Formulazione dell’equazione del moto
Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture
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Sistema a un grado di libertà
In alcuni sistemi strutturali la massa, lo smorzamento e la rigidezza sono concentrati ciascuno
in un unico elemento e la configurazione deformata può essere descritta da una sola componente
di spostamento. Sistemi di questo tipo prendono il nome di sistemi a un grado di libertà.
Sistema elementare
Struttura ideale
Anche se il comportamento dinamico della maggior parte delle strutture reali non può essere
descritto con un solo grado di libertà, lo studio di questi sistemi è molto importante nella
dinamica strutturale. Infatti, come sarà mostrato in seguito, l’analisi dinamica dei sistemi lineari
a molti gradi di libertà può essere eseguita sovrapponendo in maniera opportuna la risposta di
un certo numero di sistemi lineari a un grado di libertà.
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La forza di richiamo
1/2
Si consideri il sistema o il portale illustrati in figura sollecitati da una forza statica p.
In entrambi i casi, il sistema si deforma e la forza interna fS che si oppone allo spostamento
è uguale e contraria a p, cioè
p − fS = 0
p
p
Questa forza, che agisce anche in condizioni dinamiche, tende a riportare il sistema nella sua
configurazione iniziale e viene detta forza di richiamo. Per piccoli spostamenti, la relazione
tra la forza fS(t) e lo spostamento relativo u(t) è elastica lineare, cioè
fS (t) = ku(t)
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La forza di richiamo
2/2
…
fS
fS (t) = ku(t)
k
1
u
fS
u
La costante di proporzionalità k, espressa in
N/m, è la rigidezza alla traslazione della molla
o del portale.
Se gli spostamenti sono grandi, la relazione
tra fS(t) e u(t) può non essere più elastica.
In questo caso, le curve di carico e scarico
differiscono da quella iniziale. Ciò vuol dire
che la forza fS(t) non è a un sol valore, ma
dipende dalla storia degli spostamenti e dal
segno della velocità, positivo se lo spostamento
cresce, negativo se decresce, cioè
!
fS (t) = fS (u, u)
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La forza dissipativa
1/2
La dissipazione di energia durante il moto può avvenire secondo meccanismi diversi, di solito
presenti contemporaneamente. In un edificio, le principali cause di smorzamento includono
l’attrito tra gli elementi strutturali e quelli non strutturali, l’apertura e la chiusura di lesioni negli
elementi di calcestruzzo, l’attrito nelle connessioni degli elementi di acciaio.
Identificare e modellare ognuno di questi meccanismi è pressoché impossibile. Per questa
ragione, la dissipazione di energia nelle strutture è di solito rappresentata in maniera del tutto
convenzionale. Nel caso dei sistemi a un grado di libertà lo smorzamento può essere descritto
adeguatamente mediante un dissipatore viscoso lineare.
(t)
(t)
(t)
La forza fD(t) trasmessa dal dissipatore, detta forza dissipativa, è opposta al segno della
velocità e varia linearmente con la velocità secondo la relazione
!
fD (t) = cu(t)
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La forza dissipativa
…
2/2
!
fD (t) = cu(t)
La costante c, espressa in N ⋅s/m, prende il nome di coefficiente di smorzamento viscoso.
Il modello viscoso presenta il vantaggio di condurre a un’equazione
del moto lineare. Tuttavia, a differenza della rigidezza k, il
coefficiente c non può essere calcolato dalle proprietà del materiale
e dalle dimensioni degli elementi strutturali, ma può essere solo
stimato attraverso prove sperimentali. Il valore di c è scelto in modo
che l’energia dissipata dal modello viscoso sia uguale a quella
effettivamente dissipata nel sistema.
Lo smorzatore viscoso equivalente consente di modellare la
dissipazione di energia fino a quando gli spostamenti non superano
il limite elastico. Nel caso in cui la struttura subisce spostamenti
maggiori, una quantità aggiuntiva di energia viene dissipata a causa
del comportamento inelastico del materiale. Se gli spostamenti sono
di segno alternato, si formano cicli di isteresi forza-spostamento, la
cui area corrisponde all’ulteriore quantità di energia dissipata.
