Geometria Euclidea

Author: Ing. Giulio De Meo
Geometria Euclidea
La Geometria Euclidea è finalizzata a descrivere le figure geometriche e le relazioni spaziali dello spazio
fisico che ci circonda, ricavandole in maniera deduttiva a partire da alcune proprietà fondamentali (assiomi).
La geometria euclidea si basa sui cinque postulati di Euclide:
1) Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
2) Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
3) Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
4) Tutti gli angoli retti sono uguali;
5) Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di
quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei
due angoli è minore di due retti. ( Data una retta ed un punto ad essa esterno, per tale punto passa una ed
una sola retta parallela alla retta data).
Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:
Per un punto passano infinite rette;
Per due punti distinti passa una ed una sola retta;
Per una retta nello spazio passano infiniti piani;
Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano.
Due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano.
Se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta: questa sarà dotata di
un'origine, ma non di una fine.
- La parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.
-
Le Cinque Nozioni Comuni
Gli Elementi includono cinque Nozioni Comuni, che sono essenzialmente gli assiomi logici
che stabiliscono le regole da utilizzare per la dimostrazione dei teoremi.
1) Cose che sono uguali alla stessa cosa sono anche uguali fra di loro.
2) Aggiungendo parti uguali a cose uguali, le somme sono uguali fra loro.
3) Sottraendo parti uguali a cose uguali, le differenze sono uguali fra loro.
4) Cose che coincidono l’un l’altra sono uguali fra di loro.
5) Il tutto è maggiore della parte.
La Congruenza
La nozione centrale nella Geometria Euclidea è la Congruenza, intendendo con questo termine
l’equivalenza delle forme, la possibilità cioè di sovrapporre due figure geometriche in modo da farle
coincidere esattamente senza “deformarle”. Nella Geometria Euclidea gli oggetti possono essere spostati
rigidamente (cioè possono essere ruotati e/o traslati), o anche sottoposti a riflessioni speculari, ma non
possono essere allungati o piegati.
La relazione di congruenza è chiaramente una relazione di equivalenza: ciò che rende equivalenti due figure
geometriche congruenti sono quelle proprietà (come ad esempio la misura del perimetro o dell’area) che
restano invariate a seguito di uno spostamento rigido (Invarianti Euclidei). É proprio questo particolare tipo
di invarianza che contraddistingue la Geometria Euclidea dalle altre Geometrie (quella Affine o quella
Proiettiva). La relazione di congruenza è un caso particolare della relazione di similitudine (dove tutte
le distanze risultano moltiplicate per uno stesso fattore), ed è una relazione di natura metrica.
Classificazione dei triangoli
Rispetto ai lati un triangolo è: Equilatero se ha i lati congruenti ; Isoscele se ha due lati congruenti ;
Scaleno se ha i tre lati diversi. Rispetto agli angoli un triangolo è:
Acutangolo se ha i gli angoli acuti; Ottusangolo se ha un angolo ottuso ; Rettangolo se ha un angolo retto
Un triangolo scaleno può essere rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Un triangolo acutangolo può essere
isoscele, scaleno o equilatero. Un triangolo ottusangolo può essere isoscele o scaleno.
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Proprietà di un triangolo
In un triangolo:
· I lati e i vertici sono consecutivi fra loro.
· La somma degli angoli interni è sempre 180° (A+B+C=180°)
· La somma degli angoli esterni è sempre 360° (a+b+c=360°)
· Ciascun lato è sempre minore della somma degli altri due lati ed è sempre maggiore della loro differenza
· In un triangolo il lato minore si oppone all'angolo minore, il lato maggiore si oppone all'angolo maggiore
· Ciascun angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso.
Criteri di congruenza (o uguaglianza) tra due triangoli
Due figure si dicono congruenti (uguali) se esiste un movimento rigido che permette di sovrapporli uno
sull’altro senza deformarli.
1° Criterio di congruenza: . Se due triangoli hanno due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti allora i
due triangoli si dicono congruenti.
2° Criterio di congruenza: Se due triangoli hanno due angoli e il lato ad essi adiacente congruenti allora i
due triangoli si dicono congruenti.
3° Criterio di congruenza: Se due triangoli hanno tutti i lati congruenti allora i due triangoli si dicono
congruenti.
Criteri di similitudine
Si dicono simili, due figure di uguale forma. Analizziamo i tre criteri di similitudine dei triangoli:
1° Criterio di similitudine: . due triangoli sono simili se hanno 2 angoli rispettivamente uguali.
2° Criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso tra lati in
proporzione.
3° Criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno i lati ordinatamente in proporzione.
Teoremi sui Triangoli Simili:
- il rapporto tra lati omologhi di due triangoli simili è costante; AB : A’B’ = AC : A’C’ = CB : C’B’
- in due triangoli simili le altezze stanno tra loro come due lati omologhi ; AH : A’H ’= AB : A’B’
- i Perimetri di 2 triangoli simili stanno tra loro come 2 lati omologhi; P : P’ = AB : A’B’
- le Aree di 2 triangoli simili stanno tra loro come i quadrati di 2 lati omologhi; S : S’ = (AB)2 : (A’B’)2
Luoghi geometrici e punti notevoli di un triangoli
Bisettrice: semiretta uscente dal vertice di un angolo che divide l’angolo in due parti uguali.
Un qualsiasi punto della bisettrice di un angolo è equidistante dai due lati dell’angolo.
Incentro: punto d’incontro delle bisettrici e centro della circonferenza iscritta al triangolo.
· L'incentro è il centro della circonferenza tangente ai tre lati
· La circonferenza è inscritta nel triangolo e il triangolo è circoscritto alla circonferenza..
· L'incentro è sempre interno al triangolo.
· L'incentro è sempre equidistante dai lati del triangolo (la distanza fra l'incentro e ciascun lato è il raggio
della circonferenza).
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Punto Medio: punto che divide in due parti uguali un segmento.
Mediana: segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto.
Baricentro: punto di intersezione tra le tre mediane.
• Il baricentro in qualsiasi triangolo è sempre interno al triangolo stesso.
• Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, una doppia dell'altra
• Il baricentro è il punto di un corpo in cui si concentra il peso della massa di un
corpo.
Distanza punto-retta: segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta.
Asse: retta che passa perpendicolarmente per il punto medio di un lato.
L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del
segmento.
Circocentro: punto di incontro degli assi di un triangolo e centro della circonferenza circoscritta ad esso.
- Il circocentro è il centro della circonferenza passante per i tre vertici del triangolo.
- La circonferenza è circoscritta al triangolo e il triangolo è inscritto alla circonferenza.
- Il circocentro è sempre equidistante dai vertici del triangolo.
· Nel triangolo rettangolo il circocentro è sul punto medio dell'ipotenusa.
· Nel triangolo ottusangolo il circocentro è esterno al triangolo
· Nel triangolo acutangolo il circocentro è interno al triangolo.
Altezza di un triangolo: segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto.
Ortocentro: punto di intersezione tra le tre altezze del triangolo
- Nel triangolo isoscele l'ortocentro è sulla retta che comprende altezza relativa alla base.
- Nel triangolo rettangolo l'ortocentro è sul vertice dell'angolo retto.
- Nel triangolo ottusangolo l'ortocentro è esterno al triangolo e sui prolungamenti delle altezze.
- Nel triangolo acutangolo è all'interno di esso.
1° Teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni
l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.
CB2 = CA · CH ; BA2 = CA · HA
1a Dimostrazione:
Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo ABC.
Sul cateto BC si costruisca il quadrato BDEC e sia CH la proiezione del
cateto BC sull'ipotenusa CA. Si costruisca il rettangolo HCLM avente CL
congruente a CA. Si prolunghi il lato ED dalla parte di D fino ad incontrare
in F la retta contenente il segmento CL e in G la retta contenente il
segmento MH. Si vuole dimostrare che il quadrato BDEC è equivalente al
rettangolo HCLM.
Si considerino ora i triangoli ABC e CFE. Essi hanno:
BC congruente a CE per costruzione,
l'angolo ABC congruente all'angolo FEC perché retti,
l'angolo BCA congruente all'angolo ECF perché entrambi complementari
dello stesso angolo FCB.
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Dunque, per il 2° criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli ABC e CFE sono congruenti, e in particolare
si ha che CA è congruente a CF.
Si considerino il quadrato BDEC e il parallelogramma FCBG. Essi hanno la stessa base CB e la stessa
altezza DB (perché DE e GF appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti.
Si considerino il parallelogramma FCBG e il rettangolo HCLM. Essi hanno basi congruenti (infatti FC è
congruente a CA per dimostrazione precedente, e CA è congruente a CL per costruzione, quindi FC è
congruente a CL per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti FC e CL
appartengono alla stessa retta, e così pure BG e MH), quindi sono equivalenti. Q.
Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM.
2a Dimostrazione:
hp) ABC = triangolo rettangolo; Ts) AABDE =ABFGH
Questa dimostrazione fa riferimento a una figura denominata
mulino a vento, coda di pavone o sedia della sposa:
▪ Dimostriamo che Triangolo ABF equivalente al Triangolo DBC
Ts) AABF = ADBC
Dato il triangolo rettangolo ABC, costruiamo i quadrati sui suoi lati
e tracciamo AG parallelo a BF. I triangoli DBC e ABF sono uguali
per il primo criterio di uguaglianza. Hanno infatti AB = DB perché
lati dello stesso quadrato ABDE; inoltre BC = BF, perché lati dello
stesso quadrato BCIF; gli angoli DBC e ABF sono uguali perché
somma di un angolo retto e di un angolo in comune, l'angolo ABC.
▪ Dimostriamo che il triangolo DBC ha area pari a metà dell’aerea del quadrato ABDE
Ts) ADBC = ½ AABDE ;
infatti il triangolo DBC ha altezza DE e base DB entrambe uguali ad AB essendo lati del quadrato ABDE
ADBC = ½ ( DB · DE ) = ½ ( AB · AB ) = ½ ( AB)2 = ½ AABDE ;
▪ Dimostriamo che il triangolo ABF ha area pari a metà dell’aerea del rettangolo BFGH.
Ts) AABF = ½ ABFGH ;
L’ area del rettangolo BFGH è data dal prodotto BF · FG ;
L’ area del triangolo ABF, considerando come base BF, ha altezza FG : AABF = ½ ( BF · FG ) = ½ (ABFGH)
Abbiamo quindi dimostrato che:
ADBC = ½ AABDE ; AABF = ½ ABFGH ; essendo ADBC = AABF
→
AABDE = ABFGH
Per la proprietà transitiva, essendo i triangoli ABF e DBC equivalenti, lo sono anche il quadrato ABDE ed il
rettangolo BFGH.
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1° Teorema di Euclide (enunciato delle proporzioni):
In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso
sull'ipotenusa. BC:AB = AB:BH ; BC:AC = AC:HC ;
Dimostrazione:
Ts) BC:AB = AB:BH o anche AB2 = BC·BH ;
Si considerino i triangoli ABC e ABH. Essi hanno tutti gli angoli
congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in B in comune),
e quindi sono simili per il 1° criterio di similitudine. Essendo costante il
rapporto tra lati omologhi di triangoli simili, si ha: BC:AB = AB:BH.
2° Teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo
avente come lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Dimostrazione mediante similitudine:
Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, tracciamo l'altezza AH relativa
all'ipotenusa. Questa divide l'ipotenusa stessa in due segmenti che sono la
proiezione dei cateti; in più divide il triangolo iniziale in due più piccoli
ABH e AHC, che sono simili fra loro e simili anche al triangolo originale
ABC.
Affinché due triangoli siano simili occorre che siano uguali tutti e tre gli angoli (in realtà ne bastano due: il
terzo viene di conseguenza, grazie al fatto che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre
180°). I tre triangoli sono rettangoli (quello originale in A, gli altri in H); l'angolo A è in comune fra il
triangolo ABC e il triangolo ABH; l'angolo C è in comune fra il triangolo ABC e il triangolo di AHC: tutti e
tre i triangoli hanno quindi gli angoli uguali.
In due triangoli simili, il rapporto fra i lati corrispondenti è costante.
Tra il triangolo ABH e AHC vale la proporzione:
BH : AH = AH : HC → BH x HC = AH²
Dimostrazione mediante equivalenze:
hp) ABC rettangolo ; BM = BC;
Ts ) Area Q2 = Area R
Si costruiscano i quadrati di lati rispettivamente AB e AH e si effettui la
costruzione del rettangolo di lati BC e BH.
Da quest’ultimo rettangolo si tolga il quadrato Q3 di lato BH.
In riferimento alla figura a destra, per il primo teorema di Euclide è:
Q1 = Q3 + R
Considero il triangolo ABH e per il teorema di Pitagora si ha che:
Q1 = Q2 + Q3
Per la proprietà transitiva dell’equivalenza segue che: Q3 + R = Q2 + Q3
Sottraendo ad ambo i membri dell’uguaglianza ottenuta, si ha: R = Q2
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Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Dimostrazione:
Si traccia l'altezza CD sull'ipotenusa, di lunghezza h. Questa
spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza p e q.
