Il momento di dipolo elettrico del neutrone
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Il momento di dipolo elettrico del neutrone Negli ultimi decenni si è cercato a lungo di scoprire se il neutrone abbia o meno un momento elettrico di dipolo intrinseco. Fino ad ora si è riusciti solo a porre dei limiti sul suo possibile valore. Per capire come misurare il momento elettrico di dipolo di una particella, affrontiamo il seguente problema. Partiamo dal momento di dipolo magnetico, e la sua connessione col momento angolare. Prendiamo come esempio l’elettrone. Quantisticamente, le particelle sono enti puntiformi, non hanno un momento angolare. L’elettrone possiede però uno spin pari β/2. Classicamente possiamo pensare l’elettrone come una pallina uniformemente carica, di massa ππ e carica ππ = −ππ. 1. Dimostra che, per un corpo uniformemente carico e a densità uniforme, il momento di dipolo è proporzionale al momento angolare, e trovare la costante di proporzionalità usando la fisica classica La fisica quantistica ci dice che la previsione classica non è corretta, e ciascuna particella ha un fattore numerico ππ di correzione di tale rapporto. Per l’elettrone, ππ = 2, ovvero tale rapporto è il doppio di quello trovato classicamente. 2. Usando questa informazione, trovare quale moto segue classicamente l’elettrone (visto ancora una volta classicamente, ovvero come una pallina che gira su se stessa), una volta posto in un campo magnetico uniforme π΅π΅, e la pulsazione caratteristica πππΏπΏ di tale moto. All’istante iniziale campo magnetico e momento angolare formano un angolo ππ. Per il protone, si può trovare il rapporto usando la stessa espressione trovata prima, usando ovviamente ππ = ππππ e ππ = ππ, a patto di usare un diverso fattore ππ = ππππ = 5.59. Per il neutrone, si può assumere lo stesso fattore che per il protone (quindi come se avesse ππ = ππππ e ππ = ππ!!!), a patto di usare il fattore ππππ = −3.8. Per quanto riguarda il momento di dipolo elettrico, supponiamo che abbia valore ππππ e stessa direzione di momento angolare e momento di dipolo magnetico. 3. Trovare il moto (classico) del neutrone, se immerso in un campo magnetico uniforme e costante π΅π΅ e in un campo elettrico uniforme e costante πΈπΈ, e la pulsazione caratteristica πππΏπΏ di tale moto, nell’ipotesi i due campi abbiano stessa direzione e verso. All’istante iniziale campo magnetico e momento angolare formano un angolo ππ. 4. Quale relazione c’è fra l’energia di un fotone di pulsazione πππΏπΏ , e l’energia potenziale classica del neutrone? 