Invito alla Logica Matematica attraverso gli Indovinelli

Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
[email protected]
Invito alla Logica Matematica
attraverso gli Indovinelli
R. De Leo
[email protected]
Liceo Scientifico “L.B. Alberti”
9 Febbraio 2010
1 / 40
Outline
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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2 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Quali sono gli elementi fondamentali di un gioco da tavolo?
R. De Leo
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I Pezzi
3 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Quali sono gli elementi fondamentali di un gioco da tavolo?
R. De Leo
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I Pezzi
Il Setup
3 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Quali sono gli elementi fondamentali di un gioco da tavolo?
R. De Leo
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I Pezzi
Il Setup
Le Regole
3 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Quali sono gli elementi fondamentali di un gioco da tavolo?
R. De Leo
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I Pezzi
Il Setup
Le Regole
La Matematica funziona allo stesso modo!
3 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Quali sono gli elementi fondamentali di un gioco da tavolo?
R. De Leo
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I Pezzi
Il Setup
Le Regole
Definizioni/
Assiomi di esistenza
La Matematica funziona allo stesso modo!
3 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Quali sono gli elementi fondamentali di un gioco da tavolo?
R. De Leo
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I Pezzi
Il Setup
Le Regole
Definizioni/
Assiomi di esistenza
Postulati
La Matematica funziona allo stesso modo!
3 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Quali sono gli elementi fondamentali di un gioco da tavolo?
R. De Leo
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I Pezzi
Il Setup
Le Regole
Definizioni/
Assiomi di esistenza
Postulati
Logica
La Matematica funziona allo stesso modo!
3 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
[email protected]
Durante una partita i giocatori utilizzano le regole muovere i
pezzi sulla scacchiera ottenendo così nuove posizioni a partire
da quella di partenza (setup).
Allo stesso modo in Matematica si utilizza la Logica (cioè il
ragionamento) per ottenere nuovi risultati a partire dai
postulati. Le “nuove posizioni sulla scacchiera” in Matematica
si chiamano Teoremi.
4 / 40
La Matematica come “gioco da tavolo”
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Durante una partita i giocatori utilizzano le regole muovere i
pezzi sulla scacchiera ottenendo così nuove posizioni a partire
da quella di partenza (setup).
Allo stesso modo in Matematica si utilizza la Logica (cioè il
ragionamento) per ottenere nuovi risultati a partire dai
postulati. Le “nuove posizioni sulla scacchiera” in Matematica
si chiamano Teoremi.
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Brevissima Storia della Logica
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
[email protected]
• Aristotele (∼ 350AC) è il primo a formalizzare le leggi del
ragionamento con i sillogismi.
Esempio:
Tutti i gatti sono mammiferi;
2 Tutti i mammiferi sono a sangue caldo;
3 Perciò tutti i gatti sono a sangue caldo.
1
• Nel Medioevo lo studio della logica continua nella
direzione indicata da Aristotele.
• Nel Seicento G.W. Leibniz (1646 − 1716) introduce la
Logica Simbolica mostrando che la logica può essere
trattata con strumenti algebrici così come si fa con i
numeri.
5 / 40
Brevissima Storia della Logica
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Logica
Matematica
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• Aristotele (∼ 350AC) è il primo a formalizzare le leggi del
ragionamento con i sillogismi.
Esempio:
Tutti i gatti sono mammiferi;
2 Tutti i mammiferi sono a sangue caldo;
3 Perciò tutti i gatti sono a sangue caldo.
1
• Nel Medioevo lo studio della logica continua nella
direzione indicata da Aristotele.
• Nel Seicento G.W. Leibniz (1646 − 1716) introduce la
Logica Simbolica mostrando che la logica può essere
trattata con strumenti algebrici così come si fa con i
numeri.
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• Aristotele (∼ 350AC) è il primo a formalizzare le leggi del
ragionamento con i sillogismi.
Esempio:
Tutti i gatti sono mammiferi;
2 Tutti i mammiferi sono a sangue caldo;
3 Perciò tutti i gatti sono a sangue caldo.
1
• Nel Medioevo lo studio della logica continua nella
direzione indicata da Aristotele.
• Nel Seicento G.W. Leibniz (1646 − 1716) introduce la
Logica Simbolica mostrando che la logica può essere
trattata con strumenti algebrici così come si fa con i
numeri.
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• Aristotele (∼ 350AC) è il primo a formalizzare le leggi del
ragionamento con i sillogismi.
Esempio:
Tutti i gatti sono mammiferi;
2 Tutti i mammiferi sono a sangue caldo;
3 Perciò tutti i gatti sono a sangue caldo.
1
• Nel Medioevo lo studio della logica continua nella
direzione indicata da Aristotele.
• Nel Seicento G.W. Leibniz (1646 − 1716) introduce la
Logica Simbolica mostrando che la logica può essere
trattata con strumenti algebrici così come si fa con i
numeri.
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• Aristotele (∼ 350AC) è il primo a formalizzare le leggi del
ragionamento con i sillogismi.
Esempio:
Tutti i gatti sono mammiferi;
2 Tutti i mammiferi sono a sangue caldo;
3 Perciò tutti i gatti sono a sangue caldo.
1
• Nel Medioevo lo studio della logica continua nella
direzione indicata da Aristotele.
• Nel Seicento G.W. Leibniz (1646 − 1716) introduce la
Logica Simbolica mostrando che la logica può essere
trattata con strumenti algebrici così come si fa con i
numeri.
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Brevissima Storia della Logica
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• Aristotele (∼ 350AC) è il primo a formalizzare le leggi del
ragionamento con i sillogismi.
Esempio:
Tutti i gatti sono mammiferi;
2 Tutti i mammiferi sono a sangue caldo;
3 Perciò tutti i gatti sono a sangue caldo.
1
• Nel Medioevo lo studio della logica continua nella
direzione indicata da Aristotele.
• Nel Seicento G.W. Leibniz (1646 − 1716) introduce la
Logica Simbolica mostrando che la logica può essere
trattata con strumenti algebrici così come si fa con i
numeri.
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Brevissima Storia della Logica
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Matematica
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• Nel Settecento L. Euler (1707 − 1783) introduce un modo
di rappresentare graficamente i sillogismi, poi sfociato nei
diagrammi di Venn della teoria degli insiemi.
C
Tutti gli A sono B.
B
Tutti i B sono C.
A
Tutti gli A sono C.
• Nell’Ottocento G. Boole (1815 − 1864) chiarifica i
collegamenti tra logica e teoria degli insiemi. Ad esempio:
A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
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• Nel Settecento L. Euler (1707 − 1783) introduce un modo
di rappresentare graficamente i sillogismi, poi sfociato nei
diagrammi di Venn della teoria degli insiemi.
C
Tutti gli A sono B.
B
Tutti i B sono C.
A
Tutti gli A sono C.
