Logica Matematica
PreCorso 2013/14
Antonio Caruso1
1
Dipartimento di Matematica e Fisica
’Ennio de Giorgi’, Palazzo Fiorini, Lecce.
13 settembre 2013
Outline
1
Logica
Dialettica, Paradossi, Dimostrazioni
2
Logica Matematica
Logica Proposizionale
Logica dei Predicati
Logica
..Studio del ragionamento
1
La logica è una materia inter-disciplinare, a cavallo tra filosofia,
storia, matematica, linguistisca. Essa applica ill metodo scientifico
per studiare il ragionamento umano.
Logica
..Studio del ragionamento
1
La logica è una materia inter-disciplinare, a cavallo tra filosofia,
storia, matematica, linguistisca. Essa applica ill metodo scientifico
per studiare il ragionamento umano.
2
Il ragionamento matematico è stato storicamente considerato
come la forma di ragionamento più astratta, e più avanzata.
Logica
..Studio del ragionamento
1
La logica è una materia inter-disciplinare, a cavallo tra filosofia,
storia, matematica, linguistisca. Essa applica ill metodo scientifico
per studiare il ragionamento umano.
2
Il ragionamento matematico è stato storicamente considerato
come la forma di ragionamento più astratta, e più avanzata.
3
Possiamo far risalire la disciplina fin al periodo ellenico, a partire
già dai Sofisti, e poi con Platone, e Aristotele, passando da
Epimenide, Zenone, Crisippo, etc .
Logica
..Studio del ragionamento
1
La logica è una materia inter-disciplinare, a cavallo tra filosofia,
storia, matematica, linguistisca. Essa applica ill metodo scientifico
per studiare il ragionamento umano.
2
Il ragionamento matematico è stato storicamente considerato
come la forma di ragionamento più astratta, e più avanzata.
3
Possiamo far risalire la disciplina fin al periodo ellenico, a partire
già dai Sofisti, e poi con Platone, e Aristotele, passando da
Epimenide, Zenone, Crisippo, etc .
4
La logica matematica si occupa nello specifico dei ragionamenti
che vengono usati quando facciamo matematica.
Outline
1
Logica
Dialettica, Paradossi, Dimostrazioni
2
Logica Matematica
Logica Proposizionale
Logica dei Predicati
Dialettica
Dialettica: Scuola Greca dei Sofisti.
Costruire conversazioni, usando l’arte della Retorica: Gorgia,
Protagora. Fortemente criticati da Platone.
In particolare: Nei loro dialoghi non usavano il principio di non
contraddizione.
Paradossi: Un ragionamento apparentemente corretto che in realtà
nasconde appunto un paradosso, una conclusione che va contro
l’opinione comune.
I più famosi:
Dialettica
Dialettica: Scuola Greca dei Sofisti.
Costruire conversazioni, usando l’arte della Retorica: Gorgia,
Protagora. Fortemente criticati da Platone.
In particolare: Nei loro dialoghi non usavano il principio di non
contraddizione.
Paradossi: Un ragionamento apparentemente corretto che in realtà
nasconde appunto un paradosso, una conclusione che va contro
l’opinione comune.
I più famosi:
Mentitore: Io sto Mentendo!
Achille e la Tartaruga.
(Epimenide)
(Zenone)
Epimenide: Mentitore
Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase:
I cretesi sono bugiardi.
Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa?
Epimenide: Mentitore
Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase:
I cretesi sono bugiardi.
Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa?
Vera?
Epimenide: Mentitore
Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase:
I cretesi sono bugiardi.
Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa?
Vera?
Epimenide è un Cretese, quindi dice la falsità, quindi non è vero che
(tutti) i cretesi sono bugiardi. Quindi la frase è falsa.
Epimenide: Mentitore
Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase:
I cretesi sono bugiardi.
Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa?
Vera?
Epimenide è un Cretese, quindi dice la falsità, quindi non è vero che
(tutti) i cretesi sono bugiardi. Quindi la frase è falsa.
Perche ci sembra un paradosso?
