Il momento di dipolo elettrico del neutrone

Il momento di dipolo elettrico del neutrone
Negli ultimi decenni si è cercato a lungo di scoprire se il neutrone abbia o meno un momento elettrico di
dipolo intrinseco. Fino ad ora si è riusciti solo a porre dei limiti sul suo possibile valore. Per capire come
misurare il momento elettrico di dipolo di una particella, affrontiamo il seguente problema.
Partiamo dal momento di dipolo magnetico, e la sua connessione col momento angolare. Prendiamo come
esempio l’elettrone. Quantisticamente, le particelle sono enti puntiformi, non hanno un momento
angolare. L’elettrone possiede però uno spin pari ℏ/2.
Classicamente possiamo pensare l’elettrone come una pallina uniformemente carica, di massa 𝑚𝑚 e carica
𝑞𝑞 = −𝑒𝑒.
1. Dimostra che, per un corpo uniformemente carico e a densità uniforme, il momento di dipolo è
proporzionale al momento angolare, e trovare la costante di proporzionalità usando la fisica
classica
La fisica quantistica ci dice che la previsione classica non è corretta, e ciascuna particella ha un fattore
numerico 𝑔𝑔 di correzione di tale rapporto. Per l’elettrone, 𝑔𝑔 = 2, ovvero tale rapporto è il doppio di quello
trovato classicamente.
2. Usando questa informazione, trovare quale moto segue classicamente l’elettrone (visto ancora una
volta classicamente, ovvero come una pallina che gira su se stessa), una volta posto in un campo
magnetico uniforme 𝐵𝐵, e la pulsazione caratteristica 𝜔𝜔𝐿𝐿 di tale moto. All’istante iniziale campo
magnetico e momento angolare formano un angolo 𝜃𝜃.
Per il protone, si può trovare il rapporto usando la stessa espressione trovata prima, usando ovviamente
𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑝𝑝 e 𝑞𝑞 = 𝑒𝑒, a patto di usare un diverso fattore 𝑔𝑔 = 𝑔𝑔𝑝𝑝 = 5.59. Per il neutrone, si può assumere lo
stesso fattore che per il protone (quindi come se avesse 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑝𝑝 e 𝑞𝑞 = 𝑒𝑒!!!), a patto di usare il fattore
𝑔𝑔𝑁𝑁 = −3.8.
Per quanto riguarda il momento di dipolo elettrico, supponiamo che abbia valore 𝑑𝑑𝑁𝑁 e stessa direzione di
momento angolare e momento di dipolo magnetico.
3. Trovare il moto (classico) del neutrone, se immerso in un campo magnetico uniforme e costante 𝐵𝐵
e in un campo elettrico uniforme e costante 𝐸𝐸, e la pulsazione caratteristica 𝜔𝜔𝐿𝐿 di tale moto,
nell’ipotesi i due campi abbiano stessa direzione e verso. All’istante iniziale campo magnetico e
momento angolare formano un angolo 𝜃𝜃.
4. Quale relazione c’è fra l’energia di un fotone di pulsazione 𝜔𝜔𝐿𝐿 , e l’energia potenziale classica del
neutrone?
5. Ragionando sull’espressione trovata al punto 3, dire come è possibile porre limiti sul valore di 𝑑𝑑𝑁𝑁 ,
con la massima precisione possibile
1
L’equazione dell’orbita
Questo è un problema didattico che vuole insegnare l’uso, per i problemi di gravitazione, dell’equazione
delle coniche in coordinate polari.
𝑟𝑟(𝜃𝜃) =
𝑙𝑙
1 − 𝜀𝜀 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝜃𝜃
Dove 𝑙𝑙, 𝜀𝜀 sono parametri detti semilunare retta ed eccentricità, mentre 𝜃𝜃 è l’angolo formato col vettore che
indica il punto di massima distanza dal centro di gravitazione.
1. Usando la tecnica del potenziale efficace, trovate i punti di massima e minima distanza in funzione
dell’energia 𝐸𝐸 e del momento angolare 𝐿𝐿 del corpo in orbita
2. Trovate ora il valore del semiasse maggiore dell’orbita in funzione di 𝐸𝐸 ed 𝐿𝐿
Imponete ora che l’equazione sovrastante descriva l’orbita, in particolare potete usarla nei punti di
massima e minima distanza.
3. Trovate i valori dei due parametri in funzione di 𝐸𝐸 ed 𝐿𝐿
Consideriamo ora un satellite in un’orbita geostazionaria, a un certo punto questo accende il motore per
una frazione di secondo e cambia la sua velocità di una componente ∆𝑣𝑣 = 𝛽𝛽𝛽𝛽. Sono dati 𝑅𝑅𝑇𝑇 , 𝑇𝑇𝑇𝑇 , 𝑔𝑔.
