Strutture algebriche con origine in fisica e loro applicazioni

Seminario Matematico
In occasione della presentazione dei nuovi Ricercatori del Dipartimento
Strutture algebriche con origine in fisica
e loro applicazioni
Alberto De Sole
Roma, 18/9/2009
Presentazione disponibile nel sito:
www.mat.uniroma1.it/∼desole
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
1 / 20
Outline
1
Algebre di vertice e Algebre di vertice di Poisson
2
Esempi di PVA
3
PVA e equazioni Hamiltoniane
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
2 / 20
Introduzione: ”Le 4 teorie fisiche fondamentali”
CFT
O
CM j
t
lim.cl.
quantiz.
/ QFT
O
quantiz.
/ QM
lim.cl.
Meccanica Classica: particelle puntiformi (numero finito di gradi di
libertà); osservabili sono funzioni (commutano) nello spazio delle
fasi; l’evoluzione dinamica è: ḟ (x, p) = {H, f }.
Meccanica Quantistica: particelle puntiformi; osservabili sono
operatori nello spazio delle fasi; la dinamica è: Ȯ = ~i [H, O].
Teoria di campo classica: particelle ondulatorie (numero infinito di
gradi di libertà); osservabili sono funzionali, o campi classici.
Teoria dei campi quant.: particelle ondulatorie; osservabili distrib.
a valori operatori nello spazio degli stati, o campi quantistici.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
3 / 20
Introduzione: ”Le 4 teorie fisiche fondamentali”
CFT
O
CM j
t
lim.cl.
quantiz.
/ QFT
O
quantiz.
/ QM
lim.cl.
Meccanica Classica: particelle puntiformi (numero finito di gradi di
libertà); osservabili sono funzioni (commutano) nello spazio delle
fasi; l’evoluzione dinamica è: ḟ (x, p) = {H, f }.
Meccanica Quantistica: particelle puntiformi; osservabili sono
operatori nello spazio delle fasi; la dinamica è: Ȯ = ~i [H, O].
Teoria di campo classica: particelle ondulatorie (numero infinito di
gradi di libertà); osservabili sono funzionali, o campi classici.
Teoria dei campi quant.: particelle ondulatorie; osservabili distrib.
a valori operatori nello spazio degli stati, o campi quantistici.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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3 / 20
Introduzione: ”Le 4 teorie fisiche fondamentali”
CFT
O
CM j
t
lim.cl.
quantiz.
/ QFT
O
quantiz.
/ QM
lim.cl.
Meccanica Classica: particelle puntiformi (numero finito di gradi di
libertà); osservabili sono funzioni (commutano) nello spazio delle
fasi; l’evoluzione dinamica è: ḟ (x, p) = {H, f }.
Meccanica Quantistica: particelle puntiformi; osservabili sono
operatori nello spazio delle fasi; la dinamica è: Ȯ = ~i [H, O].
Teoria di campo classica: particelle ondulatorie (numero infinito di
gradi di libertà); osservabili sono funzionali, o campi classici.
Teoria dei campi quant.: particelle ondulatorie; osservabili distrib.
a valori operatori nello spazio degli stati, o campi quantistici.
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Introduzione: ”Le 4 teorie fisiche fondamentali”
CFT
O
CM j
t
lim.cl.
quantiz.
/ QFT
O
quantiz.
/ QM
lim.cl.
Meccanica Classica: particelle puntiformi (numero finito di gradi di
libertà); osservabili sono funzioni (commutano) nello spazio delle
fasi; l’evoluzione dinamica è: ḟ (x, p) = {H, f }.
Meccanica Quantistica: particelle puntiformi; osservabili sono
operatori nello spazio delle fasi; la dinamica è: Ȯ = ~i [H, O].
Teoria di campo classica: particelle ondulatorie (numero infinito di
gradi di libertà); osservabili sono funzionali, o campi classici.
Teoria dei campi quant.: particelle ondulatorie; osservabili distrib.
a valori operatori nello spazio degli stati, o campi quantistici.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
3 / 20
Introduzione: ”Le 4 teorie fisiche fondamentali”
CFT
O
CM j
t
lim.cl.
quantiz.
/ QFT
O
quantiz.
/ QM
lim.cl.
Meccanica Classica: particelle puntiformi (numero finito di gradi di
libertà); osservabili sono funzioni (commutano) nello spazio delle
fasi; l’evoluzione dinamica è: ḟ (x, p) = {H, f }.
Meccanica Quantistica: particelle puntiformi; osservabili sono
operatori nello spazio delle fasi; la dinamica è: Ȯ = ~i [H, O].
Teoria di campo classica: particelle ondulatorie (numero infinito di
gradi di libertà); osservabili sono funzionali, o campi classici.
Teoria dei campi quant.: particelle ondulatorie; osservabili distrib.
a valori operatori nello spazio degli stati, o campi quantistici.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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3 / 20
Introduzione: ”Le 4 teorie fisiche fondamentali”
CFT
O
lim.cl.
t
quantiz.
/ QFT
O
/ QM
quantiz.
CM j
lim.cl.
Strutture algebriche corrispondenti:
PVA
O
Zhu alg.
t
cl.limit
chiraliz.
PA i
/ VA
O
quantiz.
chiraliz.
quantiz.
Zhu alg.
/ AA
cl.limit
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Algebre di vertice e applicazioni
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Algebre di Poisson & algebre associative
algebra di Lie
conforme
O
/o /o /o / algebra di vertice
analogo
di Poisson
/o /o /o / algebra di vertice
O
O
conforme
algebra di Lie /o /o /o o/ / algebra di Poisson /o /o o/ / algebra associativa
.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
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4 / 20
Definizione
Un’ algebra di Lie (unitaria) è i seguenti dati:
uno spazio vettoriale A,
un elemento 1 ∈ A,
un prodotto · : A × A → A,
un bracket { , } : A × A → A.
Assiomi:
a·1 = 1·a = a
(unità)
(ab)c − a(bc) = 0
(associatività)
ab − ba =
(commut.)
iii) {a, b} = −{b, a}
(anti simm.)
{a, {b, c}}−{b, {a, c}} = {{a, b}, c}
(id. Jacobi)
iv ) {a, bc} = {a, b}c + b{a, c}
(regola di Leibniz)
i)
ii)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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5 / 20
Definizione
Un’ algebra di Poisson
(unitaria) è i seguenti dati:
uno spazio vettoriale A,
un elemento 1 ∈ A,
un prodotto · : A × A → A,
un bracket { , } : A × A → A.
Assiomi:
a·1 = 1·a = a
(unità)
(ab)c − a(bc) = 0
(associatività)
ab − ba = 0
(commut.)
iii) {a, b} = −{b, a}
(anti simm.)
{a, {b, c}}−{b, {a, c}} = {{a, b}, c}
(id. Jacobi)
iv ) {a, bc} = {a, b}c + b{a, c}
(regola di Leibniz)
i)
ii)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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5 / 20
Definizione
Un’ algebra di Poisson
(unitaria) è i seguenti dati:
uno spazio vettoriale A,
un elemento 1 ∈ A,
un prodotto · : A × A → A,
un bracket { , } : A × A → A.
Assiomi:
a·1 = 1·a = a
(unità)
(ab)c − a(bc) = 0
(associatività)
ab − ba = 0
(commut.)
iii) {a, b} = −{b, a}
(anti simm.)
{a, {b, c}}−{b, {a, c}} = {{a, b}, c}
(id. Jacobi)
iv ) {a, bc} = {a, b}c + b{a, c}
(regola di Leibniz)
i)
ii)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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5 / 20
Definizione
Un’ algebra di Poisson
(unitaria) è i seguenti dati:
uno spazio vettoriale A,
un elemento 1 ∈ A,
un prodotto · : A × A → A,
un bracket { , } : A × A → A.
