galleria del vento

GALLERIA DEL VENTO
SCOPI DELL’ESPERIENZA
Con la galleria del vento ci si propone:
Ø la verifica delle leggi di continuità (o di Leonardo) e di Bernoulli
Ø la misura della resistenza aerodinamica di diversi corpi
Ø la determinazione del profilo delle velocità attraverso la sezione del canale
Ø la determinazione della polare di un’ala
Dinamica dei fluidi
Si potrebbe descrivere il moto di un fluido suddividendo idealmente il fluido stesso in
elementi, a cui applicare le leggi della dinamica. Seguire il moto di ciascuna
‘particella’ sarebbe però un lavoro molto complesso. Si può invece definire, per ogni
punto del fluido e per ogni istante di tempo, il valore delle diverse grandezze che
servono per descrivere il fluido stesso (ad esempio la densità o la velocità)
concentrando così l’attenzione sul quanto succede in un dato punto al passare del
tempo, invece che seguire il moto del singolo elemento.
Il moto del fluido può essere stazionario (quando la velocità del fluido è, in ogni
punto, costante nel tempo) o non stazionario. Nel caso di fluido stazionario, ogni
particella che arriva, in qualsiasi istante, in un certo punto, assume la stessa velocità,
(mentre particelle in punti diversi possono naturalmente assumere velocità diverse).
Il moto del fluido può essere rotazionale (se in ogni punto gli elementi di fluido
hanno velocità angolare non nulla attorno a quel punto) o irrotazionale .
Il fluido può essere comprimibile (r = m/V non costante) o incomprimibile.
Il fluido può essere viscoso (con conseguente dissipazione di energia durante il moto)
o non viscoso.
Nel caso di moto stazionario, seguendo il percorso di una particella troviamo che esso
è lo stesso che verrà seguito da qualsiasi altra particella che, in un certo momento,
transiterà per quel punto. Possiamo allora pensare di congiungere tutti i punti di
questo ‘percorso fisso’, ottenendo una linea di flusso, tale che la velocità risulta in
ogni punto tangente alla linea di flusso in quel punto. Inoltre due linee di flusso non
possono mai incrociarsi. Si determina pertanto una configurazione delimitata
dall’insieme delle linee di flusso, detta tubo di flusso, che si comporta come un
condotto dal quale nessuna particella può uscire durante il moto.
La massa Dm che attraversa in un certo istante una sezione A del tubo di flusso è
approssimativamente:
Dm = rDV = r A vDt
Dove vDt rappresenta la lunghezza percorsa nell’intervallo di tempo Dt dall’elemento
di fluido che si muove con velocità v.
Supponendo costante questa massa, per qualsiasi sezione del tubo di flusso possiamo
scrivere:
r1 A1 v1Dt = r2 A2 v2Dt
cioè:
r A v = cost
Questo risultato esprime il principio della conservazione della massa nella dinamica
dei fluidi e viene conosciuto anche come principio di continuità. La grandezza Av,
che risulta costante nel caso di fluido a densità costante, è detta portata.
Il moto di un punto materiale può essere descritto attraverso la legge di conservazione
dell’energia meccanica, che lega la variazione di energia cinetica con la
contemporanea variazione di energia potenziale. Nel caso del moto di un punto
materiale, non dobbiamo considerare altre azioni, perché il punto è un’entità a sé,
che, in assenza di attrito dell’aria, si muove come entità isolata. Quando si considera
un fluido, come l’aria, ogni elemento di fluido fa parte di un tutt’uno che interagisce
con gli altri elementi del fluido stesso. Ci si aspetta quindi che questo introduca, nella
legge di conservazione dell’energia meccanica, un termine aggiuntivo, che esprima
proprio questo tipo di ‘legame’. Possiamo utilizzare il teorema delle forze vive, o
teorema dell’energia cinetica, per ricavare questa espressione ‘estesa’ della legge di
conservazione dell’energia. Sappiamo quindi che la variazione dell’energia cinetica è
uguale alla somma dei lavori dovuti alle varie forze in gioco: in particolare alla forza
di gravità ed alla forza legata alla pressione.
Il lavoro della forza di gravità (forza conservativa), può essere espresso attraverso la
differenza fra il valore iniziale ed il valore finale dell’energia potenziale
gravitazionale. Il lavoro della forza di pressione può essere scritto come pV, dove p è
la pressione che agisce sull’elemento di fluido nel punto considerato.
Visto che il moto del fluido è ‘provocato’ dalla spinta del fluido che sta dietro
l’elemento il questione (forza parallela al moto) e reso più difficile dalla presenza del
fluido che sta oltre l’elemento in questione (forza antiparallela al moto), il lavoro
viene espresso come differenza dei due termini pi V – pf V.
