schermo del computer.
Il grafico ottenuto immediatamente consente numerosi quesiti, ai quali possono essere fornite
risposte date in modi assai diversi tra loro. Innanzitutto, è sicuramente opportuno osservare che
l’esperienza è stata effettuata con meno approssimazione rispetto a quella eseguita con il
cronometro, per cui gli errori sperimentali sono sicuramente inferiori.
Si può provare, pertanto, a calcolare la capacità del condensatore e a confrontare il valore trovato
con quello teorico.
Un modo per calcolare la capacità del condensatore può essere quello di utilizzare il tempo che la
tensione ai capi del condensatore impiega per raggiungere la metà del suo valore finale.
Infatti, dalla relazione teorica
−
t
V = V0 (1 − e )
V
si ricava, con semplici calcoli, che per V = 0 ,
2
t 1 = τ ln 2 = RC ln 2 = 0,693RC
τ
2
t1
Pertanto, C =
2
.
0,693R
Leggendo sul grafico che t 1 = 0,0269s , si ottiene che la capacità reale è
2
C=388 µF
con un errore percentuale del 17,5%.
Figura 22. Lo studio della carica del condensatore col software DataStudio.
26
Esperienze capacitive
Una variante alle precedenti esperienze
Negli esperimenti precedentemente descritti, si è posto l’accento sulla differenza di potenziale ai
capi di un condensatore durante i processi di carica e scarica. Una variante potrebbe essere data
dall’osservazione del comportamento dell’intensità di corrente in un circuito R-C. In tal caso, è
necessario un microamperometro inserito in serie con il condensatore.
a) Obiettivi
• Visualizzare l’andamento grafico della corrente durante il processo di scarica di un
condensatore;
• Determinare la quantità di carica elettrica ceduta dal condensatore nella fase di scarica.
b) Destinatari
L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli
del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico.
c) Tempi di esecuzione
• Per la preparazione: 20 min.
• Per l’esecuzione: 30 min.
• Per l’eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: 1h
d) Materiale occorrente
• Sonda di corrente elettrica;
• Sensore di corrente;
• Interruttore;
• Basetta per componenti;
• Resistenza;
• Condensatore elettrolitico;
• Cavetti per le connessioni;
• Alimentatore;
• Interfaccia;
• Computer;
• Software ScienceWorkshop;
• Stampante.
e) Traccia dell’esecuzione
Supponendo di prendere in considerazione la scarica, l’intensità della corrente cala rapidamente, per
cui è necessario leggere lo strumento ad intervalli di tempo molto brevi; questo può creare problemi
nella lettura, per cui è preferibile collegarsi on line con l’elaboratore per la raccolta dei dati.
Con i dati raccolti in una tabella del tipo
Tempo (s) Intensità di corrente (µA)
si può costruire il grafico dell’intensità della corrente in funzione del tempo, che è una curva
decrescente con andamento esponenziale. Anche in questo caso, tracciando la tangente alla curva
nel punto iniziale i0 , si può dimostrare, con calcoli analoghi a quelli visti in precedenza, che tale
retta incontra l’asse dei tempi in t = τ = RC.
27
Esperienze capacitive
Nel caso in cui il valore di τ trovato sperimentalmente sia soddisfacente e nota R, si può provare a
calcolare il valore della capacità del condensatore.
Una grandezza interessante è la quantità di carica elettrica che si trova sul condensatore all’inizio
della scarica. Le intensità di corrente che l’amperometro misura durante la scarica sono dovute al
flusso di cariche elettriche che lasciano gradualmente il condensatore. Per calcolare la carica totale
si può pensare di utilizzare la definizione di intensità di corrente:
q = i *t
dove t è il tempo di scarica. Però, l’equazione è valida solo se l’intensità di corrente i è costante
durante il tempo t.
Nel nostro caso, invece, l’intensità di corrente decresce rapidamente, ma si possono trovare
intervalli di tempo sufficientemente piccoli per considerare la corrente costante.
Si può, quindi, suddividere il tempo di scarica in piccoli intervalli e, con l’aiuto del foglio
elettronico, calcolare in ogni intervallo il valore medio dell’intensità di corrente.
Con il metodo di integrazione grafica si può così calcolare l’area compresa tra la curva e l’asse dei
tempi al fine di conoscere la quantità di carica ceduta (e quindi precedentemente acquisita) dal
condensatore.
