Cinematica2_24ott13

12
Accelerazione
Se la velocità non si mantiene costante il moto non è più uniforme ma prende il
nome di moto accelerato.
ACCELERAZIONE: variazione della velocità rispetto al tempo
Distinguiamo tra ACCELERAZIONE MEDIA e ACCELERAZIONE ISTANTANEA
v v f  vi  m 
am 

t
t f  ti  s 2 
aist
Se
Se
Se
2
v dv
 ds  1  d s
 lim
  d    
dt
t 0 t
 dt  dt  dt 2
a0
a0
a0
m
 2
s 
il punto aumenta la sua velocità quindi accelera.
il punto diminuisce la sua velocità quindi decelera.
il punto mantiene velocità costante.
13
Moto rettilineo uniformemente accelerato: velocità
Un punto si muove di moto uniformemente accelerato quando la sua
accelerazione rimane costante nel tempo. Ciò significa che accelerazione
media e accelerazione istantanea coincidono.
a  costante  am  aist
aist
v
dv

dt
t
 dv   a dt
v0

t0
dv  a dt
v
t


v  v0  a dt
t0
v  v0  a (t  t 0 )  v  v0  a (t  t 0 )
v
v0
t
t
14
Esempio
velocità [m/s]
Sia
v0 = 100 m/s
a = 1 m/s2
Tempo
t [s]
Velocità v [m/s]
0
v = v0+a t = 100 + 1 ∙ 0 = 100
10
v = v0+a t = 100 + 1 ∙ 10 = 110
20
v = v0+a t = 100 + 1 ∙ 20 = 120
125
120
115
110
105
100
95
0
10
20
tempo [s]
30
15
Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria
v
Moto uniformemente accelerato
Area del trapezio:
s – s0 = (v0+v) t / 2
s = s0 + v0 t/2 + v0 t/2 +at2/2
Moto uniforme v = v0 dopo un certo
intervallo di tempo t-t0 il punto avrà
percorso uno spostamento pari a
s = v0 (t-t0) se t0 = 0
s= v0 t
v
v0
s = v0 t
t
t
1 2
s  s0  v0t  at
2
v  v0  a (t  t 0 )
Nel moto rettilineo uniformemente
accelerato la funzione oraria dello
spostamento è una parabola.
16
Moto rettilineo uniformemente accelerato: diagramma orario
5000
t [s]
s [m]
0
5
10
85
20
265
30
545
40
925
2000
50
1405
1500
60
1985
1000
70
2665
500
80
3445
0
90
4325
4500
4000
3500
3000
2500
0
20
40
60
80
100
17
Moto verticale in assenza di attrito
Se trascuriamo l’attrito dell’aria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza
della superficie terrestre si muove verso il basso con accelerazione costante e
pari a circa 9.81 m/s2. Tale accelerazione prende il nome di accelerazione di
gravità e si indica con g.
Analizziamo il moto: nell’istante iniziale t0 il corpo è fermo ad un’altezza h.
v0  0
s0  h
Durante la caduta:
v  gt
La legge oraria del moto è:
t0  0
1 2
s  s0  v0t  at
2
1 2
s  h  gt
2
Il segno meno è necessario perché lo spostamento
è positivo verso l’alto, ma l’accelerazione è rivolta
verso il basso.
s
s0
g
h
18
Moto verticale in assenza di attrito
Il corpo arriva al suolo dopo un certo intervallo di tempo che possiamo determinare:
quando s  0  0  h 
2h
t 
g
2

1 2
gt
2
2h
t
g
La velocità con cui il corpo impatta sul suolo è:
2h
v  gt g
 2 gh
g
s
g
h
19
Moto armonico semplice lungo un asse rettilineo: legge oraria
Consideriamo un punto P che parte dal punto O, si muove lungo una direzione
rettilinea, arriva in A, quindi inverte il verso del suo spostamento, passa per O e
prosegue oltre fino ad arrivare in –A, inverte nuovamente il suo moto e ripassa
per O.
-A
O
A
c
La legge oraria di questo moto è la seguente:
x(t )  A sen(wt  F )
x: spostamento
A: ampiezza del moto [m]
(wt + F): fase del moto [rad]
w: pulsazione [rad/s]
F: fase iniziale [rad]
20
Moto armonico: peculiarità
x(t )  A sen(wt  F )
x: spostamento
Dalla legge oraria vediamo che:
1) E’ una funzione sinusoidale: pertanto è una funzione periodica, dunque il
moto è un MOTO PERIODICO e cioè ad intervalli uguali di tempo il punto
ripassa nella stessa posizione alla stessa velocità.
2) Poiché il moto è periodico il punto descrive delle oscillazioni di ampiezza A
attorno al centro O. Queste oscillazioni sono tutte uguali tra loro e hanno la
stessa durata.
3) La durata di una oscillazione completa è detta PERIODO del moto armonico.
4) La legge oraria è funzione sinusoidale (dipende dal seno dell’angolo di fase
del moto). Poiché la funzione seno ha come valori estremi +1 e -1, il punto
che si muove di moto armonico piò oscillare tra due posizioni (massimo e
minimo) xmax= A e xmin= -A
21
Moto armonico: periodo
Determiniamo il periodo, P, del moto armonico.
Consideriamo due istanti di tempo t e t’ tali per cui t’ – t = P.
Sappiamo che dopo il periodo P il punto passa per la stessa posizione e quindi
x(t) = x(t’).
Il periodo della funzione seno è 2p, quindi le fasi nei due istanti differiscono di un
angolo pari a 2p.
x
(wt ' F )  (wt  F  2p )
t 't 
w
2p
P