Per il 1° teorema di Euclide si ha:
Da cui
Teorema di Talete
Un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente
proporzionali .
hp) r || r’;
Ts )
AB : A’B’ = BC : B’C’
Inoltre se presi AC e A'C', segmenti omologhi, si ha tra
loro lo stesso rapporto di AB con A’B’ e di BC con B'C' :
Dimostrazione:
Euclide dimostra il teorema di Talete indirettamente, attraverso la proporzionalità fra le aree dei triangoli:
« Se una linea retta è disegnata parallela ad uno dei lati di un triangolo, allora taglia proporzionalmente i lati
del triangolo... »
Sia dato un triangolo ABC, tagliato da un segmento DE parallelo a uno
dei suoi lati (in questo caso BC). Si avrà quindi, secondo la tesi del
teorema, che
BD : AD = CE : AE
Si congiungano gli estremi di DE con gli opposti del lato parallelo,
evidenziando così i due triangoli BDE e CDE. Tali triangoli sono
equievalenti, hanno cioè la medesima area, in quanto possiedono la stessa
base e sono tra le medesime parallele DE e BC.
Il segmento DE ha anche creato il triangolo ADE e, siccome a
“grandezze” uguali corrispondono rapporti uguali con la stessa
“grandezza” , il triangolo
BDE : ADE = CDE : ADE
Ma il triangolo BDE sta a ADE come BD sta a DA, perché avendo la
stessa altezza (nel caso in esempio DE) devono stare l’uno all’altro come le rispettive basi, così come, per la
stessa ragione, il triangolo CDE sta a ADE, come CE sta a EA. Per cui
BD : DA = CE : EA.
Dal teorema di Talete derivano due importanti corollari complementari, che assieme costituiscono per intero
l’originaria proposizione di Euclide:
- Una retta parallela al lato di un triangolo determina segmenti proporzionali sugli altri due lati.
- Una retta che determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato.
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L'applicazione del teorema di Talete ai triangoli è in grado di spiegare il 2° criterio di similitudine dei
triangoli che afferma: due triangoli, aventi coppie di lati proporzionali e l’angolo ivi compreso congruente,
sono simili.
In base alla seconda parte della proposizione euclidea, tutti i
segmenti omologhi sono in proporzione:
AB : AC = BB’ : CC’ = B’B” : C’C” = …
allora B'C' e B’’C’’ non possono che essere paralleli a BC e dunque i
triangoli ABC, AB’C’ AB’’C’’, sono per forza triangoli simili.
Questo ci permette, ricollegando ci al fascio di rette, di stabilire una
serie di legami non solo fra i segmenti omologhi delle traverse, ma anche sulle parallele.
AB : AB’ = AC : AC’ = BC : BC’
Condizione necessaria per la validità di tali rapporti è che A = A’ , solo così, infatti, le trasversali sono
assimilabili ai lati di un triangolo, dalla cui similitudine deriva la proporzionalità dei segmenti paralleli.
Teorema della bisettrice
Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo è un teorema della
geometria elementare che è una particolare conseguenza del teorema di Talete:
“ In un triangolo due lati stanno fra loro come le parti in cui resta diviso il terzo
lato dalla bisettrice dell'angolo interno ad esso opposto”.
In altri termini, dato il triangolo ABC sia AL la bisettrice dell'angolo interno in A
sussiste allora la proporzione: BC : AC = BL : LC
Dimostrazione:
Si conduca dal vertice C la parallela alla retta AL fino a incontrare il
prolungamento del lato BA dalla parte di A nel punto D. Il triangolo ACD è isoscele perché i suoi angoli in
C e in D sono congruenti.
-
i due angoli in ACD e CAL sono uguali, essendo alterni interni rispetto alle rette paralle AL e DC
tagliate dalla trasversale AC;
i due angoli ADC e BAL sono uguali perché corrispondenti rispetto alle rette paralle AL e DC
tagliate dalla trasversale AD;
i due angoli CAL e BAL sono uguali perché parti uguali dello stesso angolo.
Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza è allora sono uguali gli angoli ADC = ACD
Si ha pertanto che i segmenti AC e AD sono congruenti. Per il teorema di Talete sussiste la proporzione
BD : AD = BL : LC
e poiché AC e AD sono congruenti anche
BA : AC = BL : LC
Teorema della mediana
In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati
degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.
