Lavori-IV-2011-2012_files/Algebra booleana

I.P.S.I.A. Di
BOCCHIGLIERO
a.s. 2011/2012
-classe IV-
Materia: Elettronica, Telecomunicazioni ed applicazioni
---- Fondamenti di algebra booleana ----
alunni
Valente Francesco
Chindamo Michelangelo
prof. Ing. Zumpano Luigi
IPSIA Bocchigliero
-Elettronica , telecomunicazioni ed applicazioni-
Algebra booleana
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Algebra booleana
Per lo studio di circuiti logici, cioè di circuiti che trattano segnali binari,è utile conoscere le
nozioni fondamentali dell'algebra di commutazione, detta anche algebra booleana dal
nome del matematico George Boole che per primo la propose nel 1847. mediante il
simbolismo di questa algebra è possibile esprimere proposizioni logiche binarie sotto
forma di equazioni analoghe a quelle dell'algebra ordinaria. Per definizione, nell'algebra di
Boole le variabili, i parametri e le funzioni possono assumere due soli valori, detti livelli
logici, che vengono rappresentati comunemente con i simboli “ 0 “ e “ 1 “ . Si tenga
presente però che questa rappresentazione è puramente convenzionale e non ha alcun
riferimento con il valore numerico dei simboli impiegati. Per esprimere grandezze a più di
due livelli si utilizzano combinazioni di più variabili binarie. Precisamente , con n variabili
binarie si possono rappresentare fino a 2n livelli. Per dimostrare i teoremi di algebra
booleana può essere seguito il metodo induttivo, che consiste nel controllare che il
teorema risulti soddisfatto per tutte le combinazioni di valori delle variabili. Questo
procedimento risulta abbastanza comodo, dato che i valori possibili per ciascuna variabile
sono soltanto due, e quindi i controlli necessari sono in numero limitato.
Operazioni logiche elementari
Le operazioni fondamentali dell'algebra booleana sono tre, indicate brevemente con le
notazioni anglosassoni AND, OR, NOT.
–
Operazione AND, o prodotto logico : dà sempre risultato 0 tranne quando tutte le
variabili d'ingresso assumono livello logico 1, nel qual caso il prodotto logico diviene
1. Si può dire che l' AND è un operazione di minimo, nel senso che fornisce in
uscita il più piccolo tra i livelli di ingresso.
–
Operazione OR, o somma logica : dà sempre risultato 1 tranne quando tutte le
variabili assumono livello 0, nel qual caso la somma logica diviene 0. L' OR è un
operazione di massimo perchè fornisce in uscita il più grande fra i livelli di ingresso.
–
Operazione NOT, o negazione : si esegue su una sola variabile, di cui inverte il
livello logico, fornendone il complemento .
Simboli e tabelle di verità delle operazioni.
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Alunni: Valente e Chindamo
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Algebra booleana
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A
a)
Y =A⋅B
B
AND
A
Y =A+B
b)
B
OR
c)
Y = ̄A
A
B
A
Y
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
B
A
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
A
Y
O
1
1
0
NOT
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Operazioni logiche derivate
Le operazioni NAND e NOR si ottengono applicando la negazione all'uscita delle
operazioni AND e OR rispettivamente, riportano i simboli e le relative tabelle di verità .
L'operazione EXOR o somma logica esclusiva, si esegue su dee variabili e dà come
risultato 1 quando queste hanno livelli diversi ;altrimenti la somma esclusiva diviene 0.
A
a)
Y =A⋅B
B
NAND
A
Y =A+B
b)
B
NOR
A
Y =A+B
c)
B
EXOR
B
A
Y
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
B
A
Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
B
A
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
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IL teorema di DE Morgan e l'operazione EXOR
Nell'algebra booleana è di fondamentale importanza il seguente teorema di DE Morgan.
Il complemento del prodotto logico è uguale alla somma logica dei complementi; ovvero: il
complemento della somma logica è uguale al prodotto logico dei complementi.