4. Nel caso i cui tale componente aggiuntiva sia parallela alla velocità del satellite iniziale, calcolare i
nuovi parametri dell’orbita 𝑙𝑙, 𝜀𝜀
5. Nei casi in cui l’orbita è ancora chiusa, trovare le nuove distanza massime e minime dal centro
gravitazionale, se l’orbita è aperta, trovare solo la distanza minima
Consideriamo ora il caso in cui tale spinta è invece perpendicolare alla velocità iniziale, nel verso interno
6. Calcolare i nuovi parametri dell’orbita 𝑙𝑙, 𝜀𝜀
7. Per i casi 𝛽𝛽 < 1, calcolare l’angolo fra il semiasse maggiore della nova orbita e la posizione in cui
sono stati accesi i motori
8. Trovare, sempre per 𝛽𝛽 < 1, le nuove distanze massime e minime
9. Trovare il periodo della nuova orbita
10. Calcolare il minimo valore di 𝛽𝛽 = 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 affinché la nuova orbita sia aperta, e trovare la distanza
minima dal centro in questo caso
Supponi ora 𝛽𝛽 > 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
11. Trovare la velocità residua che avrà il satellite a distanza infinita (trascura il sole e gli altri pianeti)
12. Trovare il parametro di impatto 𝑏𝑏 del satellite
13. Trovare la deflessione 𝜑𝜑 generata dalla forza di gravita
2
Il potenziale di Einstein
La teoria della relatività Generale è stata a lungo osteggiata e non creduta. Alcuni fenomeni potevano
essere trattati con il solo uso della gravità di newton, unita alla relatività speciale, e si pensava che la
relatività generale fosse una mero esercizio di stile matematico.
Anche la teoria di newton, unito al fatto che nessun corpo può avere una velocità superiore a 𝑐𝑐,
prevedevano che ci potessero essere dei “buchi neri”, da cui la luce non potesse scappare.
1. Considerate un corpo di massa 𝑚𝑚 immerso nel campo gravitazionale generato da un oggetto di
massa 𝑀𝑀 ≫ 𝑚𝑚. Trovare il minimo raggio dell’orbita circolare possibile
La teoria della relatività generale prevede un risultato diverso di un fattore 2, dovuto al fatto che le
equazione di newton non sono relativistiche, e perciò “perdono” metà dell’effetto, dovuto alla parte
“tempo” delle equazioni. Definiamo perciò 𝑟𝑟𝑠𝑠 una distanza pari al doppio di quanto trovato al punto 1.
Il potenziale “classico” risultate dalle equazioni di Einstein è
𝑉𝑉(𝑟𝑟) =
Dove 𝐿𝐿 è il momento angolare dell’oggetto.
𝑚𝑚𝑐𝑐 2
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿2
�− − 2 2 3 �
2
𝑟𝑟 𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
2. Trovare la distribuzione di massa classica che porta a questo potenziale
3. Per quali raggi sono possibili orbite circolari?
4. Discuti la stabilità delle orbite circolari trovate
Il potenziale, per 𝑟𝑟 ≫ 𝑟𝑟𝑠𝑠 , si comporta come quello newtoniano. Il piccolo effetto del termine aggiuntivo lo si
può notare su grandi periodi di tempo, poiché instaura un moto di precessione dell’orbita.
La teoria newtoniana calcolava, come valore dei precessione centenaria dell’orbita di mercurio ∆𝜑𝜑 =
5557.62 ± 0.20′′. Tuttavia il valore misurato era di ∆𝜑𝜑 = 5600.73 ± 0.41′′
La teoria della relatività prediceva
∆𝜑𝜑 =
3𝜋𝜋𝑟𝑟𝑠𝑠
𝐴𝐴(1 − 𝜀𝜀 2 )
5. Trovare il valore di precessione per centennio dovuto agli effetti di relatività generale, e dire se
questo contributo è o meno conforme a quello della relatività generale, e se è il tassello mancante
fra teoria e esperimento. Considerare l’orbita quasi circolare.
La teoria della relatività generale prevedeva anche che la luce venisse deflessa dai campi gravitazionali di
un angolo
∆𝜑𝜑 =
2𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑟𝑟0
Dove 𝑟𝑟0 ≪ 𝑟𝑟𝑠𝑠 è la minima distanza dell’orbita dal centro di gravità.
Proviamo a trattare la luce in modo classico usando il potenziale dato. Considerare la luce come un piccolo
corpo di massa infinitesima.