Epimenide: Mentitore
Epimenide era un Cretese, e un giorno si inventa questa frase:
I cretesi sono bugiardi.
Ci chiediamo, questa frase può essere vera o falsa?
Vera?
Epimenide è un Cretese, quindi dice la falsità, quindi non è vero che
(tutti) i cretesi sono bugiardi. Quindi la frase è falsa.
Perche ci sembra un paradosso?
Se è falsa, allora qualche cretese dice la verità (ogni tanto), non è
detto che sia Epimenide, e non è detto che lo faccia parlando dei
cretesi. Quindi la frase può essere falsa.
Ma il paradosso è molto vicino.
Il Paradosso del Mentitore
Il paradosso: Io sto Mentendo.
Il Paradosso del Mentitore
Il paradosso: Io sto Mentendo.
Vera? Falsa?
Il Paradosso del Mentitore
Il paradosso: Io sto Mentendo.
Vera? Falsa?
La frase è molto particolare: contiene un affermazione, su se stessa,
una forma di anello circolare, un auto-riferimento.
Il Paradosso del Mentitore
Il paradosso: Io sto Mentendo.
Vera? Falsa?
La frase è molto particolare: contiene un affermazione, su se stessa,
una forma di anello circolare, un auto-riferimento.
L’anello può essere composto da più di una frase:
Socrate: Platone mente. Platone: Socrate dice il falso.
Il Paradosso del Mentitore
Il paradosso: Io sto Mentendo.
Vera? Falsa?
La frase è molto particolare: contiene un affermazione, su se stessa,
una forma di anello circolare, un auto-riferimento.
L’anello può essere composto da più di una frase:
Socrate: Platone mente. Platone: Socrate dice il falso.
La frase seguente è falsa
La frase precedente è vera
Il problema quindi non è nell’auto-referenzialità.
Distingure tra linguaggio e meta-linguaggio.
Tarski (1936): La verità è definibile solo nel metalinguaggio.
Io (linguaggio) sto mentendo (meta-linguaggio)
Zenone: Achille e la Tartaruga
Zenone: Il movimento non esiste.
Achille e la Tartaruga: se la tartaruga parte con un vantaggio, achille
non potrà mai raggiungerla. Pertanto essi in realtà non si muovono.
Il problema del ”e cosi via...”.
Dimostrazioni
Problema Fondamentale: Come fare quando qualcosa ci sembra vero,
per convire qualcuno che non ha la nostra intuizione?
Risposta: Costruire una Dimostrazione.
La matematica è costruire dimostrazioni.
Ma cos’è esattamente una dimostrazione?
Quando una dimostrazione è corretta?
La Logica Matematica fornisce gli strumenti per rispondere a queste
domande.
Logica
La logica è essenzialmente un linguaggio, con una sintassi ed una
semantica. La sintassi consiste nelle regole con cui costruire formule
ben formate, la semantica invece specifica il senso di una formula, ed
in particolare il suo valore di verità.
Logica
La logica è essenzialmente un linguaggio, con una sintassi ed una
semantica. La sintassi consiste nelle regole con cui costruire formule
ben formate, la semantica invece specifica il senso di una formula, ed
in particolare il suo valore di verità.
Esempio: frasi come
” Esistono interi che non sono la somma di due quadrati ”.
” Per ogni intero n positivo, la somma degli interi minori o uguali ad n è
n(n+1)/2.”.
La logica matematica è parte della matematica, ed è anche una
meta-disciplina, studia cioè i metodi e le regole con cui si fa
matematica.
Oltre a essere fondante per la matematica, la logica ha molte
applicazioni in campi come l’informatica: nella progettazione di
computer, nello sviluppo dei linguaggi di programmazione,
nell’intelligenza artificiale.
Logica Matematica
Lo scopo della logica matematica, è fornire regole e strumenti per
stabile quando un ’ragionamento matematico’ è corretto. Tali
ragionamenti sono chiamati generalmente ’dimostrazioni’.
