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Teoremi sulle funzioni derivabili. Quesiti tratti da Prove date agli Esami di Stato dal 2001 al 2015
A. Sul teorema di Rolle
1. Si enunci il teorema di Rolle e si mostri, con opportuni esempi, che se una qualsiasi delle tre
condizioni previste non è soddisfatta, il teorema non è valido. [Quesito 10, 2009 Suppletiva]
2. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che
se l’equazione:
xn + an−1 xn−1 +.....+ a1x + a0 =0
ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione:
nxn−1 + (n − 1) an−1 xn−2 +......+ a1 = 0
[Quesito 5, 2003 PNI]
3. Utilizzando il teorema di Rolle, si verifichi che il polinomio xn + px + q (p, q ∈ R), se n è pari ha
al più due radici reali, se n è dispari ha al più tre radici reali. [Quesito 6, 2002 PNI]
4. Dimostrare che se p(x) è un polinomio allora tra due qualsiasi radici distinte di p(x) c’è una radice
di p'(x).
[Quesito 3, 2001 PNI]
5. Utilizzando il teorema di Rolle provare che tra due radici reali di ex sen x = 1 c’è almeno una
radice di ex cos x = – 1.
[Quesito 5, 2001 PNI Suppletiva]
B. Sul teorema di Lagrange
6. Data la funzione
⎧ x 3
0 ≤ x ≤1
f ( x ) = ⎨ 2
⎩ x − kx + k 1 < x ≤ 2
€
determinare il parametro k in modo che nell’intervallo [0, 2] sia applicabile il teorema di
Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l’esistenza.
[Quesito 9, 2015]
7. Si mostri che la funzione y = x3 + 8 soddisfa le condizioni del Teorema del valor medio (o
Teorema di Lagrange) sull’intervallo [– 2, 2]. Si determinino i valori medi forniti dal teorema e
se ne illustri il significato geometrico.
[Quesito 5, 2007]
8. La funzione f (x) = x3 − 2x2 soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange nell’intervallo [0,1]?
Se sí, trova il punto ξ che compare nella formula
f (b) − f ( a)
[Quesito 7, 2006]
= f ' (ξ)
b−a
€
9. La funzione reale di variabile reale è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1; 3] e derivabile
nell’intervallo aperto ]1, 3[.
Si sa che f (1) = 1 e inoltre 0 ≤ f ' (x) ≤ 2 per ogni x dell’intervallo ]1, 3[. Spiegare in maniera
esauriente perché risulta 1 ≤ f (3) ≤ 5.
[Quesito 8, 2002]
10. Dire formalizzando la questione e utilizzando il teorema del valor medio o di Lagrange se è vero
che ‘se un automobilista compie un viaggio senza soste in cui la velocità media è 60 km/h,
allora almeno una volta durante il viaggio il tachimetro dell’automobile deve indicare
esattamente 60km/h.
[Quesito 10, 2001 PNI]
Stefano Volpe, Treccani Scuola 1 C. Sul teorema di de l’Hôpital
11. Si calcoli
ln( sen3x )
lim+
x →0 ln( senx )
12. Si calcoli
x −1
lim
2
x →1 ln x
€
[Quesito 2, 2014 Estero = Europa]
[Quesito 1, 2014 Estero – Americhe]
13. Si calcoli il limite della funzione
€
2 3x − 34 x
14. Si calcoli lim+
x →0
x2 €
tgx − tga
x →a
x −a
15. Si calcoli lim
senx + cos x + 2
π
, quando x tende a .
log sen2x
4
[Quesito 8, 2014 Suppletiva]
[Quesito
1, 2012 PNI]
€
[Quesito 6, 2011]
€
1 − cos 3x
16. Si calcoli lim
[Quesito 7, 2009 Estero – Americhe]
x →0
x2
€
17. Si esponga la regola del marchese de L’Hôpital (1661 – 1704) e la si applichi per dimostrare che
x 2008
e’:
[Quesito 4, 2008 PNI]
lim
€ x →+∞ 2 x = 0
x + senx
. Stabilire se si puo’ calcolarne il limite per x → + ∞ e
x − cos x
spiegare se il calcolo puo’ essere effettuato ricorrendo al teorema di De L’Hospital.
[Quesito 10, 2001]
18. Si consideri la funzione
€
Si possono trovare€le soluzioni in rete, ad esempio nei seguenti siti:
Rivista Archimede , Matmedia , Zanichelli , Matematicamente , Luigi Tomasi Stefano Volpe, Treccani Scuola 2