6. Trovare la deflessione nella teoria kepleriana classica, ovvero dando al fotone una piccola massa
7. Trovare la deflessione dovuta al termine aggiuntivo del potenziale
8. Il risultato trovato è conforme al risultato della relatività generale?
3
Dati di mercurio (semiasse maggiore, eccentricità):
𝐴𝐴 = 57.91 ∙ 106 𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝜀𝜀 = 0.2056
Dati del sole:
Costanti fisiche:
Rivoluzioni in 100 anni: 𝑁𝑁 = 415
𝑀𝑀 = 1.989 ∙ 1030 𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑅𝑅 = 695500𝑘𝑘𝑘𝑘
𝐺𝐺 = 6.67 ∙ 10−11
𝑚𝑚3
, 𝑐𝑐 = 299792458 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑠𝑠 2
4
Foglio Risposta: Il momento di dipolo
elettrico del neutrone
1. Dimostrazione
2. Moto dell’elettrone
𝐿𝐿�⃑(𝑡𝑡) =
3. Moto del neutrone
𝐿𝐿�⃑(𝑡𝑡) =
4. Relazione
5. Discussione
5
Foglio Risposta: L’equazione dell’orbita
1. Massima e minima distanza
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
2. Semiasse maggiore
𝑎𝑎 =
3. Valore parametri dell’orbita
𝑙𝑙 =
𝜀𝜀 =
𝑙𝑙 =
𝜀𝜀 =
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝑙𝑙 =
𝜀𝜀 =
4. Nuovi parametri dell’orbita
5. Nuove distanze minime e massime
6. Nuovi parametri dell’orbita
7. Angolo
𝜃𝜃 =
8. Nuove distanze minime e massime
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
9. Periodo
𝑇𝑇 =
10. Valore di 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 =
11. Velocità residua
𝑣𝑣∞ =
12. Parametro di impatto
𝑏𝑏 =
13. Deflessione
𝜑𝜑 =
6
Foglio Risposta: Il potenziale di Einstein
1. Raggio minimo
𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
2. Distribuzione di massa
𝜌𝜌(𝑟𝑟) =
3. Discussione orbite circolari ammesse
4. Discussione stabilità orbite circolari
5. Precessione centenaria
∆𝜑𝜑 =
7
6. Deflessione Newtoniana
∆𝜑𝜑 =
7. Moto Deflessione col potenziale di Einstein
∆𝜑𝜑 =
8. Discussione
8
Soluzioni
Il momento di dipolo elettrico del neutrone
1. Dimostra che, per un corpo uniformemente carico e a densità uniforme, il momento di dipolo è
proporzionale al momento angolare, e trovare la costante di proporzionalità usando la fisica
classica
Consideriamo un sistema di coordinate cilindriche, e per semplicità consideriamo un sistema a simmetria
cilindrica.
Il momento di inerzia è definito come
𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑟𝑟 2 = 2𝜋𝜋 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑟𝑟 3
Il momento magnetico di una spira di area 𝑆𝑆 percorsa da corrente 𝑖𝑖 è 𝑆𝑆𝑆𝑆, nel nostro caso
𝑆𝑆 = 𝜋𝜋𝑟𝑟 2
𝑖𝑖 = 𝜌𝜌𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
Per cui
Se 𝜌𝜌𝑒𝑒 (𝑟𝑟) =
𝑞𝑞
𝜌𝜌 (𝑟𝑟) si
𝑚𝑚 𝑚𝑚
ottiene
1
= 𝜌𝜌𝑒𝑒 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑇𝑇
𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌𝑒𝑒 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜋𝜋𝑟𝑟 2 = 𝜋𝜋𝜔𝜔 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌𝑒𝑒 𝑟𝑟 3
𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌𝑒𝑒 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜋𝜋𝑟𝑟 2 = 𝜋𝜋𝜔𝜔
𝑞𝑞
𝑞𝑞 𝐼𝐼
𝑞𝑞
𝑞𝑞
� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑟𝑟 3 = 𝜋𝜋𝜔𝜔
=
𝜔𝜔𝜔𝜔 =
𝐿𝐿 = 𝜇𝜇𝜇𝜇
𝑚𝑚
𝑚𝑚 2𝜋𝜋 2𝑚𝑚
2𝑚𝑚
2. Usando questa informazione, trovare quale moto segue classicamente l’elettrone (visto ancora una
volta classicamente, ovvero come una pallina che gira su se stessa), una volta posto in un campo
magnetico uniforme 𝐵𝐵, e la pulsazione caratteristica 𝜔𝜔𝐿𝐿 di tale moto. All’istante iniziale campo
magnetico e momento angolare formano un angolo 𝜃𝜃.
Il momento torcente dovuto all’interazione fra il dipolo e il campo magnetico è
�⃑
𝜏𝜏⃑ = 𝑑𝑑⃑ × 𝐵𝐵
Consideriamo il campo magnetico lungo l'asse 𝑧𝑧, risulta
𝜏𝜏⃑ =
𝑑𝑑𝐿𝐿�⃑
�⃑ × 𝑧𝑧̂ = −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑧𝑧̂ × 𝐿𝐿
�⃑
= 𝐵𝐵𝑑𝑑⃑ × 𝑧𝑧̂ = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑
Questo tipo di equazione ha come soluzione per 𝐿𝐿�⃑ un moto di precessione di frequenza
𝜔𝜔𝐿𝐿 = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 =
𝑔𝑔𝑔𝑔
𝐵𝐵
2𝑚𝑚
Per il protone, si può trovare il rapporto usando la stessa espressione trovata prima, usando ovviamente
𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑝𝑝 e 𝑞𝑞 = 𝑒𝑒, a patto di usare un diverso fattore 𝑔𝑔 = 𝑔𝑔𝑝𝑝 = 5.59. Per il neutrone, si può assumere lo
stesso fattore che per il protone (quindi come se avesse 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑝𝑝 e 𝑞𝑞 = 𝑒𝑒!!!), a patto di usare il fattore
𝑔𝑔𝑁𝑁 = −3.8.
9
Per quanto riguarda il momento di dipolo elettrico, supponiamo che abbia valore 𝑑𝑑𝑁𝑁 e stessa direzione di
momento angolare e momento di dipolo magnetico.