Logica Matematica
Lo scopo della logica matematica, è fornire regole e strumenti per
stabile quando un ’ragionamento matematico’ è corretto. Tali
ragionamenti sono chiamati generalmente ’dimostrazioni’.
Se un ragionamento, una dimostrazione, è corretta, essa costituisce
quello che in matematica è detto un Teorema. Fare matematica
consiste essenzialmente nel creare/scoprire nuovi Teoremi a partire da
ciò che già sappiamo essere vero.
Logica Matematica
Lo scopo della logica matematica, è fornire regole e strumenti per
stabile quando un ’ragionamento matematico’ è corretto. Tali
ragionamenti sono chiamati generalmente ’dimostrazioni’.
Se un ragionamento, una dimostrazione, è corretta, essa costituisce
quello che in matematica è detto un Teorema. Fare matematica
consiste essenzialmente nel creare/scoprire nuovi Teoremi a partire da
ciò che già sappiamo essere vero.
Notare che per imparare la matematica, non basta, leggere un elenco
dei Teoremi già dimostrati, ma piuttosto, avere la capacità di
ricostruire/riscoprire le loro dimostrazioni, cioè essere capaci di
dimostrare tali verità allorquando qualcuno lo richieda.
Logica Matematica
Lo scopo della logica matematica, è fornire regole e strumenti per
stabile quando un ’ragionamento matematico’ è corretto. Tali
ragionamenti sono chiamati generalmente ’dimostrazioni’.
Se un ragionamento, una dimostrazione, è corretta, essa costituisce
quello che in matematica è detto un Teorema. Fare matematica
consiste essenzialmente nel creare/scoprire nuovi Teoremi a partire da
ciò che già sappiamo essere vero.
Notare che per imparare la matematica, non basta, leggere un elenco
dei Teoremi già dimostrati, ma piuttosto, avere la capacità di
ricostruire/riscoprire le loro dimostrazioni, cioè essere capaci di
dimostrare tali verità allorquando qualcuno lo richieda.
La Logica è fatta dai Logici
1849 - George Boole. Unifica da Aristotele a Crisippo.
1879 - Gottlob Frege - Inizio della Logica Moderna. Calcolo dei
Predicati.
1920 - Post - Completezza della logica proposizionale.
1921 - Wittgenstein (uso delle Tavole di Verità)
1930-31 - Kurt Goedel - Completezza della logica Predicativa
Incompletezza dell’Aritmentica.
1936 - Alan Turing - Decidibilità. Computabilità, Funzioni Ricorsive.
Macchina di Turing.
Outline
1
Logica
Dialettica, Paradossi, Dimostrazioni
2
Logica Matematica
Logica Proposizionale
Logica dei Predicati
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
Proposizioni:
Una Proposizione è una frase dichiarativa (una frase che esprime lo
stato di alcuni fatti), che è VERA oppure FALSA.
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
Proposizioni:
Una Proposizione è una frase dichiarativa (una frase che esprime lo
stato di alcuni fatti), che è VERA oppure FALSA.
Le Proposizioni sono generalmente semplici (atomiche), esempi:
Roma è la capitale d’Italia.
1 + 1 = 2.
Lecce è un regione della Francia.
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
Proposizioni:
Una Proposizione è una frase dichiarativa (una frase che esprime lo
stato di alcuni fatti), che è VERA oppure FALSA.
Le Proposizioni sono generalmente semplici (atomiche), esempi:
Roma è la capitale d’Italia.
1 + 1 = 2.
Lecce è un regione della Francia.
Esempi di frasi che NON sono proposizioni sono:
Che tempo fa?
Leggi attentamente sotto..
x + 1 = 2.
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
L’area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo
Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa
2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc).
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
L’area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo
Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa
2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc).
Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle
SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo
insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici.
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
L’area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo
Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa
2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc).
Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle
SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo
insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici.
I connettivi più importanti sono: la congiunzione ”e”, la disgiunzione
”o”, la negazione ”non”, e l’implicazione ”se,...,allora ...”.
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
L’area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo
Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa
2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc).
Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle
SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo
insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici.