Figura 23. La suddivisione in intervalli del tempo di scarica
Tabella 6
t (s)
0,0
1,7
2,7
3,5
4,9
6,2
7,0
8,3
9,8
12,0
13,1
i (A)
5,00E-04
4,70E-04
4,50E-04
4,30E-04
4,00E-04
3,70E-04
3,50E-04
3,30E-04
3,00E-04
2,70E-04
2,50E-04
Valore medio di i
(A)
∆t
(s)
i*∆t
(Coulomb)
4,85E-04
4,60E-04
4,40E-04
4,15E-04
3,85E-04
3,60E-04
3,40E-04
3,15E-04
2,85E-04
2,60E-04
1,7
1,0
0,8
1,4
1,3
0,8
1,3
1,5
2,2
1,1
0,000825
0,000460
0,000352
0,000581
0,000501
0,000288
0,000442
0,000473
0,000627
0,000286
28
Esperienze capacitive
14,9
17,2
20,7
23,0
25,9
31,1
32,9
35,5
37,8
40,9
44,3
47,8
53,6
61,6
77,9
2,30E-04
2,00E-04
1,70E-04
1,50E-04
1,30E-04
1,00E-04
9,00E-05
8,00E-05
7,00E-05
6,00E-05
5,00E-05
4,00E-05
3,00E-05
2,00E-05
1,00E-05
2,40E-04
2,15E-04
1,85E-04
1,60E-04
1,40E-04
1,15E-04
9,50E-05
8,50E-05
7,50E-05
6,50E-05
5,50E-05
4,50E-05
3,50E-05
2,50E-05
1,50E-05
1,8
2,3
3,5
2,3
2,9
5,2
1,8
2,6
2,3
3,1
3,4
3,5
5,8
8,0
16,3
Area =
0,000432
0,000495
0,000648
0,000368
0,000406
0,000598
0,000171
0,000221
0,000173
0,000202
0,000187
0,000158
0,000203
0,000200
0,000245
0,009538
Osservazioni
¾ In corrispondenza dell’ultimo t, l’intensità di corrente non è nulla: pertanto, la quantità di
carica calcolata non è esattamente tutta la carica che si trovava sul condensatore all’inizio
della scarica. In tale istante, dunque, c’è ancora una piccola quantità di carica che fluisce nel
circuito, dando però luogo ad una corrente più piccola della sensibilità dello strumento usato
e quindi non rilevabile da questo strumento.
¾ La quantità di carica è rappresentata nella figura 23 dall’area di tutti i rettangoli evidenziati
e può essere considerata una buona approssimazione dell’area sotto la curva. Tale
approssimazione è tanto migliore quanto più piccoli sono gli intervalli di tempo, quindi è
bene non considerare intervalli di tempo troppo lunghi.
¾ Il software DataStudio è in grado di calcolare immediatamente l’area sotto la curva
dell’intensità di corrente (figura 24).
Figura 24. La quantità di carica calcolata come area sotto la curva dell’ intensità di corrente nel processo di
scarica. (Realizzazione col software DataStudio).
29
Esperienze capacitive
La carica e la scarica del condensatore in sequenza
Si consideri il circuito di figura 2. A seconda della posizione del deviatore, il circuito si carica o si
scarica attraverso la resistenza. Pertanto, si supponga di agire in rapida successione sul deviatore,
generando una sequenza di cariche e scariche alternate, ciascuna di durata TM. La forma che
assumono i grafici di Q in funzione del tempo dipende dal valore di TM in rapporto alla costante di
tempo τ = RC. È, quindi, interessante esaminare le diverse forme dei grafici ottenibili variando
opportunamente i dati in ingresso.
Si supponga che TM sia dello stesso ordine di grandezza di τ. Il condensatore inizia la carica, ma,
prima che Q si sia sensibilmente avvicinato al valore Qlim, lo scatto del deviatore fa iniziare la
scarica. Questa parte dal valore di Q appena raggiunto (punto B in figura 25) e tende a Qlim= 0;
anche questo valore, però, non viene raggiunto perché un nuovo scatto del deviatore fa riprendere la
carica che, a sua volta, inizia dal nuovo valore di Q (punto C in figura 25).
Figura 25. La carica e la scarica in sequenza.