5. Ragionando sull’espressione trovata al punto 3, dire come è possibile porre limiti sul valore di ππππ , con la massima precisione possibile 1 L’equazione dell’orbita Questo è un problema didattico che vuole insegnare l’uso, per i problemi di gravitazione, dell’equazione delle coniche in coordinate polari. ππ(ππ) = ππ 1 − ππ πΆπΆπΆπΆπ π ππ Dove ππ, ππ sono parametri detti semilunare retta ed eccentricità, mentre ππ è l’angolo formato col vettore che indica il punto di massima distanza dal centro di gravitazione. 1. Usando la tecnica del potenziale efficace, trovate i punti di massima e minima distanza in funzione dell’energia πΈπΈ e del momento angolare πΏπΏ del corpo in orbita 2. Trovate ora il valore del semiasse maggiore dell’orbita in funzione di πΈπΈ ed πΏπΏ Imponete ora che l’equazione sovrastante descriva l’orbita, in particolare potete usarla nei punti di massima e minima distanza. 3. Trovate i valori dei due parametri in funzione di πΈπΈ ed πΏπΏ Consideriamo ora un satellite in un’orbita geostazionaria, a un certo punto questo accende il motore per una frazione di secondo e cambia la sua velocità di una componente βπ£π£ = π½π½π½π½. Sono dati π π ππ , ππππ , ππ. 4. Nel caso i cui tale componente aggiuntiva sia parallela alla velocità del satellite iniziale, calcolare i nuovi parametri dell’orbita ππ, ππ 5. Nei casi in cui l’orbita è ancora chiusa, trovare le nuove distanza massime e minime dal centro gravitazionale, se l’orbita è aperta, trovare solo la distanza minima Consideriamo ora il caso in cui tale spinta è invece perpendicolare alla velocità iniziale, nel verso interno 6. Calcolare i nuovi parametri dell’orbita ππ, ππ 7. Per i casi π½π½ < 1, calcolare l’angolo fra il semiasse maggiore della nova orbita e la posizione in cui sono stati accesi i motori 8. Trovare, sempre per π½π½ < 1, le nuove distanze massime e minime 9. Trovare il periodo della nuova orbita 10. Calcolare il minimo valore di π½π½ = π½π½ππππππ affinché la nuova orbita sia aperta, e trovare la distanza minima dal centro in questo caso Supponi ora π½π½ > π½π½ππππππ 11. Trovare la velocità residua che avrà il satellite a distanza infinita (trascura il sole e gli altri pianeti) 12. Trovare il parametro di impatto ππ del satellite 13. Trovare la deflessione ππ generata dalla forza di gravita 2 Il potenziale di Einstein La teoria della relatività Generale è stata a lungo osteggiata e non creduta. Alcuni fenomeni potevano essere trattati con il solo uso della gravità di newton, unita alla relatività speciale, e si pensava che la relatività generale fosse una mero esercizio di stile matematico. Anche la teoria di newton, unito al fatto che nessun corpo può avere una velocità superiore a ππ, prevedevano che ci potessero essere dei “buchi neri”, da cui la luce non potesse scappare. 