Assiomi:
a·1 = 1·a = a
(unità)
(ab)c − a(bc) = 0
(associatività)
ab − ba = 0
(commut.)
iii) {a, b} = −{b, a}
(anti simm.)
{a, {b, c}}−{b, {a, c}} = {{a, b}, c}
(id. Jacobi)
iv ) {a, bc} = {a, b}c + b{a, c}
(regola di Leibniz)
i)
ii)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
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Definizione
Un’ algebra di
associativa (unitaria) è i seguenti dati:
uno spazio vettoriale A,
un elemento 1 ∈ A,
un prodotto · : A × A → A,
un bracket { , } : A × A → A.
Assiomi:
a·1 = 1·a = a
(unità)
(ab)c − a(bc) = 0
(associatività)
ab − ba = {a, b}
(q-commut.)
iii) {a, b} = −{b, a}
(anti simm.)
{a, {b, c}}−{b, {a, c}} = {{a, b}, c}
(id. Jacobi)
iv ) {a, bc} = {a, b}c + b{a, c}
(regola di Leibniz)
i)
ii)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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5 / 20
Algebre di vertice di Poisson & algebre di vertice
algebra di Lie
conforme
O
/o /o /o / algebra di vertice
analogo
di Poisson
/o /o /o / algebra di vertice
O
O
conforme
algebra di Lie /o /o /o o/ / algebra di Poisson /o /o o/ / algebra associativa
.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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6 / 20
Algebre di vertice di Poisson & algebre di vertice
algebra di Lie
conforme
O
/o /o /o / algebra di vertice
analogo
di Poisson
/o /o /o / algebra di vertice
O
O
conforme
algebra di Lie /o /o /o o/ / algebra di Poisson /o /o o/ / algebra associativa
.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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6 / 20
Algebre di vertice di Poisson & algebre di vertice
algebra di Lie
conforme
O
/o /o /o / algebra di vertice
analogo
di Poisson
/o /o /o / algebra di vertice
O
O
conforme
algebra di Lie /o /o /o o/ / algebra di Poisson /o /o o/ / algebra associativa
.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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Algebre di vertice di Poisson & algebre di vertice
algebra di Lie
conforme
O
/o /o /o / algebra di vertice
analogo
di Poisson
/o /o /o / algebra di vertice
O
O
conforme
algebra di Lie /o /o /o o/ / algebra di Poisson /o /o o/ / algebra associativa
.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
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Definizione Un’algebra di Lie conforme R è uno spazio vettoriale con
un endomorfismo ∂ ∈ End R e un bracket di Lie
a ⊗ b 7→ {aλ b} ∈ R[λ]
soddisfacente i seguenti assiomi:
sesquilinearità
∂{aλ b}
= {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b}
=
− λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a −λ−∂ b}
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}} = {{aλ b}λ+µ c}
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Definizione Un’algebra di Lie differenziale R è uno spazio vettoriale
con un endomorfismo ∂ ∈ End R e un bracket di Lie
a ⊗ b 7→ {aλ b} ∈ R[λ]
soddisfacente i seguenti assiomi:
regola di Leibniz
∂{aλ b}
= {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b}
=
− λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a −λ−∂ b}
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}} = {{aλ b}λ+µ c}
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
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Definizione Un’algebra di Lie differenziale R è uno spazio vettoriale
con un endomorfismo ∂ ∈ End R e un bracket di Lie
a ⊗ b 7→ {aλ b} ∈ R[λ]
soddisfacente i seguenti assiomi:
regola di Leibniz
∂{aλ b}
= {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b}
=
− λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a −λ−∂ b}
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}} = {{aλ b}λ+µ c}
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
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Definizione Un’algebra di Lie conforme R è uno spazio vettoriale con
un endomorfismo ∂ ∈ End R e un λ–bracket
a ⊗ b 7→ {aλ b} ∈ R[λ]
soddisfacente i seguenti assiomi:
sesquilinearità
∂{aλ b}
= {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b}
=
− λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a −λ−∂ b}
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}} = {{aλ b}λ+µ c}
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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Definizione Un’algebra di Lie conforme R è uno spazio vettoriale con
un endomorfismo ∂ ∈ End R e un λ–bracket
a ⊗ b 7→ {aλ b} ∈ R[λ]
soddisfacente i seguenti assiomi:
sesquilinearità
∂{aλ b}
= {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b}
=
− λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a −λ−∂ b}
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}} = {{aλ b}λ+µ c}
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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Definizione Un’algebra di Lie conforme
R è uno spazio vettoriale con un
endomorfismo ∂ ∈ End R e un λ–bracket
a ⊗ b 7→ {aλ b} ∈ R[λ]
soddisfacente i seguenti assiomi:
sesquilinearità
∂{aλ b}
= {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b}
=
− λ{aλ b}
{aλ b} =
anti-simmetria
N
X
λn
n=0
n!
a(n) b
{bλ a} = −{a −λ−∂ b}
{a−λ−∂ b}
N
X
identità di Jacobi
(−1)n
=
(λ + ∂)n (a(n) b)
n!
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}} = {{aλ b}λ+µ c} n=0
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Algebre di vertice e applicazioni
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Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un
λ-bracket R ⊗ R → R[λ] che
soddisfa
Definizione Un’algebra di vertice di
Poisson V è uno spazio vettoriale con due
strutture algebriche:
sesquilinearità
un prodotto commutativo associativo
differenziale, f , g 7→ f · g ∈ V,
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
un bracket di algebra di Lie conforme
f , g 7→ {f λ g} ∈ V[λ];
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
soddisfano la regola di Leibniz (da
sinistra):
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
{f λ gh} = {f λ g}h + g{f λ h} .
.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
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Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un
λ-bracket R ⊗ R → R[λ] che
soddisfa
Definizione Un’algebra di vertice di
Poisson V è uno spazio vettoriale con due
strutture algebriche:
sesquilinearità
un prodotto commutativo associativo
differenziale, f , g 7→ f · g ∈ V,
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
un bracket di algebra di Lie conforme
f , g 7→ {f λ g} ∈ V[λ];
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
soddisfano la regola di Leibniz (da
sinistra):
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
{f λ gh} = {f λ g}h + g{f λ h} .
.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un
λ-bracket R ⊗ R → R[λ] che
soddisfa
Definizione Un’algebra di vertice di
Poisson V è uno spazio vettoriale con due
strutture algebriche:
sesquilinearità
un prodotto commutativo associativo
differenziale, f , g 7→ f · g ∈ V,
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
un bracket di algebra di Lie conforme
f , g 7→ {f λ g} ∈ V[λ];
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
soddisfano la regola di Leibniz (da
sinistra):
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
{f λ gh} = {f λ g}h + g{f λ h} .
.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un
λ-bracket R ⊗ R → R[λ] che
soddisfa
Definizione Un’algebra di vertice di
Poisson V è uno spazio vettoriale con due
strutture algebriche:
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
un prodotto commutativo associativo
differenziale, f , g 7→ f · g ∈ V,
un bracket di algebra di Lie conforme
f , g 7→ {f λ g} ∈ V[λ];
soddisfano la regola di Leibniz (da
sinistra):
{f λ gh} = {f λ g}h + g{f λ h} .