Poiché la posizione iniziale e finale sono prese in modo casuale e non determinano,
con la loro scelta, la validità del risultato, possiamo raggruppare i termini relativi alla
posizione iniziale e quelli relativi alla posizione finale, giungendo ad una espressione
che resta costante durante il modo del fluido:
mgh + ½ m v2 + pV = cost
Dividendo ogni termine per V e ricordando la definizione di densità r = m/V,
possiamo riscrivere la relazione precedente (che costituiva una espressione della
conservazione dell’energia) come una somma di pressioni:
rgh + ½ rv2 + p = cost
L’equazione di Bernoulli ha parecchie applicazioni. Ricordiamo ad esempio il caso in
cui un condotto orizzontale presenti in strozzatura. Per il principio di continuità nella
strozzatura la velocità deve essere maggiore, ma questo implica, per il principio di
Bernoulli, che la pressione debba essere minore; questo effetto può essere evidenziato
con l’applicazione di un manometro differenziale, che viene immerso in un fluido per
misurarne la velocità di flusso (tubo di Venturi)
Il tubo di Pitot è un dispositivo impiegato per misurare la velocità di flusso di un gas.
Per capirne il funzionamento immaginiamo di poter confrontare la pressione in un
punto A, in cui il fluido è in quiete, con quella in un punto C in cui il fluido ha
velocità v. Supponiamo che l’altezza sia la stessa per i due punti.
L’applicazione del teorema di Bernoulli permette di scrivere:
pC + ½ rv2 = pA
dove C è un punto in cui la velocità del fluido non è alterata dalla presenza del corpo.
Nella disposizione più moderna del tubo di Pitot la pressione non perturbata viene
misurata direttamente su un ramo laterale del tubo, dove l’imboccatura del ramo
destro (b) è perpendicolare rispetto alla direzione del flusso e di conseguenza la
velocità si riduce a zero. In a invece il fluido ha velocità v.
Applicando l’equazione di Bernoulli si ha:
pa+ ½ rv2 = pb
cioè pa < pb. Se h è la differente altezza del liquido manometrico di densità r’, la
differenza di pressione può essere anche espressa come:
pb – pa = r’hg
a cui è possibile ricavare la velocità del gas:
v = (2ghr’ /r)1/2
Il tubo di Pitot può essere tarato in modo che vi si legga direttamente la velocità del
gas. Nella configurazione descritta sopra ricavare la velocità equivale a ricavare la
pressione dinamica, cioè quella pressione legata al moto del fluido con velocità v:
pdin = ½ rv2
E’ importante però ricordare che la densità dell’aria non è una costante, ma dipende
dalla temperatura e dall’umidità dell’aria: se necessario, bisogna applicare le
opportune correzioni.
Viene detta pressione statica quella riferita al punto in cui la velocità è nulla (b, nel
caso precedente) e pressione totale la somma pa+ ½ rv2
Il manometro differenziale non da direttamente un valore di pressione, ma permette
di leggere il valore di una differenza di pressione fra i due punti ai quali il manometro
è collegato.
Se una estremità del manometro differenziale è libera e l’altra è collegata con la
boccola perpendicolare della sonda, possiamo leggere la differenza di pressione:
Dp = pamb – pb
La pressione ambiente può però anche essere letta sul barometro di Fortin e quindi,
dal confronto del valore letto, in questa seconda configurazione, sul manometro
differenziale e quello letto sul barometro di Fortin si può ottenere pb, cioè la pressione
statica.
Dalla somma della pressione statica e della pressione dinamica si può infine ottenere
anche la pressione totale (essendo i vari punti alla stessa altezza, il termine rgh è lo
stesso in ogni posizione), il cui valore, secondo la legge di Bernoulli, deve restare
costante.
La spinta dinamica è una forza che agisce su un corpo in virtù del suo moto
all’interno di un fluido (la spinta statica è invece quella espressa dalla spinta di
Archimede). Anche quando sia il corpo in moto in un fluido fermo risulta spesso
comodo considerare il corpo fermo e il fluido in movimento, come è effettivamente
nel caso delle esperienze con la galleria del vento. Il comportamento del fluido può
essere visualizzato con le linee di flusso, che indicano una velocità maggiore là dove
sono più raddensate.
pallina ferma, fluido in moto
pallina in rotazione
somma dei due moti
A velocità maggiore corrisponde minore pressione: nel caso dell’ala dell’aereo, la
maggiore velocità si ottiene, per la forma stessa dell’ala, sopra ad essa. Ne segue una
pressione maggiore sotto l’ala che sopra, con una conseguente spinta dell’aria sull’ala
dal basso verso l’alto.
la forma delle ali viene realizzata i modo tale che la superficie superiore abbia un
raggio di curvatura minore di quello della superficie inferiore. L’aria che scorre sulla
superficie superiore segue un percorso maggiormente incurvato di quello dell’aria a
contatto con la superficie inferiore.