3. Trovare il moto (classico) del neutrone, se immerso in un campo magnetico uniforme e costante 𝐵𝐵
e in un campo elettrico uniforme e costante 𝐸𝐸, e la pulsazione caratteristica 𝜔𝜔𝐿𝐿 di tale moto,
nell’ipotesi i due campi abbiano stessa direzione e verso. All’istante iniziale campo magnetico e
momento angolare formano un angolo 𝜃𝜃.
Al momento magnetico si somma i momento elettrico
𝜏𝜏⃑ =
𝜏𝜏⃑ = 𝑑𝑑⃑𝑁𝑁 × 𝐸𝐸�⃑
�⃑
𝑑𝑑𝐿𝐿
2
2
�⃑
= 𝐸𝐸𝑑𝑑⃑𝑁𝑁 × 𝑧𝑧̂ = 𝐸𝐸𝑑𝑑𝑁𝑁 𝐿𝐿�⃑ × 𝑧𝑧̂ = −𝐸𝐸𝑑𝑑𝑁𝑁 𝑧𝑧̂ × 𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑
ℏ
ℏ
𝜔𝜔𝐿𝐿 = −𝐸𝐸𝑑𝑑𝑁𝑁
𝑔𝑔𝑁𝑁 𝑒𝑒
2𝑑𝑑𝑁𝑁
2
− 𝑔𝑔𝑁𝑁 𝜇𝜇𝜇𝜇 = −
𝐵𝐵 −
𝐸𝐸
ℏ
ℏ
2𝑚𝑚
4. Quale relazione c’è fra l’energia di un fotone di pulsazione 𝜔𝜔𝐿𝐿 , e l’energia potenziale classica del
neutrone?
𝑑𝑑
ℏ𝜔𝜔𝐿𝐿 = −ℏ 𝐵𝐵 − 2𝑑𝑑𝑁𝑁 𝐸𝐸 = −2𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2𝑑𝑑𝑁𝑁 𝐸𝐸 = 2𝑈𝑈𝐵𝐵 (𝜃𝜃 = 0) + 2𝑈𝑈𝐸𝐸 (𝜃𝜃 = 0)
ℏ
2
5. Ragionando sull’espressione trovata al punto 3, dire come è possibile porre limiti sul valore di 𝑑𝑑𝑁𝑁 ,
con la massima precisione possibile
Tenendo fisso il campo magnetico, si può fare due misure cambiando il verso del campo elettrico, risulta
così
𝜔𝜔𝐿𝐿 = −
𝑑𝑑𝑁𝑁 =
𝑔𝑔𝑁𝑁 𝑒𝑒
2𝑑𝑑𝑁𝑁
𝐵𝐵 ∓
𝐸𝐸
ℏ
2𝑚𝑚
ℏ
𝑔𝑔𝑁𝑁 𝑒𝑒
�𝜔𝜔𝐿𝐿 +
𝐵𝐵�
4𝐸𝐸
2𝑚𝑚
10
L’equazione dell’orbita
1. Usando la tecnica del potenziale efficace, trovate i punti di massima e minima distanza in funzione
dell’energia 𝐸𝐸 e del momento angolare 𝐿𝐿 del corpo in orbita
Si ha
Ponendo 𝑟𝑟̇ = 0 e risolvendo si trova
𝑟𝑟± =
1
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝐿𝐿2
𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑟𝑟̇ 2 +
−
2
2𝑚𝑚𝑟𝑟 2
𝑟𝑟
−𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 ∓ �𝐺𝐺 2 𝑀𝑀2 𝑚𝑚2 + 2𝐸𝐸𝐿𝐿2 /𝑚𝑚
2𝐸𝐸
2. Trovate ora il valore del semiasse maggiore dell’orbita in funzione di 𝐸𝐸 ed 𝐿𝐿
𝑎𝑎 =
𝑟𝑟+ + 𝑟𝑟− −𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
=
2
2𝐸𝐸
3. Trovate i valori dei due parametri in funzione di 𝐸𝐸 ed 𝐿𝐿
𝑟𝑟+ =
𝑟𝑟− =
𝑙𝑙
1 − 𝜀𝜀
𝑙𝑙
1 + 𝜀𝜀
𝑙𝑙 = 𝑎𝑎(1 − 𝜀𝜀 2 ) =
𝑙𝑙 =
𝐿𝐿2
𝐺𝐺𝑚𝑚2 𝑀𝑀
𝜀𝜀 = �1 +
𝑟𝑟+ 𝑟𝑟−
𝑎𝑎
2𝐸𝐸𝐿𝐿2
𝐺𝐺 2 𝑀𝑀2 𝑚𝑚3
Consideriamo ora un satellite in un’orbita geostazionaria, a un certo punto questo accende il motore per
una frazione di secondo e cambia la sua velocità di una componente ∆𝑣𝑣 = 𝛽𝛽𝛽𝛽.