In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale
l'identità:
Dimostrazione: ponendo OA = a; OB = b;
a2 = (m - u)2 ; b2 = (m + u)2 ;
sviluppando e sommando membro a membro
2 m2 = a2 + b2 - ½ (2u)2 ;
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Teorema di Pappo
Il Teorema di Pappo (o Teorema di Pappo - Pascal) afferma che, dati A, B e
C punti su di una retta, aventi il corrispettivo A’, B’ e C’ su di un’altra retta
che interseca la prima in un punto O, allora:
se C'B è parallelo a B'C, e C'A è parallelo a A'C, allora anche BA’ sarà
parallelo ad AB’.
Il teorema di Pappo permette di fondare un calcolo dei segmenti
sostanzialmente equivalente al calcolo algebrico, poiché grazie ad esso
possiamo giustificare le proprietà associativa e commutativa dell’addizione
e della moltiplicazione tra segmenti
Teorema di Pasch
Il Teorema di Pasch è un risultato, stabilito dal matematico Moritz Pasch nel 1882 che, nell'ambito della
geometria della retta, stabilisce la seguente proprietà dell'ordinamento dei punti:
“Dati quattro punti su una retta a, b, c, d che si presentino ordinati come (a,b,c) e (b,c,d), se ne deduce che
essi sono anche ordinati come (a,b,d).”
Detto in altri termini, se b è tra a e c e c tra b e d allora b è anche tra a e d.
Teorema delle Corde
Se due corde di una circonferenza si tagliano allora i due segmenti di una corda formano i medi e i due
segmenti della seconda corda formano gli estremi di una proporzione
Hp)
AB e CD corde
Ts)
AP : DP = CP : BP
Dimostrazione
Considero i triangoli APC e BPD essi hanno:
gli angoli APC = BPD uguali perche' opposti al vertice
e gli angoli CAB = CDB uguali perche' angoli alla circonferenza che
insistono sullo stesso arco AB . Quindi i due triangoli CAP e BPD sono
simili per il primo criterio di similitudine e posso scrivere
AP : DP = CP : BP
Teorema delle Secanti
Se da un punto esterno traccio due secanti ad una stessa circonferenza allora un'intera seconte e la sua
parte esterna formano i medi, l'altre intera secante e la sua parte esterna formano gli estremi di una
proporzione.
Hp)
PA e PC secanti
ts)
AP : CP = DP : BP
Dimostrazione
Considero i triangoli APD e BPC essi hanno:
gli angoli APD = BPC uguali perche' in comune;
gli angoli PAD = PCB uguali perche' angoli alla
circonferenza che insistono sullo stesso arco BD Quindi i
due triangoli PAD e PCB sono simili per il primo criterio di
similitudine e posso scrivere
AP : CP = DP : BP
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Corollario su angoli alla circonferenza di 2a specie
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali :
Considerando la tangente alla circonferenza in un suo punto, essa forma un angolo retto con il diametro
passante per lo stesso punto, poiché sono angoli a metà dello stesso angolo al centro.
Teorema della Tangente e della Secante
Se da un punto esterno P ad una circonferenza traccio una secante ed una tangente, la distanza tra P e
punto di tangenza è medio proporzionale tra la distanza di P dai punti di secante.
Hp)
Ts)
PT = tangente; A e B sono punti di secante
AP : PT = PT : BP
Dimostrazione
I triangoli PTA e PTB sono Simili poiché hanno l’ angolo P in
comune e gli angoli PAT = PTB uguali perche' angoli alla
circonferenza che insistono sullo stesso arco AT. (vedi
corollario sopra)
Quindi i due triangoli PAT e PTB sono simili per il primo criterio di similitudine possiamo scrivere
AP : TP = TP : BP
Sezione AUREA di un segmento
Si dice Sezione Aurea di un segmento diviso in due parti, la parte maggiore (AB) che è media proporzionale
tra l’intero segmento (AC) e la parte restante (BC):
BC : AB = AB : AC
Costruire il Segmento Aureo:
Dato il segmento AB, dividerlo in due parti uguali con il punto M.
Dall'estremità B tracciare la perpendicolare al segmento fino al ottenere
CB = MB.
Dal punto C, tracciare con il compasso un semicerchio fino ad incontrare
in D il segmento AC. Puntando infine il compasso in A con raggio AD, si
ottiene il punto E che divide il segmento in due parte con proporzione
aurea ( AE/EB = 1,618 ).
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