1. Considerate un corpo di massa ππ immerso nel campo gravitazionale generato da un oggetto di massa ππ β« ππ. Trovare il minimo raggio dell’orbita circolare possibile La teoria della relatività generale prevede un risultato diverso di un fattore 2, dovuto al fatto che le equazione di newton non sono relativistiche, e perciò “perdono” metà dell’effetto, dovuto alla parte “tempo” delle equazioni. Definiamo perciò πππ π una distanza pari al doppio di quanto trovato al punto 1. Il potenziale “classico” risultate dalle equazioni di Einstein è ππ(ππ) = Dove πΏπΏ è il momento angolare dell’oggetto. ππππ 2 πππ π πππ π πΏπΏ2 οΏ½− − 2 2 3 οΏ½ 2 ππ ππ ππ ππ 2. Trovare la distribuzione di massa classica che porta a questo potenziale 3. Per quali raggi sono possibili orbite circolari? 4. Discuti la stabilità delle orbite circolari trovate Il potenziale, per ππ β« πππ π , si comporta come quello newtoniano. Il piccolo effetto del termine aggiuntivo lo si può notare su grandi periodi di tempo, poiché instaura un moto di precessione dell’orbita. La teoria newtoniana calcolava, come valore dei precessione centenaria dell’orbita di mercurio βππ = 5557.62 ± 0.20′′. Tuttavia il valore misurato era di βππ = 5600.73 ± 0.41′′ La teoria della relatività prediceva βππ = 3πππππ π π΄π΄(1 − ππ 2 ) 5. Trovare il valore di precessione per centennio dovuto agli effetti di relatività generale, e dire se questo contributo è o meno conforme a quello della relatività generale, e se è il tassello mancante fra teoria e esperimento. Considerare l’orbita quasi circolare. La teoria della relatività generale prevedeva anche che la luce venisse deflessa dai campi gravitazionali di un angolo βππ = 2πππ π ππ0 Dove ππ0 βͺ πππ π è la minima distanza dell’orbita dal centro di gravità. Proviamo a trattare la luce in modo classico usando il potenziale dato. Considerare la luce come un piccolo corpo di massa infinitesima. 6. Trovare la deflessione nella teoria kepleriana classica, ovvero dando al fotone una piccola massa 7. Trovare la deflessione dovuta al termine aggiuntivo del potenziale 8. Il risultato trovato è conforme al risultato della relatività generale? 3 Dati di mercurio (semiasse maggiore, eccentricità): π΄π΄ = 57.91 β 106 ππππ, ππ = 0.2056 Dati del sole: Costanti fisiche: Rivoluzioni in 100 anni: ππ = 415 ππ = 1.989 β 1030 ππππ, π π = 695500ππππ πΊπΊ = 6.67 β 10−11 ππ3 , ππ = 299792458 ππ/π π ππππ β π π 2 4 Foglio Risposta: Il momento di dipolo elettrico del neutrone 1. Dimostrazione 2. Moto dell’elettrone πΏπΏοΏ½β(π‘π‘) = 3. Moto del neutrone πΏπΏοΏ½β(π‘π‘) = 4. Relazione 5. Discussione 5 Foglio Risposta: L’equazione dell’orbita 1. Massima e minima distanza π₯π₯ππππππ = π₯π₯ππππππ = 2. Semiasse maggiore ππ = 3. Valore parametri dell’orbita ππ = ππ = ππ = ππ = π₯π₯ππππππ = π₯π₯ππππππ = ππ = ππ = 4. Nuovi parametri dell’orbita 5. Nuove distanze minime e massime 6. Nuovi parametri dell’orbita 7. Angolo