I connettivi più importanti sono: la congiunzione ”e”, la disgiunzione
”o”, la negazione ”non”, e l’implicazione ”se,...,allora ...”.
Poichè le singole proposizioni non sono particolarmente importanti,
possiamo evitare di scriverle per esteso, indicandole con delle lettere
dell’alfabeto come p, q, r , s, . . ..
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
L’area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo
Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa
2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc).
Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle
SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo
insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici.
I connettivi più importanti sono: la congiunzione ”e”, la disgiunzione
”o”, la negazione ”non”, e l’implicazione ”se,...,allora ...”.
Poichè le singole proposizioni non sono particolarmente importanti,
possiamo evitare di scriverle per esteso, indicandole con delle lettere
dell’alfabeto come p, q, r , s, . . ..
Indichiamo inoltre i valori di verità/falsità con le lettere T (True, Vero), e
F (False, Falso).
Calcolo Proposizionale
..un modo elegante per fare l’analisi logica
L’area della logica che studia le proposizioni, è chiamata Calcolo
Proposizionale o logica proposizionale. Sviluppata già dai greci circa
2300 anni fa (vedi Aristotele, Platone, etc).
Non ci interessiamo in modo particolare della verità/falsità delle
SINGOLE proposizioni, ma di frasi complesse, create mettendo
insieme molte proposizioni atomiche, attraverso connettivi logici.
I connettivi più importanti sono: la congiunzione ”e”, la disgiunzione
”o”, la negazione ”non”, e l’implicazione ”se,...,allora ...”.
Poichè le singole proposizioni non sono particolarmente importanti,
possiamo evitare di scriverle per esteso, indicandole con delle lettere
dell’alfabeto come p, q, r , s, . . ..
Indichiamo inoltre i valori di verità/falsità con le lettere T (True, Vero), e
F (False, Falso).
Calcolo Proposizionale
Proposizioni Composte
Adesso vediamo come formare formule proposizionali, a partire da
proposizioni atomiche:
Negazione
Sia p una proposizione, la negazione di p, si scrive: ¬p (oppure p̄) è la
proposizione: ”Non p”. Il valore di verità della negazione è ovviamente l’opposto
di quello p.
Se p = ”Oggi è Venerdi”, p̄ = ”Oggi NON è Venerdi”.
Se p = Oggi sono caduti almeno 10 cm di pioggia, p̄ = ”non è vero
che oggi sono caduti almeno 10cm di pioggia, o riformulando
meglio ”Oggi sono caduti meno di 10cm di pioggia”.
Notiamo che qualunque sia p, ¬¬p = p. Esempio: se ”Non è vero che
non è vero che oggi è Venerdi”, allora ”Non è vero che oggi non è Venerdi” quindi
”Oggi è Venerdi”.
Calcolo Proposizionale
Tabelle di Verità
Un modo compatto e molto importante per definire un connettivo, o
come vedremo, verificare una formula proposizionale è tramite le
tabelle di verità:
Tabella di Verità della
Negazione:
p
¬p
T
F
F
T
Possiamo usare le tabelle di verità
per verificare l’equivalenza tra due
formule:
p
¬p
¬¬p
T
F
T
F
T
F
La negazione è un connettivo UNARIO, nel senso che si applica su una
singola proposizione, adesso introduciamo dei connettivi BINARI, la
congiunzione (AND), la disgiunzione (OR), e altri..
Calcolo Proposizionale
Congiunzione e Disgiunzione
Siano p e q proposizioni:
La congiunzione è la proposizione: p ∧ q da leggersi come ”p e q”, o
AND logico.
La disgiunzione è la proposizione: p ∨ q da leggersi come ”p o q”, o
OR logico.
Tabella di Verità della Congiunzione e Disgiunzione:
p
q
p∧q
p
q
p∨q
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
La congiunzione è vera solo quando entrambe p e q sono vere, falsa in
tutti gli altri casi.
La disgiunzione è vera se una tra p o q (o entrambe) sono vere.