4. Nel caso i cui tale componente aggiuntiva sia parallela alla velocità del satellite iniziale, calcolare i
nuovi parametri dell’orbita 𝑙𝑙, 𝜀𝜀
Il raggio dell’orbita geostazionaria è
𝑟𝑟𝑔𝑔3
La velocità è
𝐺𝐺𝐺𝐺 2 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑅𝑅𝑇𝑇2 𝑇𝑇𝑇𝑇2 𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2 𝑇𝑇𝑇𝑇2
= 2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 2
=
4𝜋𝜋 2
4𝜋𝜋
𝑅𝑅𝑇𝑇 4𝜋𝜋 2
3
𝑟𝑟𝑔𝑔 = �
11
𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2 𝑇𝑇𝑇𝑇2
4𝜋𝜋 2
𝑣𝑣𝑔𝑔 =
La nuova velocità è
2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑔𝑔 2𝜋𝜋 3 𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2 𝑇𝑇𝑇𝑇2 3 2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2
�
=
=�
𝑇𝑇𝑇𝑇
4𝜋𝜋 2
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑣𝑣 ′ = 𝑣𝑣(1 + 𝛽𝛽)
Quindi
𝐿𝐿′ = 𝐿𝐿(1 + 𝛽𝛽)
𝐾𝐾 ′ = 𝐾𝐾(1 + 𝛽𝛽)2
𝐸𝐸 ′ = 2𝐸𝐸 − 𝐸𝐸(1 + 𝛽𝛽)2 = 𝐸𝐸(1 − 2𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 2 )
𝑙𝑙 =
𝜀𝜀 = �1 +
𝐿𝐿2 (1 + 𝛽𝛽)2
= 𝑟𝑟𝑔𝑔 (1 + 𝛽𝛽)2
𝐺𝐺𝑚𝑚2 𝑀𝑀
2𝐸𝐸𝐿𝐿2 (1 + 𝛽𝛽)2 (1 − 2𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 2 )
= �1 − (1 + 𝛽𝛽)2 (1 − 2𝛽𝛽 − 𝛽𝛽 2 )
𝐺𝐺 2 𝑀𝑀2 𝑚𝑚3
𝜀𝜀 = 𝛽𝛽(2 + 𝛽𝛽)
5. Nei casi in cui l’orbita è ancora chiusa, trovare le nuove distanza massime e minime dal centro
gravitazionale, se l’orbita è aperta, trovare solo la distanza minima
𝑟𝑟+ =
𝑟𝑟− =
𝑟𝑟𝑔𝑔 (1 + 𝛽𝛽)2
𝑙𝑙
=
1 − 𝜀𝜀 1 − 𝛽𝛽(2 + 𝛽𝛽)
𝑟𝑟𝑔𝑔 (1 + 𝛽𝛽)2
𝑙𝑙
=
1 + 𝜀𝜀 1 + 𝛽𝛽(2 + 𝛽𝛽)
Se l’orbita è aperta allora 𝑟𝑟− è la distanza minima.
Cioè accade per 𝛽𝛽 > √2 − 1.
6. Calcolare i nuovi parametri dell’orbita 𝑙𝑙, 𝜀𝜀
𝐿𝐿′ = 𝐿𝐿
𝐾𝐾 ′ = 𝐾𝐾(1 + 𝛽𝛽 2 )
𝐸𝐸 ′ = 2𝐸𝐸 − 𝐸𝐸(1 + 𝛽𝛽 2 ) = 𝐸𝐸(1 − 𝛽𝛽 2 )
𝑙𝑙 =
𝜀𝜀 = �1 +
𝐿𝐿2
= 𝑟𝑟𝑔𝑔
𝐺𝐺𝑚𝑚2 𝑀𝑀
2𝐸𝐸𝐿𝐿2 (1 − 𝛽𝛽 2 )
= �1 − (1 − 𝛽𝛽 2 ) = 𝛽𝛽
𝐺𝐺 2 𝑀𝑀2 𝑚𝑚3
7. Per i casi 𝛽𝛽 < 1, calcolare l’angolo fra il semiasse maggiore della nova orbita e la posizione in cui
sono stati accesi i motori
Si usa
12
Quindi
𝑟𝑟(𝜃𝜃) =
𝑟𝑟𝑔𝑔
𝑙𝑙
= 𝑟𝑟𝑔𝑔 =
1 − 𝛽𝛽 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
1 − 𝜀𝜀 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
𝜃𝜃 = 𝜋𝜋/2
8. Trovare, sempre per 𝛽𝛽 < 1, le nuove distanze massime e minime
𝑟𝑟+ =
𝑟𝑟− =
9. Trovare il periodo della nuova orbita
𝑟𝑟𝑔𝑔
𝑙𝑙
=
1 − 𝜀𝜀 1 − 𝛽𝛽
𝑟𝑟𝑔𝑔
𝑙𝑙
=
1 + 𝜀𝜀 1 + 𝛽𝛽
3
𝑟𝑟𝑔𝑔 = �
3
𝑎𝑎 = �
𝑇𝑇 2 = 𝑇𝑇𝑇𝑇2
𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2 𝑇𝑇𝑇𝑇2
4𝜋𝜋 2
3 𝑇𝑇 2
𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2 𝑇𝑇 2
=
𝑟𝑟
𝑔𝑔 � 2
4𝜋𝜋 2
𝑇𝑇𝑇𝑇
3
3
𝑙𝑙
1
𝑎𝑎3
1
2
2
=
𝑇𝑇
�
�
=
𝑇𝑇
�
�
𝑇𝑇 3
𝑇𝑇
1 − 𝛽𝛽 2
𝑟𝑟𝑔𝑔 1 − 𝜀𝜀 2
𝑟𝑟𝑔𝑔3
10. Calcolare il minimo valore di 𝛽𝛽 = 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 affinché la nuova orbita sia aperta, e trovare la distanza
minima dal centro in questo caso
L’orbita è aperta se l’eccentricità è maggiore di 1, quindi
Supponi ora 𝛽𝛽 > 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑟𝑟− =
𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 1
𝑟𝑟𝑔𝑔
𝑟𝑟𝑔𝑔
𝑙𝑙
=
=
1 + 𝜀𝜀 1 + 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2
11. Trovare la velocità residua che avrà il satellite a distanza infinita (trascura il sole e gli altri pianeti)
L’energia totale è
𝐸𝐸 ′ = −𝐸𝐸(𝛽𝛽 2 − 1)
Dove
Ed
1
2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2
1
2
𝐸𝐸 = − 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑔𝑔 = − 𝑚𝑚 �
�
𝑇𝑇𝑇𝑇
2
2
1
2
𝐸𝐸 ′ = 𝑚𝑚𝑣𝑣∞
2
Si ricava
2
𝑣𝑣∞
2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2
=�
�
𝑇𝑇𝑇𝑇
13
2/3
(𝛽𝛽 2 − 1)
2/3
1/3
2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2
𝑣𝑣∞ = �
�
𝑇𝑇𝑇𝑇
�𝛽𝛽 2 − 1 = 𝑣𝑣𝑔𝑔 �𝛽𝛽 2 − 1
12. Trovare il parametro di impatto 𝑏𝑏 del satellite
Il momento angolare vale
𝐿𝐿 = 𝐿𝐿′ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣∞
Dalle condizioni iniziali
3
𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 �
Quindi
𝑚𝑚 �
1/3
𝑔𝑔2 𝑅𝑅𝑇𝑇4 𝑇𝑇𝑇𝑇
�
2𝜋𝜋
= 𝑚𝑚𝑚𝑚 �
1/3
2𝜋𝜋𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2
�
𝑇𝑇𝑇𝑇
1/3
𝑔𝑔𝑅𝑅𝑇𝑇2 𝑇𝑇𝑇𝑇2
𝑏𝑏 =
�
2 �
�𝛽𝛽 2 − 1 4𝜋𝜋
1
𝑔𝑔2 𝑅𝑅𝑇𝑇4 𝑇𝑇𝑇𝑇
2𝜋𝜋
=
13. Trovare la deflessione 𝜑𝜑 generata dalla forza di gravita
�𝛽𝛽 2 − 1
𝑟𝑟𝑔𝑔
�𝛽𝛽 2
−1
Geometricamente si trova che
𝜑𝜑 =
𝜋𝜋
𝜋𝜋
+ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(1/𝜀𝜀) = + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(1/𝛽𝛽)
2
2
14
Il potenziale di Einstein
1. Considerate un corpo di massa 𝑚𝑚 immerso nel campo gravitazionale generato da un oggetto di
massa 𝑀𝑀 ≫ 𝑚𝑚. Trovare il minimo raggio dell’orbita circolare possibile
Imponendo
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑐𝑐 2
=
𝑚𝑚
𝑟𝑟 2
𝑟𝑟
𝐹𝐹 =
𝑟𝑟 =
𝑟𝑟𝑠𝑠 =
𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑐𝑐 2
2𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑐𝑐 2
2. Trovare la distribuzione di massa classica che porta a questo potenziale
Troviamo la forza
𝐹𝐹(𝑟𝑟) = −
𝑑𝑑
𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝑟𝑟𝑠𝑠
3𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿2
𝑉𝑉(𝑟𝑟) = −
� 2 + 2 2 4�
𝑑𝑑𝑑𝑑
2 𝑟𝑟
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
𝑔𝑔(𝑟𝑟) = −
3𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿2
𝑐𝑐 2 𝑟𝑟𝑠𝑠
� 2 + 2 2 4�
2 𝑟𝑟
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
𝑔𝑔(𝑟𝑟) ∙ 4𝜋𝜋𝑟𝑟 2 = −4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑟𝑟)
1 𝐺𝐺𝐺𝐺 3𝐺𝐺𝐺𝐺𝐿𝐿2
3𝑀𝑀𝐿𝐿2
1
𝑀𝑀(𝑟𝑟) = − 𝑔𝑔(𝑟𝑟) ∙ 𝑟𝑟 2 = � 2 + 2 2 4 � ∙ 𝑟𝑟 2 = 𝑀𝑀 + 2 2 2
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
𝐺𝐺 𝑟𝑟
𝐺𝐺
𝑟𝑟
𝑀𝑀(𝑟𝑟) = � 4𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑟𝑟)𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜌𝜌(𝑟𝑟) = 𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑟𝑟) +
0
3𝑀𝑀𝐿𝐿2
1 𝑑𝑑 3𝑀𝑀𝐿𝐿2
=
𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑟𝑟)