ππ = 8. Nuove distanze minime e massime π₯π₯ππππππ = π₯π₯ππππππ = 9. Periodo ππ = 10. Valore di π½π½ππππππ π½π½ππππππ = 11. Velocità residua π£π£∞ = 12. Parametro di impatto ππ = 13. Deflessione ππ = 6 Foglio Risposta: Il potenziale di Einstein 1. Raggio minimo ππππππππ = 2. Distribuzione di massa ππ(ππ) = 3. Discussione orbite circolari ammesse 4. Discussione stabilità orbite circolari 5. Precessione centenaria βππ = 7 6. Deflessione Newtoniana βππ = 7. Moto Deflessione col potenziale di Einstein βππ = 8. Discussione 8 Soluzioni Il momento di dipolo elettrico del neutrone 1. Dimostra che, per un corpo uniformemente carico e a densità uniforme, il momento di dipolo è proporzionale al momento angolare, e trovare la costante di proporzionalità usando la fisica classica Consideriamo un sistema di coordinate cilindriche, e per semplicità consideriamo un sistema a simmetria cilindrica. Il momento di inerzia è definito come πΌπΌ = οΏ½ ππππππππ ππ 2 = 2ππ οΏ½ ππππππππππππ ππ 3 Il momento magnetico di una spira di area ππ percorsa da corrente ππ è ππππ, nel nostro caso ππ = ππππ 2 ππ = ππππ 2ππππππππππππ Per cui Se ππππ (ππ) = ππ ππ (ππ) si ππ ππ ottiene 1 = ππππ ππππππππππππ ππ ππ = οΏ½ ππππππππππππ ππππππππ 2 = ππππ οΏ½ ππππππππππππ ππ 3 ππ = οΏ½ ππππππππππππ ππππππππ 2 = ππππ ππ ππ πΌπΌ ππ ππ οΏ½ ππππππππππππ ππ 3 = ππππ = ππππ = πΏπΏ = ππππ ππ ππ 2ππ 2ππ 2ππ 2. Usando questa informazione, trovare quale moto segue classicamente l’elettrone (visto ancora una volta classicamente, ovvero come una pallina che gira su se stessa), una volta posto in un campo magnetico uniforme π΅π΅, e la pulsazione caratteristica πππΏπΏ di tale moto. All’istante iniziale campo magnetico e momento angolare formano un angolo ππ. Il momento torcente dovuto all’interazione fra il dipolo e il campo magnetico è οΏ½β ππβ = ππβ × π΅π΅ Consideriamo il campo magnetico lungo l'asse π§π§, risulta ππβ = πππΏπΏοΏ½β οΏ½β × π§π§Μ = −π΅π΅π΅π΅π΅π΅π§π§Μ × πΏπΏ οΏ½β = π΅π΅ππβ × π§π§Μ = π΅π΅π΅π΅π΅π΅πΏπΏ ππππ Questo tipo di equazione ha come soluzione per πΏπΏοΏ½β un moto di precessione di frequenza πππΏπΏ = −ππππππ = ππππ π΅π΅ 2ππ Per il protone, si può trovare il rapporto usando la stessa espressione trovata prima, usando ovviamente ππ = ππππ e ππ = ππ, a patto di usare un diverso fattore ππ = ππππ = 5.59. Per il neutrone, si può assumere lo stesso fattore che per il protone (quindi come se avesse ππ = ππππ e ππ = ππ!!!), a patto di usare il fattore ππππ = −3.8. 9 Per quanto riguarda il momento di dipolo elettrico, supponiamo che abbia valore ππππ e stessa direzione di momento angolare e momento di dipolo magnetico. 