L’implicazione Logica
Implicazione (o Proposizione Condizionale)
Siano p, q proposizioni, l’implicazione tra esse è la proposizione
p → q. E si legge, p implica q, p è chiamata ipotesi (o premessa) e q è
chiamata la tesi (o conseguenza) dell’implicazione.
Tabella di Verità dell’Implicazione:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
p→q
T
F
T
T
Notiamo che l’implicazione è sempre vera se l’ipotesi è falsa. Se
assumiamo in partenza qualcosa di falso, allora possiamo implicare a
partire da quell’ipotesi, qualunque cosa:
Esempio: Se gli asini volano, tutti i presenti sono belli, ricchi e potenti.
Implicazione
L’implicazione (o proposizione condizionale), ha un ruolo fondamentale
nel ragionamento matematico, per questo motivo la frase p → q, può
essere epressa in molti modi, in ambito discorsivo:
se p, allora q.
p implica q.
Se p, q.
p solo se q.
p è condizione sufficiente per q.
una condizione sufficiente per q è p.
q è necessario per p.
una condizione necessaria per p è q.
q se p
q ogniqualvolta che p.
q segue da p
q ∨ ¬p.
Implicazione
ContraNominale, Inversa, Opposta
A partire dall’implicazione p → q, possiamo formare altre proposizioni,
alcune sono molto importanti, e hanno nomi specifici:
La proposizione conversa q → p.
La proposizione contropositiva (o contronominale) è ¬q → ¬p.
La proposizione inversa è ¬p → ¬q.
Quando due formule (proposizione composte) hanno sempre lo stesso
valore di verità, dichiamo che essere sono equivalenti.
Vediamo che tra le formule sopra solo la contropositiva è equivalente
all’implicazione originaria. Infatti essa è falsa solo quando ¬p è falsa e
¬q è vera. Cioè quando p è vera e q è falsa, come nell’implicazione.
La proposizione q → p è vera quando q è falsa e p è vera,
diversamente da p → q. La stessa cosa vale per l’inversa. Quindi
l’inversa e la conversa non sono equivalenti all’implicazione.
Implicazione
Esempio:
Consideriamo la seguente implicazione:
”La squadra di casa vince, ogni qualvolta piove”.
Allora, la frase è della forma q ogni qualvolta p, quindi l’implicazione è
se p allora q, con p = ’piove”, e q = ”la squadra di casa vince”.
La contropositiva (logicamente equivalente) è la frase:
”se la squadra di casa perde allora non piove”
Invece l’inversa e la conversa (non equivalenti) sono:
(Conversa) (q → p)
”se la squadra di casa vince allora piove”.
(Inversa) (¬p → ¬q)
”se non piove allora la squadra di casa perde.”
Coimplicazione
Adesso introduciamo un connettivo, che è vero solo quando due
proposizioni hanno lo stesso valore di verità:
Coimplicazione
Siano p, q proposizioni, la proposizione
p ↔ q, si legge, p se e solo se q, o coimplicazione tra p e q.
La formula p ↔ q è vera quando p e q hanno gli stessi valori di verità,
falsa in ogni altro caso. La formula si legge anche nei seguenti modi:
p è condizione necessaria e sufficiente per q.
se p allora q, e viceversa
p se e solo se q.
Notiamo che la semantica di questo connettivo si riduce alla formula
(p → q) ∧ (q → p), cioè, il connettivo è un abbreviazione per la doppia
implicazione.
Formule Complesse
Tavole di Verità
A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r , s, . . ., i connettivi visti
∧, ∨, ¬, →, ↔, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente
complesse.
Formule Complesse
Tavole di Verità
A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r , s, . . ., i connettivi visti
∧, ∨, ¬, →, ↔, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente
complesse.
Notiamo che le formule ¬(p ∧ q), ¬p ∧ q non sono equivalenti, in particolare
quindi dovremmo sempre usare delle parentesi, per stabilire l’ordine di
valutazione degli operatori dentro una formula complessa.
Formule Complesse
Tavole di Verità
A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r , s, . . ., i connettivi visti
∧, ∨, ¬, →, ↔, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente
complesse.