Nota: Segue la regola di Leibniz da destra:
{fgλ h} = {fλ+∂ g}→ h + {hλ+∂ g}→ f .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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8 / 20
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un
λ-bracket R ⊗ R → R[λ] che
soddisfa
Definizione Un’algebra di vertice di
Poisson V è uno spazio vettoriale con due
strutture algebriche:
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
un prodotto commutativo associativo
differenziale, f , g 7→ f · g ∈ V,
un bracket di algebra di Lie conforme
f , g 7→ {f λ g} ∈ V[λ];
soddisfano la regola di Leibniz (da
sinistra):
{f λ gh} = {f λ g}h + g{f λ h} .
Nota: Segue la regola di Leibniz da destra:
{fgλ h} = {fλ+∂ g}→ h + {hλ+∂ g}→ f .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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8 / 20
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un
λ-bracket R ⊗ R → R[λ] che
soddisfa
Definizione Un’algebra di vertice di
Poisson V è uno spazio vettoriale con due
strutture algebriche:
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
identità di Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
{fλ+∂ g}→ h
N
X
1
=
(f(n) g)(λ + ∂)n h
n!
n=0
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
un prodotto commutativo associativo
differenziale, f , g 7→ f · g ∈ V,
un bracket di algebra di Lie conforme
f , g 7→ {f λ g} ∈ V[λ];
soddisfano la regola di Leibniz (da
sinistra):
{f λ gh} = {f λ g}h + g{f λ h} .
Nota: Segue la regola di Leibniz da destra:
{fgλ h} = {fλ+∂ g}→ h + {hλ+∂ g}→ f .
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
8 / 20
Def. Un’algebra di vertice di Poisson è i seguenti dati:
V : spazio degli stati; |0i ∈ V : vuoto; ∂ ∈ End(V ): trasl.infinit.;
a · b ∈ V , prod. ; [aλ b] ∈ V [λ], λ-bracket.
Assiomi:
a|0i = |0ia = a
(vuoto)
(Leibniz)
(assoc.)
(commut.)
(sesqulin.)
∂(ab) = (∂a)b+a(∂b)
(ab)c − a(bc) = 0
ab − ba = 0
∂[aλ b] = [∂aλ b] + [aλ ∂b]
[∂aλ b] = −λ[aλ b]
[aλ b] = −[b−λ−∂ a]
[aλ [bµ c]]−[bµ [aλ c]]=[[aλ b]λ+µ c]
[aλ bc] = [aλ b]c +b[aλ c]
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
(anti-sim.)
(id.Jacobi)
(form.Wick)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
9 / 20
Def. Un’algebra di vertice è i seguenti dati:
V : spazio degli stati; |0i ∈ V : vuoto; ∂ ∈ End(V ): trasl.infinit.;
: ab :∈ V , prod. norm. ordinato ; [aλ b] ∈ V [λ], λ-bracket.
Assiomi:
: a|0i : = : |0ia : = a
(vuoto)
∂( : ab :) = : (∂a)b : + : a(∂b) :
: ( :ab :)c : − : a( : bc :) :
R∂
= : 0 dλa [bλ c]: + a ↔ b
R0
: ab : − : ba := −∂ dλ[aλ b]
∂[aλ b] = [∂aλ b] + [aλ ∂b]
(Leibniz)
(q-assoc.)
(q-commut.)
(sesqulin.)
[∂aλ b] = −λ[aλ b]
[aλ b] = −[b−λ−∂ a]
[aλ [bµ c]]−[bµ [aλ c]]=[[aλ b]λ+µ c]
(anti-sim.)
(id.Jacobi)
[aλ : bc :] = : [aλ b]c : + : b[aλ c] :
Rλ
+ 0 dµ[[aλ b]µ c]
(form.Wick)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
9 / 20
Def. Un’algebra di vertice è i seguenti dati:
V : spazio degli stati; |0i ∈ V : vuoto; ∂ ∈ End(V ): trasl.infinit.;
: ab :∈ V , prod. norm. ordinato ; [aλ b] ∈ V [λ], λ-bracket.
Assiomi:
: a|0i : = : |0ia : = a
(vuoto)
∂( : ab :) = : (∂a)b : + : a(∂b) :
: ( :ab :)c : − : a( : bc :) :
R∂
= : 0 dλa [bλ c]: + a ↔ b
R0
: ab : − : ba := −∂ dλ[aλ b]
∂[aλ b] = [∂aλ b] + [aλ ∂b]
(Leibniz)
(q-assoc.)
(q-commut.)
(sesqulin.)
[∂aλ b] = −λ[aλ b]
[aλ b] = −[b−λ−∂ a]
[aλ [bµ c]]−[bµ [aλ c]]=[[aλ b]λ+µ c]
(anti-sim.)
(id.Jacobi)
[aλ : bc :] = : [aλ b]c : + : b[aλ c] :
Rλ
+ 0 dµ[[aλ b]µ c]
(form.Wick)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
9 / 20
Def. Un’algebra di vertice è i seguenti dati:
V : spazio degli stati; |0i ∈ V : vuoto; ∂ ∈ End(V ): trasl.infinit.;
: ab :∈ V , prod. norm. ordinato ; [aλ b] ∈ V [λ], λ-bracket.
Assiomi:
: a|0i : = : |0ia : = a
(vuoto)
∂( : ab :) = : (∂a)b : + : a(∂b) :
: ( :ab :)c : − : a( : bc :) :
R∂
= : 0 dλa [bλ c]: + a ↔ b
R0
: ab : − : ba := −∂ dλ[aλ b]
∂[aλ b] = [∂aλ b] + [aλ ∂b]
(Leibniz)
(q-assoc.)
(q-commut.)
(sesqulin.)
[∂aλ b] = −λ[aλ b]
[aλ b] = −[b−λ−∂ a]
[aλ [bµ c]]−[bµ [aλ c]]=[[aλ b]λ+µ c]
(anti-sim.)
(id.Jacobi)
[aλ : bc :] = : [aλ b]c : + : b[aλ c] :
Rλ
+ 0 dµ[[aλ b]µ c]
(form.Wick)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
9 / 20
Def. Un’algebra di vertice è i seguenti dati:
V : spazio degli stati; |0i ∈ V : vuoto; ∂ ∈ End(V ): trasl.infinit.;
: ab :∈ V , prod. norm. ordinato ; [aλ b] ∈ V [λ], λ-bracket.
Assiomi:
“Z ∂
”
: a|0i : = : |0ia : = a
(vuoto)
dλa [bλ c]
0
∂( : ab :) = : (∂a)b : + : a(∂b) :
: ( :ab :)c : − : a( : bc :) :
R∂
= : 0 dλa [bλ c]: + a ↔ b
R0
: ab : − : ba := −∂ dλ[aλ b]
∂[aλ b] = [∂aλ b] + [aλ ∂b]
(Leibniz)
(q-assoc.)
(q-commut.)
(sesqulin.)
N
X
∂ n+1 a
n=0
−∂
(anti-sim.)
(id.Jacobi)
[aλ : bc :] = : [aλ b]c : + : b[aλ c] :
Rλ
+ 0 dµ[[aλ b]µ c]
(form.Wick)
Algebre di vertice e applicazioni
b(n) c
dλ[aλ b]
N (−∂)n+1 (a b)
X
(n)
n=0
[aλ b] = −[b−λ−∂ a]
[aλ [bµ c]]−[bµ [aλ c]]=[[aλ b]λ+µ c]
(n + 1)!
Z 0
=−
[∂aλ b] = −λ[aλ b]
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
=
(n + 1)!