3. Trovare il moto (classico) del neutrone, se immerso in un campo magnetico uniforme e costante π΅π΅ e in un campo elettrico uniforme e costante πΈπΈ, e la pulsazione caratteristica πππΏπΏ di tale moto, nell’ipotesi i due campi abbiano stessa direzione e verso. All’istante iniziale campo magnetico e momento angolare formano un angolo ππ. Al momento magnetico si somma i momento elettrico ππβ = ππβ = ππβππ × πΈπΈοΏ½β οΏ½β πππΏπΏ 2 2 οΏ½β = πΈπΈππβππ × π§π§Μ = πΈπΈππππ πΏπΏοΏ½β × π§π§Μ = −πΈπΈππππ π§π§Μ × πΏπΏ ππππ β β πππΏπΏ = −πΈπΈππππ ππππ ππ 2ππππ 2 − ππππ ππππ = − π΅π΅ − πΈπΈ β β 2ππ 4. Quale relazione c’è fra l’energia di un fotone di pulsazione πππΏπΏ , e l’energia potenziale classica del neutrone? ππ βπππΏπΏ = −β π΅π΅ − 2ππππ πΈπΈ = −2ππππ − 2ππππ πΈπΈ = 2πππ΅π΅ (ππ = 0) + 2πππΈπΈ (ππ = 0) β 2 5. Ragionando sull’espressione trovata al punto 3, dire come è possibile porre limiti sul valore di ππππ , con la massima precisione possibile Tenendo fisso il campo magnetico, si può fare due misure cambiando il verso del campo elettrico, risulta così πππΏπΏ = − ππππ = ππππ ππ 2ππππ π΅π΅ β πΈπΈ β 2ππ β ππππ ππ οΏ½πππΏπΏ + π΅π΅οΏ½ 4πΈπΈ 2ππ 10 L’equazione dell’orbita 1. Usando la tecnica del potenziale efficace, trovate i punti di massima e minima distanza in funzione dell’energia πΈπΈ e del momento angolare πΏπΏ del corpo in orbita Si ha Ponendo ππΜ = 0 e risolvendo si trova ππ± = 1 πΊπΊπΊπΊπΊπΊ πΏπΏ2 πΈπΈ = ππππΜ 2 + − 2 2ππππ 2 ππ −πΊπΊπΊπΊπΊπΊ β οΏ½πΊπΊ 2 ππ2 ππ2 + 2πΈπΈπΏπΏ2 /ππ 2πΈπΈ 2. Trovate ora il valore del semiasse maggiore dell’orbita in funzione di πΈπΈ ed πΏπΏ ππ = ππ+ + ππ− −πΊπΊπΊπΊπΊπΊ = 2 2πΈπΈ 3. Trovate i valori dei due parametri in funzione di πΈπΈ ed πΏπΏ ππ+ = ππ− = ππ 1 − ππ ππ 1 + ππ ππ = ππ(1 − ππ 2 ) = ππ = πΏπΏ2 πΊπΊππ2 ππ ππ = οΏ½1 + ππ+ ππ− ππ 2πΈπΈπΏπΏ2 πΊπΊ 2 ππ2 ππ3 Consideriamo ora un satellite in un’orbita geostazionaria, a un certo punto questo accende il motore per una frazione di secondo e cambia la sua velocità di una componente βπ£π£ = π½π½π½π½. 4. Nel caso i cui tale componente aggiuntiva sia parallela alla velocità del satellite iniziale, calcolare i nuovi parametri dell’orbita ππ, ππ Il raggio dell’orbita geostazionaria è ππππ3 La velocità è πΊπΊπΊπΊ 2 πΊπΊπΊπΊ π π ππ2 ππππ2 πππ π ππ2 ππππ2 = 2 ππππ = 2 = 4ππ 2 4ππ π π ππ 4ππ 2 3 ππππ = οΏ½ 11 πππ π ππ2 ππππ2 4ππ 2 π£π£ππ = La nuova velocità è 2ππππππ 2ππ 3 πππ π ππ2 ππππ2 3 2πππππ π ππ2 οΏ½ = =οΏ½ ππππ 4ππ 2 ππππ ππππ π£π£ ′ = π£π£(1 + π½π½) Quindi πΏπΏ′ = πΏπΏ(1 + π½π½) πΎπΎ ′ = πΎπΎ(1 + π½π½)2 πΈπΈ ′ = 2πΈπΈ − πΈπΈ(1 + π½π½)2 = πΈπΈ(1 − 2π½π½ − π½π½ 2 ) ππ = ππ = οΏ½1 + πΏπΏ2 (1 + π½π½)2 = ππππ (1 + π½π½)2 πΊπΊππ2 ππ 2πΈπΈπΏπΏ2 (1 + π½π½)2 (1 − 2π½π½ − π½π½ 2 ) = οΏ½1 − (1 + π½π½)2 (1 − 2π½π½ − π½π½ 2 ) πΊπΊ 2 ππ2 ππ3 ππ = π½π½(2 + π½π½) 5. Nei casi in cui l’orbita è ancora chiusa, trovare le nuove distanza massime e minime dal centro gravitazionale, se l’orbita è aperta, trovare solo la distanza minima ππ+ = ππ− = ππππ (1 + π½π½)2 ππ = 1 − ππ 1 − π½π½(2 + π½π½) ππππ (1 + π½π½)2 ππ = 1 + ππ 1 + π½π½(2 + π½π½) Se l’orbita è aperta allora ππ− è la distanza minima. Cioè accade per π½π½ > √2 − 1. 