Notiamo che le formule ¬(p ∧ q), ¬p ∧ q non sono equivalenti, in particolare
quindi dovremmo sempre usare delle parentesi, per stabilire l’ordine di
valutazione degli operatori dentro una formula complessa.
Possiamo ridurre il numero di parentesi semplificare la lettura delle formule,
assegnamo una precedenza agli operatori: la negazione ha priorità su tutti gli
altri operatori quindi ¬p ∧ q = (¬p) ∧ q 6= ¬(p ∧ q).
Formule Complesse
Tavole di Verità
A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r , s, . . ., i connettivi visti
∧, ∨, ¬, →, ↔, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente
complesse.
Notiamo che le formule ¬(p ∧ q), ¬p ∧ q non sono equivalenti, in particolare
quindi dovremmo sempre usare delle parentesi, per stabilire l’ordine di
valutazione degli operatori dentro una formula complessa.
Possiamo ridurre il numero di parentesi semplificare la lettura delle formule,
assegnamo una precedenza agli operatori: la negazione ha priorità su tutti gli
altri operatori quindi ¬p ∧ q = (¬p) ∧ q 6= ¬(p ∧ q).
Subito dopo la negazione, vengono gli operatori di congiunzione e
disgiunzione ∧, ∨, ed infine le implicazioni →, ↔.
Formule Complesse
Tavole di Verità
A partire dai simboli delle proposizioni atomiche p, q, r , s, . . ., i connettivi visti
∧, ∨, ¬, →, ↔, e le parentesi (), possiamo creare formule arbitrariamente
complesse.
Notiamo che le formule ¬(p ∧ q), ¬p ∧ q non sono equivalenti, in particolare
quindi dovremmo sempre usare delle parentesi, per stabilire l’ordine di
valutazione degli operatori dentro una formula complessa.
Possiamo ridurre il numero di parentesi semplificare la lettura delle formule,
assegnamo una precedenza agli operatori: la negazione ha priorità su tutti gli
altri operatori quindi ¬p ∧ q = (¬p) ∧ q 6= ¬(p ∧ q).
Subito dopo la negazione, vengono gli operatori di congiunzione e
disgiunzione ∧, ∨, ed infine le implicazioni →, ↔.
Quindi si ha: (¬p → q) ∧ r ∨ ¬p ∧ s ≡ ((¬p) → q) ∧ r ∨ (¬p) ∧ s.
Inoltre, AND ed OR associano a sinistra: p ∧ q ∧ s ≡ ((p ∧ q) ∧ s).
Formule Complesse
Valutazione
Per capire il significato (semantica) di una formula complessa
possiamo costruire la sua tabella di verità, ad esempio se
F ≡ (p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
Si ha la seguente tavola:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
¬q
F
T
F
T
(p ∨ ¬q)
T
T
F
T
(p ∧ q)
T
F
F
F
(p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
T
F
T
F
Formule Complesse
Valutazione
Per capire il significato (semantica) di una formula complessa
possiamo costruire la sua tabella di verità, ad esempio se
F ≡ (p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
Si ha la seguente tavola:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
¬q
F
T
F
T
(p ∨ ¬q)
T
T
F
T
(p ∧ q)
T
F
F
F
(p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
T
F
T
F
Sembra comodo. Ma solo se il numero di simboli proposizionali è
piccolo, quante righe contiene infatti una tabella per una formula con
un numero generico n di variabili proposizionali?
Formule Complesse
Valutazione
Per capire il significato (semantica) di una formula complessa
possiamo costruire la sua tabella di verità, ad esempio se
F ≡ (p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
Si ha la seguente tavola:
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
¬q
F
T
F
T
(p ∨ ¬q)
T
T
F
T
(p ∧ q)
T
F
F
F
(p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
T
F
T
F
Sembra comodo. Ma solo se il numero di simboli proposizionali è
piccolo, quante righe contiene infatti una tabella per una formula con
un numero generico n di variabili proposizionali? (tantissime: 2n )
Dall’Italiano alle Formule
Possiamo usare il calcolo proposizionale per analizzare il senso di
alcune frasi, esempio:
Potete accedere ad Internet solo dall’Università solo se siete
studenti di Matematica oppure se non siete una matricola.