La velocità dell’aria che si avvicina è orizzontale, mentre quella che si allontana dal
profilo dopo essere fluita lungo l’ala ha una componente verso il basso. Vi è stata
quindi una forza applicata sull’aria, diretta verso il basso; l’aria deve esercitare
sull’ala una forza diretta verso l’alto (terza legge di Newton). La componente
verticale di questa forza è detta portanza aerodinamica (Fa), la componente
orizzontale resistenza (FW).
La portanza dipende da vari fattori: velocità dell’aereo, area dell’ala, sua curvatura,
angolo a fra l’ala e la direzione orizzontale. A parità degli altri termini, possiamo
considerare l’effetto della variazione dell’angolo a: quando quest’ultimo aumenta, il
flusso turbolento al di sopra dell’ala riduce la spinta prevista dall’effetto Bernoulli. Il
grafico della resistenza in funzione della portanza, per diversi valori dell’angolo di
attacco, costituisce la ‘polare’ dell’ala.
Il moto di un fluido viene detto laminare quando in ogni punto del liquido la velocità
si mantiene costantemente parallela ad una direzione fissa ed i diversi strati di liquido
fra loro adiacenti, avendo velocità differenti, scorrono uno sull’altro senza
mescolarsi.
Nel moto di un fluido, la viscosità è l’analogo dell’attrito nel moto dei corpi solidi. Si
consideri un fluido tra due piani paralleli. Si applichi una forza F sul piano superiore,
in modo da mantenerlo in moto con velocità costante v rispetto al piano inferiore, che
invece è in quiete. Si può immaginare il fluido diviso in tanti strati paralleli ai piani.
La viscosità non agisce solo tra il piano superiore ed il fluido, ma anche fra ciascuno
strato del fluido: la velocità di ciascuno di essi differisce di una quantità dv da quello
dello strato adiacente. Lo sforzo tangenziale è definito come F/A, con A area dello
strato di fluido. Il fluido reagisce variando la velocità di ogni strato e possiamo
esprimere ciò con la quantità dv/dy. La forza necessaria per tenere in moto la lastra
superiore con velocità v risulta essere proporzionale alla dimensione della piastra A
ed alla velocità ed inversamente proporzionale alla distanza d fra le piastre; il
coefficiente di proporzionalità viene chiamato viscosità e la sua unità di misura è
Nsm-2 nel sistema SI. Nel sistema CGS l’unità di misura prende il nome di poise,
essendo 1 poise = 0.1 Nsm-2. Si ha perciò:
F/A = hv/d
In una conduttura cilindrica gli strati di fluido sono sottili anelli cilindrici di raggio
variabile, ma il moto è ancora laminare e la velocità di flusso varia con il raggio:
sull’asse del tubo si ha il valore massimo, mentre il minimo (che si pone uguale a
zero) si ha sulle pareti. La velocità sull’asse dipende dalla differenza di pressione tra
gli estremi della conduttura di lunghezza L. Se si considera il flusso di fluido
attraverso ogni anello cilindrico si può mostrare che il flusso totale di massa dm/dt è:
dm/dt = (rpR4 Dp) / (8hL)
dove R è il raggio del condotto (legge di Poiseuille).
Conoscendo la differenza di pressione che fa scorrere un fluido in un tubo e
misurando il flusso di massa si può determinare la viscosità h del fluido stesso. Nei
liquidi la viscosità diminuisce con la temperatura, mentre nei gas aumenta.
Se delle polveri colorate vengono mescolate ad un liquido in moto laminare lungo un
tubo, si vedono i granuli muovesi lungo linee non intersecatesi che sono i tubi di
flusso. Se si fa aumentare la velocità di scorrimento del fluido, per un valore critico vc
della velocità il moto dei granuli diviene disordinato ed il colore si sparpaglia per
tutto il tubo: il moto è diventato turbolento. Le particelle del fluido cominciano a
fluttuare in maniera disordinata, generando turbinii e fluttuazioni. A parità di
differenza di pressione agli estremi del tubo, la portata risulta assai minore di quella
che si avrebbe in regime laminare. Nel moto turbolento la direzione della velocità in
un punto cambia di istante in istante e le particelle del fluido possiedono moti
rotazionali vorticosi. Si trova sperimentalmente che la velocità critica vc dipende
dalla densità r del liquido, dal coefficiente di viscosità h e dal raggio del tubo nel
quale scorre il liquido. Si può quindi impostare una equazione dimensionale,
trovando che la velocità critica deve essere proporzionale a h/rD, con D diametro del
tubo. La costante di proporzionalità è un numero puro e viene chiamato numero di
Reynolds: R = rDv/h
A parità di numero di Reynolds, il flusso avrà lo stesso ‘aspetto’, pur variando la
velocià e, corrispondentemente, il diametro del cilindro. Questo fatto permette ad
esempio di studiare quale sarà il comportamento del flusso d’aria su un’ala di un
aeroplano anche senza costruirlo effettivamente: sarà sufficiente effettuare delle
misure in un tunnel aerodinamico con un modellino in scala ridotta, adoperando
naturalmente delle velocità che diano lo stesso numero di Reynolds. A questo scopo
le ‘gallerie del vento’ sono costruite in modo che la velocità di ogni strato parallelo
all’asse sia parallela all’asse stesso, non abbia variazioni temporali e non presenti
turbolenze. Naturalmente non è possibile realizzare gallerie che soddisfino
pienamente questi requisiti e diventa importante chiedersi e verificare a quale livello
una particolare galleria soddisfi queste ipotesi.