[b−λ−∂ a]
N
X
1
n
=
(−λ − ∂) (b(n) a)
n!
n=0
Roma 18/9/2009
9 / 20
Outline
1
Algebre di vertice e Algebre di vertice di Poisson
2
Esempi di PVA
3
PVA e equazioni Hamiltoniane
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
10 / 20
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra comm. assoc.
differenziale, derivata ∂ e
prodotto f · g,
un’algebra di Lie conforme,
con deriv. ∂ e λ-bracket
{fλ g};
Def: Un’algebra di funzioni differenziabili è
(n)
C[ui
| i = 1, . . . , `, n ∈ Z+ ] ⊂ V
con le derivate parziali
∂
: V →V,
(n)
∂ui
e la derivata totale
X (n+1) ∂
ui
.
∂=
(n)
∂ui
i,n
∂f
(n)
∂ui
= 0 for n >> 0, regole
h
i
∂
∂
di commutazione:
,
∂
= (n−1)
.
(n)
Chiediamo:
∂ui
∂ui
regola di Leibniz:
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
11 / 20
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra comm. assoc.
differenziale, derivata ∂ e
prodotto f · g,
un’algebra di Lie conforme,
con deriv. ∂ e λ-bracket
{fλ g};
Def: Un’algebra di funzioni differenziabili è
(n)
C[ui
| i = 1, . . . , `, n ∈ Z+ ] ⊂ V
con le derivate parziali
∂
: V →V,
(n)
∂ui
e la derivata totale
X (n+1) ∂
ui
.
∂=
(n)
∂ui
i,n
∂f
(n)
∂ui
= 0 for n >> 0, regole
h
i
∂
∂
di commutazione:
,
∂
= (n−1)
.
(n)
Chiediamo:
∂ui
∂ui
regola di Leibniz:
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
11 / 20
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra comm. assoc.
differenziale, derivata ∂ e
prodotto f · g,
un’algebra di Lie conforme,
con deriv. ∂ e λ-bracket
{fλ g};
Def: Un’algebra di funzioni differenziabili è
(n)
C[ui
| i = 1, . . . , `, n ∈ Z+ ] ⊂ V
con le derivate parziali
∂
: V →V,
(n)
∂ui
e la derivata totale
X (n+1) ∂
ui
.
∂=
(n)
∂ui
i,n
∂f
(n)
∂ui
= 0 for n >> 0, regole
h
i
∂
∂
di commutazione:
,
∂
= (n−1)
.
(n)
Chiediamo:
∂ui
∂ui
regola di Leibniz:
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
11 / 20
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra comm. assoc.
differenziale, derivata ∂ e
prodotto f · g,
un’algebra di Lie conforme,
con deriv. ∂ e λ-bracket
{fλ g};
Def: Un’algebra di funzioni differenziabili è
(n)
C[ui
| i = 1, . . . , `, n ∈ Z+ ] ⊂ V
con le derivate parziali
∂
: V →V,
(n)
∂ui
e la derivata totale
X (n+1) ∂
ui
.
∂=
(n)
∂ui
i,n
∂f
(n)
∂ui
= 0 for n >> 0, regole
h
i
∂
∂
di commutazione:
,
∂
= (n−1)
.
(n)
Chiediamo:
∂ui
∂ui
regola di Leibniz:
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
11 / 20
Algebra di Lie conforme
Def: Un’algebra di funzioni differenziabili è
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
(n)
C[ui
| i = 1, . . . , `, n ∈ Z+ ] ⊂ V
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra comm. assoc.
differenziale, derivata ∂ e
prodotto f · g,
un’algebra di Lie conforme,
con deriv. ∂ e λ-bracket
{fλ g};
regola di Leibniz:
con le derivate parziali
∂
: V →V,
(n)
∂ui
e la derivata totale
X (n+1) ∂
.
∂=
ui
(n)
∂ui
i,n
Formula Principale: {fλ g} =
X
∂g
(n)
i,j,m,n
∂uj
(λ + ∂)n {ui λ+∂ uj }→ (−λ − ∂)m
∂f
(m)
∂ui
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
11 / 20
Esempi
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
1
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
2
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
c: carica centrale di Virasoro
Note: every linear combin. is a PVA!
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra di Lie conforme,
deriv. ∂ e λ-bracket {fλ g};
regola di Leibniz:
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
PVA Virasoro-Magri:
V = C[u (n) | n ∈ Z+ ] con
{uλ u} = u 0 + 2uλ + cλ3
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
un’algebra comm. assoc.
differenziale, con derivata ∂ e
prodotto f · g,
PVA GFZ: V = C[u (n) | n ∈ Z+ ] con
{uλ u} = λ
3
PVA affini: Dati: algebra di Lie g, p ∈ g,
forma bilin. simm. invariante ( | ), k ∈ C
V cl (g, p, ( | )) = C C[∂]g con (a, b ∈ g)
{aλ b} = [a, b] + (p|[a, b]) + k(a|b)λ .
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
12 / 20
Esempi
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
1
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
2
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
c: carica centrale di Virasoro
Note: every linear combin. is a PVA!
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra di Lie conforme,
deriv. ∂ e λ-bracket {fλ g};
regola di Leibniz:
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
PVA Virasoro-Magri:
V = C[u (n) | n ∈ Z+ ] con
{uλ u} = u 0 + 2uλ + cλ3
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
un’algebra comm. assoc.
differenziale, con derivata ∂ e
prodotto f · g,
PVA GFZ: V = C[u (n) | n ∈ Z+ ] con
{uλ u} = λ
3
PVA affini: Dati: algebra di Lie g, p ∈ g,
forma bilin. simm. invariante ( | ), k ∈ C
V cl (g, p, ( | )) = C C[∂]g con (a, b ∈ g)
{aλ b} = [a, b] + (p|[a, b]) + k(a|b)λ .
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
12 / 20
Esempi
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
1
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
2
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
c: carica centrale di Virasoro
Note: every linear combin. is a PVA!
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra di Lie conforme,
deriv. ∂ e λ-bracket {fλ g};
regola di Leibniz:
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
PVA Virasoro-Magri:
V = C[u (n) | n ∈ Z+ ] con
{uλ u} = u 0 + 2uλ + cλ3
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
un’algebra comm. assoc.
differenziale, con derivata ∂ e
prodotto f · g,
PVA GFZ: V = C[u (n) | n ∈ Z+ ] con
{uλ u} = λ
3
PVA affini: Dati: algebra di Lie g, p ∈ g,
forma bilin. simm. invariante ( | ), k ∈ C
V cl (g, p, ( | )) = C C[∂]g con (a, b ∈ g)
{aλ b} = [a, b] + (p|[a, b]) + k(a|b)λ .
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
12 / 20
Esempi
Algebra di Lie conforme
Un C[∂]-modulo R con un λ-bracket
R ⊗ R → R[λ] che soddisfa
1
sesquilinearità
∂{aλ b} = {∂aλ b} + {aλ ∂b}
{∂aλ b} = −λ{aλ b}
2
anti-simmetria
{bλ a} = −{a−λ−∂ b}
id. Jacobi
c: carica centrale di Virasoro
Note: every linear combin. is a PVA!
Algebra di vertice di Poisson
un’algebra di Lie conforme,
deriv. ∂ e λ-bracket {fλ g};
regola di Leibniz:
{fλ gh} = {fλ g}h + g{fλ h} .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
PVA Virasoro-Magri:
V = C[u (n) | n ∈ Z+ ] con
{uλ u} = u 0 + 2uλ + cλ3
{aλ {bµ c}} − {bµ {aλ c}}
= {{aλ b}λ+µ c}
un’algebra comm. assoc.
differenziale, con derivata ∂ e
prodotto f · g,
PVA GFZ: V = C[u (n) | n ∈ Z+ ] con
{uλ u} = λ
3
PVA affini: Dati: algebra di Lie g, p ∈ g,
forma bilin. simm. invariante ( | ), k ∈ C
V cl (g, p, ( | )) = C C[∂]g con (a, b ∈ g)
{aλ b} = [a, b] + (p|[a, b]) + k(a|b)λ .