Potremmo pensare a questa come una singola proposizione, ma ha
più senso, provare a costruire una formula, a partire dalle proposizioni
più semplici. Gli atomi sono:
i = ”Puoi accedere ad Internet dall’Università”.
s = ”Tu sei uno studente di Matematica”.
m = ”Tu sei una matricola”.
Allora la frase sopra può essere rappresentata dalla proposizione
composta:
i → (s ∨ ¬m)
Esercizio
Siano p,q le seguenti proposizioni:
p: ”Ho comprato un biglietto della lotteria questo week-end”
q: ”Ho vinto un premio milionario”
Esercizio
Siano p,q le seguenti proposizioni:
p: ”Ho comprato un biglietto della lotteria questo week-end”
q: ”Ho vinto un premio milionario”
Esprimere in linguaggio naturale le seguenti proposizioni composte:
¬p
p↔q
p∨q
¬p → ¬q
p∧q
¬p ∧ ¬q
p→q
¬p ∨ (p ∧ q)
Esercizio
Siano p,q le seguenti proposizioni:
p: ”Ho comprato un biglietto della lotteria questo week-end”
q: ”Ho vinto un premio milionario”
Esprimere in linguaggio naturale le seguenti proposizioni composte:
¬p
p↔q
p∨q
¬p → ¬q
p∧q
¬p ∧ ¬q
p→q
¬p ∨ (p ∧ q)
L’affermazione ”Questa frase è falsa” è una proposizione?
Esercizio
Siano p,q le seguenti proposizioni:
p: ”Ho comprato un biglietto della lotteria questo week-end”
q: ”Ho vinto un premio milionario”
Esprimere in linguaggio naturale le seguenti proposizioni composte:
¬p
p↔q
p∨q
¬p → ¬q
p∧q
¬p ∧ ¬q
p→q
¬p ∨ (p ∧ q)
L’affermazione ”Questa frase è falsa” è una proposizione?
Un antica leggenda siciliana dice che il barbiere di un lontano villaggio,
raggiungibile solo dopo aver viaggiato a lungo attraverso sentieri
pericolosi, fa la barba solo alle persone che non fanno si sbarbano da
soli. Può esistere un barbiere siffatto?
Circuiti Digitali Combinatorici
Se al posto dei valori di verità T, F, usiamo i valori 1, 0 allora possiamo
applicare esattamente gli stessi operatori, OR, AND, XOR, NOT, e
otteniamo quella che si chiama logica della commutazione digitale.
Se assumiamo che queste operazioni base siano fatte da opportuni
circuiti digitali, allora possiamo costruire un circuito più complesso a
partire dalla combinazione delle porte elementari.
Tautologie, Contraddizioni
Consideriamo una formula generica composta A, cosa possiamo dire
su A, rispetto alle proposizioni che la compongono?
Tautologie e Contraddizioni
Se una formula composta A è sempre vera, per qualunque valore di
verità delle sue variabili proposizionali (atomi), essa è una Tautologia,
diremo anche che A è valida.
Se invece essa è sempre falsa allora è una Contraddizione, diremo
anche che A è insoddisfacibile.
Esempi: la formula p ∨ ¬p è una tautologia, la formula p ∧ ¬p è una
contraddizione.
Tautologie, Contraddizioni
Consideriamo una formula generica composta A, cosa possiamo dire
su A, rispetto alle proposizioni che la compongono?
Tautologie e Contraddizioni
Se una formula composta A è sempre vera, per qualunque valore di
verità delle sue variabili proposizionali (atomi), essa è una Tautologia,
diremo anche che A è valida.
Se invece essa è sempre falsa allora è una Contraddizione, diremo
anche che A è insoddisfacibile.
Esempi: la formula p ∨ ¬p è una tautologia, la formula p ∧ ¬p è una
contraddizione.