• Nell’Ottocento G. Boole (1815 − 1864) chiarifica i
collegamenti tra logica e teoria degli insiemi. Ad esempio:
A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
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Brevissima Storia della Logica
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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• Giuseppe Peano (1858 − 1932) pubblica il Formulario in
cui, tra le altre cose, introduce le notazioni che da allora in
poi saranno usate in logica e matematica. In particolare
sono suoi i simboli ∩, ∪, ∃, ∈, 3, ∼ (negazione logica), p
per indicare le proposizioni.
• Bertrand Russel (1872 − 1970) pubblica i Principia
Mathematica mettendo la logica proposizionale alla base
dei fondamenti della matematica.
• Kurt Gödel (1906 − 1978) dimostra il famoso teorema di
incompletezza.
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• Giuseppe Peano (1858 − 1932) pubblica il Formulario in
cui, tra le altre cose, introduce le notazioni che da allora in
poi saranno usate in logica e matematica. In particolare
sono suoi i simboli ∩, ∪, ∃, ∈, 3, ∼ (negazione logica), p
per indicare le proposizioni.
• Bertrand Russel (1872 − 1970) pubblica i Principia
Mathematica mettendo la logica proposizionale alla base
dei fondamenti della matematica.
• Kurt Gödel (1906 − 1978) dimostra il famoso teorema di
incompletezza.
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Logica
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• Giuseppe Peano (1858 − 1932) pubblica il Formulario in
cui, tra le altre cose, introduce le notazioni che da allora in
poi saranno usate in logica e matematica. In particolare
sono suoi i simboli ∩, ∪, ∃, ∈, 3, ∼ (negazione logica), p
per indicare le proposizioni.
• Bertrand Russel (1872 − 1970) pubblica i Principia
Mathematica mettendo la logica proposizionale alla base
dei fondamenti della matematica.
• Kurt Gödel (1906 − 1978) dimostra il famoso teorema di
incompletezza.
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La Logica Proposizionale
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Logica
Matematica
attraverso gli
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Come si procede in Fisica quando si studia un nuovo fenomeno,
il primo passo è quello di determinarne il modello più semplice
possibile. In Logica il ’livello zero’ è quello in cui gli ’atomi’
sono le proposizioni, cioè frasi di senso compiuto delle quali sia
possibile determinare il valore di verità (vero/falso).
Da ora in poi indicheremo le proposizioni con lettere latine
minuscole (p,q, · · · ).
Ogni ragionamento consiste nella combinazione di diverse
proposizioni in modo da dar luogo alla fine alla combinazione
desiderata; se il ragionamente è corretto dalla verità degli
assunti discende necessariamente la verità delle conclusioni.
La logica proposizionale dunque studia il modo in cui varie
proposizioni possono combinarsi mantenendo il loro valore di
verità.
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La Logica Proposizionale
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Come si procede in Fisica quando si studia un nuovo fenomeno,
il primo passo è quello di determinarne il modello più semplice
possibile. In Logica il ’livello zero’ è quello in cui gli ’atomi’
sono le proposizioni, cioè frasi di senso compiuto delle quali sia
possibile determinare il valore di verità (vero/falso).
Da ora in poi indicheremo le proposizioni con lettere latine
minuscole (p,q, · · · ).
Ogni ragionamento consiste nella combinazione di diverse
proposizioni in modo da dar luogo alla fine alla combinazione
desiderata; se il ragionamente è corretto dalla verità degli
assunti discende necessariamente la verità delle conclusioni.
La logica proposizionale dunque studia il modo in cui varie
proposizioni possono combinarsi mantenendo il loro valore di
verità.
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I connettivi Logici
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Esaminando il modo in cui ragioniamo sono stati individuati
storicamente cinque operatori fondamentali: quattro connettivi
binari (congiunzione, disgiunzione, implicazione e
coimplicazione) ed uno unario (negazione).
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La Negazione
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Data una proposizione p si puó generare una nuova
proposizione “non p”, che risulta vera quando p è falsa e
viceversa.
In logica si indica con
∼p
Tavola di verità:
p
V
F
∼p
F
V
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La Negazione
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Data una proposizione p si puó generare una nuova
proposizione “non p”, che risulta vera quando p è falsa e
viceversa.
In logica si indica con
∼p
Tavola di verità:
p
V
F
∼p
F
V
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La Negazione
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Data una proposizione p si puó generare una nuova
proposizione “non p”, che risulta vera quando p è falsa e
viceversa.
In logica si indica con
∼p
Tavola di verità:
p
V
F
∼p
F
V
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Il connettivo ’o’
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Matematica
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Date p e q possiamo affermare “o p o q”, vera quando almeno
una delle due proposizioni è vera (disgiunzione inclusiva).
In logica si indica con p ∨ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
L’operatore ∨ corrisponde in insiemistica a ∪:
A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
Esempio: sarò promosso o bocciato? si!
11 / 40
Il connettivo ’o’
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Logica
Matematica
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Date p e q possiamo affermare “o p o q”, vera quando almeno
una delle due proposizioni è vera (disgiunzione inclusiva).
In logica si indica con p ∨ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
L’operatore ∨ corrisponde in insiemistica a ∪:
A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
Esempio: sarò promosso o bocciato? si!
11 / 40
Il connettivo ’o’
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Date p e q possiamo affermare “o p o q”, vera quando almeno
una delle due proposizioni è vera (disgiunzione inclusiva).
In logica si indica con p ∨ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
L’operatore ∨ corrisponde in insiemistica a ∪:
A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
Esempio: sarò promosso o bocciato? si!
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Il connettivo ’o’
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Date p e q possiamo affermare “o p o q”, vera quando almeno
una delle due proposizioni è vera (disgiunzione inclusiva).
In logica si indica con p ∨ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
L’operatore ∨ corrisponde in insiemistica a ∪:
A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
Esempio: sarò promosso o bocciato? si!
11 / 40
Il connettivo ’o’
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Date p e q possiamo affermare “o p o q”, vera quando almeno
una delle due proposizioni è vera (disgiunzione inclusiva).
In logica si indica con p ∨ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
L’operatore ∨ corrisponde in insiemistica a ∪:
A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
Esempio: sarò promosso o bocciato? si!
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Il connettivo ’xor’
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Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
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[email protected]
Date p e q si puó affermare “p o q ma non entrambe”, che è
vera quando solo una delle due proposizioni componenti è vera
(disgiunzione esclusiva).
In logica si indica con p Y q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pYq
F
V
V
F
Esempio: o la borsa o la vita!
12 / 40
Il connettivo ’xor’
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Indovinelli
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Date p e q si puó affermare “p o q ma non entrambe”, che è
vera quando solo una delle due proposizioni componenti è vera
(disgiunzione esclusiva).
In logica si indica con p Y q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pYq
F
V
V
F
Esempio: o la borsa o la vita!
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Il connettivo ’xor’
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Date p e q si puó affermare “p o q ma non entrambe”, che è
vera quando solo una delle due proposizioni componenti è vera
(disgiunzione esclusiva).