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L’equazione del moto
1/3
Per un sistema dotato di massa, la seconda legge di Newton afferma che la variazione della
quantità di moto è uguale alla risultante F(t) delle forze applicate, cioè
d
⎡⎣ mu! ( t ) ⎤⎦ = F ( t )
dt
Poiché la forza di richiamo fS(t) e la forza dissipativa fD(t) sono sempre opposte al moto, cioè
sono sempre di segno opposto allo spostamento u(t) e alla velocità rispettivamente, la risultante
F(t) delle forze applicate assume la forma
F(t) = p ( t ) − fD (t) − fS (t)
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L’equazione del moto
2/3
Assumendo che la massa non varia nel tempo, la seconda legge di Newton si scrive
F(t) = m!!
u(t)
Sostituendo questa relazione nella
F(t) = p ( t ) − fD (t) − fS (t)
si ha
m!!
u(t) = p ( t ) − fD (t) − fS (t)
Tenendo conto delle relazioni che esprimono la forza di richiamo e quella dissipativa, si ottiene
infine l’equazione del moto di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà
m!!
u ( t ) + cu! ( t ) + ku ( t ) = p ( t )
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L’equazione del moto
3/3
L’equazione del moto può essere anche ricavata utilizzando il principio dell’equilibrio
dinamico di d’Alembert, basato sul concetto di forza d’inerzia. Si tratta di una forza
apparente, cioè non direttamente applicata, pari al prodotto della massa per l’accelerazione
e agente in direzione opposta al moto, che esprime la tendenza di un sistema materiale a
opporsi a ogni variazione del suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Questa forza,
può essere espressa attraverso la relazione
fI (t) = m!!
u(t)
In accordo con il principio di d’Alembert, l’equilibrio del sistema è garantito a ogni istante
di tempo se la forza d’inerzia è inclusa tra le forze agenti, cioè
p(t) − fI ( t ) − fD (t) − fS (t) = 0
da cui, sostituendo le relazioni già ricavate, si ottiene l’equazione del moto
m!!
u ( t ) + cu! ( t ) + ku ( t ) = p ( t )
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L’equazione del moto per sistemi inelastici
Nel caso di sistemi inelastici, la forza di richiamo dipende dalla storia degli spostamenti e dal
segno della velocità. L’equazione del moto assume la forma
! = p (t )
m!!
u ( t ) + cu! ( t ) + fS (u, u)
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L’equazione del moto per moti del suolo
1/2
Le sollecitazioni dinamiche di un sistema strutturale possono essere causate non solo da carichi
direttamente applicati, ma anche da un moto delle fondazioni, come accade, per esempio, nel
caso di un terremoto.
Indicando con ug(t) lo spostamento del suolo, con u(t) quello
della massa rispetto alla base e con ut(t) quello totale, risulta
u t (t) = u(t) + u g (t)
Imponendo l’equilibrio dinamico si ha
fI ( t ) + fD (t) + fS (t) = 0
in cui per la forza d’inerzia vale la relazione
fI (t) = m!!
u t (t)
Pertanto, l’equazione del moto si scrive
m!!
u t ( t ) + cu! ( t ) + ku ( t ) = 0
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L’equazione del moto per moti del suolo
Sostituendo la relazione
nella
si ha infine
2/2
u t (t) = u(t) + u g (t)
m!!
u t ( t ) + cu! ( t ) + ku ( t ) = 0
m!!
u ( t ) + cu! ( t ) + ku ( t ) = −m!!
ug (t )
La risposta dinamica causata da un moto sismico del suolo equivale a quella provocata
dall’applicazione di un carico esterno equivalente, dato dalla relazione
peff (t) = −m!!
ug (t )
detto forza sismica efficace.
La forza sismica efficace è proporzionale
alla massa: maggiore è la massa di un
sistema, maggiori sono le sollecitazioni
provocate dalle azioni sismiche.
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La risposta dinamica
La risposta dinamica si ottiene risolvendo l’equazione differenziale del moto. Il termine
risposta è del tutto generale e include qualsiasi quantità d’interesse, come la variazione nel
tempo dello spostamento, della velocità o dell’accelerazione della massa. Da queste quantità
si possono poi ricavare gli sforzi interni, la cui conoscenza è richiesta per il progetto strutturale.
Per i sistemi elastici, questi ultimi possono essere determinati a ogni istante di tempo prefissato
t* attraverso un’analisi statica della struttura sollecitata dalla forza statica equivalente
fS = ku(t * )
in cui k è la rigidezza laterale del sistema. Questa forza, infatti, produce lo stesso spostamento
u(t*) calcolato con l’analisi dinamica.
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