w
P
F
O
2p
y
w
2p
P
Il moto si ripete velocemente
quando la pulsazione è grande,
mentre è lento per bassi valori
della pulsazione.
22
Moto armonico: frequenza
Si definisce frequenza il numero di oscillazioni compiute nell’unità di tempo.
Pertanto si calcola come l’inverso del periodo. Maggiore è la pulsazione e
maggiore sarà il numero di oscillazioni compiute nell’unità di tempo.
P
2p
w

f 
1
w

P 2p
Notiamo che periodo e frequenza non dipendono dall’ampiezza del moto.
23
Moto armonico: velocità
x: spostamento
cos (w t + F) = 1 se (w t + F)  0
Allora:
oscillazione)
x= A sen 0 = 0 (centro di
E
vmax = w A
• La velocità è nulla quando il coseno della fase è
nullo, in questo caso:
cos (w t + F) = 0 se (w t + F)  p/2
oppure (w t + F)  3p/2
Allora: x= A sen (p/2) A oppure x= A sen (3p/2) A
E
v=0
velocità [rad/s]
dx
v(t ) 
 wA cos(wt  F )
dt
• La velocità è massima quando il coseno della fase
vale 1, in questo caso:
Spostamento [m]
Dalla legge oraria per derivazione ricaviamo la funzione v(t) per il moto armonico.
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8
Tempo [s]
10
12
0
2
4
10
12
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
6
tempo [s]
8
24
Moto armonico: accelerazione
Spostamento [m]
Dalla legge oraria per derivazione ricaviamo la
funzione a(t) per il moto armonico.
x(t)
dv d 2 x
2
a (t ) 

 w A sen(wt  F )   w 2 x
dt dt 2
x: spostamento
L’accelerazione è massima quando il seno della fase
vale 1, in questo caso:
Allora: x= A sen p/2 = A oppure x = -A (estremi di
oscillazione)
amax =
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
sen (w t + F) = 0 se (w t + F)  0
Allora:
x= A sen (0) 0 (centro di oscillazione)
E
a=0
2
4
0
2
4
6
8
Tempo [s]
10
12
8
10
12
6
8
tempo [s]
10
12
0.1
0
-0.1
A
L’accelerazione è nulla quando il seno della fase è
nullo, in questo caso:
0
-0.2
accelerazione [m/s2]
E
-w 2
0.4
0.2
velocità [rad/s]
sen (w t + F) = 1 se (w t + F)  p/2 o 3p/2
0.6
6
tempo [s]
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
2
4
25
Moto rettilineo smorzato esponenzialmente: accelerazione e v(t)
Si tratta di un moto vario in cui l’accelerazione soddisfa alla condizione:
a = - k v con k [s-1] costante positiva
L’accelerazione in questo moto è sempre contraria alla velocità che
pertanto diminuisce.
L’accelerazione varia proporzionalmente alla velocità.
v  v0 e  kt
velocità [m/s]
La velocità di questo moto diminuisce esponenzialmente con il tempo e quindi il
punto in un certo istante si ferma.
2.5
Da dv
  kv
2
dt
si risolve
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
Tempo [s]
8
10
26
Moto rettilineo smorzato esponenzialmente: v(x)
x: spostamento
dv
v   kv
dx
risolvendo :
velocità [m/s]
Calcoliamo ora come varia la velocità con la posizione, cioè determiniamo la
2.5
funzione v(x).
dv dv dx dv
2
a

 v
dt dx dt dx
1.5
a   kv
v  v0  kx è una funzione lineare.
La velocità si annulla quando: x = v0/k
1
0.5
0
0
0.2
0.4
posizione [m]
0.6
0.8
x= v0/k
27
Moto rettilineo smorzato esponenzialmente: legge oraria
Ricaviamo la legge oraria partendo dalle due equazioni trovate per la velocità,
v(t) e v(x).
v0 e
v  v0  kx
 kt
 v0  kx
 kt
v0  v0 e
x
k
v
x  0 1  e  kt
k

x: spostamento
)
1
Spostamento [m]
v  v0 e  kt
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
Tempo [s]
10
12
 kt
La rapidità di variazione della funzione v  v0 e
è determinata dal valore di k.
1
t
L’inverso di k è detta costante di tempo:
k
Grande k significa piccola t e la decrescita della velocità è rapida.
Piccolo k significa grande t e la decrescita della velocità è lenta quindi il punto si
ferma dopo.