In logica si indica con p Y q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pYq
F
V
V
F
Esempio: o la borsa o la vita!
12 / 40
Il connettivo ’xor’
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Logica
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Indovinelli
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Date p e q si puó affermare “p o q ma non entrambe”, che è
vera quando solo una delle due proposizioni componenti è vera
(disgiunzione esclusiva).
In logica si indica con p Y q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pYq
F
V
V
F
Esempio: o la borsa o la vita!
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Il connettivo ’e’
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Date p e q si puó affermare “sia p che q”, vera quando
entrambe sono vere.
In logica si indica con p ∧ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
∧ corrisponde in insiemistica a ∩:
A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
13 / 40
Il connettivo ’e’
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Date p e q si puó affermare “sia p che q”, vera quando
entrambe sono vere.
In logica si indica con p ∧ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
∧ corrisponde in insiemistica a ∩:
A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
13 / 40
Il connettivo ’e’
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Date p e q si puó affermare “sia p che q”, vera quando
entrambe sono vere.
In logica si indica con p ∧ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
∧ corrisponde in insiemistica a ∩:
A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
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Il connettivo ’e’
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Date p e q si puó affermare “sia p che q”, vera quando
entrambe sono vere.
In logica si indica con p ∧ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
∧ corrisponde in insiemistica a ∩:
A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
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Il connettivo ’implica’
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Questo connettivo cerca di rappresentare il concetto di
implicazione, ad esempio “x = 2 ⇒ x2 = 4”. Si dovrebbe
interpretare come “non è possibile che sia vero q quando p è
falso”.
In logica si indica con p → q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
→ corrisponde in insiemistica a ⊆: A ⊆ B sse x ∈ A → x ∈ B.
14 / 40
Il connettivo ’implica’
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Logica
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Indovinelli
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Questo connettivo cerca di rappresentare il concetto di
implicazione, ad esempio “x = 2 ⇒ x2 = 4”. Si dovrebbe
interpretare come “non è possibile che sia vero q quando p è
falso”.
In logica si indica con p → q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
→ corrisponde in insiemistica a ⊆: A ⊆ B sse x ∈ A → x ∈ B.
14 / 40
Il connettivo ’implica’
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Questo connettivo cerca di rappresentare il concetto di
implicazione, ad esempio “x = 2 ⇒ x2 = 4”. Si dovrebbe
interpretare come “non è possibile che sia vero q quando p è
falso”.
In logica si indica con p → q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
→ corrisponde in insiemistica a ⊆: A ⊆ B sse x ∈ A → x ∈ B.
14 / 40
Il connettivo ’implica’
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Questo connettivo cerca di rappresentare il concetto di
implicazione, ad esempio “x = 2 ⇒ x2 = 4”. Si dovrebbe
interpretare come “non è possibile che sia vero q quando p è
falso”.
In logica si indica con p → q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
→ corrisponde in insiemistica a ⊆: A ⊆ B sse x ∈ A → x ∈ B.
14 / 40
Il connettivo ’equivale a’
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
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Questo connettivo cerca di rappresentare il concetto di
implicazione nei due sensi, cioè sia p → q che q → p; ad es.
“x = 2, −2 ⇔ x2 = 4”.
In logica si indica con p ↔ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
L’operatore ↔ corrisponde in insiemistica a =:
A = B se e solo se x ∈ A ↔ x ∈ B.
15 / 40
Il connettivo ’equivale a’
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Matematica
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Indovinelli
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Questo connettivo cerca di rappresentare il concetto di
implicazione nei due sensi, cioè sia p → q che q → p; ad es.
“x = 2, −2 ⇔ x2 = 4”.
In logica si indica con p ↔ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
L’operatore ↔ corrisponde in insiemistica a =:
A = B se e solo se x ∈ A ↔ x ∈ B.
15 / 40
Il connettivo ’equivale a’
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Logica
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Questo connettivo cerca di rappresentare il concetto di
implicazione nei due sensi, cioè sia p → q che q → p; ad es.
“x = 2, −2 ⇔ x2 = 4”.
In logica si indica con p ↔ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
L’operatore ↔ corrisponde in insiemistica a =:
A = B se e solo se x ∈ A ↔ x ∈ B.
15 / 40
Il connettivo ’equivale a’
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Questo connettivo cerca di rappresentare il concetto di
implicazione nei due sensi, cioè sia p → q che q → p; ad es.
“x = 2, −2 ⇔ x2 = 4”.
In logica si indica con p ↔ q
Tavola di verità:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
L’operatore ↔ corrisponde in insiemistica a =:
A = B se e solo se x ∈ A ↔ x ∈ B.
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Traduzione dal linguaggio naturale
Invito alla
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Matematica
attraverso gli
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R. De Leo
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Il linguaggio naturale è molto complesso, per tradurre una frase
nella logica proposizionale bisogna semplificarla al massimo.
Il primo passo è di “riscrivere” la frase eliminando tutte le
“ellissi” che si fanno nel linguaggio comune. Ad es. “Pula è un
paese ed una parola di quattro lettere” si deve rifrasare come
“Pula è un paese e Pula è una parola di quattro lettere”.
Poi bisogna identificare le proposizioni “atomiche” ed indicarle
con una lettera.
Infine bisogna capire quale connettivo corrisponde ai connettivi
della lingua comune.
16 / 40
Traduzione dal linguaggio naturale
Invito alla
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Matematica
attraverso gli
Indovinelli
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Il linguaggio naturale è molto complesso, per tradurre una frase
nella logica proposizionale bisogna semplificarla al massimo.
Il primo passo è di “riscrivere” la frase eliminando tutte le
“ellissi” che si fanno nel linguaggio comune. Ad es. “Pula è un
paese ed una parola di quattro lettere” si deve rifrasare come
“Pula è un paese e Pula è una parola di quattro lettere”.
Poi bisogna identificare le proposizioni “atomiche” ed indicarle
con una lettera.
Infine bisogna capire quale connettivo corrisponde ai connettivi
della lingua comune.
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Traduzione dal linguaggio naturale
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Il linguaggio naturale è molto complesso, per tradurre una frase
nella logica proposizionale bisogna semplificarla al massimo.
Il primo passo è di “riscrivere” la frase eliminando tutte le
“ellissi” che si fanno nel linguaggio comune. Ad es. “Pula è un
paese ed una parola di quattro lettere” si deve rifrasare come
“Pula è un paese e Pula è una parola di quattro lettere”.
Poi bisogna identificare le proposizioni “atomiche” ed indicarle
con una lettera.
Infine bisogna capire quale connettivo corrisponde ai connettivi
della lingua comune.
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Traduzione dal linguaggio naturale
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Il linguaggio naturale è molto complesso, per tradurre una frase
nella logica proposizionale bisogna semplificarla al massimo.