Esercizio: Usare le tabelle di verità per verificare che
(p ∧ (p → q)) → q è una tautologia.
Formule Equivalenti
Una volta introdotto il concetto di tautologia, consideriamo l’insieme di
tutte le formule proposizionali con proposizioni atomiche p, q, r , ..; date
due formule, definiamo una relazione di equivalenza tra esse:
Equivalenza Logica
Le proposizioni p, q sono logicamente equivalenti quando la formula
p ↔ q è una tautologia. La relazione è indicata in questo modo: p ≡ q.
Esempio: Dimostrare le seguenti relazioni di equivalenza dette
Leggi di De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
(1)
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
(2)
Formule Equivalenti
Una volta introdotto il concetto di tautologia, consideriamo l’insieme di
tutte le formule proposizionali con proposizioni atomiche p, q, r , ..; date
due formule, definiamo una relazione di equivalenza tra esse:
Equivalenza Logica
Le proposizioni p, q sono logicamente equivalenti quando la formula
p ↔ q è una tautologia. La relazione è indicata in questo modo: p ≡ q.
Esempio: Dimostrare le seguenti relazioni di equivalenza dette
Leggi di De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
(1)
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
(2)
Mostrare che p → q ≡ ¬p ∨ q.
Equivalenze Logiche
Equivalenza
Nome
p∨F ≡p
p∨T ≡T
p∨p ≡p
p∧T ≡p
p∧F ≡F
p∧p ≡p
Leggi d’identità
Dominazione
Idenpotenza
p∨q ≡q∨p
p∧q ≡q∧p
Commutatività
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r )
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r )
Associative
p ∨ (q ∧ r ) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r )
p ∧ (q ∨ r ) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
Distributività
p ∧ ¬p ≡ F
¬(¬p) ≡ p
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
p ∨ ¬p ≡ T
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Negazione
Doppia Negazione
De Morgan
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
Assorbimento
Equivalenze Logiche
Equivalenza
Nome
p∨F ≡p
p∨T ≡T
p∨p ≡p
p∧T ≡p
p∧F ≡F
p∧p ≡p
Leggi d’identità
Dominazione
Idenpotenza
p∨q ≡q∨p
p∧q ≡q∧p
Commutatività
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r )
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r )
Associative
p ∨ (q ∧ r ) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r )
p ∧ (q ∨ r ) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
Distributività
p ∧ ¬p ≡ F
¬(¬p) ≡ p
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
p ∨ ¬p ≡ T
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Negazione
Doppia Negazione
De Morgan
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
Assorbimento
Outline
1
Logica
Dialettica, Paradossi, Dimostrazioni
2
Logica Matematica
Logica Proposizionale
Logica dei Predicati
Limiti del Calcolo Proposizionale
Supponiamo di conoscere che ”Ogni computer connesso al
dipartimento funziona correttamente”.
E che ”MATH3 è un computer del dipartimento”,
allora vorremmo poter dedurre che ”MATH3 funziona correttamente”.
Limiti del Calcolo Proposizionale
Supponiamo di conoscere che ”Ogni computer connesso al
dipartimento funziona correttamente”.
E che ”MATH3 è un computer del dipartimento”,
allora vorremmo poter dedurre che ”MATH3 funziona correttamente”.
Inoltre, se ”Giorgio è una matricola di Matemetica”, allora è chiaro che
esiste una matricola nel corso di Matematica.
Limiti del Calcolo Proposizionale
Supponiamo di conoscere che ”Ogni computer connesso al
dipartimento funziona correttamente”.
E che ”MATH3 è un computer del dipartimento”,
allora vorremmo poter dedurre che ”MATH3 funziona correttamente”.
Inoltre, se ”Giorgio è una matricola di Matemetica”, allora è chiaro che
esiste una matricola nel corso di Matematica.
Queste deduzioni non sono possibili nella logica proposizionale.
Il Calcolo dei Predicati sopperisce a questo limite, estendendo il
calcolo proposizionale, e aumentando (di molto) il potere espressivo
della logica associata.