Dal punto di vista fisico, il numero di Reynolds corrisponde al rapporto tra la forza
inerziale Fi e la forza viscosa Fv .
Consideriamo un liquido in moto con velocità media vm in una tubatura di diametro D
e sezione A. La forza d’inerzia si può scrivere:
Fi = vm dm/dt = vm(rAvm) = rAvm2
e la forza viscosa:
Fv = Ah dv/dt = A(hvm) / D
Il rapporto è: R=rDv/h
Dato che la forza di inerzia è prevalente nel flusso turbolento e quella viscosa nel
flusso laminare, i grandi valori del numero di Reynolds possono essere associati alla
turbolenza e quelli piccoli al flusso laminare.
Quando il numero di Reynolds è dell’ordine di 30, il flusso del fluido è ben descritto
dalla teoria di Poiseuille. Per numeri di Reynolds più grandi, la teoria di Poiseuille si
applica solo ad una certa distanza dall’ingresso nella galleria, e solo da lì in poi potrà
stabilirsi il caratteristico profilo di velocità parabolico. Indicata con X la distanza alla
quale la velocità massima scarta meno del 5% dal valore dato dalla teoria di
Poiseuille, si può ricavare che X ≈ RD/30, dove R è il numero di Reynolds e D il
diametro del condotto.
Spesso si verifica la presenza di un moto relativo fa un oggetto ed un fluido:
pensiamo ad esempio al moto di un aeroplano nell’aria o a quello del vento che soffia
sulle case. Le situazioni reali sono molto complicate, ma si può cercare di
comprendere le caratteristiche del fenomeno usando delle situazioni geometricamente
più semplici: possiamo pensare ad esempio all’effetto sul moto del fluido della
presenza di un cilindro di diametro d, posto con l’asse normale al flusso di un fluido
che si muove con velocità v (La situazione è poi perfettamente equivalente a quella
del moto del cilindro attraverso un fluido fermo).
Anche in questo caso le caratteristiche del moto del fluido possono essere classificate
in base al valore del numero di Reynolds, definito come R=rdv/h
essendo d il diametro del cilindro, r e h rispettivamente la densità e la viscosità del
fluido. Anche in questo caso le caratteristiche del flusso saranno le stesse a parità di
numero di Reynolds, mentre varieranno al variare del numero stesso.
Quando il numero di Reynolds è molto minore di 1 il flusso è simmetrico prima e
dopo il corpo immerso, essendo il lato destro copia speculare del lato sinistro. Al
crescere del valore del numero di Reynolds questa simmetria svanisce. Dietro al
cilindro compaiono alcuni vortici ed il percorso delle particelle del fluido è disturbato
dalla presenza del cilindro molto più lontano a valle, piuttosto che a monte del
cilindro stesso. Per R > 40 il flusso cambia ancora: uno dei vortici dietro al cilindro
diventa così lungo che si rompe e se ne va con la corrente del fluido, mentre nuovi
vortici si formano dietro al cilindro. Soprattutto ciò che differenzia le prime due
situazioni da quelle successive è che la velocità nelle prime è costante, mentre poi
varia nel tempo in ogni punto: il flusso non è più stazionario.
Via via che il numero di Reynolds cresce ancora, la vorticità tende a riempire una
banda sottile, detta strato limite, nella quale il flusso è caotico ed irregolare
Consideriamo la forza di trascinamento che agisce su un corpo di sezione A immerso
in un fluido, di densità r, che si muove con velocità v. Essa risulta F = - ½ CR rv2A
dove CR è noto come coefficiente di resistenza; esso risulta essere dipendente dal
valore del numero di Reynolds (che a sua volta è proporzionale alla velocità del
fluido, se tutto il resto è mantenuto costante)
Nel diagramma è riportato il coefficiente di resistenza in funzione del numero di
Reynolds, ottenuto sperimentalmente, per un ostacolo di forma sferica.