Il primo passo è di “riscrivere” la frase eliminando tutte le
“ellissi” che si fanno nel linguaggio comune. Ad es. “Pula è un
paese ed una parola di quattro lettere” si deve rifrasare come
“Pula è un paese e Pula è una parola di quattro lettere”.
Poi bisogna identificare le proposizioni “atomiche” ed indicarle
con una lettera.
Infine bisogna capire quale connettivo corrisponde ai connettivi
della lingua comune.
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Esempi
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Mario è uno studente ed un lavoratore
Mario, che è uno studente, è anche un lavoratore
Mario non solo è uno studente ma è anche un lavoratore
sono del tutto equivalenti e vanno tradotte usando il connettivo
∧.
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Esempi
Invito alla
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Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Una frase del tipo “hanno la laurea in filosofia o matematica”
rivolta ad un insieme di concorrenti per un posto di ricercatore
in logica sicuramente va tradotta con ∨ perché qualcuno
potrebbe avere la laurea in entrambe, ma la frase “o si vince o
si perde” dev’essere senz’altro tradotta con Y.
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Esempi
Invito alla
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Matematica
attraverso gli
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R. De Leo
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Frasi come “Sarete promossi se studierete” e “Sarete promossi
solo se studierete” si traducono come p → q e ∼ p →∼ q.
In particolare la equivalenza logica p ↔ q corrisponde a “Sarete
promossi se e solo se studierete”.
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Tautologie e contraddizioni
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
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Una tautologia è una proposizione che è sempre vera,
indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che la
compongono.
Una contraddizione è esattamente l’opposto di una tautologia,
cioè rimane falsa qualunque siano i valori di verità delle
proposizioni che la compongono.
Esempi:
• p∨ ∼ p
(Terzo escluso)
• ∼ (p∧ ∼ p)
(Legge di non contraddizione)
• ∼ (∼ p) ↔ p
(Legge della doppia negazione)
• (p∧ ∼ p) → q
(Ex falso sequitur quodlibet)
• ((p ↔ q) ↔ r) ↔ (p ↔ (q ↔ r))
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Tautologie e contraddizioni
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Una tautologia è una proposizione che è sempre vera,
indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che la
compongono.
Una contraddizione è esattamente l’opposto di una tautologia,
cioè rimane falsa qualunque siano i valori di verità delle
proposizioni che la compongono.
Esempi:
• p∨ ∼ p
(Terzo escluso)
• ∼ (p∧ ∼ p)
(Legge di non contraddizione)
• ∼ (∼ p) ↔ p
(Legge della doppia negazione)
• (p∧ ∼ p) → q
(Ex falso sequitur quodlibet)
• ((p ↔ q) ↔ r) ↔ (p ↔ (q ↔ r))
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Tautologie e contraddizioni
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Una tautologia è una proposizione che è sempre vera,
indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che la
compongono.
Una contraddizione è esattamente l’opposto di una tautologia,
cioè rimane falsa qualunque siano i valori di verità delle
proposizioni che la compongono.
Esempi:
• p∨ ∼ p
(Terzo escluso)
• ∼ (p∧ ∼ p)
(Legge di non contraddizione)
• ∼ (∼ p) ↔ p
(Legge della doppia negazione)
• (p∧ ∼ p) → q
(Ex falso sequitur quodlibet)
• ((p ↔ q) ↔ r) ↔ (p ↔ (q ↔ r))
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Tautologie e contraddizioni
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Una tautologia è una proposizione che è sempre vera,
indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che la
compongono.
Una contraddizione è esattamente l’opposto di una tautologia,
cioè rimane falsa qualunque siano i valori di verità delle
proposizioni che la compongono.
Esempi:
• p∨ ∼ p
(Terzo escluso)
• ∼ (p∧ ∼ p)
(Legge di non contraddizione)
• ∼ (∼ p) ↔ p
(Legge della doppia negazione)
• (p∧ ∼ p) → q
(Ex falso sequitur quodlibet)
• ((p ↔ q) ↔ r) ↔ (p ↔ (q ↔ r))
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Tautologie e contraddizioni
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Una tautologia è una proposizione che è sempre vera,
indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che la
compongono.
Una contraddizione è esattamente l’opposto di una tautologia,
cioè rimane falsa qualunque siano i valori di verità delle
proposizioni che la compongono.
Esempi:
• p∨ ∼ p
(Terzo escluso)
• ∼ (p∧ ∼ p)
(Legge di non contraddizione)
• ∼ (∼ p) ↔ p
(Legge della doppia negazione)
• (p∧ ∼ p) → q
(Ex falso sequitur quodlibet)
• ((p ↔ q) ↔ r) ↔ (p ↔ (q ↔ r))
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Tautologie e contraddizioni
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Una tautologia è una proposizione che è sempre vera,
indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che la
compongono.
Una contraddizione è esattamente l’opposto di una tautologia,
cioè rimane falsa qualunque siano i valori di verità delle
proposizioni che la compongono.
Esempi:
• p∨ ∼ p
(Terzo escluso)
• ∼ (p∧ ∼ p)
(Legge di non contraddizione)
• ∼ (∼ p) ↔ p
(Legge della doppia negazione)
• (p∧ ∼ p) → q
(Ex falso sequitur quodlibet)
• ((p ↔ q) ↔ r) ↔ (p ↔ (q ↔ r))
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Tautologie e contraddizioni
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Una tautologia è una proposizione che è sempre vera,
indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che la
compongono.
Una contraddizione è esattamente l’opposto di una tautologia,
cioè rimane falsa qualunque siano i valori di verità delle
proposizioni che la compongono.
Esempi:
• p∨ ∼ p
(Terzo escluso)
• ∼ (p∧ ∼ p)
(Legge di non contraddizione)
• ∼ (∼ p) ↔ p
(Legge della doppia negazione)
• (p∧ ∼ p) → q
(Ex falso sequitur quodlibet)
• ((p ↔ q) ↔ r) ↔ (p ↔ (q ↔ r))
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Il Sistema di deduzione naturale
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7
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9
10
Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
(Dim. cond. – intr. del condiz.)
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
(Dim. cond. – intr. del condiz.)
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
(Dim. cond. – intr. del condiz.)
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
(Dim. cond. – intr. del condiz.)
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
(Dim. cond. – intr. del condiz.)
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
(Dim. cond. – intr. del condiz.)
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
(Dim. cond. – intr. del condiz.)
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Se p → q e p →∼ q allora ∼ p (Introduzione della
negazione)
Se ∼ (∼ p) allora p (Eliminazione della doppia negazione)
Se p e q allora p ∧ q (Introduzione della congiunzione)
Se p ∧ q allora sia p che q (Eliminazione della
congiunzione)
Se p (o q) allora p ∨ q (Introduzione della disgiunzione)
Se p ∨ q, p → r e q → r allora r (Elim. della disg.)