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
12 / 20
Outline
1
Algebre di vertice e Algebre di vertice di Poisson
2
Esempi di PVA
3
PVA e equazioni Hamiltoniane
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
13 / 20
Che legame c’e’ tra le P.V.A. e le equazioni Hamiltoniane?
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
14 / 20
Che legame c’e’ tra le P.V.A. e le equazioni Hamiltoniane?
Basic Lemma: Sia V una P.V.A. Allora:
V/∂V è un’algebra di Lie con Lie-bracket
˛
R R
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V/∂V
R
(Notazione: f = f + ∂V ∈ V/∂V.
V è un V/∂V-modulo, con azione
˛
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
14 / 20
Basic Lemma: Sia V una P.V.A. Allora:
V/∂V è un’algebra di Lie con Lie-bracket
˛
R R
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V/∂V
R
(Notazione: f = f + ∂V ∈ V/∂V.
V è un V/∂V-modulo, con azione
˛
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V
Definizioni: sia V una PVA su un algebra di funzioni differenziabili.
Spazio delle funzioni: V (spazio delle fasi).
Spazio dei funzionali locali: V/∂V (osservabili fisiche).
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
14 / 20
Basic Lemma: Sia V una P.V.A. Allora:
V/∂V è un’algebra di Lie con Lie-bracket
˛
R R
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V/∂V
R
(Notazione: f = f + ∂V ∈ V/∂V.
V è un V/∂V-modulo, con azione
˛
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V
Definizioni: sia V una PVA su un algebra di funzioni differenziabili.
Spazio delle funzioni: V (spazio delle fasi).
Spazio dei funzionali locali: V/∂V (osservabili fisiche).
i
Sistema di equazioni di evoluzione: du
dt = Pi , i = 1, . . . , ` .
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
14 / 20
Basic Lemma: Sia V una P.V.A. Allora:
V/∂V è un’algebra di Lie con Lie-bracket
˛
R R
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V/∂V
R
(Notazione: f = f + ∂V ∈ V/∂V.
V è un V/∂V-modulo, con azione
˛
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V
Definizioni: sia V una PVA su un algebra di funzioni differenziabili.
Spazio delle funzioni: V (spazio delle fasi).
Spazio dei funzionali locali: V/∂V (osservabili fisiche).
i
Sistema di equazioni di evoluzione: du
dt = Pi , i = 1, . . . , ` .
P
∂
n
Quindi: df
i,n (∂ Pi ) (n) : campo vett.evolutivo
dt = XP (f ); XP =
∂ui
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
14 / 20
Basic Lemma: Sia V una P.V.A. Allora:
V/∂V è un’algebra di Lie con Lie-bracket
˛
R R
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V/∂V
R
(Notazione: f = f + ∂V ∈ V/∂V.
V è un V/∂V-modulo, con azione
˛
R
{ f , g} = {fλ g}˛λ=0 ∈ V
Definizioni: sia V una PVA su un algebra di funzioni differenziabili.
Spazio delle funzioni: V (spazio delle fasi).
Spazio dei funzionali locali: V/∂V (osservabili fisiche).
i
Sistema di equazioni di evoluzione: du
dt = Pi , i = 1, . . . , ` .
P
∂
n
Quindi: df
i,n (∂ Pi ) ∂u (n) : campo vett.evolutivo
dt = XP (f ); XP =
i
R
Equazione Hamiltoniana (con funzionale Hamilt. h):
X
R
δh
dui
= { h, ui } =
Hij (∂)
,
dt
δuj
j
dove: Hij (∂) = {uj ∂ ui }→ è l’operatore Hamiltoniano;
P
n ∂h è la derivata variazionale.
= ∞
(n)
n=0 (−∂)
δh
δuj
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
∂uj
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
14 / 20
Definizioni: sia V una PVA su un algebra di funzioni differenziabili.
Spazio delle funzioni: V (spazio delle fasi).
Spazio dei funzionali locali: V/∂V (osservabili fisiche).
i
Sistema di equazioni di evoluzione: du
dt = Pi , i = 1, . . . , ` .
P
∂
n
Quindi: df
i,n (∂ Pi ) ∂u (n) : campo vett.evolutivo
dt = XP (f ); XP =
i
R
Equazione Hamiltoniana (con funzionale Hamilt. h):
X
R
dui
δh
= { h, ui } =
Hij (∂)
,
dt
δuj
j
dove: Hij (∂) = {uj ∂ ui }→ è l’operatore Hamiltoniano;
P
n ∂h è la derivata variazionale.
= ∞
(n)
n=0 (−∂)
δh
δuj
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
∂uj
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
14 / 20
Definizioni: sia V una PVA su un algebra di funzioni differenziabili.
Spazio delle funzioni: V (spazio delle fasi).
Spazio dei funzionali locali: V/∂V (osservabili fisiche).
i
Sistema di equazioni di evoluzione: du
dt = Pi , i = 1, . . . , ` .
P
∂
n
Quindi: df
i,n (∂ Pi ) ∂u (n) : campo vett.evolutivo
dt = XP (f ); XP =
i
R
Equazione Hamiltoniana (con funzionale Hamilt. h):
X
R
dui
δh
= { h, ui } =
Hij (∂)
,
dt
δuj
j
dove: Hij (∂) = {uj ∂ ui }→ è l’operatore Hamiltoniano;
P
n ∂h
= ∞
n=0 (−∂) ∂u (n) è la derivata variazionale.
j
R
Integrali del moto (per un’equaz.Hamilt.): f s.t.
R R
dR
f = { h, f } = 0 .
dt
δh
δuj
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
14 / 20
Definizioni: sia V una PVA su un algebra di funzioni differenziabili.
Spazio delle funzioni: V (spazio delle fasi).
Spazio dei funzionali locali: V/∂V (osservabili fisiche).
i
Sistema di equazioni di evoluzione: du
dt = Pi , i = 1, . . . , ` .
P
∂
n
Quindi: df
i,n (∂ Pi ) ∂u (n) : campo vett.evolutivo
dt = XP (f ); XP =
i
R
Equazione Hamiltoniana (con funzionale Hamilt. h):
X
R
dui
δh
= { h, ui } =
Hij (∂)
,
dt
δuj
j
dove: Hij (∂) = {uj ∂ ui }→ è l’operatore Hamiltoniano;
P
n ∂h
= ∞
n=0 (−∂) ∂u (n) è la derivata variazionale.
j
R
Integrali del moto (per un’equaz.Hamilt.): f s.t.
R R
dR
f = { h, f } = 0 .
dt
R
R R R
Integrabilità: ∃ ∞ successione, lin. indip. h0 = h, h1 h2 . . . t.c.
R
R
{ hm , hn } = 0 , ∀m, n .
δh
δuj
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Roma 18/9/2009
14 / 20
Esempio: Equazione KdV su V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ]:
du
= 3uu 0 + cu 000 .
dt
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15 / 20
Esempio: Equazione KdV su V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ]:
du
= 3uu 0 + cu 000 .
dt
Si può scrivere in forma Hamiltoniana in due modi diversi:
1
2
PVA: {uλ u} = λ (questa èRla PVA GFZ),
funzionale Hamiltoniano: h0 = 12 u 3 + 2c uu 00 .
