Applicazioni dell`algebra alla geometria

Capitolo
11
Applicazioni dell’algebra
alla geometria
Risoluzione guidata
Verifica per la classe seconda
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Il triangolo isoscele ABC ha l’angolo al vertice Ĉ che misura 120° e la base AB
lunga 24 cm. Da un punto P sul lato AC si tracci la parallela al lato CB che incontra AB in K.
Determinare AP in modo che il perimetro del
trapezio PKBC sia pari a 1212 23 2 cm.
Analisi 1. Esaminare i dati del problema:
del testo
PROPRIETÀ DELLA FIGURA
Punti
RELAZIONI TRA GRANDEZZE
1.a
Triangolo isoscele ABC
1 AC .....; AM ..... AB
1.b
Angolo al vertice
1 AĈB .....
ˆ M ..... ; MC
ˆ B .....
AC
ˆM ..... ; CB
ˆM .....
CA
1.c
Lunghezza del lato
1 AB .........
.../...
AC .....; AM .....
CM .....
1 CB .....
1.d
Condizione di parallelismo
1.e
Tradurre la condizione del testo:
perimetro del trapezio PKBC S .................... 1212 232
.../...
Traduzione 2. Individuare ulteriori proprietà della figura:
analitica
PROPRIETÀ DELLA FIGURA RELAZIONI TRA GRANDEZZE
2.a
Triangoli rettangoli
1 ..............................................
2.b
Triangoli simili
1 ..............................................
2.c
Triangoli uguali
1 ..............................................
.../...
3. Definire l’incognita e imporre le condizioni geometriche sull’incognita scelta:
234
3.a
....... x
3.b
....... x ....
.../...
© 2007 RCS Libri S.p.A.
3.c Disegnare le figure corrispondenti ai valori limite per l’inco- Punti
gnita e calcolare il perimetro del trapezio in corrispondenza dei due .../...
valori limite.
Risoluzione 4. Impostare e risolvere algebricamente il problema:
algebrica
4.a Determinare in funzione di x le altre grandezze geometriche che
compaiono nella condizione 1.e:
..... .....
..... .....
..... .....
.../...
..... .....
4.b Scrivere l’equazione risolvente e trovarne la soluzione:
............................................................................................................
.../...
SOLUZIONE
x ........
4.c
Verificare le condizioni di accettabilità della soluzione.
4.d
Disegnare la figura in corrispondenza della soluzione del problema.
Problema 5. Facoltativo. Con riferimento alla figura e ai dati dell’esercizio precedente, risolvere questo nuovo problema in cui la condizione diventa
la seguente:
Determinare AP affinché il trapezio PKBC sia circoscrittibile a una
circonferenza.
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.../...
.../...
235
Capitolo
11
Applicazioni dell’algebra
alla geometria
Problemi di secondo grado
Verifica per la classe seconda
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. In un trapezio rettangolo ABCD di area
169 2
m si vuole inscrivere una circonferenza
pari a
81
2
di raggio R m .
3
Determinare le distanze del punto P di tangenza della circonferenza con il lato obliquo dagli estremi del
lato obliquo stesso (PC, PB). Determinare, inoltre,
il perimetro del trapezio.
Punti
236
Analisi 1.a Esaminare i dati del problema.
del testo
Proprietà 2. Individuare alcune proprietà della figura:
della figura
2.a Dimostrare che tutti i trapezi rettangoli sono circoscrittibili a una circonferenza.
.../...
2.b Individuare (giustificando la risposta) tutti i segmenti congruenti in
figura.
.../...
2.c Che tipo di quadrilateri sono EOGD e EOAF?
.../...
2.d Dimostrare che il triangolo formato dal centro della circonferenza
inscritta e dagli estremi del lato obliquo è rettangolo.
.../...
.../...
Traduzione 3.a Scegliere la/le incognita/e e imporre le condizioni geometriche.
analitica
3.b Disegnare la figura nelle condizioni limite.
.../...
Risoluzione 4.a Formalizzare il problema in funzione delle incognite e trovare la solualgebrica
zione.
.../...
4.b Disegnare la figura in corrispondenza della soluzione.
.../...
.../...
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Applicazioni dell’algebra
alla geometria
Capitolo
11
Circonferenze inscritte e circoscritte
Verifica per la classe seconda
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Del triangolo ABC si conoscono
le misure dei lati:
AB 42 cm
AC 21 cm
BC 33 cm
Punti
Area 1.a Calcolare l’area del triangolo ABC.
Circonferenza 2.a Calcolare il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo.
inscritta
2.b Calcolare la distanza dei punti di tangenza della circonferenza inscritta dai vertici del triangolo ABC.
2.c Calcolare la distanza del centro della circonferenza inscritta dai vertici del triangolo ABC.
Circonferenza 3.a Calcolare il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.
circoscritta
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.../...
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.../...
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237
Capitolo
11
Applicazioni dell’algebra
alla geometria
Risoluzione guidata: verifica
Obiettivi
●
●
●
●
●
●
Teoria al
paragrafo
Verifica
[Conoscere le proprietà del triangolo isoscele]
[Riconoscere triangoli simili]
[Riconoscere triangoli uguali]
Formalizzare problemi geometrici tramite modelli algebrici di primo grado
Definire i vincoli geometrici di una variabile algebrica
Imporre i limiti di variabilità a un’incognita
1; 2
2.b
2.c
1; 2; 3; 4; 5
3.b; 3.c; 4.c
3.b; 3.c; 4.c
Soluzioni degli esercizi
§2
§2
§2
tempo previsto: 60 min
1.e
3.a
3.b
4.a
4.b
PK KB BC CP esercizi
Soluzioni
1212 23
2 cm verifica:
AP x 0 x 8 23 PC 8 23 x
PK x
5
AP 4 cm AP 2412 23 2 cm
tempo previsto: 60 min
KB 24 x23
BC 8 23
Problemi di secondo grado: verifica
Teoria al
paragrafo
Obiettivi
Verifica
[Conoscere le proprietà del trapezio rettangolo]
[Applicare i teoremi di Euclide]
●
[Applicare il teorema delle tangenti]
●
Formalizzare problemi geometrici tramite modelli algebrici di secondo grado
●
Definire i vincoli geometrici di una variabile algebrica
●
Imporre i limiti di variabilità a un’incognita
Soluzioni degli esercizi
3.c
3.a
3
8
169
CP x
PB y
y ; perimetro x
m
27
27
2
2.a; 2.b
4.a
2.b
§2
3.a; 3.b; 4.a
§2
3.a; 3.b
§2
3.a; 3.b
tempo previsto: 60 min
●
●
Circonferenze inscritte e circoscritte: verifica
Obiettivi
●
●
●
Calcolare l’area di un triangolo tramite la formula di Erone e le lunghezze degli elementi di un triangolo
Calcolare il raggio delle circonferenze inscritte e circoscritte a triangoli
[Conoscere le proprietà delle circonferenze inscritte e circoscritte a triangoli]
Formalizzare problemi geometrici tramite modelli algebrici di primo grado
Definire i vincoli geometrici di una variabile algebrica
Imporre i limiti di variabilità a un’incognita
Soluzioni degli esercizi
Verifica
Teoria al
paragrafo
1.a
2.a; 3.a
3.a; 2.a
2.b
2.b
2.b
§3
§4
§4
§2
§2
§2
tempo previsto: 30 min
1.a
2.a
S 108 210 cm2
r
9
210 cm
4
2.b
2.c
3.a
27 cm; 6 cm; 15 cm
3
OC 3154 cm
4
5
OA 342 cm
4
9
OB 3154 cm
4
R
539
210 cm
80