Se p → q e q → p allora p ↔ q (Introduzione di ↔)
Se p ↔ q allora sia p → q che q → p (Elim. di ↔)
Se p e p → q allora q (Eliminazione del condizionale)
Se dall’assunzione di p riusciamo a dim. q allora p → q
(Dim. cond. – intr. del condiz.)
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Gli Indovinelli
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Chi è Matto?
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Il Bruco e la Lucertola
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
b = “Il Bruco è savio”, l = “La Lucertola è savia”
b ↔ (∼ b∧ ∼ l)
Soluzione:
Eliminando l’equivalenza logica (8) otteniamo
b → (∼ b∧ ∼ l)
Eliminando la congiunzione (3), b →∼ b.
Dato che anche b → b, usiamo (1) e deduciamo ∼ b,
cioé il Bruco è matto!
Allora ∼ (∼ b∧ ∼ l)
cioè b ∨ l
Ma dato che b è falsa allora l dev’esser vera,
cioè la Lucertola è savia!
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
b = “Il Bruco è savio”, l = “La Lucertola è savia”
b ↔ (∼ b∧ ∼ l)
Soluzione:
Eliminando l’equivalenza logica (8) otteniamo
b → (∼ b∧ ∼ l)
Eliminando la congiunzione (3), b →∼ b.
Dato che anche b → b, usiamo (1) e deduciamo ∼ b,
cioé il Bruco è matto!
Allora ∼ (∼ b∧ ∼ l)
cioè b ∨ l
Ma dato che b è falsa allora l dev’esser vera,
cioè la Lucertola è savia!
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
b = “Il Bruco è savio”, l = “La Lucertola è savia”
b ↔ (∼ b∧ ∼ l)
Soluzione:
Eliminando l’equivalenza logica (8) otteniamo
b → (∼ b∧ ∼ l)
Eliminando la congiunzione (3), b →∼ b.
Dato che anche b → b, usiamo (1) e deduciamo ∼ b,
cioé il Bruco è matto!
Allora ∼ (∼ b∧ ∼ l)
cioè b ∨ l
Ma dato che b è falsa allora l dev’esser vera,
cioè la Lucertola è savia!
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
b = “Il Bruco è savio”, l = “La Lucertola è savia”
b ↔ (∼ b∧ ∼ l)
Soluzione:
Eliminando l’equivalenza logica (8) otteniamo
b → (∼ b∧ ∼ l)
Eliminando la congiunzione (3), b →∼ b.
Dato che anche b → b, usiamo (1) e deduciamo ∼ b,
cioé il Bruco è matto!
Allora ∼ (∼ b∧ ∼ l)
cioè b ∨ l
Ma dato che b è falsa allora l dev’esser vera,
cioè la Lucertola è savia!
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
b = “Il Bruco è savio”, l = “La Lucertola è savia”
b ↔ (∼ b∧ ∼ l)
Soluzione:
Eliminando l’equivalenza logica (8) otteniamo
b → (∼ b∧ ∼ l)
Eliminando la congiunzione (3), b →∼ b.
Dato che anche b → b, usiamo (1) e deduciamo ∼ b,
cioé il Bruco è matto!
Allora ∼ (∼ b∧ ∼ l)
cioè b ∨ l
Ma dato che b è falsa allora l dev’esser vera,
cioè la Lucertola è savia!
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
b = “Il Bruco è savio”, l = “La Lucertola è savia”
b ↔ (∼ b∧ ∼ l)
Soluzione:
Eliminando l’equivalenza logica (8) otteniamo
b → (∼ b∧ ∼ l)
Eliminando la congiunzione (3), b →∼ b.
Dato che anche b → b, usiamo (1) e deduciamo ∼ b,
cioé il Bruco è matto!
Allora ∼ (∼ b∧ ∼ l)
cioè b ∨ l
Ma dato che b è falsa allora l dev’esser vera,
cioè la Lucertola è savia!
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Soluzione
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b = “Il Bruco è savio”, l = “La Lucertola è savia”
b ↔ (∼ b∧ ∼ l)
Soluzione:
Eliminando l’equivalenza logica (8) otteniamo
b → (∼ b∧ ∼ l)
Eliminando la congiunzione (3), b →∼ b.
Dato che anche b → b, usiamo (1) e deduciamo ∼ b,
cioé il Bruco è matto!
Allora ∼ (∼ b∧ ∼ l)
cioè b ∨ l
Ma dato che b è falsa allora l dev’esser vera,
cioè la Lucertola è savia!
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
b = “Il Bruco è savio”, l = “La Lucertola è savia”
b ↔ (∼ b∧ ∼ l)
Soluzione:
Eliminando l’equivalenza logica (8) otteniamo
b → (∼ b∧ ∼ l)
Eliminando la congiunzione (3), b →∼ b.
Dato che anche b → b, usiamo (1) e deduciamo ∼ b,
cioé il Bruco è matto!
Allora ∼ (∼ b∧ ∼ l)
cioè b ∨ l
Ma dato che b è falsa allora l dev’esser vera,
cioè la Lucertola è savia!
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La Cuoca e il Gatto
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
c = “La Cuoca è savia”, g = “Il Gatto del Cheshire è savio”
c ↔ (∼ c∨ ∼ g)
Soluzione:
Ovviamente p ↔ q equivale a ∼ p ↔∼ q, per cui
∼ c ↔∼ (∼ c∨ ∼ g) ↔ c ∧ g
Esattamente come prima dunque succede che ∼ c → c,
cioè ∼ c dev’essere falsa!
Dunque la cuoca è savia e quindi è vero che ∼ c∨ ∼ g
da cui necessariamente ∼ g, cioè il Gatto dev’essere matto!
27 / 40
Soluzione
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Traduzione in Formule:
c = “La Cuoca è savia”, g = “Il Gatto del Cheshire è savio”
c ↔ (∼ c∨ ∼ g)
Soluzione:
Ovviamente p ↔ q equivale a ∼ p ↔∼ q, per cui
∼ c ↔∼ (∼ c∨ ∼ g) ↔ c ∧ g
Esattamente come prima dunque succede che ∼ c → c,
cioè ∼ c dev’essere falsa!
Dunque la cuoca è savia e quindi è vero che ∼ c∨ ∼ g
da cui necessariamente ∼ g, cioè il Gatto dev’essere matto!
27 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
c = “La Cuoca è savia”, g = “Il Gatto del Cheshire è savio”
c ↔ (∼ c∨ ∼ g)
Soluzione:
Ovviamente p ↔ q equivale a ∼ p ↔∼ q, per cui
∼ c ↔∼ (∼ c∨ ∼ g) ↔ c ∧ g
Esattamente come prima dunque succede che ∼ c → c,
cioè ∼ c dev’essere falsa!
Dunque la cuoca è savia e quindi è vero che ∼ c∨ ∼ g
da cui necessariamente ∼ g, cioè il Gatto dev’essere matto!
