Il modello atomico di Bohr

Il modello atomico di Bohr
I fenomeni relativi alla scarica elettrica nel vuoto e alle esperienze di elettrochimica facevano pensare alla presenza all'interno
dell'atomo di particelle con cariche elettriche positive e negative. Generalmente però gli atomi sono elettricamente neutri, perché i
corpi materiali non esercitano forze elettriche. Pertanto gli atomi devono contenere eguali quantità di carica positiva e negativa.
Da quando Kirchhoff nel 1859 aveva inventato lo spettroscopio, i fisici erano andati accumulando dati sugli spettri degli atomi. Si
era chiarito che tutti gli atomi di un elemento emettevano esattamente le stesse righe spettrali e che queste righe potevano essere
usate per l'identificazione di quell'elemento. Ciò aveva indotto a pensare che tutti gli atomi di un elemento avevano probabilmente
la stessa struttura. Ma quale tipo di struttura avevano gli atomi?
Thomson, lo scopritore dell'elettrone (1897), elaborò un modello secondo il quale l'atomo era una sfera di carica positiva
uniformemente distribuita nella quale stavano immersi gli elettroni.
Poiché secondo la teoria dell'elettromagnetismo la radiazione di una certa frequenza è emessa da una carica che oscilla con quella
frequenza, le osservazioni spettroscopiche suggerivano che all'interno dell'atomo dovessero trovarsi insiemi più o meno complessi
di cariche oscillanti. In particolare l'atomo di idrogeno, contenendo solo un elettrone ed un protone, doveva avere la struttura più
semplice e permetteva di evitare le difficoltà inerenti ad atomi più complessi.
Per chiarire la distribuzione delle cariche elettriche nell'atomo, intorno al 1911 Rutherford, con i suoi collaboratori Geiger e
Marsden, realizzò un celebre esperimento che portò a sostituire il precedente modello di Thomson con uno più adeguato. L'idea
era di esplorare sperimentalmente l'interno dell'atomo inviando un fascio di particelle alfa contro un sottile foglio di oro ed
osservando le interazioni prodotte (esperimento di diffusione delle particelle α).
Il modello di Rutherford sembrava anche in grado di spiegare l'origine delle righe spettrali. Infatti una carica rotante è equivalente
a una carica che oscilla: la frequenza di una certa riga spettrale doveva essere pertanto uguale alla frequenza di rotazione di un
certo elettrone.
Quesito 1
Determina la frequenza di rotazione dell'elettrone dell'atomo di idrogeno sapendo che il raggio della sua orbita vale 0,53⋅10-10 m e
che la sua carica vale 1,6⋅10-19 C.
Sostituendo i valori numerici si ottiene una frequenza di circa 6,58 ⋅1015 Hz, nell'ultravioletto, corrispondente ad una lunghezza
d'onda 45,6 nm. I valori così ricavati quindi risultavano dello stesso ordine di grandezza delle frequenze realmente osservate.
Quesito 2
Nel modello atomico di Rutherford gli elettroni descrivono orbite circolari attorno al nucleo. Nel caso dell'atomo di idrogeno
calcola l'energia totale in funzione del raggio dell'orbita. Dimostra in particolare che è negativa e spiega il significato di ciò.
Ma il modello presenta una grave difficoltà, che venne affrontata da Bohr. Il testo che segue è una parte del discorso con cui
Arrhenius, presidente della Commissione del premio Nobel per la Fisica, presenta le motivazioni dell'attribuzione del premio a
Bohr nel 1922. (Il testo completo si può trovare all'indirizzo http://www.nobel.se/physics/laureates/1922/press.html)
In accordance with the classical theory of Maxwell, therefore, these orbit movements should emit rays and consequently cause a
loss of energy, and the electron would describe smaller and smaller tracks with a declining period of revolution and finally rush
in towards the positive nucleus. Thus the track would be a spiral, and the rays of light emitted, which will require a steadily
declining period of vibration, would correspond to a continuous spectrum, which, of course, is characteristic of a glowing solid
or liquid body, but not at all of a glowing gas. Consequently, either the atom model must be false, or else the classical theory of
Maxwell must be incorrect in this case. Ten years or so previously there would have been no hesitation in the choice between
these alternatives, but the atom model would have been declared to be inapplicable. But in 1913, when Bohr began to work at
this problem, the great physicist Planck of Berlin had traced his law of radiation, which could be explained only on the
assumption, which was in conflict with all preceding notions, that the energy of heat is given offin the form of "quanta", that is to
say small portions of heat, just as matter consists of small portions, i.e. the atoms. With the help of this assumption Planck
succeeded, in complete accordance with experience, in calculating the distribution of energy in radiation from a hypothetically
completely black body. Afterwards (in 1905 and 1907) Einstein had perfected the quantum theory and deduced therefrom several
laws, such as the diminution of the specific heat of solid bodies with declining temperature and the photoelectric effect, for which
discovery he has this day been awarded the Nobel Prize.
Accordingly, Bohr had no need to hesitate in his choice: he assumed that Maxwell's theory does not hold good in the present
case, but that the atom model of Rutherford is correct.
Quesito 3
Esponi i postulati che Bohr nel 1913 introdusse nel modello atomico senza rinunciare al modello di Rutherford, mettendo in
evidenza gli aspetti che sono in contrasto con i principi della fisica classica.
Quesito 4
Introducendo i postulati di Bohr nelle formule classiche, mostra che nell'atomo di idrogeno i raggi delle orbite permesse
all'elettrone ed i corrispondenti valori dell'energia si possono esprimere in funzione di un numero intero n, in particolare dimostra
2
4
ε0 h
me
che r n=n 2
e E n =
.