In formula più generale, si può formulare il teorema così :
Il complemento di una funzione di due o più variabili booleane si ottiene negando ciascuna
variabile e scambiando fra loro le operazioni di somma e prodotto logico. L'operazione
EXOR è un'operazione <<composta>> nel senso che può essere ottenuta dalla
combinazione di operazioni logiche elementari. Il teorema di De Morgan permette di
precisare il legame fra l'EXOR e le operazioni AND, OR e NOT.
Universalità delle operazioni NAND e NOR
Vogliamo ora dimostrare che mediante una delle operazioni composte NAND o NOR è
possibile effettuare tutte le operazioni elementari AND , OR e NOT. Partendo dal caso
dell'operazione NAND, osserviamo anzitutto che l'operazione elementare NOT può essere
considerata come un'operazione NAND a una sola entrata, e precisamente come
un'operazione NAND in cui tutte le entrate meno una sono mantenuta a livelli 1
Da tale operazione si ottiene infatti
Y=1 se A=0
Y=0 se A=1
Stabilito ciò, è evidente la possibilità di ottenere l'operazione AND associando
all'operazione NAND un'altra operazione NAND usata come negazione. Per quando
riguarda infine l'operazione elementare OR, è facile verificare che questa operazione
equivale all'operazione NAND applicata alle variabili complementate. L'operazione NAND
usata come negazione, si ottiene in definitiva lo schema logico
A
Y = ̄A
a)
1
A
b)
A⋅B
B
Y =A⋅B
1
A
̄A
1
Y =A+B
c)
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B
1
̄B
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L'operazione NOT può essere considerata una funzione NOR di cui tutte le entrate meno
un a sono mantenute a livello 0 :
–
–
L'operazione OR si ottiene associando all'operazione NOR un'altra operazione
NOT usata come negazione ;
L'operazione AND equivale a un'operazione NOR applicata alle variabili
completamente , queste ultime ottenute mediante l'operazione NOR usata come
negazione.
Identità e relazioni booleane
Per le operazioni fondamentali dell'algebra di Boole valgono le seguenti identità, talune evidenti e
altre facilmente verificabili servendosi delle tabelle di verità.
a) relazioni di minimo
b) relazioni di massimo
c) relazioni di complementarietà
A⋅0=0
A⋅1=A
A0= A
A1=1
A⋅A=0
A A=1
d) relazioni di assorbimento
A⋅ A B=A
A A⋅B=A
e) relazioni di impedenza
A⋅A= A
A A= A
Per le operazioni di AND e OR sussistono inoltre le seguenti proprietà
–
commutativa
A⋅B=B⋅A
–
A B=B A
associativa
A⋅ B⋅C = A⋅B⋅C
–
A B⋅C= A BC
distributiva
A⋅ BC= A⋅B A⋅C 
A B⋅C= AB⋅ AC 
Si noti la proprietà distributiva è applicata anche alla moltiplicazione, cosa non permessa
nell'algebra ordinaria . Da questa proprietà discende in particolare la relazione
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–
A A⋅B= A A ⋅ AB=AB
A=1 , per la seconda delle relazioni di complementarietà.
essendo A 
Le relazioni e le proprietà delle operazioni booleane, insieme al teorema di De Morgan, si
rilevano utili per la semplificazione delle funzioni logiche, cioè per la trasformazione di
una determinata funzione di commutazione . Ad esempio un numero minore di operazioni
logiche,oppure realizzare con un unico tipo di operatori logici.
Analisi e sintesi dei sistemi logici
Le regole dell'algebra booleana consentono di effettuare l'analisi di un sistema digitale a
partire dal suo schema logico, con lo scopo di ricavare la funzione di commutazione e
quindi la tabella di verità.
Il passaggio alla fase di progetto del sistema , che consiste nel determinare il circuito
logico sulla base della funzione di commutazione.