27 / 40
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Traduzione in Formule:
c = “La Cuoca è savia”, g = “Il Gatto del Cheshire è savio”
c ↔ (∼ c∨ ∼ g)
Soluzione:
Ovviamente p ↔ q equivale a ∼ p ↔∼ q, per cui
∼ c ↔∼ (∼ c∨ ∼ g) ↔ c ∧ g
Esattamente come prima dunque succede che ∼ c → c,
cioè ∼ c dev’essere falsa!
Dunque la cuoca è savia e quindi è vero che ∼ c∨ ∼ g
da cui necessariamente ∼ g, cioè il Gatto dev’essere matto!
27 / 40
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Traduzione in Formule:
c = “La Cuoca è savia”, g = “Il Gatto del Cheshire è savio”
c ↔ (∼ c∨ ∼ g)
Soluzione:
Ovviamente p ↔ q equivale a ∼ p ↔∼ q, per cui
∼ c ↔∼ (∼ c∨ ∼ g) ↔ c ∧ g
Esattamente come prima dunque succede che ∼ c → c,
cioè ∼ c dev’essere falsa!
Dunque la cuoca è savia e quindi è vero che ∼ c∨ ∼ g
da cui necessariamente ∼ g, cioè il Gatto dev’essere matto!
27 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
c = “La Cuoca è savia”, g = “Il Gatto del Cheshire è savio”
c ↔ (∼ c∨ ∼ g)
Soluzione:
Ovviamente p ↔ q equivale a ∼ p ↔∼ q, per cui
∼ c ↔∼ (∼ c∨ ∼ g) ↔ c ∧ g
Esattamente come prima dunque succede che ∼ c → c,
cioè ∼ c dev’essere falsa!
Dunque la cuoca è savia e quindi è vero che ∼ c∨ ∼ g
da cui necessariamente ∼ g, cioè il Gatto dev’essere matto!
27 / 40
Domestico-Pesce e Domestico-Rana
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28 / 40
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Traduzione in Formule:
p = “Il Dom.-Pesce è savio”, r = “Il Dom.-Rana è savio”
p ↔ (p ↔ r)
Soluzione:
L’equivalenza logica è associativa:
(p ↔ q) ↔ r è equivalente a p ↔ (q ↔ r)
Dunque p ↔ (p ↔ r) equivale a (p ↔ p) ↔ r
ma p ↔ p è una tautologia per cui r è vera,
cioè il Domestico-Rana è savio!
Del Domestico-Pesce non si puó concludere nulla.
29 / 40
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Traduzione in Formule:
p = “Il Dom.-Pesce è savio”, r = “Il Dom.-Rana è savio”
p ↔ (p ↔ r)
Soluzione:
L’equivalenza logica è associativa:
(p ↔ q) ↔ r è equivalente a p ↔ (q ↔ r)
Dunque p ↔ (p ↔ r) equivale a (p ↔ p) ↔ r
ma p ↔ p è una tautologia per cui r è vera,
cioè il Domestico-Rana è savio!
Del Domestico-Pesce non si puó concludere nulla.
29 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
p = “Il Dom.-Pesce è savio”, r = “Il Dom.-Rana è savio”
p ↔ (p ↔ r)
Soluzione:
L’equivalenza logica è associativa:
(p ↔ q) ↔ r è equivalente a p ↔ (q ↔ r)
Dunque p ↔ (p ↔ r) equivale a (p ↔ p) ↔ r
ma p ↔ p è una tautologia per cui r è vera,
cioè il Domestico-Rana è savio!
Del Domestico-Pesce non si puó concludere nulla.
29 / 40
Soluzione
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p = “Il Dom.-Pesce è savio”, r = “Il Dom.-Rana è savio”
p ↔ (p ↔ r)
Soluzione:
L’equivalenza logica è associativa:
(p ↔ q) ↔ r è equivalente a p ↔ (q ↔ r)
Dunque p ↔ (p ↔ r) equivale a (p ↔ p) ↔ r
ma p ↔ p è una tautologia per cui r è vera,
cioè il Domestico-Rana è savio!
Del Domestico-Pesce non si puó concludere nulla.
29 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
p = “Il Dom.-Pesce è savio”, r = “Il Dom.-Rana è savio”
p ↔ (p ↔ r)
Soluzione:
L’equivalenza logica è associativa:
(p ↔ q) ↔ r è equivalente a p ↔ (q ↔ r)
Dunque p ↔ (p ↔ r) equivale a (p ↔ p) ↔ r
ma p ↔ p è una tautologia per cui r è vera,
cioè il Domestico-Rana è savio!
Del Domestico-Pesce non si puó concludere nulla.
29 / 40
Soluzione
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Indovinelli
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Traduzione in Formule:
p = “Il Dom.-Pesce è savio”, r = “Il Dom.-Rana è savio”
p ↔ (p ↔ r)
Soluzione:
L’equivalenza logica è associativa:
(p ↔ q) ↔ r è equivalente a p ↔ (q ↔ r)
Dunque p ↔ (p ↔ r) equivale a (p ↔ p) ↔ r
ma p ↔ p è una tautologia per cui r è vera,
cioè il Domestico-Rana è savio!
Del Domestico-Pesce non si puó concludere nulla.
29 / 40
Un indovinello delle Olimpiadi (Febbraio 2009)
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30 / 40
Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
31 / 40
Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
31 / 40
Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
31 / 40
Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
31 / 40
Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
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Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
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Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
31 / 40
Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
31 / 40
Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
31 / 40
Soluzione
Traduzione in Formule:, x = “X dice la verità”
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1
2
3
4
l ↔ (m ∧ p)
m ↔ (∼ l∧ ∼ n)
n ↔ (m ↔∼ p)
p ↔ (l ↔∼ n)
Soluzione:
Da (3) e (4) troviamo che p ↔ (l ↔ (m ↔ p))
Dunque p ↔ ((l ↔ m) ∧ p)
e p ↔ (p ↔ (l ↔ m))
e (p ↔ p) ↔ (l ↔ m)
Ma a sinistra c’è una tautologia, per cui l ↔ m
cioè Luca e Maria o mentono o dicono entrambi la verità!
Da (2) allora m ↔ (∼ m∧ ∼ n) per cui ∼ m e quindi ∼ l!
Da (1) e (2) quindi p e n. Quindi due mentono e due no.
