Introduzione alla Logica Lineare

Una (brevissima) introduzione alla logica lineare
Relazione per il seminario Selp del 12-06-09
Paolo Pistone
1 L' inazione dei connettivi
Che dierenza c'è tra un enunciato della vita pratica come Con un euro posso comprare una coca cola e un pacco di patatine e un teorema oppure una
legge della sica, ad esempio la seconda legge della dinamica F
= ma?
La
scoperta della linearità permette di dare una risposta: un teorema o una legge
sono enunciati che consideriamo veri, e che dunque siamo in grado di utilizzare
quando vogliamo nei nostri ragionamenti, mentre gli enunciati della vita pratica, dipendendo da un contesto in continua trasformazione, molto spesso sono
utilizzabili un numero ristretto di volte nel ragionamento, in quanto il loro uso
ne può determinare la perdità di verità (se ho un euro, posso comprare la coca
cola, ma poi non potrò più dire di avere un euro, e quindi non potrò comprare le
patatine). L'approccio lineare interpreta la verità come disponibilità illimitata,
e guarda agli enunciati come risorse da usare e consumare nelle dimostrazioni.
I capisaldi della verità sono allora le cosiddette regole strutturali: contrazione
A ∧ B → A e indebolimento A → A ∧ A;
la logica lineare non è altro che ciò che
resta della logica classica una volta eliminate queste regole.
L'eliminazione delle regole strutturali ha come conseguenza lo sdoppiamento dei
connettivi classici: ognuno di questi ha infatti, nella logica lineare, un alter-ego
moltiplicativo ed un alter-ego additivo; il primo è un connettivo context-free,
che lascia intatti i contesti, limitandosi a copiarli dalle premesse alla conclusione; il secondo è un connettivo che invece dipendente dai contesti, in quanto
richiede che le premesse abbiano gli stessi contesti in modo da trasferirne una
sola copia nella conclusione. Ecco le regole:
Γ ` A, ∆ Γ0 ` B, ∆0
Γ, A, B ` ∆
L⊗
R⊗ congiunzione moltiplicativa
Γ, A ⊗ B ` ∆
Γ, Γ0 ` A ⊗ B, ∆, ∆0
0
0
Γ, A ` ∆ Γ , B ` ∆
Γ ` A, B, ∆
LO
RO disgiunzione moltiplicativa
Γ, Γ0 , AOB ` ∆, ∆0
Γ ` AOB, ∆
Γ, Ai ` ∆
Γ ` A, ∆ Γ ` B, ∆
i ∈ {0, 1}, LN
RN congiunzione additiva
Γ, A0 NA1 ` ∆
Γ ` ANB, ∆
Γ ` Ai , ∆
Γ, A ` ∆ Γ ` B, ∆
L⊕
i ∈ {0, 1}, R⊕ disgiunzione additiva
Γ, A ⊕ B ` ∆
Γ ` A0 ⊕ A1 , ∆
Come emerge dalla simmetria delle regole, attraverso la negazione lineare
1
Γ ` A, ∆
Γ, A ` ∆
L⊥
R⊥
⊥
Γ, A ` ∆
Γ ` A⊥ , ∆
si ottengono le leggi di de Morgan moltiplicativa ((A
⊥
⊥
⊥
⊗ B)⊥ a` A⊥ OB ⊥ )
e
⊕ B) a` A NB ); inoltre si possono denire una implicazione
⊥
⊥
moltiplicativa A ( B := A OB ed una additiva A ,→ B := A ⊕ B .
additiva ((A
La disgiunzione additiva, soddisfacendo la proprietà della disgiunzione (ossia, se
Γ ` A ⊕ B,
allora
Γ`A
oppure
Γ ` B ), codica l'interpretazione costruttivista
A o una prova di B ), mentre la disgiunzione
della disgiunzione (Una prova di
moltiplicativa, che non soddisfa la proprietà della disgiunzione, codica il comportamento delle disgiunzioni dimostrabili, nella logica classica, a partire dalla
legge del terzo escluso (in quanto
AOA⊥ , ma non A ⊕ A⊥ , è un teorema) oppure
dalla regola di assurdo classico (in quanto
⊥
è involutivo).