PVA: {uλ u} = u 0 + 2uλ +Rcλ3 (PVA Virasoro-Magri)
funzionale Hamiltoniano: h1 = 12 u 2 .
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Esempio: Equazione KdV su V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ]:
du
= 3uu 0 + cu 000 .
dt
Si può scrivere in forma Hamiltoniana in due modi diversi:
1
2
PVA: {uλ u} = λ (questa èRla PVA GFZ),
funzionale Hamiltoniano: h0 = 12 u 3 + 2c uu 00 .
PVA: {uλ u} = u 0 + 2uλ +Rcλ3 (PVA Virasoro-Magri)
funzionale Hamiltoniano: h1 = 12 u 2 .
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Esempio: Equazione KdV su V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ]:
du
= 3uu 0 + cu 000 .
dt
Si può scrivere in forma Hamiltoniana in due modi diversi:
1
PVA: {uλ u} = λ (questa èRla PVA GFZ),
funzionale Hamiltoniano: h0 = 12 u 3 + 2c uu 00 .
Infatti abbiamo:
`3
´
du
δh0
= {u∂ u}→
= ∂ u 2 + cu 00 = 3uu 0 + cu 000 .
dt
δu
2
2
PVA: {uλ u} = u 0 + 2uλ +Rcλ3 (PVA Virasoro-Magri)
funzionale Hamiltoniano: h1 = 12 u 2 .
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Esempio: Equazione KdV su V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ]:
du
= 3uu 0 + cu 000 .
dt
Si può scrivere in forma Hamiltoniana in due modi diversi:
1
PVA: {uλ u} = λ (questa èRla PVA GFZ),
funzionale Hamiltoniano: h0 = 12 u 3 + 2c uu 00 .
Infatti abbiamo:
`3
´
du
δh0
= {u∂ u}→
= ∂ u 2 + cu 00 = 3uu 0 + cu 000 .
dt
δu
2
2
PVA: {uλ u} = u 0 + 2uλ +Rcλ3 (PVA Virasoro-Magri)
funzionale Hamiltoniano: h1 = 12 u 2 .
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Esempio: Equazione KdV su V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ]:
du
= 3uu 0 + cu 000 .
dt
Si può scrivere in forma Hamiltoniana in due modi diversi:
1
PVA: {uλ u} = λ (questa èRla PVA GFZ),
funzionale Hamiltoniano: h0 = 12 u 3 + 2c uu 00 .
Infatti abbiamo:
`3
´
du
δh0
= {u∂ u}→
= ∂ u 2 + cu 00 = 3uu 0 + cu 000 .
dt
δu
2
2
PVA: {uλ u} = u 0 + 2uλ +Rcλ3 (PVA Virasoro-Magri)
funzionale Hamiltoniano: h1 = 12 u 2 .
Infatti abbiamo
`
´
du
δh1
= {u∂ u}→
= u 0 + 2u∂ + c∂ 3 u = 3uu 0 + cu 000 .
dt
δu
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Esempio: Equazione KdV su V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ]:
du
= 3uu 0 + cu 000 .
dt
Si può scrivere in forma Hamiltoniana in due modi diversi:
1
PVA: {uλ u} = λ (questa èRla PVA GFZ),
funzionale Hamiltoniano: h0 = 12 u 3 + 2c uu 00 .
Infatti abbiamo:
`3
´
du
δh0
= {u∂ u}→
= ∂ u 2 + cu 00 = 3uu 0 + cu 000 .
dt
δu
2
2
PVA: {uλ u} = u 0 + 2uλ +Rcλ3 (PVA Virasoro-Magri)
funzionale Hamiltoniano: h1 = 12 u 2 .
Infatti abbiamo
`
´
du
δh1
= {u∂ u}→
= u 0 + 2u∂ + c∂ 3 u = 3uu 0 + cu 000 .
dt
δu
Nota: in fatto di avere due forme Hamiltoniane compatibili è un punto
cruciale per dimostrare l’integrabilità con lo schema di Lenard.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
Definizione: V normale:
∂
(n)
∂ui
: V → V è suriettiva in ogni grado.
Ipotesi debole: ogni V si può estendere ad un’algebra normale (aggiungendo degli “integrali”).
2
3
4
5
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
⊂ Im K (∂) .
δu + C δu
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
Definizione: V normale:
∂
(n)
∂ui
: V → V è suriettiva in ogni grado.
Implica che il complesso del calcolo variazionale è esatto. In particolare: la derivata di Frechet di
`
´
P
∂Fi
δf
∂ n Pj è auto-aggiunta DF (∂) = DF∗ (∂) se e solo se F = δu
.
F , DF (∂)P i = j,n (n)
∂uj
2
3
4
5
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
compatibili: le combinazioni lineari α{· λ ·}H + β{· λ ·}K definiscono una PVA su V.
3
4
5
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
3
Def: K (∂) non-degenere: M(∂) = −M ∗ (∂) & K (∂)M(∂)K (∂) = 0 ⇒ M(∂) = 0.
Ipotesi debole (e facile da verificare); per rango 1 è sempre vera.
4
5
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
Nota: equazione di evoluzione che può essere scritta in due forme Hamiltoniane:
R
R
dui
= { h0 , ui }H = { h1 , ui }K
dt
5
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
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Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
⊂ Im K (∂) .
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
δu
δu
3
4
5
R
Notazione: la relazione di ortogonalità è: F ⊥ P ⇔ F · P = 0.
RAllora:
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
16 / 20
Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
16 / 20
Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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16 / 20
Teorema: (Schema di integrabilità di Lenard)
Ipotesi:
1
V è un’ algebra di funzioni differenziabili normale
2
Due strutture di PVA compatibili su V: {· λ ·}H e {· λ ·}K .
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è non-degenere.
R
R
R
R
Siano h0 , h1 ∈ V/∂V t.c. { h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
⊥
δh1
0
Condizione di ortogonalità: C δh
+
C
⊂ Im K (∂) .
δu
δu
3
4
5
Allora:
R
R ∃ una
R successione infinita di funzionali locali
h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
R
R
R
R
In particolare, { hm , hn }H = { hm , hn }K = 0 , ∀m, n ≥ 0.
Concl.: la gerarchia di equazioni Hamiltoniane
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
dui
dtn
Algebre di vertice e applicazioni
R
= { hn , ui }H è integrabile.
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16 / 20
Lenard scheme
Ipotesi:
1
V è normale.
2
{· λ ·}H e {· λ ·}K sono
strutture di PVA compatibili.
`
´
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è
non-degenere.
R
R
Rh0 , h1 ∈ V/∂V
R sono t.c.
{ h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
5
Condizione di ortogonalità:
` δh0
´
1 ⊥
C δu + C δh
⊂ Im K (∂).
δu
Esempi.
Allora:
R
R
R
∃ h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali
che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
Quindi: gerarchia integrabile
R
dui
= { hn , ui }H .
dtn
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
Algebre di vertice e applicazioni
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17 / 20
Esempi: equazione KdV
Spazio delle funzioni: V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ].
Equazione:
Lenard scheme
Ipotesi:
1
V è normale.
2
{· λ ·}H e {· λ ·}K sono
strutture di PVA compatibili.
`
´
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è
non-degenere.
R
R
Rh0 , h1 ∈ V/∂V
R sono t.c.
{ h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
5
du
δ 1 3
= 3uu 0 + cu 000 = |{z}
∂
(u + cuu 00 )
dt
δu |2
}
K (∂)
R{z
h2
δ 1 2
u .
= u + 2u∂ + c∂
{z
} δu 2
|
|{z}
H(∂)
R
0
h1
Condizione di ortogonalità:
` δh0
´
1 ⊥
C δu + C δh
⊂ Im K (∂).