6. Calcolare i nuovi parametri dell’orbita ππ, ππ πΏπΏ′ = πΏπΏ πΎπΎ ′ = πΎπΎ(1 + π½π½ 2 ) πΈπΈ ′ = 2πΈπΈ − πΈπΈ(1 + π½π½ 2 ) = πΈπΈ(1 − π½π½ 2 ) ππ = ππ = οΏ½1 + πΏπΏ2 = ππππ πΊπΊππ2 ππ 2πΈπΈπΏπΏ2 (1 − π½π½ 2 ) = οΏ½1 − (1 − π½π½ 2 ) = π½π½ πΊπΊ 2 ππ2 ππ3 7. Per i casi π½π½ < 1, calcolare l’angolo fra il semiasse maggiore della nova orbita e la posizione in cui sono stati accesi i motori Si usa 12 Quindi ππ(ππ) = ππππ ππ = ππππ = 1 − π½π½ πΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆ 1 − ππ πΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆ ππ = ππ/2 8. Trovare, sempre per π½π½ < 1, le nuove distanze massime e minime ππ+ = ππ− = 9. Trovare il periodo della nuova orbita ππππ ππ = 1 − ππ 1 − π½π½ ππππ ππ = 1 + ππ 1 + π½π½ 3 ππππ = οΏ½ 3 ππ = οΏ½ ππ 2 = ππππ2 πππ π ππ2 ππππ2 4ππ 2 3 ππ 2 πππ π ππ2 ππ 2 = ππ ππ οΏ½ 2 4ππ 2 ππππ 3 3 ππ 1 ππ3 1 2 2 = ππ οΏ½ οΏ½ = ππ οΏ½ οΏ½ ππ 3 ππ 1 − π½π½ 2 ππππ 1 − ππ 2 ππππ3 10. Calcolare il minimo valore di π½π½ = π½π½ππππππ affinché la nuova orbita sia aperta, e trovare la distanza minima dal centro in questo caso L’orbita è aperta se l’eccentricità è maggiore di 1, quindi Supponi ora π½π½ > π½π½ππππππ ππ− = π½π½ππππππ = 1 ππππ ππππ ππ = = 1 + ππ 1 + π½π½ππππππ 2 11. Trovare la velocità residua che avrà il satellite a distanza infinita (trascura il sole e gli altri pianeti) L’energia totale è πΈπΈ ′ = −πΈπΈ(π½π½ 2 − 1) Dove Ed 1 2πππππ π ππ2 1 2 πΈπΈ = − πππ£π£ππ = − ππ οΏ½ οΏ½ ππππ 2 2 1 2 πΈπΈ ′ = πππ£π£∞ 2 Si ricava 2 π£π£∞ 2πππππ π ππ2 =οΏ½ οΏ½ ππππ 13 2/3 (π½π½ 2 − 1) 2/3 1/3 2πππππ π ππ2 π£π£∞ = οΏ½ οΏ½ ππππ οΏ½π½π½ 2 − 1 = π£π£ππ οΏ½π½π½ 2 − 1 12. Trovare il parametro di impatto ππ del satellite Il momento angolare vale πΏπΏ = πΏπΏ′ = πππππ£π£∞ Dalle condizioni iniziali 3 πΏπΏ = ππππππ π£π£ππ = ππ οΏ½ Quindi ππ οΏ½ 1/3 ππ2 π π ππ4 ππππ οΏ½ 2ππ = ππππ οΏ½ 1/3 2πππππ π ππ2 οΏ½ ππππ 1/3 πππ π ππ2 ππππ2 ππ = οΏ½ 2 οΏ½ οΏ½π½π½ 2 − 1 4ππ 1 ππ2 π π ππ4 ππππ 2ππ = 13. Trovare la deflessione ππ generata dalla forza di gravita οΏ½π½π½ 2 − 1 ππππ οΏ½π½π½ 2 −1 Geometricamente si trova che ππ = ππ ππ + π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄(1/ππ) = + π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄(1/π½π½) 2 2 14 Il potenziale di Einstein 1. Considerate un corpo di massa ππ immerso nel campo gravitazionale generato da un oggetto di massa ππ β« ππ. Trovare il minimo raggio dell’orbita circolare possibile Imponendo πΊπΊπΊπΊπΊπΊ ππ 2 = ππ ππ 2 ππ πΉπΉ = ππ = πππ π = πΊπΊπΊπΊ ππ 2 2πΊπΊπΊπΊ ππ 2 2. Trovare la distribuzione