π me 2
8ε02 h 2 n 2
Il modello è quindi un ibrido tra la meccanica classica e quantistica: per questo si parla di modello semiclassico dell'atomo di
idrogeno. Con le nuove ipotesi Bohr riuscì ad esprimere l'energia dell'elettrone nell'atomo di idrogeno in funzione di un numero
13,598
eV rappresentano i livelli energetici che caratterizzano
intero chiamato numero quantico principale n. I valori di E n =
n2
gli elettroni nelle orbite stazionarie. Secondo il modello di Bohr si ha emissione di radiazione quando un elettrone passa da
un'orbita caratterizzata da un certo valore di n a un'altra caratterizzata da un valore m più piccolo di n e la frequenza della
E n E m
radiazione emessa è pari a f =
.
h
La tabella seguente riporta i calcoli necessari per determinare alcune delle frequenze (e lunghezze d'onda) emesse da un atomo di
idrogeno quando un elettrone compie una transizione tra due livelli energetici, come per esempio la lunghezza d'onda della
radiazione emessa fra i livelli n=3 ed n=2. La tabella si riferisce alle prime quattro righe della serie di Balmer, nel visibile (Hα,
Hβ, Hγ, Hδ sono i nomi con cui tradizionalmente sono indicate queste righe in spettroscopia).
Riga
Hα
Hβ
Hγ
Hδ
(3→2)
(4→2)
(5→2)
(6→2)
∆E
(eV)
1,89
2,55
2,86
3,02
f
(Hz)
4,569⋅1014
6,165⋅1014
6,914⋅1014
7,302⋅1014
λ calcolata
(nm)
656,1
486,2
433,6
410,5
λ misurata
(nm)
656,2
486,1
434,0
410,1
Le piccole discordanze fra i valori calcolati e i valori misurati sono dovute per lo più a errori di arrotondamento.
Quesito 8
Illustra il contenuto delle varie colonne della tabella, indicando con chiarezza tutti i calcoli che sono necessari per la sua
compilazione. Esegui dettagliatamente i calcoli relativi ad una riga della tabella.
Nella parte conclusiva del discorso in occasione del premio Nobel, Arrhenius si rivolge direttamente a Bohr:
Professor Bohr. You have carried to a successful solution the problems that have presented themselves to investigators of
spectra. In doing so you have been compelled to make use of theoretical ideas which substantially diverge from those which are
based on the classical doctrines of Maxwell. Your great success has shown that you have found the right roads to fundamental
truths, and in so doing you have laid down principles which have led to the most splendid advances, and promise abundant fruit
for the work of the future. May it be vouchsafed to you to cultivate for yet a long time to come, to the advantage of research, the
wide field of work that you have opened up to Science.
Negli anni che vanno dal 1913 al 1925 la teoria di Bohr (con alcuni miglioramenti dovuti soprattutto a Sommerfeld) costituì
l'unico schema in grado di ordinare i numerosi dati sperimentali sulla struttura dell'atomo che venivano via via scoperti. Tale
teoria fu sempre considerata dai fisici non del tutto soddisfacente. Essa era infatti incompleta in quanto non spiegava tutti i dati
sperimentali (conduce a risultati accettabili solo per atomi con un solo elettrone, non può spiegare la struttura e gli spettri delle
molecole, non dice nulla circa l'intensità delle righe spettrali diverse da una riga all'altra, non rende conto dei più fini dettagli
dello spettro), ma soprattutto era incongruente in quanto faceva uso di alcune leggi della fisica classica ma ne rifiutava altre.
Pertanto fu considerata non tanto l'espressione definitiva di una teoria fisica quanto una provvisoria e parziale indicazione delle
correzioni da apportare alla fisica classica per renderla applicabile ad oggetti di dimensione atomica. Il superamento di questa
situazione avvenne nel giro di pochissimi anni, all'incirca dal 1925 al 1927, per opera principalmente di de Broglie, Heisenberg,
Schrödinger, Born, Pauli, Dirac. La nuova teoria, che fu chiamata meccanica quantistica, portò a sostituire il modello di Bohr con
una costruzione logicamente soddisfacente che, negli anni successivi, fu applicata con successo alla spiegazione di tutti i
fenomeni atomici conosciuti.
ESERCIZIO
Il grafico rappresenta i livelli energetici di un atomo di idrogeno nel modello di
Bohr.
1. Determina (in eV e in joule) l'energia del livello individuato dal numero quantico n=3.
2. Calcola le lunghezze d'onda della radiazione emessa in ciascuna delle tre transizioni
mostrate nel grafico, spiegando a quale parte dello spettro appartiene (visibile, infrarosso o
ultravioletto).[λrosso ≈ 700nm e λvioletto≈400nm]
3. Un elettrone ricade nel livello di energia E = –2,18·10–18 J con l’ emissione di un fotone
di lunghezza d’onda λ = 0,103 µm: calcola l’energia iniziale dell’elettrone.
4. Se inizialmente l’elettrone si trova nel livello energetico con n=3, calcola l'energia di
ionizzazione dell’atomo di idrogeno.
5. Se inizialmente l’elettrone si trova nello stato fondamentale, l’assorbimento di un
fotone con frequenza di 7,00·1015 Hz provoca la ionizzazione dell’atomo di idrogeno: in
tal caso calcola qual è l’energia cinetica dell’elettrone emesso, in eV.