δu
Abbiamo inoltre
Allora:
R
R
R
∃ h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali
che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
Quindi: gerarchia integrabile
R
dui
= { hn , ui }H .
dtn
3
δ
δ 1 2
∂
u = u 0 + 2u∂ + c∂ 3
u = u0 .
|{z}
|
{z
} δu |{z}
δu |{z}
2
R
K (∂)
H(∂)
R
h0
h1
Condizione di ortogonalità:
“ δh
`
´
δh1 ”⊥
0
+C
⊂ 1⊥ = ∂V = Im K (∂) .
C
δu
δu
Conclusione: l’eq. KdV è integrabile.
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Esempi: equazione KdV
Spazio delle funzioni: V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ].
Equazione:
Lenard scheme
Ipotesi:
1
V è normale.
2
{· λ ·}H e {· λ ·}K sono
strutture di PVA compatibili.
`
´
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è
non-degenere.
R
R
Rh0 , h1 ∈ V/∂V
R sono t.c.
{ h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
5
du
δ 1 3
= 3uu 0 + cu 000 = |{z}
∂
(u + cuu 00 )
dt
δu |2
}
K (∂)
R{z
h2
δ 1 2
u .
= u + 2u∂ + c∂
{z
} δu 2
|
|{z}
H(∂)
R
0
h1
Condizione di ortogonalità:
` δh0
´
1 ⊥
C δu + C δh
⊂ Im K (∂).
δu
Abbiamo inoltre
Allora:
R
R
R
∃ h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali
che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
Quindi: gerarchia integrabile
R
dui
= { hn , ui }H .
dtn
3
δ
δ 1 2
∂
u = u 0 + 2u∂ + c∂ 3
u = u0 .
|{z}
|
{z
} δu |{z}
δu |{z}
2
R
K (∂)
H(∂)
R
h0
h1
Condizione di ortogonalità:
“ δh
`
´
δh1 ”⊥
0
+C
⊂ 1⊥ = ∂V = Im K (∂) .
C
δu
δu
Conclusione: l’eq. KdV è integrabile.
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Esempi: equazione KdV
Spazio delle funzioni: V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ].
Equazione:
Lenard scheme
Ipotesi:
1
V è normale.
2
{· λ ·}H e {· λ ·}K sono
strutture di PVA compatibili.
`
´
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è
non-degenere.
R
R
Rh0 , h1 ∈ V/∂V
R sono t.c.
{ h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
5
du
δ 1 3
= 3uu 0 + cu 000 = |{z}
∂
(u + cuu 00 )
dt
δu |2
}
K (∂)
R{z
h2
δ 1 2
u .
= u + 2u∂ + c∂
{z
} δu 2
|
|{z}
H(∂)
R
0
h1
Condizione di ortogonalità:
` δh0
´
1 ⊥
C δu + C δh
⊂ Im K (∂).
δu
Abbiamo inoltre
Allora:
R
R
R
∃ h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali
che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
Quindi: gerarchia integrabile
R
dui
= { hn , ui }H .
dtn
3
δ
δ 1 2
∂
u = u 0 + 2u∂ + c∂ 3
u = u0 .
|{z}
|
{z
} δu |{z}
δu |{z}
2
R
K (∂)
H(∂)
R
h0
h1
Condizione di ortogonalità:
“ δh
`
´
δh1 ”⊥
0
+C
⊂ 1⊥ = ∂V = Im K (∂) .
C
δu
δu
Conclusione: l’eq. KdV è integrabile.
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Esempi: equazione KdV
Spazio delle funzioni: V = C[u, u 0 , u 00 , . . . ].
Equazione:
Lenard scheme
Ipotesi:
1
V è normale.
2
{· λ ·}H e {· λ ·}K sono
strutture di PVA compatibili.
`
´
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è
non-degenere.
R
R
Rh0 , h1 ∈ V/∂V
R sono t.c.
{ h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
5
du
δ 1 3
= 3uu 0 + cu 000 = |{z}
∂
(u + cuu 00 )
dt
δu |2
}
K (∂)
R{z
h2
δ 1 2
u .
= u + 2u∂ + c∂
{z
} δu 2
|
|{z}
H(∂)
R
0
h1
Condizione di ortogonalità:
` δh0
´
1 ⊥
C δu + C δh
⊂ Im K (∂).
δu
Abbiamo inoltre
Allora:
R
R
R
∃ h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali
che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
Quindi: gerarchia integrabile
R
dui
= { hn , ui }H .
dtn
3
δ
δ 1 2
∂
u = u 0 + 2u∂ + c∂ 3
u = u0 .
|{z}
|
{z
} δu |{z}
δu |{z}
2
R
K (∂)
H(∂)
R
h0
h1
Condizione di ortogonalità:
“ δh
`
´
δh1 ”⊥
0
+C
⊂ 1⊥ = ∂V = Im K (∂) .
C
δu
δu
Conclusione: l’eq. KdV è integrabile.
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Lenard scheme
Ipotesi:
1
V è normale.
2
{· λ ·}H e {· λ ·}K sono
strutture di PVA compatibili.
`
´
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è
non-degenere.
R
R
Rh0 , h1 ∈ V/∂V
R sono t.c.
{ h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
5
Esempi
In modo analogo si può dimostrare
l’integrabilità dell’ equazione HD:
du
= (u −1/2 )000
dt
Condizione di ortogonalità:
` δh0
´
1 ⊥
C δu + C δh
⊂ Im K (∂).
δu
Allora:
R
R
R
∃ h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali
che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
e del sistema di equazioni CNW:
du
000
0
0
dt = cu + 3uu + vv
dv
dt = ∂(uv )
Quindi: gerarchia integrabile
R
dui
= { hn , ui }H .
dtn
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Lenard scheme
Ipotesi:
1
V è normale.
2
{· λ ·}H e {· λ ·}K sono
strutture di PVA compatibili.
`
´
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è
non-degenere.
R
R
Rh0 , h1 ∈ V/∂V
R sono t.c.
{ h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
5
Esempi
In modo analogo si può dimostrare
l’integrabilità dell’ equazione HD:
du
= (u −1/2 )000
dt
Condizione di ortogonalità:
` δh0
´
1 ⊥
C δu + C δh
⊂ Im K (∂).
δu
Allora:
R
R
R
∃ h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali
che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
e del sistema di equazioni CNW:
du
000
0
0
dt = cu + 3uu + vv
dv
dt = ∂(uv )
Quindi: gerarchia integrabile
R
dui
= { hn , ui }H .
dtn
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
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Lenard scheme
Ipotesi:
1
V è normale.
2
{· λ ·}H e {· λ ·}K sono
strutture di PVA compatibili.
`
´
K (∂) = {uj ∂ ui }K i,j=1,...,` è
non-degenere.
R
R
Rh0 , h1 ∈ V/∂V
R sono t.c.
{ h0 , ·}H = { h1 , ·}K .
3
4
5
Esempi
In modo analogo si può dimostrare
l’integrabilità dell’ equazione HD:
du
= (u −1/2 )000
dt
Condizione di ortogonalità:
` δh0
´
1 ⊥
C δu + C δh
⊂ Im K (∂).
δu
Allora:
R
R
R
∃ h0 , h1 , h2 , · · · ∈ V/∂V, tali
che
R
R
{ hn , ·}H = { hn+1 , ·}K , ∀n ≥ 0 .
Quindi: gerarchia integrabile
R
dui
= { hn , ui }H .
dtn
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
e del sistema di equazioni CNW:
du
000
0
0
dt = cu + 3uu + vv
dv
dt = ∂(uv )
Nota: si può procedere in modo sistematico
per cercare nuove equazioni integrabili.