Utilizzando circuiti R-C si può osservare quel fenomeno che in elettronica è noto come
“generazione di onde quadre e di onde triangolari”.
Infatti, se il tempo TM è molto maggiore della costante di tempo RC, il condensatore ha modo di
caricarsi fino a Qlim, rimanendo a tale valore fino allo scatto del deviatore; in quell’istante,
comincia a scaricarsi e, poiché TM è elevato, ha modo di raggiungere Q = 0 e rimanere a tale valore
fino al nuovo scatto del deviatore, quando torna a caricarsi. La successione di cariche e scariche ha
l’aspetto di un’onda quadra, come è mostrato in figura 26.
Se, invece, il tempo TM è sensibilmente più piccolo della costante di tempo RC, il condensatore ha
appena il tempo di iniziare la carica che lo scatto del deviatore impone la scarica; d’altra parte,
neppure la scarica può essere portata a termine perché lo spostamento del deviatore produce una
nuova carica. Il grafico di Q in funzione del tempo assume l’aspetto di figura 27 che mostra come,
dopo una breve fase transitoria, si generi un’onda triangolare. I segmenti che la compongono
rappresentano la parte iniziale delle curve di carica e di scarica del condensatore.
30
Esperienze capacitive
Figura 26. Carica e scarica del condensatore con TM>>RC.
Figura 27. Carica e scarica del condensatore con TM<RC.
Esercitazione
¾ Obiettivi
• Rilevare il comportamento di un circuito R-C quando viene alimentato da un segnale ad
onda quadra con frequenza variabile, in modo da visualizzare, utilizzando l'oscilloscopio,
31
Esperienze capacitive
•
l'andamento della carica e della scarica in riferimento al semiperiodo del segnale applicato
all'ingresso.
Verificare, in particolare, che il condensatore si carica completamente durante la semionda
positiva del segnale di ingresso e si scarica completamente durante la semionda successiva
solo se si verifica la condizione che la frequenza del segnale d'ingresso sia f <= 1/ (10 τ),
mentre, se la frequenza è superiore a tale limite, sia la carica sia la scarica sono incomplete.
¾ Destinatari
L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli
del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico.
¾ Tempi di esecuzione
• Per la preparazione: 20 min.
• Per l’esecuzione: 40 min.
• Per l’eventuale elaborazione dei dati col software DataStudio: 1h
¾ Materiale occorrente
• Sonda di tensione;
• Sensore di tensione – corrente;
• Interruttore;
• Basetta per componenti;
• Resistenze;
• Condensatori elettrolitici;
• Cavetti per le connessioni;
• Alimentatore;
• Oscilloscopio;
• Interfaccia;
• Computer;
• Software ScienceWorkshop;
• Stampante.
Figura 28. Schema di un oscilloscopio
32
Esperienze capacitive
Osservazione
¾ La figura soprastante riproduce lo schema di massima di un oscilloscopio. Solitamente il campo
elettrico delle placche disposte verticalmente è pilotato da un apposito circuito che determina lo
spostamento sul piano orizzontale del fascio elettronico con velocità costante. Al termine del
suo spostamento il circuito azzera il valore del campo elettrico in un tempo brevissimo; il fascio
elettronico torna, allora, al suo punto di partenza, pronto per ricominciare lo spostamento
orizzontale sotto l’azione del campo elettrico nuovamente attivato dal circuito. Questo
movimento del fascio viene pilotato da una differenza di potenziale tra le placche verticali.
L’intervallo di tempo ∆T nel quale la tensione tra le placche si azzera dipende dal tipo di
oscilloscopio e solitamente è uguale all’1% dell’inverso della banda passante dello strumento. Il
tempo T può essere regolato a piacere, entro certi limiti, e definisce il valore della base dei
tempi dell’oscilloscopio. Inviando un segnale di tensione variabile sulle placche orizzontali, si
produce un moto secondo la direzione verticale che va a sovrapporsi a quello precedentemente
descritto.
¾ Esecuzione
Per la prova sono stati scelti valori di R e C in modo da avere τ = R*C = 0,1 ms e, quindi, avere
frequenza limite di 1 KHz <= 1/ (10τ). Pertanto, sono stati effettuati i rilievi utilizzando, per il
segnale di ingresso, rispettivamente le frequenze di 0,5 KHz, 1 KHz, 2 KHz e 5 KHz.