Il vantaggio maggiore dell'approccio lineare alla logica è che le derivazioni, pur
rispettando le simmetrie classiche e quindi senza arrendersi alle limitazioni degli
intuizionisti, sono consistenti dal punto di vista computazionale: la perdita di
questa proprietà, probabilmente il maggior difetto della logica classica, è infatti una conseguenza dell'uso di regole strutturali, e non una conseguenza delle
simmetrie interne (involutività della negazione e leggi di de Morgan); infatti,
siano
π1
e
π2
due arbitrarie dimostrazioni classiche del sequente
si consideri la seguente dimostrazione
Γ ` ∆,
allora
π3 :
π2
π1
Γ`∆
Γ`∆
Γ, A ` ∆ Γ ` A, ∆
cut
Γ`∆
L'eliminazione del taglio in π3 ha il risultato di identicare π1
e
π2 :
ne segue che
due arbitrarie dimostrazioni di una formula sono identicabili via eliminazione
del taglio, ossia che le derivazioni nella logica classica non hanno un contenuto
computazione esplicitabile.
Torniamo ai teoremi e alle leggi della sica: è possibile esprimere la loro
eterna verità, ovvero la loro disponibilità illimitata, nella logica lineare senza
? che possia?A per A è
(!A)⊥ a`?A⊥ . L'idea
perdere contenuto computazionale introducendo due operatori
mo interpretare pressapoco così:
soddisfacibile o A
è la seguente: se
!A ` A ⊗ A,
⊥
A
!A
A
e
non è un teorema, in quanto si ha
è un teorema, allora ne ho disponibilità illimitata (dunque
ad esempio) ed inoltre, se a partire da
sarebbe anche se
!
sta per A è un teorema e
Γ
è dimostrabile
fosse un teorema, ossia è dimostrabile
?A, Γ ` ∆
A, Γ ` ∆); viceversa ogni modello che
?A⊗?B `?A ma non A ⊗ B ` A). Ecco le
∆,
lo
(mentre
non sarebbe aatto dimostrabile
soddis
A
regole:
e
B
soddisfa
A
(e dunque
Γ`∆
!-indebolimento
Γ, !A ` ∆
Γ, A ` ∆
L!
Γ, !A ` ∆
Γ`∆
?-indebolimento
Γ ` ∆, ?A
Γ, !A, !A ` ∆
!-contrazione
Γ, !A ` ∆
!Γ `?∆, A
R!
!Γ `?∆, !A
Γ ` ∆, ?A, ?A
?-contrazione
Γ ` ∆, ?A
2
!Γ, A `?∆
Γ ` ∆, A
L?
R?
!Γ, ?A `?∆
Γ ` ∆, ?A
Le regole
L!, R!, L?, R?,
!
se si sostituisce
regole della logica modale
S4,
con
e
?
con
♦,
corrispondono alle
che codica infatti condizioni di dimostrabilità.
E' interessante notare che, mentre la logica lineare senza
logica lineare esponenziale (ossia con
!
e
?)
!
e
?
è decidibile, la
è indecidibile: questo fenomeno è
dovuto alle regole di contrazione che dilatano enormemente l'albero di ricerca
della dimostrazione.
Per quanto riguarda i quanticatori, essi vengono generalmente introdotti al
primo ed al secondo ordine con le regole classiche, ma, per via della dierenza
tra negazione classica e lineare (quest'ultima più forte perchè laddove
una quantità indenita di occorrenze di
A, A⊥
¬A
nega
ne nega esattamente una), si
(∀x.A)⊥ a` ∃x.A⊥ ,
sia al primo che al secondo ordine vale la proprietà esistenziale, ossia da Γ ` ∃x.A
è possibile ricavare eettivamente un t tale che sia dimostrabile Γ ` A[x/t], in
ottiene un risultato sorprendente: nonostante l'equivalenza
quanto la linearità della negazione blocca la formazione della disgiunzione di
Herbrand
A[x/t1 ] ∨ ... ∨ A[x/tn ].
2 La deazione dei connettivi
Il punto di vista della cosiddetta proof-search, ovvero della ricerca bottom-up
delle dimostrazioni, si è rivelato decisivo per una rivalutazione, occorsa a partire
dalla metà degli anni Novanta e tuttora in atto, dell'approccio lineare alla logica.
Consideriamo per semplicità solo sequenti a destra (ovvero della forma
` Γ);
guardando con attenzione le R-regole dei connettivi si nota che questi possono
essere divisi in due grandi classi:
Negativi Sono i connettivi che determinano in maniera univoca la prima mossa
di ogni strategia di proof-search a partire da una formula in cui occorrano principalmente, una conseguenza del fatto che sono invertibili, ossia
che ogni occorrenza della R-regola può essere letta dal basso verso l'alto.