Algebre di vertice e applicazioni
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Esempio: sistema CNW di tipo HD
Spazio delle funzioni: V = C[u, v ±1 , u 0 , v 0 , u 00 , v 00 ]. Strutture di PVA compatibili:
{uλ u}K = (∂ + 2λ)u , {vλ v }K = 0 , {uλ v }K = (∂ + λ)v , {vλ u}K = λv ,
{uλ u}H = λ + cλ3 , {vλ v }H = λ , {uλ v }H = {vλ u}H = 0 .
Operatori Hamiltoniani (per c ∈ C):
„
H(∂) =
∂ + c∂ 3
0
0
∂
«
„
, K (∂) =
u 0 + 2u∂
v0 + v∂
v∂
0
«
.
R
R R
R
Siano h0 = v , h1 = vu .
0
0
1
Abbiamo: K (∂) δh
= H(∂) δh
= K (∂) δh
= 0.
δu
δu
δu
` δh0
`
´
δh1 ´⊥
Inoltre abbiamo C δu ⊕ C δu
⊂ Im K (∂) .
Quindi abbiamo una nuova gerarchia integrabile:
du
δhn−1
δhn
= H(∂)
= K (∂)
, n ≥ 0.
dt
δu
δu
La prima equazione della gerarchia è:
`1´
du
= (∂ + c∂ 3 )
,
dt1
v
che chiamiamo il sistema CNW di tipo HD.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
`u ´
dv
= −∂ 2
dt1
v
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Esempio: sistema CNW di tipo HD
Spazio delle funzioni: V = C[u, v ±1 , u 0 , v 0 , u 00 , v 00 ]. Strutture di PVA compatibili:
{uλ u}K = (∂ + 2λ)u , {vλ v }K = 0 , {uλ v }K = (∂ + λ)v , {vλ u}K = λv ,
{uλ u}H = λ + cλ3 , {vλ v }H = λ , {uλ v }H = {vλ u}H = 0 .
Operatori Hamiltoniani (per c ∈ C):
„
H(∂) =
∂ + c∂ 3
0
0
∂
«
„
, K (∂) =
u 0 + 2u∂
v0 + v∂
v∂
0
«
.
R
R R
R
Siano h0 = v , h1 = vu .
0
0
1
Abbiamo: K (∂) δh
= H(∂) δh
= K (∂) δh
= 0.
δu
δu
δu
` δh0
`
´
δh1 ´⊥
Inoltre abbiamo C δu ⊕ C δu
⊂ Im K (∂) .
Quindi abbiamo una nuova gerarchia integrabile:
du
δhn−1
δhn
= H(∂)
= K (∂)
, n ≥ 0.
dt
δu
δu
La prima equazione della gerarchia è:
`1´
du
= (∂ + c∂ 3 )
,
dt1
v
che chiamiamo il sistema CNW di tipo HD.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
`u ´
dv
= −∂ 2
dt1
v
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Esempio: sistema CNW di tipo HD
Spazio delle funzioni: V = C[u, v ±1 , u 0 , v 0 , u 00 , v 00 ]. Strutture di PVA compatibili:
{uλ u}K = (∂ + 2λ)u , {vλ v }K = 0 , {uλ v }K = (∂ + λ)v , {vλ u}K = λv ,
{uλ u}H = λ + cλ3 , {vλ v }H = λ , {uλ v }H = {vλ u}H = 0 .
Operatori Hamiltoniani (per c ∈ C):
„
H(∂) =
∂ + c∂ 3
0
0
∂
«
„
, K (∂) =
u 0 + 2u∂
v0 + v∂
v∂
0
«
.
R
R R
R
Siano h0 = v , h1 = vu .
0
0
1
Abbiamo: K (∂) δh
= H(∂) δh
= K (∂) δh
= 0.
δu
δu
δu
` δh0
`
´
δh1 ´⊥
Inoltre abbiamo C δu ⊕ C δu
⊂ Im K (∂) .
Quindi abbiamo una nuova gerarchia integrabile:
du
δhn−1
δhn
= H(∂)
= K (∂)
, n ≥ 0.
dt
δu
δu
La prima equazione della gerarchia è:
`1´
du
= (∂ + c∂ 3 )
,
dt1
v
che chiamiamo il sistema CNW di tipo HD.
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`u ´
dv
= −∂ 2
dt1
v
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Esempio: sistema CNW di tipo HD
Spazio delle funzioni: V = C[u, v ±1 , u 0 , v 0 , u 00 , v 00 ]. Strutture di PVA compatibili:
{uλ u}K = (∂ + 2λ)u , {vλ v }K = 0 , {uλ v }K = (∂ + λ)v , {vλ u}K = λv ,
{uλ u}H = λ + cλ3 , {vλ v }H = λ , {uλ v }H = {vλ u}H = 0 .
Operatori Hamiltoniani (per c ∈ C):
„
H(∂) =
∂ + c∂ 3
0
0
∂
«
„
, K (∂) =
u 0 + 2u∂
v0 + v∂
v∂
0
«
.
R
R R
R
Siano h0 = v , h1 = vu .
0
0
1
Abbiamo: K (∂) δh
= H(∂) δh
= K (∂) δh
= 0.
δu
δu
δu
` δh0
`
´
δh1 ´⊥
Inoltre abbiamo C δu ⊕ C δu
⊂ Im K (∂) .
Quindi abbiamo una nuova gerarchia integrabile:
du
δhn−1
δhn
= H(∂)
= K (∂)
, n ≥ 0.
dt
δu
δu
La prima equazione della gerarchia è:
`1´
du
= (∂ + c∂ 3 )
,
dt1
v
che chiamiamo il sistema CNW di tipo HD.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
`u ´
dv
= −∂ 2
dt1
v
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Esempio: sistema CNW di tipo HD
Spazio delle funzioni: V = C[u, v ±1 , u 0 , v 0 , u 00 , v 00 ]. Strutture di PVA compatibili:
{uλ u}K = (∂ + 2λ)u , {vλ v }K = 0 , {uλ v }K = (∂ + λ)v , {vλ u}K = λv ,
{uλ u}H = λ + cλ3 , {vλ v }H = λ , {uλ v }H = {vλ u}H = 0 .
Operatori Hamiltoniani (per c ∈ C):
„
H(∂) =
∂ + c∂ 3
0
0
∂
«
„
, K (∂) =
u 0 + 2u∂
v0 + v∂
v∂
0
«
.
R
R R
R
Siano h0 = v , h1 = vu .
0
0
1
Abbiamo: K (∂) δh
= H(∂) δh
= K (∂) δh
= 0.
δu
δu
δu
` δh0
`
´
δh1 ´⊥
Inoltre abbiamo C δu ⊕ C δu
⊂ Im K (∂) .
Quindi abbiamo una nuova gerarchia integrabile:
du
δhn−1
δhn
= H(∂)
= K (∂)
, n ≥ 0.
dt
δu
δu
La prima equazione della gerarchia è:
`1´
du
= (∂ + c∂ 3 )
,
dt1
v
che chiamiamo il sistema CNW di tipo HD.
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
`u ´
dv
= −∂ 2
dt1
v
Algebre di vertice e applicazioni
Roma 18/9/2009
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Riferimenti bibliografici:
DS, Kac, Lie conformal algebra cohomology and the variational complex
(2008)
Barakat, DS, Kac Poisson vertex algebras in the theory of Hamiltonian
equations (2009)
A. De Sole (Univ. di Roma 1)
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The End
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