Teoremi sulle funzioni derivabili. Quesiti tratti da Prove date agli Esami di Stato dal 2001 al 2015 A. Sul teorema di Rolle 1. Si enunci il teorema di Rolle e si mostri, con opportuni esempi, che se una qualsiasi delle tre condizioni previste non è soddisfatta, il teorema non è valido. [Quesito 10, 2009 Suppletiva] 2. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l’equazione: xn + an−1 xn−1 +.....+ a1x + a0 =0 ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione: nxn−1 + (n − 1) an−1 xn−2 +......+ a1 = 0 [Quesito 5, 2003 PNI] 3. Utilizzando il teorema di Rolle, si verifichi che il polinomio xn + px + q (p, q ∈ R), se n è pari ha al più due radici reali, se n è dispari ha al più tre radici reali. [Quesito 6, 2002 PNI] 4. Dimostrare che se p(x) è un polinomio allora tra due qualsiasi radici distinte di p(x) c’è una radice di p'(x). [Quesito 3, 2001 PNI] 5. Utilizzando il teorema di Rolle provare che tra due radici reali di ex sen x = 1 c’è almeno una radice di ex cos x = – 1. [Quesito 5, 2001 PNI Suppletiva] B. Sul teorema di Lagrange 6. Data la funzione ⎧ x 3 0 ≤ x ≤1 f ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x − kx + k 1 < x ≤ 2 € determinare il parametro k in modo che nell’intervallo [0, 2] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l’esistenza. [Quesito 9, 2015] 7. Si mostri che la funzione y = x3 + 8 soddisfa le condizioni del Teorema del valor medio (o Teorema di Lagrange) sull’intervallo [– 2, 2]. Si determinino i valori medi forniti dal teorema e se ne illustri il significato geometrico. [Quesito 5, 2007] 8. La funzione f (x) = x3 − 2x2 soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange nell’intervallo [0,1]? Se sí, trova il punto ξ che compare nella formula f (b) − f ( a) [Quesito 7, 2006] = f ' (ξ) b−a € 9. La funzione reale di variabile reale è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1; 3] e derivabile nell’intervallo aperto ]1, 3[. Si sa che f (1) = 1 e inoltre 0 ≤ f ' (x) ≤ 2 per ogni x dell’intervallo ]1, 3[. Spiegare in maniera esauriente perché risulta 1 ≤ f (3) ≤ 5. [Quesito 8, 2002] 10. Dire formalizzando la questione e utilizzando il teorema del valor medio o di Lagrange se è vero che ‘se un automobilista compie un viaggio senza soste in cui la velocità media è 60 km/h, allora almeno una volta durante il viaggio il tachimetro dell’automobile deve indicare esattamente 60km/h. [Quesito 10, 2001 PNI] Stefano Volpe, Treccani Scuola 1 C. Sul teorema di de l’Hôpital 11. Si calcoli ln( sen3x ) lim+ x →0 ln( senx ) 12. Si calcoli x −1 lim 2 x →1 ln x € [Quesito 2, 2014 Estero = Europa] [Quesito 1, 2014 Estero – Americhe] 13. Si calcoli il limite della funzione € 2 3x − 34 x 14. Si calcoli lim+ x →0 x2 € tgx − tga x →a x −a 15. Si calcoli lim senx + cos x + 2 π , quando x tende a . log sen2x 4 [Quesito 8, 2014 Suppletiva] [Quesito 1, 2012 PNI] € [Quesito 6, 2011] € 1 − cos 3x 16. Si calcoli lim [Quesito 7, 2009 Estero – Americhe] x →0 x2 € 17. Si esponga la regola del marchese de L’Hôpital (1661 – 1704) e la si applichi per dimostrare che x 2008 e’: [Quesito 4, 2008 PNI] lim € x →+∞ 2 x = 0 x + senx . Stabilire se si puo’ calcolarne il limite per x → + ∞ e x − cos x spiegare se il calcolo puo’ essere effettuato ricorrendo al teorema di De L’Hospital. [Quesito 10, 2001] 18. Si consideri la funzione € Si possono trovare€le soluzioni in rete, ad esempio nei seguenti siti: Rivista Archimede , Matmedia , Zanichelli , Matematicamente , Luigi Tomasi Stefano Volpe, Treccani Scuola 2