Il circuito di misura utilizzato è quello rappresentato nella figura che segue:
Figura 29. La figura mette in evidenza l’inserimento del generatore di funzioni (a sinistra) e dell’oscilloscopio (a
destra) nel circuito.
Il circuito è stato realizzato su una bread-board. È stato applicato all'ingresso un segnale ad onda
quadra del valore di 20 Vpp e, siccome il condensatore ha iniziato a caricarsi dal valore max
negativo, detto valore è stato considerato come valore iniziale 0 V della carica del condensatore. Il
condensatore ha, quindi, potuto caricarsi al valore massimo di 20 V.
Si sono effettuate le quattro prove previste e per ognuna di essa il Generatore di Funzioni è stato
regolato in modo da dare rispettivamente le frequenze di 0,5 KHz, 1 KHz, 2 KHz, 5 KHz.
Sono state regolate le scale di lettura dell'oscilloscopio e, per ognuna delle prove, sono stati rilevati
la tensione d'ingresso massima ( VM ), il valore iniziale V0 ed il valore finale Vf della tensione di
uscita.
33
Esperienze capacitive
I valori ricavati sono stati riportati in una tabella come quella che segue:
Tabella 7
Prove f (KHz) T/2 (ms) τ(ms) VM (V) V0 (V) Vf (V)
1
0,5
1
0,1
20
0
20
2
1
0,5
0,1
20
0
20
3
2
0,25
0,1
20
~ 1,5 ~ 18,5
4
5
0,1
0,1
20
~ 4,5 ~ 15,5
Per ognuna delle misure effettuate, l’oscilloscopio ha permesso di visualizzare dei segnali così
come nelle figure successive.
1. Analisi dei risultati della prima misura (f = 0,5 khz
T/2 = 1 ms)
Dall'analisi dei segnali della prima prova ed i cui valori sono riportati nella tabella, emerge che,
essendo la frequenza di ingresso di 0,5 KHz e quindi inferiore a quella limite, la durata del
semiperiodo T/2, pari a 10 τ , è tale da consentire la carica e la scarica completa del condensatore;
la tensione che si ha in uscita è una sequenza di esponenziali completi, con valore iniziale
nullo ( 0 V ) e valore finale 20 V, pari a quello della tensione di ingresso.
Figura 30. Grafico relativo alla prima misura (f = 0,5 khz
2. Analisi dei risultati della seconda misura (f = 1 KHz
T/2 = 1 ms)
T/2 = 0,5 ms)
In questo caso la frequenza del segnale di ingresso è quella limite, con T/2 = 5 τ , il condensatore si
carica e si scarica completamente ma, a differenza della prima prova, non vi è più il periodo di
tempo finale in cui la tensione d'uscita rimane praticamente costante per ogni ciclo.
34
Esperienze capacitive
Figura 31. Grafico relativo alla seconda misura (f = 1 khz
T/2 = 0,5 ms)
3. Analisi dei risultati della terza misura (f = 2 KHz T/2 = 0,25 ms)
In questo caso, essendo la frequenza del segnale ad onda quadra d'ingresso inferiore a quella limite
e avendosi T/2 = 2,5 τ , la durata del semiperiodo non è tale da consentire la carica e la scarica
completa del condensatore; la tensione d'uscita è una sequenza di curve esponenziali non a regime,
con valore iniziale di circa 1,5 V e valore finale di circa 18,5 V inferiore quindi a quella della
tensione d'ingresso.
Figura 32. Grafico relativo alla terza misura (f = 2 khz
T/2 = 0,25 ms)
4. Analisi dei risultati della terza misura (f = 5 KHz T/2 = 0,1 ms)
In questo ultimo caso l'andamento della tensione d'uscita è simile a quello della terza prova; essendo
però minore la durata del semiperiodo ( T/2 = τ ) , è ancora più evidente il fatto che gli esponenziali
non sono a regime e quindi, per ogni ciclo, la tensione d'uscita parte da un valore maggiore (circa
4,5 V) e arriva ad un valore minore ( circa 15,5 V ), rispetto all'andamento della prova 3.
Figura 33. Grafico relativo alla quarta misura (f = 5 khz
35
T/2 = 0,1 ms)
Esperienze capacitive
Osservazione
¾ Questa esperienza può, ovviamente, essere effettuata cambiando i valori dei
componenti R e C in modo da avere una costante di tempo diversa, come pure
può essere cambiata l'ampiezza del segnale d'ingresso.