−
�
�
2𝜋𝜋𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 𝑟𝑟 5
4𝜋𝜋𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 𝑟𝑟 2
3. Per quali raggi sono possibili orbite circolari?
Usando il potenziale efficace
𝑉𝑉𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑟𝑟) = 𝑉𝑉(𝑟𝑟) +
𝑑𝑑
𝑉𝑉 (𝑟𝑟) = 0
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑚𝑚𝑐𝑐 2
𝐿𝐿2
𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿2
𝐿𝐿2
=
�− + 2 2 2 − 2 2 3 �
2𝑚𝑚𝑟𝑟 2
2
𝑟𝑟 𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
2𝐿𝐿2
3𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿2
𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝑟𝑟𝑠𝑠
� 2 − 2 2 3 + 2 2 4� = 0
2 𝑟𝑟
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟
𝑟𝑟 2 −
2𝐿𝐿2 𝑟𝑟
3𝐿𝐿2
+
=0
𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2
15
2
𝑟𝑟 =
2𝐿𝐿2
3𝐿𝐿2
2𝐿𝐿2
± �� 2 2 � − 4 2 2
2
2
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑚𝑚 𝑐𝑐
2
Da ora in poi indicheremo
𝑎𝑎2 =
𝑟𝑟 =
=
𝐿𝐿2
3𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 𝑟𝑟𝑠𝑠2
�1 −
�1
±
�
𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 𝑟𝑟𝑠𝑠
𝐿𝐿2
𝐿𝐿2
𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2
𝑎𝑎2
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
�1 ± �1 − 2 �
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑎𝑎
4. Discuti la stabilità delle orbite circolari trovate
Basta controllare la derivata seconda del potenziale efficace
𝑑𝑑2
𝑟𝑟𝑠𝑠
2𝑎𝑎2
3𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑎𝑎2
𝑚𝑚𝑐𝑐 2
(𝑟𝑟)
𝑉𝑉
+
3
−
4
=
�−2
�
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
2
𝑟𝑟 3
𝑟𝑟 4
𝑟𝑟 5
𝑑𝑑2
𝑚𝑚𝑐𝑐 2
2
2
2
(𝑟𝑟
)
𝑉𝑉
=
−
5 �𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 − 3𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 + 6𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑎𝑎 �
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖
2
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
𝑎𝑎4
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝑎𝑎4
= − 5 � �1 − �1 − 2 � − 3 �1 − �1 − 2 � + 6𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑎𝑎2 �
𝑎𝑎
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑎𝑎
𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑠𝑠
=
𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝑎𝑎4
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
3𝑟𝑟 2
𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝑎𝑎4
3𝑟𝑟 2
3𝑟𝑟 2
�1 − 𝑠𝑠 � =
�1 − 𝑠𝑠 ��1 − 𝑠𝑠 − 1� < 0
�1
−
−
5 𝑟𝑟
5 𝑟𝑟
𝑎𝑎2
𝑎𝑎2
𝑎𝑎2
𝑎𝑎2
𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑠𝑠
𝑠𝑠
Il raggio interno è instabile
𝑑𝑑2
𝑚𝑚𝑐𝑐 2
2
(𝑟𝑟
)
(𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑉𝑉
− 3𝑎𝑎2 𝑟𝑟𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 + 6𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑎𝑎2 )
=
−
5
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖
=−
=
2
4
𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑎𝑎
�
5 � 𝑟𝑟 �1 + 1 −
𝑟𝑟𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
�
𝑎𝑎2
2
−3
𝑎𝑎4
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
�1 + �1 − 2 � + 6𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑎𝑎2 �
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑎𝑎
𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝑎𝑎4
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
3𝑟𝑟 2
𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝑎𝑎4
3𝑟𝑟 2
3𝑟𝑟 2
�1 − 𝑠𝑠 � =
�1 − 𝑠𝑠 ��1 − 𝑠𝑠 + 1� > 0
�1
−
+
5 𝑟𝑟
5 𝑟𝑟
𝑎𝑎2
𝑎𝑎2
𝑎𝑎2
𝑎𝑎2
𝑟𝑟𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑟𝑟𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑠𝑠
𝑠𝑠
Il raggio esterno è stabile.
Nel caso in cui 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 =
𝑎𝑎 2
𝑟𝑟𝑠𝑠
= 3𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑑𝑑2
𝑉𝑉 (𝑟𝑟 ) = 0
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Andando a controllare la derivata terza si vede che
16
𝑑𝑑3
𝑉𝑉 (𝑟𝑟 ) ≠ 0
𝑑𝑑𝑑𝑑 3 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Quindi è instabile.
La teoria newtoniana calcolava, come valore dei precessione dell’orbita di mercurio ∆𝜑𝜑 = 5557.62 ±
0.20′′. Tuttavia il valore misurato era di ∆𝜑𝜑 = 5600.73 ± 0.41′′
5. Trovare il valore di precessione per centennio dovuto agli effetti di relatività generale, e dire se
questo contributo è o meno conforme a quello della relatività generale, e se è il tassello mancante
fra teoria e esperimento. Considerare l’orbita quasi circolare.