Minimizzazione delle funzioni logiche
Per il progetto di un sistema digitale è di particolare importanza il processo di
minimizzazione delle funzione di commutazione di partenza,che consente di realizzare lo
schema circuitale utilizzando un numero limitato di operatori logici, eventualmente tutti
dello stesso tipo (ad esempio tutti NAND o tutti NOR).
Il processo di minimizzazione può essere quindi condotto perseguendo due diversi
obiettivi:
– Impiego del minor numero possibile di operatori logici, indipendentemente dal loro
tipo;
– Impiego di un numero limitato di operatori logici di tipo omogeneo
Forme canoniche di espressione delle funzioni di commutazione, e l'impiego di un
metodo grafico di minimizzazione, costituito dalle cosiddette ,mappe di Karnaugh.
Forme canoniche
Ogni funzione di commutazione può essere definita mediante la tabella di verità, oppure
mediante un espressione algebrica booleana. Quest'ultima grazie al teorema di De
Morgan, può essere espressa come somma logica di prodotti logici, oppure come prodotto
logico di somme logiche. Dalla tabella di verità di una funzione di commutazione possono
essere estratte due particolari espressioni, SOP e POS, dette forme canoniche. La prima
forma canonica, detta somma dei mintermini, è formata dalla somma logica di tanti prodotti
logici quante sono le combinazioni degli ingressi che danno uscita 1. la seconda forma
canonica, detta prodotto dei maxtermini, è la duale della prima, essendo formata dal
prodotto logico di tanti fattori quante sono le combinazioni degli ingressi che danno uscita
0.
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Mappe di karnaugh
Una mappa di karnaugh è costituita da un insieme coordinato di caselle nelle quali
possono essere rappresentate le singole righe di una tabella di verità.
AB
A
0
BC
00
01
01
0
11
11
1
10
10
0
B
1
A
a)
CD
00
A
0
1
1
b)
c)
00
01
11
10
d)
Partendo dalla tabella di verità della funzione di commutazione o, indifferentemente, dalla
sua espressione in prima forma canonica, si compila la mappa e, attraverso semplici
regole, si perviene all'espressione minimizzata in forma di prodotti. Ovvero, partendo
dall'espressione in seconda forma canonica, si può procedere dualmente, pervenendo
all'espressione minimizzata in forma di prodotto di somme.
riga
ABC
Y
0
000
0
1
001
0
2
010
1
3
011
1
4
100
0
5
101
0
6
110
1
7
111
1
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Mappa di Karnaugh e procedimento di minimizzazione.
Y=B
A
0
BC
̄A B C
̄
1
BC
00
00
01
01
11
̄A B C
A
10
1
1
1
1
a)
11
A BC
̄
A BC
10
0
1
1
1
1
1
B
b)
Nell'applicazione del metodo di minimizzazione con le mappe di karnaugh, vanno tenute
presenti le seguenti precisazioni :
–
vanno considerate adiacenti anche le caselle che si trovano alle estremità di una
stessa riga o di una stessa colonna, come se la mappa fosse disegnata su una
superficie chiusa su se stessa ;
–
la funzione di commutazione è completa solo se sono state comprese nei
raggruppamenti tutte le caselle allo stato 1;
–
una casella allo stato 1 può far parte di più raggruppamenti diversi;
–
se non è possibile associarla ad altre caselle, anche un unica casella a stato 1 può
costituire un raggruppamento, e quindi un mintermine;
–
in ogni caso il numero di caselle formanti un raggruppamento deve essere pari ad
una potenza di 2.
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E
0
1
AB
AB
00
CD
01
11
10
00
CD
00
00
01
01
11
11
10
10
E
01
0
F
10
1
AB
AB
00
CD
11
01
11
10
CD
00
00
01
01
11
11
10
10
00
01
11
10
00
01
11
10
0
AB
CD
1
AB
00
01
11
10
CD
00
00
01
01
11
11
10
10
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