di massa classica che porta a questo potenziale Troviamo la forza πΉπΉ(ππ) = − ππ ππππ 2 πππ π 3πππ π πΏπΏ2 ππ(ππ) = − οΏ½ 2 + 2 2 4οΏ½ ππππ 2 ππ ππ ππ ππ ππ(ππ) = − 3πππ π πΏπΏ2 ππ 2 πππ π οΏ½ 2 + 2 2 4οΏ½ 2 ππ ππ ππ ππ ππ(ππ) β 4ππππ 2 = −4ππππππ(ππ) 1 πΊπΊπΊπΊ 3πΊπΊπΊπΊπΏπΏ2 3πππΏπΏ2 1 ππ(ππ) = − ππ(ππ) β ππ 2 = οΏ½ 2 + 2 2 4 οΏ½ β ππ 2 = ππ + 2 2 2 ππ ππ ππ ππ ππ ππ πΊπΊ ππ πΊπΊ ππ ππ(ππ) = οΏ½ 4ππππ(ππ)ππ 2 ππππ ππ(ππ) = ππππ(ππ) + 0 3πππΏπΏ2 1 ππ 3πππΏπΏ2 = ππππ(ππ) − οΏ½ οΏ½ 2ππππ2 ππ 2 ππ 5 4ππππ 2 ππππ ππ2 ππ 2 ππ 2 3. Per quali raggi sono possibili orbite circolari? Usando il potenziale efficace ππππππππ (ππ) = ππ(ππ) + ππ ππ (ππ) = 0 ππππ ππππππ πππ π ππππ 2 πΏπΏ2 πππ π πΏπΏ2 πΏπΏ2 = οΏ½− + 2 2 2 − 2 2 3 οΏ½ 2ππππ 2 2 ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ 2πΏπΏ2 3πππ π πΏπΏ2 ππππ 2 πππ π οΏ½ 2 − 2 2 3 + 2 2 4οΏ½ = 0 2 ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ 2 − 2πΏπΏ2 ππ 3πΏπΏ2 + =0 ππ2 ππ 2 πππ π ππ2 ππ 2 15 2 ππ = 2πΏπΏ2 3πΏπΏ2 2πΏπΏ2 ± οΏ½οΏ½ 2 2 οΏ½ − 4 2 2 2 2 ππ ππ πππ π ππ ππ πππ π ππ ππ 2 Da ora in poi indicheremo ππ2 = ππ = = πΏπΏ2 3ππ2 ππ 2 πππ π 2 οΏ½1 − οΏ½1 ± οΏ½ ππ2 ππ 2 πππ π πΏπΏ2 πΏπΏ2 ππ2 ππ 2 ππ2 3πππ π 2 οΏ½1 ± οΏ½1 − 2 οΏ½ πππ π ππ 4. Discuti la stabilità delle orbite circolari trovate Basta controllare la derivata seconda del potenziale efficace ππ2 πππ π 2ππ2 3πππ π ππ2 ππππ 2 (ππ) ππ + 3 − 4 = οΏ½−2 οΏ½ ππππ 2 ππππππ 2 ππ 3 ππ 4 ππ 5 ππ2 ππππ 2 2 2 2 (ππ ) ππ = − 5 οΏ½πππ π ππππππ − 3ππ ππππππ + 6πππ π ππ οΏ½ ππππ 2 ππππππ ππππ ππππππ 2 3πππ π 2 ππ4 3πππ π 2 ππππ 2 ππ4 = − 5 οΏ½ οΏ½1 − οΏ½1 − 2 οΏ½ − 3 οΏ½1 − οΏ½1 − 2 οΏ½ + 6πππ π ππ2 οΏ½ ππ πππ π ππ ππππππ πππ π = ππππ 2 ππ4 3πππ π 2 3ππ 2 ππππ 2 ππ4 3ππ 2 3ππ 2 οΏ½1 − π π οΏ½ = οΏ½1 − π π οΏ½οΏ½1 − π π − 1οΏ½ < 0 οΏ½1 − − 5 ππ 5 ππ ππ2 ππ2 ππ2 ππ2 ππππππ ππππππ π π π π Il raggio interno è instabile ππ2 ππππ 2 2 (ππ ) (πππ π ππππππππ ππ − 3ππ2 ππππππππ + 6πππ π ππ2 ) = − 5 ππππ 2 ππππππ ππππππ ππππππ =− = 2 4 ππππ ππ οΏ½ 5 οΏ½ ππ οΏ½1 + 1 − ππππππππ π π 3πππ π 2 οΏ½ ππ2 2 −3 ππ4 3πππ π 2 οΏ½1 + οΏ½1 − 2 οΏ½ + 6πππ π ππ2 οΏ½ πππ π ππ ππππ 2 ππ4 3πππ π 2 3ππ 2 ππππ 2 ππ4 3ππ 2 3ππ 2 οΏ½1 − π π οΏ½ = οΏ½1 − π π οΏ½οΏ½1 − π π + 1οΏ½ > 0 οΏ½1 − + 5 ππ 5 ππ ππ2 ππ2 ππ2 ππ2 ππππππππ ππππππππ π π π π Il raggio esterno è stabile. Nel caso in cui ππππππ = ππππππππ = ππ 2 πππ π = 3πππ π ππ2 ππ (ππ ) = 0 ππππ 2 ππππππ ππππππ Andando a controllare la derivata terza si vede che 16 ππ3 ππ (ππ ) ≠ 0 ππππ 3 ππππππ ππππππ Quindi è instabile. La teoria newtoniana calcolava, come valore dei precessione dell’orbita di mercurio βππ = 5557.62 ± 0.20′′. Tuttavia il valore misurato era di βππ = 5600.73 ± 0.41′′ 5. Trovare il valore di precessione per centennio dovuto agli effetti di relatività generale, e dire se questo