Figura 34. I quattro grafici sovrapposti permettono di confrontare la scarica di un condensatore, tenendo fissata
la capacità, ma variando la resistenza.
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Esperienze capacitive
Una semplice analogia
Esiste una semplice analogia fra il circuito R-C ed il sistema meccanico mostrato nella figura
sottostante, il quale è una versione semplificata di un meccanismo per la chiusura automatica delle
porte.
Figura 35. Il meccanismo di chiusura automatica delle porte.
Il pistone è forato e l’olio è costretto a passare attraverso i fori quando il pistone si muove.
Di conseguenza, si ha una forza resistiva, dipendente dalla velocità, a causa della viscosità dell’olio.
Per velocità abbastanza piccole questa forza è proporzionale alla velocità e può venir espressa come
F = -bv, dove b è una costante di proporzionalità e il segno negativo indica che la forza è sempre
opposta al moto.
Anche la molla esercita una forza sul pistone in movimento. Quando la molla viene spostata di una
quantità x dalla sua posizione di equilibrio, essa esercita una forza F = -kx, dove k è la costante
elastica della molla. La somma di queste due forze, che agiscono sul pistone, deve essere uguale
alla massa del pistone per la sua accelerazione, in accordo con la seconda legge di Newton. Se la
massa è trascurabile, la somma delle due forze è uguale a zero, e si ha
− kx − bv = 0
oppure
dx
k
= − x.
dt
b
Questa equazione differenziale ha esattamente la stessa forma dell’equazione per la carica del
condensatore. Lo spostamento x corrisponde alla carica q, la velocità v alla corrente i. Esistono
relazioni simili anche fra i parametri delle componenti corrispondenti dei due sistemi: la costante di
smorzamento b corrisponde alla resistenza R e la costante elastica k della molla all’inverso della
capacità C.
Questa analisi mostra immediatamente che quando si sposta il dispositivo automatico di chiusura
dalla sua posizione di equilibrio di una quantità x0, esso tende all’equilibrio in modo esponenziale,
secondo l’equazione
k
− t
x = x0 e b
con una costante di tempo uguale a b/k. Se al meccanismo di chiusura automatica viene aggiunta
un’ulteriore forza esterna F(t) dipendente dal tempo, la situazione è analoga a quella del circuito RC con una tensione esterna V(t) dipendente dal tempo, come è mostrato nella figura sotto riportata.
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Esperienze capacitive
Figura 36. Analogia tra il meccanismo di chiusura automatica delle porte ed un circuito R-C.
Fonte: Portis M., Young H. D., La fisica di Berkeley. Laboratorio 2
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Esperienze capacitive
Considerazioni energetiche in un circuito R-C
Sia dato un circuito R-C comprendente un resistore di resistenza R, un condensatore di capacità C,
un generatore di f.e.m. ξ ed un interruttore T. In tale circuito le sollecitazioni elettriche (ad esempio
il potenziale applicato ai capi della resistenza) non sono costanti nel tempo, ma le variazioni non
sono così rapide da produrre effetti apprezzabili nel tempo impiegato dai segnali elettromagnetici
per propagarsi da un capo all’altro del circuito.
Figura 37. Il circuito R-C aperto: non circola corrente e il condensatore è scarico.
Ad ogni istante, la configurazione delle grandezze elettriche (campo elettrico, corrente, ecc.) ha
tempo per aggiustarsi a soddisfare le relazioni proprie del caso stazionario prima che intervengano
variazioni apprezzabili delle grandezze stesse. Il circuito, perciò, opera in condizioni quasi
stazionarie. Lo studio dei problemi di correnti variabili nel tempo secondo l’approssimazione quasistazionaria implica che si trascuri l’energia emessa nella forma di radiazione elettromagnetica;
l’energia fornita dal generatore dunque si troverà tutta localizzata nel campo elettrico e magnetico
presente nello spazio circostante, ovvero sarà dissipata per effetto Joule.
a) Bilancio energetico e rendimento di carica
Inizialmente l’interruttore T è aperto, nel circuito non circola corrente e il condensatore è scarico.
Al tempo t=0 viene chiuso l’interruttore e il generatore inizia a prelevare cariche dai conduttori
connessi al polo negativo e a portarle al polo positivo di modo che sulle armature del condensatore
compaiono le cariche +q e -q.