31 / 40
Il Re e la Regina di Cuori
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32 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
k = “Il Re è savio”, q = “La Regina è savia”,
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
Soluzione:
Usiamo a ripetizione assoc. e comm. dell’equiv. logica:
q ↔ (k ↔∼ q) è equivalente a q ↔ (∼ q ↔ k)
e quindi a (q ↔∼ q) ↔ k
Dunque dire k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q))
è come dire k ↔ ((q ↔∼ q) ↔ k)
o anche k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q))
33 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
k = “Il Re è savio”, q = “La Regina è savia”,
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
Soluzione:
Usiamo a ripetizione assoc. e comm. dell’equiv. logica:
q ↔ (k ↔∼ q) è equivalente a q ↔ (∼ q ↔ k)
e quindi a (q ↔∼ q) ↔ k
Dunque dire k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q))
è come dire k ↔ ((q ↔∼ q) ↔ k)
o anche k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q))
33 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
k = “Il Re è savio”, q = “La Regina è savia”,
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
Soluzione:
Usiamo a ripetizione assoc. e comm. dell’equiv. logica:
q ↔ (k ↔∼ q) è equivalente a q ↔ (∼ q ↔ k)
e quindi a (q ↔∼ q) ↔ k
Dunque dire k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q))
è come dire k ↔ ((q ↔∼ q) ↔ k)
o anche k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q))
33 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
k = “Il Re è savio”, q = “La Regina è savia”,
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
Soluzione:
Usiamo a ripetizione assoc. e comm. dell’equiv. logica:
q ↔ (k ↔∼ q) è equivalente a q ↔ (∼ q ↔ k)
e quindi a (q ↔∼ q) ↔ k
Dunque dire k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q))
è come dire k ↔ ((q ↔∼ q) ↔ k)
o anche k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q))
33 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
k = “Il Re è savio”, q = “La Regina è savia”,
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
Soluzione:
Usiamo a ripetizione assoc. e comm. dell’equiv. logica:
q ↔ (k ↔∼ q) è equivalente a q ↔ (∼ q ↔ k)
e quindi a (q ↔∼ q) ↔ k
Dunque dire k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q))
è come dire k ↔ ((q ↔∼ q) ↔ k)
o anche k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q))
33 / 40
Soluzione
Invito alla
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Matematica
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Indovinelli
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Traduzione in Formule:
k = “Il Re è savio”, q = “La Regina è savia”,
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
Soluzione:
Usiamo a ripetizione assoc. e comm. dell’equiv. logica:
q ↔ (k ↔∼ q) è equivalente a q ↔ (∼ q ↔ k)
e quindi a (q ↔∼ q) ↔ k
Dunque dire k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q))
è come dire k ↔ ((q ↔∼ q) ↔ k)
o anche k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q))
33 / 40
Soluzione
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Matematica
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Indovinelli
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A sua volta k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q)) equivale a
(k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q)
In conclusione quindi la formula iniziale
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
si puó riscrivere come
q ↔ ((k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q))
Ma k ↔ k è una tautologia
mentre q ↔∼ q è una contraddizione
Non sono equivalenti!
Dunque q è equivalente ad una proposizione falsa
e quindi ∼ q è vera, cioè la Regina è matta!
Del Re invece non si può dire nulla.
34 / 40
Soluzione
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A sua volta k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q)) equivale a
(k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q)
In conclusione quindi la formula iniziale
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
si puó riscrivere come
q ↔ ((k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q))
Ma k ↔ k è una tautologia
mentre q ↔∼ q è una contraddizione
Non sono equivalenti!
Dunque q è equivalente ad una proposizione falsa
e quindi ∼ q è vera, cioè la Regina è matta!
Del Re invece non si può dire nulla.
34 / 40
Soluzione
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Indovinelli
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A sua volta k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q)) equivale a
(k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q)
In conclusione quindi la formula iniziale
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
si puó riscrivere come
q ↔ ((k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q))
Ma k ↔ k è una tautologia
mentre q ↔∼ q è una contraddizione
Non sono equivalenti!
Dunque q è equivalente ad una proposizione falsa
e quindi ∼ q è vera, cioè la Regina è matta!
Del Re invece non si può dire nulla.
34 / 40
Soluzione
Invito alla
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attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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A sua volta k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q)) equivale a
(k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q)
In conclusione quindi la formula iniziale
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
si puó riscrivere come
q ↔ ((k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q))
Ma k ↔ k è una tautologia
mentre q ↔∼ q è una contraddizione
Non sono equivalenti!
Dunque q è equivalente ad una proposizione falsa
e quindi ∼ q è vera, cioè la Regina è matta!
Del Re invece non si può dire nulla.
34 / 40
Soluzione
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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A sua volta k ↔ (k ↔ (q ↔∼ q)) equivale a
(k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q)
In conclusione quindi la formula iniziale
q ↔ (k ↔ (q ↔ (k ↔∼ q)))
si puó riscrivere come
q ↔ ((k ↔ k) ↔ (q ↔∼ q))
Ma k ↔ k è una tautologia
mentre q ↔∼ q è una contraddizione
Non sono equivalenti!
Dunque q è equivalente ad una proposizione falsa
e quindi ∼ q è vera, cioè la Regina è matta!
Del Re invece non si può dire nulla.
34 / 40
Il Fante di Cuori
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35 / 40
Il Fante di Cuori
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Indovinelli
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36 / 40
Il Fante di Cuori
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
R. De Leo
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36 / 40
Il Fante di Cuori
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Logica
Matematica
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Indovinelli
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3 ↔∼ 1
R. De Leo
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4 ↔∼ (∼ 3∧ ∼ 2)
36 / 40
Il Fante di Cuori
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
R. De Leo
[email protected]
4 ↔∼ (∼ 3∧ ∼ 2)
5 ↔ (1 ↔ 4)
36 / 40
Il Fante di Cuori
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
R. De Leo
[email protected]
4 ↔∼ (∼ 3∧ ∼ 2)
5 ↔ (1 ↔ 4)
6 ↔ (1 ∧ 2)
36 / 40
Il Fante di Cuori
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
R. De Leo
[email protected]
4 ↔∼ (∼ 3∧ ∼ 2)
5 ↔ (1 ↔ 4)
6 ↔ (1 ∧ 2)
7 ↔∼ 5
36 / 40
Il Fante di Cuori
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Indovinelli
Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
R. De Leo
[email protected]
4 ↔∼ (∼ 3∧ ∼ 2)
5 ↔ (1 ↔ 4)
6 ↔ (1 ∧ 2)
7 ↔∼ 5
F ↔∼ (∼ 6∧ ∼ 7)
36 / 40
Soluzione
Invito alla
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Matematica
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Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
4 ↔∼ (∼ 3∧ ∼ 2)
5 ↔ (1 ↔ 4)
6 ↔ (1 ∧ 2)
7 ↔∼ 5
F ↔∼ (∼ 6∧ ∼ 7)
37 / 40
Soluzione
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Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
5 ↔ (1 ↔ 4)
6 ↔ (1 ∧ 2)
7 ↔∼ 5
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
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Soluzione
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
[email protected]
Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
Soluzione:
F ↔ (6 ∨ 7)
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
5 ↔ (1 ↔ 4)
6 ↔ (1 ∧ 2)
7 ↔∼ 5
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
37 / 40
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Matematica
attraverso gli
Indovinelli
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[email protected]
Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
Soluzione:
F ↔ (6 ∨ 7)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ 5)
5 ↔ (1 ↔ 4)
6 ↔ (1 ∧ 2)
7 ↔∼ 5
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
37 / 40
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Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
Soluzione:
F ↔ (6 ∨ 7)
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ 5)
5 ↔ (1 ↔ 4)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ (1 ↔ 4))
6 ↔ (1 ∧ 2)
7 ↔∼ 5
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
37 / 40
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Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
Soluzione:
F ↔ (6 ∨ 7)
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ 5)
5 ↔ (1 ↔ 4)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ (1 ↔ 4))
6 ↔ (1 ∧ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ 4))
7 ↔∼ 5
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
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Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
Soluzione:
F ↔ (6 ∨ 7)
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ 5)
5 ↔ (1 ↔ 4)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ (1 ↔ 4))
6 ↔ (1 ∧ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ 4))
7 ↔∼ 5
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ (3 ∨ 2)))
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
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Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
Soluzione:
F ↔ (6 ∨ 7)
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ 5)
5 ↔ (1 ↔ 4)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ (1 ↔ 4))
6 ↔ (1 ∧ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ 4))
7 ↔∼ 5
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ (3 ∨ 2)))
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ (∼ 1 ∨ 2)))
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3 ↔∼ 1
Soluzione:
F ↔ (6 ∨ 7)
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ 5)
5 ↔ (1 ↔ 4)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ (1 ↔ 4))
6 ↔ (1 ∧ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ 4))
7 ↔∼ 5
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ (3 ∨ 2)))
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ (∼ 1 ∨ 2)))
Se ci pensate, p ↔ (p ∨ q) equivale a ∼ (∼ p ∧ q).