contributo è o meno conforme a quello della relatività generale, e se è il tassello mancante fra teoria e esperimento. Considerare l’orbita quasi circolare. Si può trovare semplicemente: ππππ2 = − 1 ππ2 3πππ π 2 ππ 2 2 οΏ½ (ππ) ππ ππ 1 − = ππ 4 ππ2 ππ ππππ 2 ππππππ Il periodo di rivoluzione lo si può ricavare dalla terza legge di Keplero ππππ2 = ππππ2 = πππ π ππ 2 2ππ 3 2ππππ2 1 2 2ππ2 3πππ π 2 1 ππ2 3πππ π 2 2 οΏ½ οΏ½ (ππ) 1 − ππ ππ 1 − 2 = ππππ οΏ½ = οΏ½ πππ π ππ ππ πππππ π ππ2 ππ ππππ 2 ππππππ Poiché ππ β« ππ β« πππ π possiamo prendere approssimativamente ππ = e si ottiene: ππ2 3πππ π 2 2ππ2 οΏ½1 ± οΏ½1 − 2 οΏ½ ≅ πππ π ππ πππ π ππππ2 = ππππ2 οΏ½1 − ππππ2 = ππππ2 οΏ½1 − 3πππ π 2 ππ2 3πππ π 2 ππ2 1/4 3πππ π 2 ππππ = ππππ οΏ½1 − 2 οΏ½ ππ 3πππ π 2 ππππ ≅ ππππ οΏ½1 − 2 οΏ½ 4ππ Per 100 anni si trova βππ = οΏ½ππππ − ππππ οΏ½ 3πππ π 2 = 2 ππππ 4ππ 3πππππ π 2 3πππππ π 2 ππ2 ππ 2 3πππππ π 3πππππ π = = = 2 2 2ππ 2πΏπΏ ππ π΄π΄(1 − ππ 2 ) 17 βππ = ππ 3πππππ π ≈ 42.91′′ π΄π΄(1 − ππ 2 ) 6. Trovare la deflessione nella teoria kepleriana classica La deflessione è data dal parametro eccentricità ππ = οΏ½1 + Inserendo i dati classici ππ = οΏ½1 + La deviazione è 2πΈπΈπΏπΏ2 πΊπΊ 2 ππ2 ππ3 1 πΈπΈ = ππππ 2 , πΏπΏ = ππππππ 2 4ππ 2 4ππ02 ππ0 ππππ 2 ππ2 ππ 2 ππ2 οΏ½ οΏ½1 = + ≅ 1 + ≅2 2 2 2 2 3 πΊπΊ ππ ππ πππ π πππ π πππ π 1 2 πππ π ππ βππ = 2 οΏ½ − π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄ οΏ½ οΏ½οΏ½ = = ππ ππ ππ0 2 7. Trovare la deflessione dovuta al termine aggiuntivo del potenziale Il valore della deflessione può essere trovato calcolando +∞ βππ = οΏ½ πππππΉπΉ⊥ = −∞ = 1 +π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄οΏ½ οΏ½ ππ οΏ½ 1 −π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄οΏ½ οΏ½ ππ 1 +π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄οΏ½ οΏ½ ππ οΏ½ 0 ππππ ππππ ππππ 2 ππππ 2 3πππ π πΏπΏ2 πΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆ = 2 πΏπΏ 2 ππ2 ππ 2 ππ 4 1 π΄π΄πππππππππποΏ½ οΏ½ ππ οΏ½ 0 ππππ 3πππ π πΏπΏ πΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆ 2ππ 2 3πππ π πΏπΏ 3πππ π πΏπΏ 2ππ 2 2πππ π ππππππ 2 2 πΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆπΆ(1 − ππππππππππ) ≅ = ππ 2 ππ 2 ππ 2 3 βππ 2πππ π ππππ 2 2πππ π ππ0 ππ 2 2πππ π βππ = ≅ 2 2 = 2ππππππ οΏ½ οΏ½ ≅ βππ = ππ 2 ππ0 ππ 2 ππ0 ππ 8. Il risultato trovato è conforme al risultato della relatività generale? Chiaramente è difficile interpretare la validità del risultato. Rispetto al metodo precedente, c’è il pregio di 1 2 non dovere assegnare un’energia πΈπΈ = ππππ 2 al fotone, che è sicuramente sbagliato. In tale parte del potenziale la massa si semplifica sempre a prescindere (possiamo immaginare che la variabile fisica sia πΏπΏ/ππ per quando andiamo ad usare la conservazione del momento angolare) 18