Figura 38. Il circuito R-C chiuso: il condensatore si carica.
Il processo continua fino a quando la carica del condensatore raggiunge il valore massimo q0=Cξ,
cui corrisponde la d.d.p. VA-VB tra le armature, pari alla f.e.m. ξ del generatore.
Per quanto riguarda il bilancio energetico del circuito si deve considerare: l’energia fornita dal
generatore durante il transitorio, l’energia ricevuta dal condensatore, detta anche energia di carica
39
Esperienze capacitive
del condensatore, e l’energia dissipata nella resistenza per effetto Joule. In base alle relazioni per la
carica di un condensatore, la potenza istantanea erogata dal generatore vale
ξ2
Pgen = ξi =
e
R
−
t
RC
quella dissipata nel resistore (diversa da quella del generatore durante la carica) vale
PR = Ri =
2
ξ2
e
R
−
2t
RC
e quella relativa all’energia di carica del condensatore è
ξ2
PC = VC i =
R
e
−
t
RC
ξ2
−
R
e
−
2t
RC
= Pgen − PR
Quindi, l’equazione del bilancio energetico totale, in accordo col principio di conservazione
dell’energia, si scrive:
Pgen dt = PR dt + PC dt ⇔ iξdt = Ri 2 dt + VC idt
Il lavoro fornito dal generatore, quello consumato nel resistore e l’energia elettrostatica del
condensatore alla fine del processo, dopo un intervallo di tempo sufficientemente lungo, valgono
rispettivamente
∞
∞
W gen = ∫ Pgen dt = ∫
0
ξ2
0
R
∞
W R = ∫ PR dt =
0
∞
e
−
t
RC
1
Cξ 2
2
EC = ∆U e = ∫ PC dt =
0
dt = Cξ 2
1
Cξ 2
2
L’energia dissipata in calore nel resistore è uguale a quella immagazzinata nel condensatore,
indipendentemente dai valori della resistenza e della capacità, pertanto il rendimento di carica è
sempre del 50%; i valori R e C determinano soltanto la durata del processo, la capacità C e la f.e.m.
ξ fissano la spesa energetica, ma la ripartizione relativa rimane sempre la stessa.
E’ possibile pervenire allo stesso risultato calcolando il lavoro fatto dal generatore come
q0
q0
0
0
W gen = ∫ ξdq = ξ [q ] = ξq 0 = Cξ 2
Essendo ∆U e =
1
1
Cξ 2 , si deduce che sulla resistenza viene dissipato il lavoro Cξ 2 .
2
2
40
Esperienze capacitive
b) Energia associata alla scarica
Consideriamo il condensatore con carica iniziale q0, un resistore R e l’interruttore T aperto. La d.d.p
q2
q
ai capi del condensatore vale V0 = 0 e l’energia elettrostatica immagazzinata U e = 0 .
C
2C
All’istante t=0 si chiude il circuito e le cariche si muovono, generando una corrente positiva lungo il
dq
resistore data da i = − , dove il segno meno è necessario in quanto la carica diminuisce nel
dt
tempo.
Figura 39. Il circuito R-C ora è aperto, ma il condensatore è carico.
Dalla espressioni per la scarica si ricava che la potenza istantanea dissipata su R vale
2t
PR = Ri 2 =
V02 − RC
e
R
L’energia UJ dissipata in R per effetto Joule nell’intero processo di scarica è
∞
V2 ∞ −
q2
1
U J = ∫ PR dt = 0 ∫ e RC dt = CV02 = 0
R 0
2
2C
0
2t
pari proprio all’energia elettrostatica del condensatore, prima dell’inizio della scarica.
Come già detto, la schematizzazione quasi-stazionaria del problema implica che l’energia iniziale,
di tipo elettrostatico, si ritrovi integralmente convertita in calore per effetto Joule senza nessuna
perdita per irraggiamento elettromagnetico.
c) Esercitazione
¾ Obiettivi
• Verificare la conservazione dell’energia in un circuito R-C durante il processo di carica.
¾ Destinatari
L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli
del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico.
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Esperienze capacitive
¾ Tempi di esecuzione
• Per la preparazione: 20 min.
• Per l’esecuzione: 30 min.