Si può trovare semplicemente:
𝜔𝜔𝑟𝑟2 = −
1 𝑑𝑑2
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
𝑐𝑐 2 2
�
(𝑟𝑟)
𝑉𝑉
𝑎𝑎
1
−
=
𝑟𝑟 4
𝑎𝑎2
𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
Il periodo di rivoluzione lo si può ricavare dalla terza legge di Keplero
𝜔𝜔𝜑𝜑2 =
𝜔𝜔𝑟𝑟2 =
𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑐𝑐 2
2𝑟𝑟 3
2𝜔𝜔𝜑𝜑2 1 2
2𝑎𝑎2
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
1 𝑑𝑑2
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
2
�
�
(𝑟𝑟)
1
−
𝑉𝑉
𝑎𝑎 1 − 2 = 𝜔𝜔𝜑𝜑 �
=
�
𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟
𝑎𝑎
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑎𝑎2
𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
Poiché 𝑟𝑟 ≫ 𝑎𝑎 ≫ 𝑟𝑟𝑠𝑠 possiamo prendere approssimativamente
𝑟𝑟 =
e si ottiene:
𝑎𝑎2
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
2𝑎𝑎2
�1 ± �1 − 2 � ≅
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑎𝑎
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝜔𝜔𝑟𝑟2 = 𝜔𝜔𝜑𝜑2 �1 −
𝜔𝜔𝑟𝑟2 = 𝜔𝜔𝜑𝜑2 �1 −
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
𝑎𝑎2
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
𝑎𝑎2
1/4
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
𝜔𝜔𝑟𝑟 = 𝜔𝜔𝜑𝜑 �1 − 2 �
𝑎𝑎
3𝑟𝑟𝑠𝑠2
𝜔𝜔𝑟𝑟 ≅ 𝜔𝜔𝜑𝜑 �1 − 2 �
4𝑎𝑎
Per 100 anni si trova
∆𝜑𝜑 =
�𝜔𝜔𝑟𝑟 − 𝜔𝜔𝜑𝜑 � 3𝑟𝑟𝑠𝑠2
= 2
𝜔𝜔𝜑𝜑
4𝑎𝑎
3𝜋𝜋𝑟𝑟𝑠𝑠2 3𝜋𝜋𝑟𝑟𝑠𝑠2 𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 3𝜋𝜋𝑟𝑟𝑠𝑠
3𝜋𝜋𝑟𝑟𝑠𝑠
=
=
=
2
2
2𝑎𝑎
2𝐿𝐿
𝑙𝑙
𝐴𝐴(1 − 𝜀𝜀 2 )
17
∆𝜑𝜑 = 𝑁𝑁
3𝜋𝜋𝑟𝑟𝑠𝑠
≈ 42.91′′
𝐴𝐴(1 − 𝜀𝜀 2 )
6. Trovare la deflessione nella teoria kepleriana classica
La deflessione è data dal parametro eccentricità
𝜀𝜀 = �1 +
Inserendo i dati classici
𝜀𝜀 = �1 +
La deviazione è
2𝐸𝐸𝐿𝐿2
𝐺𝐺 2 𝑀𝑀2 𝑚𝑚3
1
𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑐𝑐 2 , 𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
4𝑏𝑏 2
4𝑟𝑟02
𝑟𝑟0
𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 𝑏𝑏2
�
�1
=
+
≅
1
+
≅2
2
2
2
2
3
𝐺𝐺 𝑀𝑀 𝑚𝑚
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑟𝑟𝑠𝑠
1
2 𝑟𝑟𝑠𝑠
𝜋𝜋
∆𝜑𝜑 = 2 � − 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � �� = =
𝜀𝜀
𝜀𝜀 𝑟𝑟0
2
7. Trovare la deflessione dovuta al termine aggiuntivo del potenziale
Il valore della deflessione può essere trovato calcolando
+∞
∆𝑝𝑝 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐹𝐹⊥ =
−∞
=
1
+𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� �
𝜀𝜀
�
1
−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� �
𝜀𝜀
1
+𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� �
𝜀𝜀
�
0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚𝑟𝑟 2 𝑚𝑚𝑐𝑐 2 3𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿2
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2
𝐿𝐿 2 𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 𝑟𝑟 4
1
𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟� �
𝜀𝜀
�
0
𝑑𝑑𝑑𝑑
3𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
2𝑟𝑟 2
3𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿
3𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐿𝐿 2𝜀𝜀 2 2𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝜀𝜀 2
2
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(1
−
𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀)
≅
=
𝑙𝑙 2
𝑙𝑙 2
𝑙𝑙 2 3
∆𝑝𝑝 2𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑏𝑏𝜀𝜀 2 2𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟0 𝜀𝜀 2 2𝑟𝑟𝑠𝑠
∆𝜑𝜑
=
≅ 2 2 =
2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 � � ≅ ∆𝜑𝜑 =
𝑙𝑙 2
𝑟𝑟0
𝑝𝑝
2
𝑟𝑟0 𝜀𝜀
8. Il risultato trovato è conforme al risultato della relatività generale?
Chiaramente è difficile interpretare la validità del risultato. Rispetto al metodo precedente, c’è il pregio di
1
2
non dovere assegnare un’energia 𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑐𝑐 2 al fotone, che è sicuramente sbagliato. In tale parte del
potenziale la massa si semplifica sempre a prescindere (possiamo immaginare che la variabile fisica sia 𝐿𝐿/𝑚𝑚
per quando andiamo ad usare la conservazione del momento angolare)
18