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Soluzione
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Traduzione in Formule:
3 ↔∼ 1
Soluzione:
F ↔ (6 ∨ 7)
4↔
↔∼
(3(∼
∨ 23)∧ ∼ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ 5)
5 ↔ (1 ↔ 4)
F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ (1 ↔ 4))
6 ↔ (1 ∧ 2)
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ 4))
7 ↔∼ 5
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ (3 ∨ 2)))
F↔
↔∼
(6(∼
∨ 76)∧ ∼ 7)
F ↔ ((1 ∧ 2) ∨ (∼ 1 ↔ (∼ 1 ∨ 2)))
Se ci pensate, p ↔ (p ∨ q) equivale a ∼ (∼ p ∧ q).
Dunque F ↔ ((1 ∧ 2)∨ ∼ (1 ∧ 2))
cioé il Fante è savio indipendentemente da 1 e 2!
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Chi ha rubato le torte?
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Logica
Matematica
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Indovinelli
Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
R. De Leo
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38 / 40
Chi ha rubato le torte?
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Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
38 / 40
Chi ha rubato le torte?
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Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
38 / 40
Chi ha rubato le torte?
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Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
38 / 40
Chi ha rubato le torte?
Invito alla
Logica
Matematica
attraverso gli
Indovinelli
R. De Leo
[email protected]
Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
38 / 40
Chi ha rubato le torte?
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Logica
Matematica
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Indovinelli
R. De Leo
[email protected]
Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
38 / 40
Chi ha rubato le torte?
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Logica
Matematica
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Indovinelli
R. De Leo
[email protected]
Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
38 / 40
Chi ha rubato le torte?
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Matematica
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Indovinelli
R. De Leo
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
38 / 40
Chi ha rubato le torte?
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
38 / 40
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
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Chi ha rubato le torte?
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
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Traduzione in Formule:
X = “X dice la verità”
x = “X ha rubato la torta”
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Duc ↔ (((Cuo ∧ Gat) ∨ (Cuo ∧ Bru))∧ ∼ (Cuo ∧ (Gat ∨ Bru)))
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Duc ↔ (((Cuo ∧ Gat) ∨ (Cuo ∧ Bru))∧ ∼ (Cuo ∧ (Gat ∨ Bru)))
Duc ↔ {[(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Duc ↔ (((Cuo ∧ Gat) ∨ (Cuo ∧ Bru))∧ ∼ (Cuo ∧ (Gat ∨ Bru)))
Duc ↔ {[(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Ma (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Duc ↔ (((Cuo ∧ Gat) ∨ (Cuo ∧ Bru))∧ ∼ (Cuo ∧ (Gat ∨ Bru)))
Duc ↔ {[(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Ma (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
equivale a α ∧ ( β ∨ γ)
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Duc ↔ (((Cuo ∧ Gat) ∨ (Cuo ∧ Bru))∧ ∼ (Cuo ∧ (Gat ∨ Bru)))
Duc ↔ {[(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Ma (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
equivale a α ∧ ( β ∨ γ)
Per cui
Duc ↔ {[α ∧ ( β ∨ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Duc ↔ (((Cuo ∧ Gat) ∨ (Cuo ∧ Bru))∧ ∼ (Cuo ∧ (Gat ∨ Bru)))
Duc ↔ {[(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Ma (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
equivale a α ∧ ( β ∨ γ)
Per cui
Duc ↔ {[α ∧ ( β ∨ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Quella a destra è una tautologia!
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gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Duc ↔ (((Cuo ∧ Gat) ∨ (Cuo ∧ Bru))∧ ∼ (Cuo ∧ (Gat ∨ Bru)))
Duc ↔ {[(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Ma (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
equivale a α ∧ ( β ∨ γ)
Per cui
Duc ↔ {[α ∧ ( β ∨ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Quella a destra è una tautologia!
Dunque la Duchessa dice la verità
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11.
12.
gri Y tar
Duc ↔∼ gri
Cuo ↔ α
Gat ↔ β
Bru ↔ γ
Lep ↔ (Cuo ∧ Gat)
Ghi ↔ (Cuo ∧ Bru)
Cap ↔ (Gat ∨ Bru)
Luc ↔ (Lep ∨ Ghi)
Fan ↔ (Cuo ∧ Cap)
Con ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
Con ↔ Duc
Soluzione:
Basta capire se la Duchessa mente o no (2)
Da (11) e (12), Duc ↔ (Luc∧ ∼ Fan)
e, a cascata,
Duc ↔ ((Lep ∨ Ghi)∧ ∼ (Cuo ∧ Cap))
Duc ↔ (((Cuo ∧ Gat) ∨ (Cuo ∧ Bru))∧ ∼ (Cuo ∧ (Gat ∨ Bru)))
Duc ↔ {[(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Ma (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
equivale a α ∧ ( β ∨ γ)
Per cui
Duc ↔ {[α ∧ ( β ∨ γ)]∧ ∼ [α ∧ ( β ∨ γ)]}
Quella a destra è una tautologia!
Dunque la Duchessa dice la verità
e il Grifone è innocente.
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Letture Consigliate
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http://utenti.quipo.it/base5/idxcollez.htm#logica
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/CapitoloPrimo/CapitoloPrimo.htm
E. Bencivenga: Il mio primo libro di Logica
D. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach.
R. Smullyan: tutti quelli che potete trovare!
M. Gardner: idem!
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