• Per l’eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: 1h
¾ Materiale occorrente
• Sonda di tensione;
• Sensore di tensione – corrente;
• Interruttore;
• Basetta per componenti;
• Resistenza;
• Condensatore elettrolitico;
• Cavetti per le connessioni;
• Alimentatore;
• Interfaccia;
• Computer;
• Software ScienceWorkshop;
• Stampante.
¾ Esecuzione
Si consideri un circuito R-C costituito da un condensatore in serie con una resistenza. Con un
sistema on line, si acquisiscano i dati relativi alla tensione ai capi del condensatore in funzione del
tempo e alla tensione ai capi della resistenza durante il processo di carica e quello di scarica. Si può
discutere l'andamento delle curve. Nella prima parte della curva, relativa alla tensione ai capi del
condensatore, dopo alcuni secondi passati a tensione zero, viene avviata la carica del condensatore
che si porta velocemente alla tensione massima di batteria, Vmax= 10 V, dove rimane per alcuni
secondi; dopo questo tempo, viene avviata una scarica veloce, che porta la tensione del componente
dal valore massimo a zero.
Figura 40. La tensione ai capi del condensatore durante il processo di carica e di scarica. ( Realizzazione col
software DataStudio).
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Esperienze capacitive
Figura 41. La tensione ai capi della resistenza durante il processo di carica e di scarica. ( Realizzazione col
software DataStudio).
Contemporaneamente, si può osservare il comportamento della curva che rappresenta la tensione ai
capi della resistenza: durante la carica la differenza di potenziale ai capi della resistenza,
inizialmente massima, diminuisce fino ad annullarsi, mentre, durante la scarica, ha un
comportamento analogo, ma con segno opposto.
Osservazioni
¾ Indicando con V0 la tensione fornita dal generatore, con VC la tensione fra le armature del
condensatore e con VR quella ai capi della resistenza, in un istante generico si può dimostrare
che vale la relazione V0 =VC + VR. Tale relazione esprime la conservazione dell’energia nel
circuito in esame. Infatti, per il secondo principio di Kirchoff, la somma delle f.e.m. applicate è
uguale alla somma delle cadute di tensione sui diversi componenti del circuito.
¾ Per esempio, nell’esperienza effettuata si è trovato che, a fronte di una tensione fornita dal
generatore di 10V, la somma suddetta valeva costantemente (10,431±0,067)V con un errore
percentuale del 4% rispetto al valore della forza elettromotrice erogata.
¾ Il generatore fornisce energia al circuito. Una parte di tale energia viene assorbita dalla
resistenza R e una parte si accumula sulle armature del condensatore. Utilizzando l’equazione di
bilancio energetico, si può calcolare per differenza l’energia che viene immagazzinata dal
condensatore e confrontare il valore trovato con quello teorico.
¾ L’andamento di VR nel tempo è identico a quello della corrente, a conferma del fatto che le due
grandezze sono direttamente proporzionali.
¾ Il segno negativo di VR durante il processo di scarica indica che la corrente circola in verso
opposto a quello durante il processo di carica.
d) Conclusioni
Collegando le due armature di un condensatore a un generatore di tensione, “sono prelevati”
elettroni dall’armatura a potenziale maggiore che “vengono spinti” verso l’armatura a potenziale
minore. Il risultato è dato dall’accumulo di carica Q = C ∆V uguale e opposta sulle due armature,
tanto maggiore quanto maggiore è la capacità C del condensatore. Variando opportunamente queste
grandezze si può immagazzinare sul condensatore una “quantità di elettricità” arbitrariamente
43
Esperienze capacitive
grande. Per “aggiungere carica” alle armature bisogna compiere lavoro contro la repulsione
coulombiana tra le cariche già presenti. Questo lavoro durante la carica del condensatore è a spese
dell’energia chimica del generatore di tensione, e durante la scarica viene restituito sotto forma di
energia diversa (es. avviamento auto, flash).
Figura 42. La variazione di energia durante il processo di carica di un condensatore.
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Esperienze capacitive
Bibliografia e sitografia
•
•
•
•
Caforio A., Ferilli A., Nuova fisica 2000, vol. 3, Le Monnier, Firenze, 2000
Portis M., Young H. D., La fisica di Berkeley. Laboratorio 2, Zanichelli, Bologna, 1982
http://digilander.libero.it/nick47/index.htm
http://www.peduto.it/condensatori/condensatori.htm
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