Sono negativi i connettivi lineari espressi in notazione commerciale
nonchè
∀;
O e N,
Positivi Sono i connettivi che non determinano in maniera univoca la pri-
ma mossa di una strategia di proof-search a partire da una formula in
cui occorrano principalmente, e dunque non sono invertibili. Si pensi alla disgiunzione:
di dimostrare
algebrica
⊗
e
per dimostrare
B ? Sono positivi
⊕, nonchè ∃.
A∨B
devo cercare di dimostrare
A
o
i connettivi lineari espressi in notazione
Si noti che, se un connettivo è negativo, il suo duale è positivo e viceversa.
Questo è un principio generale, in quanto è possibile dimostrare che, se è soddisfatta l'eliminazione del taglio, la dierenza di polarità è equivalente alla coerenza logica. Questo implica che la negazione lineare sia quell'unico connettivo
unario che inverte la polarità della formula che ha come argomento.
3
Connettivi di stessa polarità distribuiscono tra loro e questo comporta che si
possano considerare aggregati di connettivi di stessa polarità come connettivi
essi stessi (l'equipolarità è infatti condizione suciente perchè esistano delle regole sensate che ammettano eliminazione del taglio).
Una ulteriore proprietà delle due polarità è la seguente: se
A
è una formula
ereditariamente negativa, ossia costruita esclusivamente attraverso connettivi
negativi, allora è dimostrabile
A a`?A, mentre, se A è ereditariamente positiva,
ossia costruita esclusivamente attraverso connettivi positivi, allora è dimostrabile
A a`!A.
Soddisfacibilità e dimostrabilità sono dunque intimamente con-
nesse rispettivamente con il negativo e con il positivo.
Il concetto di polarità permette di separare nettamente, nella proof-search, i
comportamenti deterministici da quelli indeterministici, ma c'è di più: si possono rileggere i teoremi di incompletezza come teoremi che dimostrano una fondamentale asimmetria tra le polarità, ovvero una maggior forza del positivo sul
negativo; la famosa formula
G di Gödel che asserisce la propria indimostrabilità
nell'aritmetica è infatti una formula positiva, ed è possibile provare che, laddove
il frammento negativo della logica del secondo ordine (in particolare quello generato dalle
Π1 -formule)
è completo, il frammento positivo è incompleto.
Per quale motivo la logica lineare è stata necessaria alla scoperta della polari-
A ⊗ B a` ANB e
AOB a` A ⊕ B , ossia l'identicazione dei comportamenti positivi e di quelli ne-
tà logica? Se si aggiungono le regole strutturali, si ottiene
gativi; questo è dunque il motivo della inconsistenza computazionale della logica
classica. La logica intuizionista, ammettendo di fatto regole strutturali solo alla
sinistra dei sequenti, preserva la polarità dei connettivi, e ha quindi contenuto
computazionale nonchè una interpretazione diretta nella logica lineare:
A∗ := A,
per
A
atomica;
(A ∧ B)∗ := A∗ NB ∗
(A ∨ B)∗ :=!A∗ ⊕!B ∗
(negativo);
(positivo);
(A → B)∗ :=!A∗ ( B ∗
(negativo);
(∀x.A)∗ := ∀x.A∗
(negativo);
(∃x.A)∗ := ∃x.!A∗
(positivo).
Inne, anche la logica classica è traducibile nella logica lineare, ma non direttamente, per quanto visto. In particolare, alle formule classiche viene associata
una traduzione che dipende da una associazione di polarità alle sottoformule;
tale assegnazione è data da tavole di polarità isomorfe alle tavole di verità dei
connettivi classici.
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Riferimenti bibliograci
[1] Girard
J.-Y. (1987),
Linear
Logic,
Theoretical Computer Science,
London Mathematical, London;
[2] Girard
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Lafont
Y.,
Taylor
P. (1989),
Proofs
and
types,
Cambridge tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge;
[3] Girard J.-Y. (1991), A new constructive logic:
classical logic,
Rapports de recherchè n.1443, Institut national de recherchè en Informatique
et en Automatique, Rocquencourt;
[4] Girard J.-Y. (1995), Linear Logic, its syntax and semantics, in Advances in Linear Logic, eds Girard, Lafont, Regnier, London Mathematical
Society Lecture Notes series 222, Cambridge University Press, Cambridge;
[5] Girard J.-Y. (1998), On the meaning of logical rules I: syntax vs.
semantics, in Computational Logic, eds Berger and Schwichtenberg, pp.
215-272, SV, Heidelberg, 1999;
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